1 Généralités sur les tests d hypothèse

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année niversitaire L2 Économie Cors de B. Desgrapes Méthodes Statistiqes Séance 05: Introdction ax tests d hypothèses Table des matières 1 Généralités sr les tests d hypothèse Hypothèses d n test Risqes d errer Région de rejet Région d acceptation Notion de p-valer Types de tests Choix des tests Généralités sr les tests d hypothèse La plpart des problèmes de statistiqe sont des problèmes de décision o de choix. On dispose d n modèle statistiqe dans leqel les variables sivent des lois de probabilité. Ce modèle est en général n modèle d échantillonnage car on travaille sr n échantillon pltôt qe sr la poplation entière. Le choix (o la décision), dans le cas des tests d hypothèses, consiste à déterminer, parmi dex éventalités, laqelle est la bonne. On formle ne éventalité et on cherche à décider s il fat l accepter o la rejeter. C est n problème de prise de décision et il fat donc disposer d ne règle de décision. Les lois de probabilités d modèle statistiqe ne sont pas forcément connes. On distinge donc dex sitations : 1. si on (sppose q on) connaît les lois sivies par l échantillon extrait de la poplation, on dit q on a affaire à des tests paramétriqes. Cela provient d fait qe les lois sont sovent définies en fonctions de paramètres (comme par exemple le m et le σ d ne loi normale N (m, σ) o le λ d ne loi exponentielle) et qe la formlation d test porte sr n de ces paramètres. 2. si on ne connaît pas les lois de l échantillon, on parle de test non-paramétriqe. La procédre d test ne repose alors pas sr des propriétés de lois de probabilité. 1

2 1.1 Hypothèses d n test Afin de povoir décider entre plsiers hypothèses possibles, on met en avant ne hypothèse particlière qe l on appelle l hypothèse nlle (notée H 0 ). On formle assi ne hypothèse alternative qi est notée H 1. Sovent l hypothèse H 1 est le contraire de l hypothèse H 0 mais ce n est pas nécessairement le cas. Il arrive qe l hypothèse H 1 soit pls restrictive. Par exemple, si l hypothèse H 0 est l hypothèse H 1 porrait être H 0 : a = b H 1 : a b H 1 : a < b H 1 : a > b Dans le premier cas, on parle de test bilatéral et dans les dex atres cas de test nilatéral. Le fait qe les hypothèses H 0 et H 1 ne sont pas l opposé l ne de l atre pet sembler srprenant mais il fat bien comprendre dex choses : 1. le choix fait par le test est basé sr l hypothèse H 0 : il consiste à décider s il fat rejeter o accepter H 0 et non pas à choisir entre H 0 et H l hypothèse H 1 sert à formler la règle de décision d test. Le résltat d n test est rejeter H 0 o bien ne pas rejeter H 0. On ne conclt jamais par rejeter H 1 et encore moins par accepter H 1. Exemple Le montant moyen des achats par client dans totes les sccrsales d ne enseigne commerciale sont de 50 e avec n écart-type de 5 e. Afin de vérifier les performances d n point de vente, le directer prélève n échantillon des achats effectés par 20 consommaters. Les résltats observés sont les sivants : Les résltats fornis par cet échantillon sont-ils conformes ax valers globales? On sppose qe les achats sivent ne loi normale N (50, 5). On calcle facilement qe X 20 = Cette moyenne étant infériere à la moyenne nationale, le directer d point de vente s inqiète de savoir si il y a effectivement ne différence. Il s agit de tester si la moyenne estimée par la moyenne empiriqe X 20 fornie par l échantillon est significativement différente de 50. Les hypothèses d n tel test sont : H 0 : m = 50 H 1 : m < 50 2

3 On a choisi ici ne hypothèse H 1 nilatérale car on sopçonne qe les résltats sont infériers à la valer attende. On reprendra cet exemple pls loin. 1.2 Risqes d errer On dispose en général d ne information insffisante pisq on a des informations sr n échantillon selement et non pas sr tote la poplation. La prise de décision encort donc n doble risqe d errer: on pet décider qe H 0 est fasse alors q elle est vraie. C est le risqe de première espèce, noté α (l alpha). on pet décider qe H 0 est vraie alors q elle est fasse. C est le risqe de dexième espèce, noté β (l beta). Le risqe α intéresse l tilisater d test : por li, H 0 est rejetée o pas a risqe α. Le risqe α est le risqe de rejeter à tort. Il est corant de fixer α = 0.05 o α = Le risqe β intéresse le concepter d test : c est le risqe d accepter à tort. Par conséqent, por li, 1 β représente la pissance d test pisqe c est le risqe d accepter à jste titre. Le tablea sivant résme la sitation : Décision\H 0 Vraie Fasse Accepter Décision correcte Errer de 2ème espèce Rejeter Errer de 1ère espèce Décision correcte En termes de probabilité, cela donne : Remarqes : Décision\H 0 Vraie Fasse Accepter 1 α β Rejeter α 1 β 1. les procédres de tests fixent ne limite spériere a risqe de première espèce. On prend sovent la valer 5% (significatif) o 1% (très significatif). Cette valer (assi appelée seil) représente le nivea de signification d test. 2. on sohaite minimiser à la fois les risqes α et β mais, por n échantillon donné, ne dimintion d risqe α condit à ne agmentation d risqe β. 3. l errer de seconde espèce dimine si la taille de l échantillon agmente. 4. n test nilatéral est pls pissant q n test bilatéral. 3

