Comment résoudre numériquement un système linéaire de rang n ou tout sur le pivot de Gauss

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1 Comment résoudre numériquement un système linéaire de rang n ou tout sur le pivot de Gauss Compétences visées : - Comprendre l implémentation de la méthode du pivot de Gauss. - Etudier la mise en œuvre et les problèmes que pose cette démarche. - Connaître l impact de la taille des matrices sur la complexité de l algorithme et son impact sur le temps de calcul. I. Problématique & travail préliminaire a. Contexte On souhaite résoudre le système (S) d équations linéaires suivant : 0. x + 1. y 1. z = 7. x + 1. y + 4. z = 5 b. Formalisation du problème Les coefficients multipliant les inconnues sont regroupés dans un tableau noté A (à 3 lignes et 3 colonnes) et les coefficients situés dans le second membre sont notés dans un tableau B (une colonne de 3 coefficients). Ces tableaux sont appelés matrices : c. Algorithme de résolution de Gauss (vu en cours de maths) On considère un système (S) à n équations et n inconnues, dont la matrice des coefficients s'écrit : a 99 a 9; a ;9 a ;; On suppose, de plus, que le système (S) admet un unique n-uple solution. Etape 1 : Il existe un coefficient a => 9 0 (ce coefficient est appelé pivot) : en échangeant la première ligne avec la ligne numéro i A (L 9 L => ), on place le pivot en première position de la première ligne. Etape 2 : Si l on note (S A ) le système obtenu (et a =E ses coefficients), qui est équivalent à (S), il s agit d «éliminer» x 9 des n 1 dernières équations. Pour cela, on effectue, pour tout entier i compris entre 2 et n les opérations élémentaires : L = L = ag =9 a G 99 5 L 9

2 Etape 3 : Les n 1 dernières lignes du système (S) ainsi obtenu ne comportent plus l inconnue x 9 : on applique à ces n 1 lignes la même méthode que précédemment pour «éliminer» x H des n 2 dernières lignes. On réitère cette procédure jusqu à obtenir un système triangulaire Etape 4 : on résout ce système triangulaire d. Application à notre exemple Première itération : Système (S) de départ : 0. x + 1. y 1. z = 7. x + 1. y + 4. z = Etape 1 : a 99 = 0, a H9 0 donc a H9 est le pivot, on échange L 9 et L H 0. x + 1. y 1. z = 7. x + 1. y + 4. z = Etape 2 : on élimine x des 2 dernières équations : L G H L G H 0. L G 9 et L G J L G J ( 7) L G 9 S = 0. x + 1. y 1. z = 0. x y z = On réitère sur (S) : Etape 1 : a HH = 1 est le pivot Etape 2 : on élimine y de la dernière équation L J L J 22 L H 0. x + 1. y 1. z = 0. x + 0. y z = 280 Notre système est équivalent à : Alors La solution est donc : 0. x + 1. y 1. z = 0. x + 0. y z = x = 4 y = 5 z =

3 II. Mise en œuvre NB : on prendra soin, à chaque étape, de tester les fonctions. a. Etape 1 - Recherche un pivot non nul Ecrire la fonction recherche_pivot(matrice,indice_colonne) : qui renvoie l indice du premier pivot (coefficient non nul) présent dans la colonne indice_colonne de la matrice matrice, en partant de la ligne indice_colonne. b. Etape 2 - Echange de deux lignes d une matrice Ecrire la fonction echange_deux_lignes(matrice,indice_1,indice_2) : qui échange les deux lignes de la matrice d indices indice_1 et indice_2. c. Etape 3 - Ajout à une ligne du produit d une ligne par un coefficient Ecrire la fonction somme_ponderee_deux_lignes( matrice,indice_1, indice_2,poids): qui remplace la ligne d indice indice_2 par la somme de la ligne d indice indice_2 avec le produit de la ligne d indice indice_1 et de la pondération poids. d. Etape 4 - «Triangularisation» du système Ecrire une fonction triangularisation(a,b) : qui fait subir la méthode du pivot de Gauss au système défini par la matrice carrée A et la matrice-colonne B. e. Etape 5 - Résolution d un système triangulaire à coefficients diagonaux non nuls La fonction resolution_systeme_triangulaire(matrice_triangulaire, matrice_second_membre): qui résout le système défini par la matrice matrice_triangulaire et le second membre matrice_second_membre. NB : Ici, matrice_triangulaire est supposée triangulaire à coefficient diagonaux non nuls. f. Etape 6 - Synthèse Ecrire une fonction resolution_gauss(a,b): qui résout le système défini par la matrice carrée A et la matrice-colonne B.

4 III. Problème de cette méthode Appliquer ce qui précède pour résoudre le système suivant : 1. x M99. y z = 1 1. x + ( M99 ). y + z = 5 2. x + 10 N. y + z = 1 Que remarque-t-on? IV. Impact de la taille de la matrice sur le temps de calcul En utilisant la fonction time() du module time, déterminer le temps de calcul qui permet à votre programme de résoudre un système linéaire n n. On choisira la matrice carrée à n lignes et n colonnes contenant des 1 partout, sauf sur la diagonale, sur laquelle figurent des "0". Tracer le graphe du temps de calcul en fonction de la dimension de la matrice.

5 ANNEXE : LES MATRICES ET PYTHON Il existe principalement deux manières de gérer les matrices dans python en utilisant le module numpy ou en utilisant des listes de liste. Nous préférerons l utilisation de la bibliothèque numpy qui fournit les opérations sur les matrices : produit, somme, déterminant etc (En cas d utilisation des listes de liste, toutes ses opérations sont à redéfinir.) Utiliser le module numpy Le module additionnel nommé numpy permettant de créer et d'effectuer des opérations sur les matrices. Pour utiliser ce module il faut dans l entête de votre programme saisir au choix : - from numpy import * : toutes les fonctions de la bibliothèque numpy deviennent directement accessible sans avoir à rappeler leur appartenance à la bibliothèque from numpy import * t = linspace(0, 3.5, 100) y = sin(t) - import numpy as np : toutes les fonctions deviennent accessible en rappelant leur appartenance à la bibliothèque numpy avec l alias np import numpy as np t = np.linspace(0, 3.5, 100) y = np.sin(t) La première solution, que nous adopterons pour la suite, permet d avoir un code plus compacte mais peut induire des erreurs, notamment si une même fonction est présente dans deux bibliothèques différentes (comme sin() présente dans la bibliothèque math et numpy) Création d une matrice : Créer une matrice pleine de zéro : M0 = zeros( (4,2) ) # matrice pleine de 0 de 4 lignes et 2 colonnes Créer une matrice pleine de un : M1 = ones( (2,3) ) # matrice pleine de 1 de 2 lignes et 3 colonnes Créer une matrice dont seules les termes diagonaux sont non nulles et égaux à un M2 = eyes( (2,3) ) # matrice M2 = Créer la matrice M4 = : M4 = array([( 1.1, 1.2, 1.3), ( 2.1, 2.2, 2.3 ), ( 2.4, 2.5, 2.6 )] ou à partir de listes de liste : M4 = array([[ 1.1, 1.2, 1.3 ], [ 2.1, 2.2, 2.3 ], [ 2.4, 2.5, 2.6 ]]

6 Opérations sur les matrices : Soient deux matrices Multiplier les matrices A et B : C = dot(a,b) # affecte à C la matrice :! l opérateurs * entre deux matrices réalise le produit terme à terme! Transposée d une matrice M : M.transpose() Matrice inverse de M : linalg.inv(m)