Introduction à la physique des plasmas cours 6: Diffusion d un plasma

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1 Introduction à la physique des plasmas cours 6: Diffusion d un plasma S. Mazevet Laboratoire de Structure Electronique Département de Physiqu e Théorique et Appliquée Commissariat à l Energie Atomique Bruyères-Le-Châtel, textscfrance p-1/23

2 Table of contents 1 Plasmas faiblement ionisés 2 Diffusion ambipolaire 3 Diffusion en présence de B p-2/23

3 Introduction Un plasma homogène et infini comme nous l avons considéré jusqu à présent est une vision idéalisée Dans le laboratoire ou la réalité un plasma posséde un gradient de densité Un plasma tend toujours à diffuser vers les régions de faible densité Un des objectifs principaux pour la fusion thermonucléaire magnétique est d empécher la diffusion en utilisant des champs magnétiques Nous allons considérer dans un premier temps le cas d un plasma faiblement ionisé et sans champ magnétique Nous cherchons à décrire une distribution non-uniforme d ions et d électrons dans un fond de particules neutres. Alors que le plasma diffuse à cause du gradient de pression et des champs électriques, les particules individuelles décrivent une marche aléatoire et subissent des collisions fréquentes avec les neutres p-3/23

4 Rappels sur les collisions On rappelle que dans un plasma, le libre parcours moyen est donné par λ m = 1 (1) n n σ où n n est la densité d atomes neutres par m 3 et σ la section efficace λ m représente la distance parcourue par une particule chargée avant qu elle ait une forte probabilité de subir une autre collision Le temps moyen entre deux collisions pour des particules à la vitesse v est donné par τ = λ m /v (2) La fréquence de collision moyenne est donc τ 1 = v/λ m = n n σv (3) La fréquence de collision s obtient en considérant une distribution de Maxwell-Boltzman pour les vitesses ν = n n σv (4) p-4/23

5 Paramètre de Diffusion L équation fluide pour chaque espèce est mn dv [ ] v dt = mn t + (v. )v = ±ene p mnνv (5) On considère le cas où dv/dt = 0 (quasi-statique) On suppose de plus que v est suffisement petit (ou ν suffisement élevée) pour qu un élément du fluide ne se déplace pas dans une région où E et p sont différents durant le temps de collision L équation fluide devient alors v = 1 [±ene p] (6) mnν En considérant un plasma isothermal p = k B T n et v = ± e mν E k BT n mν n = = µe D n n (7) (8) p-5/23

6 Paramètre de Diffusion II Nous avons définit deux paramètres, la mobilité µ et le coefficient de diffusion D µ = q mν D = k BT mν Ces coefficients sont différents pour chacunes des espèces Ils sont connectés par la relation d Einstein µ = q D k B T Le flux Γ j pour l espèce j s écrit alors (9) (10) Γ j = nv j = µ j ne D j n (11) La loi de diffusion de Fick est un cas spécial correspondant au cas où E = 0 et les particules sont neutres µ = 0 Γ j = D n (12) p-6/23

7 Paramètre de diffusion II La loi de Fick traduit le fait que la diffusion est un processus de marche aléatoire pour lequel le flux net de la région dense à la région moins dense à pour cause la densité de particules plus élevée dans la région dense Le flux est proportionnel au gradient de densité Pour un plasma, la loi de Fick n est pas nécessairement suivie à cause de la possibilité de mouvements organisés dus aux ondes plasmas p-7/23

8 Diffusion ambipolaire Nous allons maintenant étudier comment la densité d un plasma créé dans un container diminue par diffusion jusqu aux murs qui l entoure Lorsque les électrons et les ions atteignent les murs ils se recombinent. La densité près du mur est alors considérée comme nulle L équation fluide et l équation de continuité gouvernent le comportement du plasma En considèrant l équation de continuité, on obtient n +.(nu) = 0 (13) t Si la fréquence de collision est large, on peut également négliger la dérivée temporelle dans l équation fluide et utiliser les paramètres de diffusion définis plus haut n t + Γ j = 0 (14) p-8/23

9 Diffusion ambipolaire II Si Γ i est Γ e ne sont pas égaux, un deséquilibre de charges apparait rapidement Pour un plasma de taille trés supérieure à la longueur de Debye, il doit être quasi-neutre Les coefficients de diffusion des électrons et des ions doivent donc s ajuster pour que les deux espèces quittent le plasma à la même vitesse. Les électrons étant plus légers, leur vitesse thermique est plus élevée Les électrons ont donc tendance à quitter le plasma en premier Ceci génére une charge positive au centre du plasma et un champ électrique associé Ceci retarde d une part les électrons et accelére d autre part les ions vers l extérieur du plasma p-9/23

