Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3

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1 Tests Chapitre Table des matières 1 Pricipe d u test 1 11 Défiitios 1 Méthode géérale 3 Test de coformité à u paramètre 3 1 Test de coformité à ue moyee 3 Test de coformité à ue proportio 4 3 Test d homogééité faible etre deux paramètres 4 31 Test de comparaiso etre deux moyees 4 3 Test de comparaiso etre deux proportios 5 4 Test d adéquatio à ue loi 5 41 Cas particulier d ue variable aléatoire preat u ombre fii de valeurs 5 4 Extesio aux variables aléatoires cotiues ou à valeurs das u esemble déombrable 6 1 Pricipe d u test But : accepter ou refuser, au vue d u échatillo, ue hypothèse faite sur u ou plusieurs paramètres (icous) Par exemple : Ue usie fabrique des pièces cylidriques et précise que leur diamètre moye est de 5mm Pour vérifier si la fabricatio est bie coforme, o prélève au hasard 100 pièces de la productio et o costate que la moyee de leurs diamètres est de 51mm O souhaite savoir si, au vue de cet échatillo, il est raisoable de peser que l usie fabrique effectivemet des pièces dot le diamètre, e moyee, est bie de 5mm Afi de tester ue solutio toxique, o fait des ijectios à u groupe de 80 souris O admet que l ijectio est mortelle das 90% des cas Sur les 80 souris, 7 ot survécu Est-il raisoable de peser que la solutio toxique est bie mortelle das 90% des cas? Plus formellemet, u test est ue procédure permettat de rejeter ou o ue hypothèse avec u certai risque d erreur L hypothèse e questio est dite ulle et est otée H 0 Elle est testée cotre ue secode hypothèse dite alterative otée H 1 Le choix de l hypothèse alterative déped de ce qu o cherche à savoir Das le cas des pièces cylidriques, o a H 0 ="le diamètre moye est 5mm" Pour l hypothèse alterative, o peut predre H 1 ="la diamètre moye est différet de 5mm" Das le cas des souris, o a H 0 ="la solutio est mortelle das 90 des cas" Pour l hypothèse alterative, o peut predre H 1 ="la solutio est mortelle das mois de 90% des cas" Remarque 1 L hypothèse H 1 est souvet la égatio de H 0 mais pas écessairemet : u a priori peut coduire à u esemble d alteratives plus réduit E pratique, l hypothèse ulle est souvet ue égalité etre deux quatités d u modèle 1

2 Lorsque l hypothèse alterative postule ue différece de ces quatités, o parle de test bilatéral Lorsque l hypothèse alterative postule ue iégalité etre les quatités, o parle de test uilatéral 11 Défiitios Défiitio 1 O appelle : 1 risque (ou erreur) de première espèce α la probabilité de rejeter, au vue de l échatillo, l hypothèse alors qu elle est vraie ; risque (ou erreur) de secode espèce β la probabilité d accepter, au vue de l échatillo, l hypothèse alors qu elle est fausse ; O a doc le tableau suivat : H 0 vraie H 0 fausse H 0 acceptée 1 α β H 0 refusée α 1 β Table 1 Risques de première et secode espèce Remarque α = 1% 1 E pratique, le risque α est fixé par celui qui effectue le test O pred e gééral α = 5% ou Le risque de secode espèce β déped de la réalité et de l hypothèse alterative 3 Le ombre 1 β s appelle la puissace du test Cette derière est d autat plus grade que la probabilité de rejeter l hypothèse, alors qu elle est effectivemet fausse, est grade 4 L itérêt d u test est davatage de rejeter ue hypothèse que le cotraire (c est pour cette raiso que l o défiit la puissace du test e foctio de β et o e foctio de α) E fait, "accepter ue hypothèse" au ses de la statistique e sigifie pas que l o cofirme que l hypothèse est vraie mais qu o "e peut pas la rejeter au vue de l échatillo" Défiitio Soit α [0, 1 et x 1,, x u échatillo de valeurs issues de X 1,, X Désigos par Z = φ(x 1,, X ) ue statistique (dite discrimiate) et posos z = φ(x 1,, x ) O appelle : 1 zoe de rejet (au critère z) au risque α tout sous-esemble R α (x 1,, x ) R tel que, sous l hypothèse H 0, o a P ( Z R α (X 1,, X ) ) = α; zoe d acceptatio (au critère z), le complémetaire de R α (x 1,, x ) Remarque Cotrairemet au test où l aléa e portait que sur l itervalle, deux quatités aléatoires (statistique et itervalle) sot, e gééral, cosidérées pour les tests Règle de décisio : lorsque z appartiet à R α (x 1,, x ), o rejette l hypothèse ulle au risque (de première espèce) α ; sio, o e rejette pas l hypothèse ulle