4 1.3 Région de rejet Les tests procèdent tos schématiqement de la même manière : on dispose d ne variable de décision X qi sit, lorsqe l hypothèse H 0 est vraie, ne loi théoriqe P. La région de rejet est l ensemble des valers de la variable de décision qi sont improbables lorsqe H 0 est vraie. Ce sont des valers tellement extrêmes q elles condiraient à rejeter cette hypothèse. Mais, si H 0 était vraie, ce serait n rejet à tort. Or jstement c est la probabilité qe mesre le risqe α. Par conséqent, le seil α définit la taille de la région de rejet. C est ne région sitée sos la corbe de la distribtion d échantillonnage et dont la srface vat α. Cette région pet prendre dex formes différentes : si on fait n test nilatéral, elle est entièrement à ne extrêmité de la distribtion de probabilité ; si on fait n test bilatéral, elle est en dex morceax de srface α/2 à chaqe extrêmité de la distribtion. Voici dex illstrations graphiqes dans le cas où la variable de décision X sit ne loi normale centrée rédite N (0, 1). Région de rejet (cas nilatéral) α =

5 Région de rejet (cas bilatéral) α 2 = α 2 = Dans le cas d n test nilatéral, la limite de la région de rejet est le qantile tel qe P (X ) = 0, 05 Par exemple, por ne distribtion normale, on trove = 1, 64. Si le test était nilatéral de l atre côté, on arait = +1, 64. Dans le cas d n test bilatéral (et d ne distribtion normale), les limites de la région de rejet sont les qantiles et tels qe P ( X ) = 0, 05 On trove, por ne distribtion normale, = 1, Région d acceptation La région d acceptation est le complémentaire de la région de rejet. C est l ensemble des valers observées de la variable de décision por lesqelles l hypothèse H 0 est acceptable. La règle de décision des tests consiste à regarder si la valer de la variable de décision se trove dans la région d acceptation o dans la région de rejet. Exemple Reprenons l exemple des montants des achats par client. 5

6 On a v dans la séance sr l échantillonnage, qe la variable X, lorsq elle est isse d ne poplation ( normale avec moyenne m et variance σ 2 connes, sit σ ne loi normale N m, ). n n ( X m) Posons Z =. σ Sos l hypothèse H 0, la moyenne m vat 50. On calcle Z = = Cette valer est en dessos d qantile = 1.64 et se trove donc dans la région de rejet. On doit donc rejeter l hypothèse H 0 a risqe 5% de se tromper. L échantillon indiqe des résltats significativement infériers à la valer moyenne m = 50. Test sr les achats moyens t = t 1.5 Notion de p-valer Les logiciels de calcl statistiqe expriment sovent le résltat d n test en fornissant ne grander appelée p-valer (en anglais p-vale). La p-valer est le nivea de signification réel d test por l échantillon donné. Prenons l exemple d n test nilatéral à gache. Si t est la valer calclée de la variable de décision, la p-valer est la probabilité qe X soit infériere à la valer t calclée : p-vale = P (X t) Cela correspond à la zone hachrée sr le graphiqe sivant. 6

7 p valer: cas de rejet p valer < α t p valer: cas d acceptation p valer > α t Dans le cas d n test nilatéral à droite, la p-valer est la probabilité qe X soit spériere à la valer t calclée : p-vale = P (X t) Dans le cas d n test bilatéral à droite, la p-valer est : p-vale = P ( X t ) 7

8 Exprimée en termes de srfaces, la règle de décision consiste à rejeter l hypothèse H 0 dès qe la p-valer est infériere a risqe α choisi, c est-à-dire dès qe le nivea de signification réel est inférier a seil (qi est le nivea de signification nominal). Exemple Dans le cas de l exemple étdié, on calcle la p-valer facilement a moyen d ne table de la loi normale o d n logiciel statistiqe. On trove : P (Z < ) = Pisqe < 0.05, on rejette l hypothèse H 0. Voici, à titre d exemple, la sortie d logiciel statistiqe R ( correspondant a test précédent (coramment appelé n test z ) : One-sample z-test data: achats z = , p-vale = alternative hypothesis: tre mean is less than percent confidence interval: NA sample estimates: mean of x Types de tests Dans les séances qi sivent, nos étdierons trois catégories de tests d hypothèse : 1. les tests de conformité sont des tests à 1 échantillon dans lesqels on compare la valer d n paramètre avec ne valer théoriqe. 2. les tests de comparaison sont des tests qi comparent la valer d n paramètre entre 2 échantillons. 3. les tests d adéqation (appelés assi tests d ajstement) cherchent à vérifier si la distribtion d n échantillon est conforme à ne loi de probabilité donnée. On les appelle tests d homogénéïté lorsq on compare la distribtion de dex échantillons entre ex. 1.7 Choix des tests Tos les tests possèdent des conditions d application. Il est indispensable de vérifier qe les conditions sont bien remplies por qe le test soit valide. Cellesci dépendent d contexte, de connaissances préalables concernant les données statistiqes étdiées, de la taille des échantillons, etc. 8

9 Por n même problème, il pet exister plsiers tests et il fat choisir leqel o lesqels sont appropriés. Les tests paramétriqes sont en général pls pissants qe les tests non paramétriqes mais ils comportent des contraintes très précises q il n est pas tojors facile de vérifier (comme la normalité d ne poplation), srtot si les échantillons sont de taille rédite. Si la distribtion de la poplation n est pas conne, il fat avoir recors à n test non paramétriqe. Por résmer : Si la p-valer, c est-à-dire la probabilité associée à la valer observée de X (o à ne valer encore pls extrême) est infériere o égale a seil α, on rejette H 0. Remarqe : En cas de rejet, on conclt le test en disant on rejette l hypothèse H 0 a risqe α de se tromper. En revanche, qand on accepte l hypothèse H 0, il ne fat jamais dire qe c est avec n risqe d errer α. Le risqe α est le risqe de rejeter à tort et ne mesre rien dans le cas où on accepte. 9