10 Diffusion ambipolaire IV Le champs electrique E s obtient en posant Γ e = Γ i = Γ Γ = µ i ne D i n = µ e ne D e n (15) E = D i D e n (16) µ i + µ e n Le flux de particules est alors Γ = µ i D i D e µ i + µ e n D i n (17) = µ id i µ i D e µ i D i µ e D i µ i + µ e n (18) = µ id e + µ e D i µ i + µ e n (19) On retrouve la loi de Fick avec un nouveau coefficient de diffusion, appellé coefficient de diffusion ambipolaire D a = µ id e + µ e D i µ i + µ e (20) p-10/23

11 Diffusion ambipolaire IV Si le coefficient ambipolaire est constant, l equation de diffusion devient alors n t = D a 2 n (21) On peut estimer l ordre de grandeur de D a en considérant que µ e >> µ i Avec ν v th et v m 1/2 donc µ m 1/2 En utilisant la relation d Einstein D a D i + µ i µ e D e (22) = D i + qd i k B T i k B T e qd e D e (23) = D i + T e T i D i (24) Pour un plasma à l équilibre T e = T i D a = 2D i (25) p-11/23

12 Diffusion ambipolaire IV L effet du champ électrique ambipolaire est donc d accélérer la diffusion des ions par un facteur 2 La diffusion est controllée par l espèce la plus lente L équation de diffusion se résoud en utilisant une séparation de variable n(r, t) = T (t)s(r) (26) A partir de l équation de diffusion on obtient n t = D a 2 n (27) D dt = DT 2 S (28) dt 1 dt = D a T dt S 2 S (29) Comme la partie de gauche ne dépent que du temps et la partie de droite que de l espace, chacune des parties doit être égale à une constante que l on défini par 1/τ p-12/23

13 Diffusion ambipolaire: Plasma à 1-D La fonction T satisfait la relation qui admet comme solution dt dt = T τ (30) T = T 0 e t/τ (31) Pour un problème à une dimension, la partie spatialle S satisfait l équation d 2 S dx 2 = 1 Dτ S (32) qui admet comme solution x x S = Acos + Bsin (33) (Dτ) 1/2 (Dτ) 1/2 La densité tend vers zéro près des murs et possède un ou plusieurs maximums entre. p-13/23

14 Diffusion ambipolaire VI La solution la plus simple comporte un seul maximum Par symmètrie et S = 0 pour x = ±L entraine L = π (Dτ) 1/2 2 τ = ( 2L π ) 1 D (34) (35) En combinant les résultats précédents on obtient pour la densité n = n 0 e t/τ cos πx 2L (36) Cette solution est le mode de diffusion principal: La densité de distribution correspond à un cosinus dont le pic de densité décroit de manière exponentielle dans le temps Il existe bien sûr des modes de diffusion d ordre plus élevés p-14/23

15 Diffusion ambipolaire VI Une distribution de densité arbitraire peut être exprimée par une série de Fourier ( (l + 1/2)πx n = n 0 a l cos + ) b m sin mπx (37) L L l m Les indices sont choisis de facons à ce que les conditions aux limites à x = ±L sont satisfaites automatiquement Pour prendre en compte la dépendance temporelle, on peut alors poser ( n = n 0 a l e t/τ l (l + 1/2)πx cos + b m sine L L l m (38) En utilisant l équation de diffusion, chaque cosinus amène à une relation du type 1 [( = D l + 1 τ l 2 t/taum mπx ) )] 2 π (39) L p-15/23

16 Diffusion ambipolaire VI La constante d amortissement pour le mode l est donc donné par [ ] 2 L 1 τ l = (l )π (40) D Les structures fines de la densité correspondent aux modes l élevés La constante de temps τ l est plus faible pour les modes élevés Pour une densité initiallement non-uniforme, les modes élevés disparaissent en premier Les modes les plus faibles sont ensuite atteints Une fois le mode le plus bas atteint, la densité dimiminue tout en gardant sa forme en cosinus Pour la diffusion dans un cylindre, la partie spatiale devient d 2 S dr ds r dr + 1 Dτ S = 0 (41) Les solutions sont des fonctions de Bessel J 0 (r/[dτ] 1/2 ) p-16/23

17 Diffusion en présence de B La vitesse de diffusion d un plasma peut être ralentie en incluant un champs magnétique C est le principe exploité pour la fusion par confinement magnétique On se place encore dans l approximation d un plasma faiblement ionisé Comme B ne modifie pas le mouvement des particules chargées dans le sens du champ on a alors pour chaque espèce Γ z = ±ne z D n (42) z Sans collisions, les particules ne diffusent pas perpendiculairement au champ, elles continuent leur mouvement cyclotron perpendiculaire aux lignes de champs Pour un cylindre parfaitement symmétrique, les gradients sont tous dans la direction radiale et il n y a pas de diffusion vers les murs Les collisions permettent aux particules chargées de diffuser de manière perpendiculaire au champ B p-17/23