3 1 Méthode géérale 1 Formulatio des hypothèses ulle H 0 et alterative H 1 ; Choix de la statistique discrimiate Z = φ(x 1,, X ) ; 3 Détermiatio de R α (X 1,, X ) ; 4 Règle de décisio : Calcul de z ; Calcul de la zoe de rejet R α (x 1,, x ) ; Décisio (acceptatio ou rejet) Remarque 1 Le résultat d u test déped du choix de l hypothèse ulle H 0 et de la statistique Z E pratique, le choix de Z est fait de telle sorte que ce derier, aisi que la zoe de rejet, soiet faciles à calculer Test de coformité à u paramètre 1 Test de coformité à ue moyee But : état doée ue variable aléatoire X de moyee µ, o souhaite tester l hypothèse µ = µ 0 au vu d u échatillo de valeurs de X O cosidère u échatillo X 1,, X de variables aléatoires (idépedates) ayat la même loi que X Hypothèse ulle H 0 = µ = µ 0 cotre hypothèse alterative H 1 = µ µ 0, pour u test bilatéral, ou H 1 = µ < µ 0 (resp H 1 = µ > µ 0 ), pour u test uilatéral Statistique discrimiate : Z = X Cas d ue loi ormale µ o coue Ici, o cosidère ue variable aléatoire X suivat ue loi ormale N (µ, σ ) de moyee Test bilatéral soit coue ou o Das le même esprit que pour l estimatio, o evisage divers cas selo que la variace de X Propositio 3 Les zoes de rejet associés à u test bilatéral (symétrique), au risque α, de coformité à ue moyee pour ue loi ormale sot doées par : 1 cas où σ σ est coue : R α (x 1,, x ) =, µ 0 u 1 α/ σ µ 0 + u 1 α/, ; cas où σ S est pas coue : R α (x 1,, x ) =, µ 0 t 1 α/; 1 S 1 µ 0 + t 1 α/; 1 1 [, Remarque 1 Les zoes de rejet ressemblet très fortemet aux itervalles de cofiace associés à l estimatio de la moyee pour ue loi ormale (cela viet du fait que ces deux esembles reposet sur les mêmes égalités e loi) Pour le test, la moyee hypothétique µ 0 apparaît das les itervalles e questio tadis que, pour l estimatio, c est la moyee empirique ˆµ = x qui iterviet Exercice 1 Ue etreprise agroalimetaire produit des yaourts allégés dot la valeur éergétique étiquetée est de 60 kilocalories La répressio des fraudes souhaite vérifier la validité de ce chiffre Elle prélève u échatillo aléatoire de 13 yaourts das la fabricatio O obtiet les résultats suivats : 604, 6, 611, 596, 6, 601, 61, 594, 604, 589, 591, 613 et 611 O suppose que la variable aléatoire X égale à la valeur éergétique, exprimée e Kcal, d u yaourt prélevé au hasard das cette fabricatio, est distribuée selo la loi ormale de moyee µ et d écart-type σ (cou) égal à 1 Au vu de ces résultats, peut-o cosidérer que la valeur éergétique moyee des yaourts de cette fabricatio est égale à 60 Kcal? 3

