La réponse d un système linéaire en questions

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1 La réponse d un sysème linéaire en quesions Version juille 00

2 Quesions La réponse d un sysème linéaire en quesions _1_ Un sysème es caracérisé par la ransmiance : jω) = 3 + 5jω quelle es l équaion différenielle lian e() e s()? quelle es sa réponse à un signal sinusoïdal e() = sin(10)? Un sysème a pour ransmiance de Laplace : = 10 3p Eablir l expression de sa réponse à un échelon d ampliude 10, racer cee réponse, donner le emps de réponse à 5% e racer le diagramme de Bode de jω). _3_ Eudier la sabilié des sysèmes suivans : T1( = 1 + 3p T 4( = p p 6 1p T ( = 5 p T 5( = 1 p+ p+ T 3( = 10 p( p+ 1)( p )

3 La réponse d un sysème linéaire en quesions _4_ On réalise le monage suivan : donner l expression de sa ransmiance H( calculer les valeurs iniiales e finales de s() lorsqu on applique à l enrée un échelon e() d ampliude 1V calculer l expression de la réponse indicielle s() e racer cee réponse racer le diagramme de Bode de H(jω) _5_ Soi le sysème don la ransmiance s écri : T ( = 6 ( p+ )( p + 16p + 65) calculer les pôles e en déduire le ou les pôles dominans donner avec le minimum de calculs l allure de la réponse indicielle e le emps de réponse à 5%

4 La réponse d un sysème linéaire en quesions _6_ On éudie un sysème don la ransmiance s écri : = p+ p donner l allure de sa réponse indicielle évaluer le emps de réponse à 5% donner l ampliude du dépassemen évenuel dessiner l allure du diagramme de Bode _7_ L enregisremen de la réponse d un sysème à un échelon unié a donné le résula suivan : Trouver l expression de la ransmiance. _8_ Un sysème du deuxième ordre présene sur sa courbe de gain un pic de 34dB à 55Hz e un gain de 0dB aux rès basses fréquences. Déerminer l expression de la ransmiance complexe du sysème.

5 La réponse d un sysème linéaire en quesions _9_ L enregisremen de la réponse indicielle d un sysème a donné le résula suivan : Déerminer : le dépassemen d = l amorissemen m = la pseudo pulsaion ω p = la pulsaion propre ω 0 = l expression de la ransmiance _10_ Un sysème passe-bas a deux pôles p 1 = -1,5 e p = Quelle es sa ransmiance? Lequel de ces deux pôles peu-on déduire de l enregisremen de sa réponse indicielle? _11_ Un sysème linéaire a une ransmiance de 1 en coninu e le diagramme des pôles ci-dessous : donner l expression de sa ransmiance calculer e racer sa réponse indicielle, en précisan l influence du pôle 10 racer l allure de son diagramme de Bode

6 La réponse d un sysème linéaire en quesions Réponses _1_ s() + 5s () = 3e() s()=0,1sin(10-1,53) s() = 10(1 e -/τ ) monée exponenielle avec une consane de emps de τ=3s emps de réponse à 5% = 3τ=9s filre passe bas du premier ordre coupan à 0,053 Hz _3_ on calcule les pôles, le sysème es sable si ous les pôles son à parie réelle négaive : seuls T1e T5 le son _4_ la ransmiance s écri : + τp H = τp ( avec τ = RC = 0,01s s(0)=-v e s( )=-1V (héorème de la val iniiale e finale) s() = -1(1 + e -/τ ) diagramme de Bode démarre à 0dB, cassure vers le hau à 1000 rad/s, cassure vers le bas à 000 rad/s _5_ 3 pôles à, à 8+j e à 8-j le pôle dominan es à le sysème se compore donc comme un premier ordre de ransmiance : 0, = 0,5p c es un premier ordre avec une consane de emps de τ=0,5s soi un emps de réponse de 1,5s _6_ pulsaion propre = 10 rad/s amorissemen m = 1 pas de dépassemen dans la réponse indicielle emps de réponse à 5% = 0,47s donné par l abaque _7_ un dépassemen d=10% correspond à un amorissemen m=0,6 la pseudo-période de 0,785s perme de calculer la pulsaion propre : soi = 0,1p+ 0,001p p ω = ω 1 m 0 10rad / s _8_ en BF To=0dB=10 le pic es élevé, ce qui correspond à un m faible le pic es praiquemen à la fréquence propre soi fo=5 Hz e ωo=157 rad/s Tmax = To/m = 34dB = 50 d où m = 0,1 on en dédui la ransmiance = 10 1, p p _9_ d = 0,36 soi m=0,3 la pseudo-période vau Tp=0,65s soi ω o 10 rad/s d où l expression de la ransmiance = 1 0,06p+ 0,01p _10_ le sysème a deux pôles e une ransmiance en coninu de 1, soi : ( = 965 ( p+ 1,5)( p+ 770) T le pôle dominan 1,5 correspond à une consane de emps de 0,08s _11_ s() = 1 1,11.e - + 0,11.e -10 le diagramme de Bode démarre à 0dB e a deux cassures à 1 e à 10 rad/s 10 ( p+ 1)( p+ 10) la ransmiance s écri : T ( = la réponse es quasi exponenielle avec τ 1s

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