18 Diffusion en présence de B II Cela se produit comme pour une marche aléatoire où une collision avec un neutre entraine la diffusion vers des densités plus faibles Le rayon de Larmor r L est maintenant la longueur caractéristique de cette marche au hasard ( à la place de la fréquence de collision pour le cas où ) La diffusion perpendiculaire à B peut donc être ralentie en réduisant le rayon de Larmor r L c est à dire en augmentant B L équation fluide pour la composante perpendiculaire à B pour chacune des espèces est mn dv = ±en(e + v B) k B T n mnνv (43) dt En considérant que ν est suffisament large pour que dv /dt = 0, les composantes x et y sont mnνv x = ±ene x k B T n x ± env yb (44) mnνv y = ±ene y k B T n y env xb (45) p-18/23

19 Diffusion en présence de B III En utilisant les définitions pour µ et D on obtient v x = ±µe x D n n x ± ω c ν v y (46) v y = ±µe y D n n y ω c ν v x (47) avec ω c = qb/m la fréquence cyclotron En substituant on obtient v y (1 + ω 2 c τ 2 ) = ±µe y D n avec τ = ν 1. Pour v y on a alors v x (1 + ω 2 c τ 2 ) = ±µe x D n n x + ω2 c τ 2 E x B ± ω2 c τ 2 k BT 1 n eb n x (48) n x + ω2 c τ 2 E y B ω2 c τ 2 k BT 1 n eb n y (49) p-19/23

20 Diffusion en présence de B IV La composante perpendiculaire peut donc se mettre sous la forme où nous avons posé v = ±µ E D n n + v E + v D 1 + (ν 2 /ω 2 c ) (50) v Ex = E y B v Dx = k BT 1 n eb n y µ = v Ey = E x B v Dy = ± k BT 1 n eb n x (51) (52) µ D 1 + ωc 2 τ 2 D = 1 + ωc 2 τ 2 (53) La composante perpendiculaire de la vitesse de chacune des espéces est composée de deux parties La dérive perpendiculaire au gradient de densité et potentiel v E et v D. Cette dérive est ralentie par les collisions avec les neutres La dérive parallèle aux gradients de potentiel et densité due à la mobilité et la diffusion. La forme est la même que lorsque mais les coefficients µ et D sont réduits par le facteur 1 + ω 2 c τ 2 p-20/23

21 Diffusion en présence de B IV Le produit ω c τ 2 est important pour le confinement magnétique Pour ω 2 c τ 2 << 1, le champ magnétique n a pas d effet sur la diffusion Pour ω 2 c τ 2 >> 1, le champ magnétique retarde fortement la diffusion perpendiculaire à B D = D ω 2 τ 2 D 1 + ωc 2 τ 2 (54) k BT 1 mν ω 2 τ 2 (55) = k BT ν mω 2 c = k BT ν mω 2 c (56) En comparant avec l expression obtenue sans champ magnétique D = k B T/mν, on remarque que le rôle des collisions est inversé Pour une diffusion parallèle à B, D est proportionnel à ν 1 car les collisions retardent les déplacements p-21/23

22 Diffusion en présence de B V Pour une diffusion perpendiculaire à B, D est proportionnel à ν car les collisions sont nécéssaires pour changer de ligne de champs Le rôle de m est également inversé. Pour une diffusion parallèle au champs, les électrons diffusent plus vite à cause de leur vitesse thermal plus élevé. Pour la diffusion perpendiculaire au champs, les électrons diffusent plus lentement car leur rayon de Larmor est plus faible que les ions En négligeant les facteurs de l ordre de l unité on peut écrire D = k BT mν v2 thτ λ 2 (57) où nous avons utilisé vτ = λ m /. La diffusion est une marche au hasard avec un pas λ m En utilisant ω c τ λ m /r L, on trouve pour la diffusion perpendiculaire à B D = k BT ν mω 2 c v 2 th rl 2 vth 2 ν r2 L τ (58) p-22/23

23 Diffusion ambipolaire en présence de B Les coefficients de diffusion et de mobilité sont anisotropiques dans le cas où L analogie avec la diffusion en l absence de B et Γ e << Γ i, suggère qu un champs électrique se développe pour ralentir les ions et accélérer les électrons pour la diffusion perpendiculaire au champ La charge négative due à Γ e << Γ i, peut par contre être dissipée le long du champs Bien que la diffusion doit être ambipolaire dans son ensemble elle ne doit pas nécessairement l être pour chacune des composantes. Les ions tendent à diffuser principalement perpendiculaire au champs alors que les électrons le long du champs La géométrie de l expérience détermine si la diffusion ambipolaire perpendiculaire au champs se produit où si elle est court-circuité par la diffusion le long du champs. Il n y a pas de réponse simple pour la diffusion en présence d un champs magnétique, il faut résoudre les équations de continuité pour les électrons et les ions de manière simultanée p-23/23

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