4 Test uilatéral faço O se limite à l hypothèse alterative H 1 = µ < µ 0, le cas opposé se traitat de la même Propositio 4 Les zoes de rejet associées à u test uilatéral (d hypothèse alterative H 1 = µ < µ 0 ), au risque α, de coformité à ue moyee pour ue loi ormale sot doées par : 1 cas où σ est coue : R α (x 1,, x ) =, µ 0 u 1 α ; cas où σ est pas coue : R α (x 1,, x ) = σ, µ 0 t 1 α; 1 S 1 Gééralisatio à ue loi o ormale Das le même esprit que ci-dessus (mais e appliquat cette fois-ci le théorème cetral limite), o peut, comme pour l estimatio, étedre les résultats précédets à des lois o ormales de variace coue ou o coue Les zoes de rejet obteues sot alors asymptotiques et valables uiquemet lorsque 30 Test de coformité à ue proportio But : état doée ue variable aléatoire X de Beroulli de paramètre p, o souhaite tester l hypothèse p = p 0 au vu d u échatillo de valeurs O cosidère u échatillo X 1,, X de variables aléatoires (idépedates) ayat la même loi que X, avec 30 Hypothèse ulle H 0 = p = p 0 cotre hypothèse alterative H 1 = p p 0, pour u test bilatéral, ou H 1 = p < p 0 (resp H 1 = p > p 0 ), pour u test uilatéral Statistique discrimiate : Z = P Test bilatéral Propositio 5 La zoe de rejet associée à u test bilatéral, au risque α, de coformité à ue proportio est doée p par : R α (x 1,, x ) =, p 0 u 1 α/ 0(1 p 0) p p 0 + u 1 α/ 0(1 p 0), Exercice Ue etreprise fabrique des flacos destiés à coteir ue substace particulière U flaco est dit coforme s il vérifie u esemble de critères défiis par l etreprise O appelle p la proportio de flacos coforme das l esemble de la productio Das u échatillo de 00 flacos, o a trouvé 156 flacos coformes Au vu de cet échatillo, doit-o, au seuil de risque 5%, accepter ou refuser l hypothèse p = 08? Test uilatéral Comme pour la moyee, o se limite à l hypothèse alterative H 1 = p < p 0 Propositio 6 La zoe de rejet associée à u test uilatéral (d hypothèse alterative H 1 = p < p 0 ), au risque α, de coformité à ue proportio est doée par : R α (x 1,, x ) =, p 0 u 1 α 3 Test d homogééité faible etre deux paramètres 31 Test de comparaiso etre deux moyees [ p 0(1 p 0) But : état doées deux variables aléatoires X et X de moyees µ et µ, o veut tester l hypothèse µ = µ au vu d u échatillo de valeurs de X et de valeurs de X O commece par traiter u cas particulier 4

5 Test bilatéral pour deux lois ormales à variace o coue et pour des échatillos de taille 1 et supérieures à 30 Par le théorème cetral limite, o sait que X N (µ, σ ) et que X N (µ, σ ) U tel fait permettra d avoir la loi (asymptotique) de la statistique discrimiate Hypothèse ulle H 0 = µ = µ cotre hypothèse alterative H 1 = µ µ Statistique discrimiate : Z = X X N (µ µ, σ + σ ) ( ) Détermiatio de la zoe de rejet : sous l hypothèse H 0, o a Z N 0, S E particulier, P u 1α/ Z S 1 + S 1 Aisi la zoe de rejet est doée par : R α (x 1,, x ) =, u 1 α/ 1 + S 1 u 1 α/ P ( ) u 1α/ U u 1α/ = 1 α ˆσ 1 + ˆσ ˆσ +u 1 α/ ˆσ 1, Règle de décisio : si z = x x appartiet à la zoe de rejet, o refuse l hypothèse ; sio o l accepte Extesio des résultats O a supposé das le paragraphe précédet que 1 et soiet suffisammet grads (e l occurrece supérieurs à 30) O peut égalemet étedre l étude au cas où 1 et e sot pas écessairemet grads e faisat iterveir, cette fois-ci, des lois de Studet Comme das la sectio précédete, o peut égalemet evisager divers cas selo que la (ou les les) loi(s) de X et X soi(e)t ormale(s) ou o, de variace(s) coue(s) ou o et que le test soit bilatéral ou uilatéral 3 Test de comparaiso etre deux proportios But : état doées deux proportios p et p, o veut tester l hypothèse p = p au vu d u échatillo de valeurs de X et de valeurs de X E procédat comme das le paragraphe précédet, o peut détermier la zoe de rejet (pour u test bilatéral ou uilatéral) O tiet cette fois-ci compte du fait que σ = σ = p(1 p) sous l hypothèse H 0 Pour avoir ue estimatio de ˆp, o peut predre ˆp = f + f +, où f et f sot les estimatios classiques de p et p 4 Test d adéquatio à ue loi 41 Cas particulier d ue variable aléatoire preat u ombre fii de valeurs But : état doée ue variable aléatoire X preat u ombre fii de valeurs, otées y 1,, y k, o veut tester l hypothèse H 0 : p 1 = P ( X = y 1 ),, p k = P ( X = y k ) au vu d u échatillo de taille 50 O désige par x 1,, x u échatillo de valeurs issues de X 1,, X Pour tout i k, o pose N i = ombre de valeurs de l échatillo égales à y i et o rappelle que (sous l hypothèse H 0 ), o pose égalemet p i = P ( X = y i ) Statistique discrimiate : Z = k i=1 (N i p i ) p i 5

6 Propositio 7 Avec les otatios précédetes, pour suffisammet grad, o a : Z = χ (k 1) E d autres termes, la zoe de rejet au risque α est égal à R α (x 1,, x ) = q 1 α;k 1, [, où q 1 α;k 1 est le quatile d ordre α de la loi du chi-deux à k 1 degrés de liberté Méthode Hypothèse ulle H 0 : (p 1,, p k ) = (P ( X = y 1 ),, P ( X = y k )) ; hypothèse alterative H 1 : (p 1,, p k ) (P ( X = y 1 ),, P ( X = y k )) Calculer z = k ( i p i) i=1 p i au vu de l échatillo Si z > q α;k 1, rejeter l hypothèse ; sio l accepter Exercice 3 O jette 100 fois u dé à six faces et o obtiet le résultat suivat : Face i Effectif i Peut-o cosidérer, au risque de 5%, qu il s agit d u dé o pipé? 4 Extesio aux variables aléatoires cotiues ou à valeurs das u esemble déombrable But : état doée ue variable aléatoire X cotiue (par ex : la loi ormale) ou à valeurs das u esemble déombrable (par ex : loi de Poisso) et possédat u ombre fii de paramètres (par ex : la loi ormale a deux paramètres, la loi de Poisso e a ue seule), o veut tester l hypothèse H 0 = X suit la loi F au vu d u échatillo de taille 50 O désige par x 1,, x u échatillo de valeurs issues de X 1,, X Pour se rameer au cas précédet, l idée est de partager l esemble des valeurs x 1,, x e k classes, otées C 1,, C k Pour tout i k, o pose N i = ombre de valeurs de l échatillo das la classe C i et, sous l hypothèse H 0, o pose égalemet p i = P ( X C i ) O suppose de plus que l effectif hypothétique est tel que p i 5 Statistique discrimiate : Z = k i=1 (N i p i ) p i Propositio 8 Avec les otatios précédetes, pour suffisammet grad, o a : Z = χ (k r 1), où r est le ombre de paramètres icous de X Remarque Par paramètres icous, o eted le ombre de paramètres de la loi de X qu o e coaît pas et qu o doit estimer Par exemple, si l o suppose que X suive ue loi ormale de paramètres icous µ et σ et que l o veut savoir si X suit bie ue loi ormale, o pred r = Si l o suppose que X suive ue loi de Poisso de paramètre icou λ et que l o veut savoir si X suit bie ue loi de Poisso, o pred r = 1 E d autres termes, la zoe de rejet au risque α est égal à R α (x 1,, x ) = q α;k r 1, [ Exercice 4 Grâce à u programme ordiateur, o simule 500 valeurs prises par ue variable aléatoire X suivat ue loi ormale de moyee 109 et d écart-type 05 Les valeurs obteues sot doées das la table Peut-o cosidérer, au risque de 5% puis de 1%, que le programme est correct? Remarque Le test de cette sectio s appelle le test du chi-deux e raiso de la ature de la loi limite 6

7 Classe Effectif [1078, [108, [1086, [1090, [1094, [1098, Table Doées des 500 valeurs prises par la variable aléatoire La méthode das le cas gééral suit les mêmes étapes que pour les variables aléatoires preat u ombre fii de valeurs Si, das ue classe C i, o obtiet p i 5 (où p i est la valeur hypothétique, théorique, testée), il faut élargir les classes Le choix des classes est, e pratique, délicat Le meilleur choix, e gééral, est de les choisir de faço à ce que les p i = P ( X C i ), sous H 0, aiet à peu près la même valeur O peut costruire u autre test, plus efficace mais plus délicat, pour des variables aléatoires cotiues O peut égalemet costruire, à partir d ue adaptatio du test du chi-deux, u test d homogééité fort (ou test d idépedace) etre deux variables aléatoires Il s agit de savoir si deux variables aléatoires X et X sot idépedates L idée sous-jacete est de cosidérer des couples de variables aléatoires et de tester si la loi de (X, X ) est la même que celle d u couple de variables aléatoires idépedates dot les lois sot idetiques à celles de X et X L essetiel Formuler les hypothèses ulle et alterative Calculer des zoes de rejet et préciser la règle de décisio Décider s il faut rejeter ou o l hypothèse ulle 7

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