Représentation et analyse des systèmes linéaires PC 6 Analyse fréquentielle des systèmes bouclés

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1 Représentation et analyse des systèmes linéaires PC 6 Analyse fréquentielle des systèmes bouclés

2 Analyse fréquentielle des systèmes bouclés 2 Soit l asservissement à retour unitaire : r + ζ K(p) u G(p) y La fonction de transfert en boucle ouverte est définie par : L(p) = K(p)G(p) La fonction de transfert en boucle fermée est définie par : F(p) = K(p)G(p) +K(p)G(p)

3 Analyse fréquentielle des systèmes bouclés 3 Définition : marge de phase La marge de phase est définie par : M Φ = Φ(ω co )+8 o où ω co est la pulsation de coupure à db de la fonction de transfert en boucle ouverte : Définition 2 : marge de gain La marge de gain se définit par : L(jω co ) = db K g = L(jω 8 o) K g db = 2Log L(jω 8 o) où ω 8 o est la pulsation pour laquelle la phase de la boucle ouverte vaut 8 o : Arg[L(jω 8 o)] = 8 o

4 Analyse fréquentielle des modèles LTI 4 Im L db L db K g ω co ω 8 o K g ω rad/s M φ db Re M φ ω 8 o K g ω co ω 8 o Φ o Φ o ω co 8 o 8 o M φ ω co ω 8o ω rad/s Nyquist Black Nichols Bode

5 Analyse fréquentielle des modèles LTI 5 Définition 3 : marge de module La marge de module est la plus petite distance du point critique au lieu de transfert en boucle ouverte Im K g M = M S = max S(jω) ω α α 2 M M φ Re L(jω) Définition 4 : pulsation de résonnance et amplitude de résonnance La pulsation de résonnance est la pulsation ω r = Arg[max( F(jω) )] alors que l amplitude ω de résonnance est M r = max F(jω) = F(jω r) ω

6 Abaques pour la Boucle fermée 6 Soit L(p) telle que la boucle fermée L(p) +L(p) est stable Im r + u L(p) y (point critique) P θφ θ Φ Re ω A A L(jω) OA = L(jω A ) Arg(L(jω A )) = Φ Problème : Déterminer la boucle fermée à partir du lieu de transfert en boucle ouverte

7 Nyquist : M-cercles et N-cercles 7 OA = L(jω A ) Arg(L(jω A )) = Φ OA PA = L(jω A) +L(jω A ) Φ θ = Arg ( ) L(jωA ) +L(jω A ) F(jω) = Me jα L(jω) = X +jz Définition 5 : M-cercles et N-cercles - Les lieux d amplitude constante en boucle fermée sont les M-cercles : (X + M2 M 2 ) 2 +Z 2 = M 4 (M 2 ) 2 - Les lieux de phase constante en boucle fermée sont appelés les N-cercles : ( (X +/2) 2 + Z ) 2 = 2N 4 + (2N) 2 où N = tan(α)

8 Abaque dans Nyquist : M-cercles 8 ω.77 Im M =.2 M = Re M = L(jω) M = /2 M = ω r (M r = 2) Détermination : - Courbe de gain en boucle fermée (tracé du lieu de bode en B.F) - Pulsation ω r et pic M r de résonnance et bande passante ω bp (exemple : ω.77 )

9 Abaque dans Nyquist : N-cercles o ( 5 o ) 36 o 45 o 6 o 9 o Im G o 6 o 45 o 36 o 3 o Re G Détermination : courbe de phase en boucle fermée (tracé du lieu de bode en B.F)

10 Abaque de Hall-Nichols db 3.25 db Gain Boucle Ouverte (db) 2.5 db db 3 db 6 db db 3 db 6 db 2 db 2 2 db 3 4 db Phase Boucle Ouverte (deg) Remarques : Asservissement à retour unitaire

11 Abaque de Hall-Nichols Remarques 2 : retour non unitaire r + ζ G(p) y F(p) - On trace G(jω)F(jω) +G(jω)F(jω) - On translate cette courbe de Y(p) R(p) = F(p) F(jω) G(p)F(p) +G(p)F(p) [ ] en gain et de Arg F(jω) en phase

12 Abaque de Hall-Nichols 2 8 deg. 9 deg. deg. db ω ω [ ] Arg F(p) F(p) db

13 Exemple 3 G(p) = K = 2.5 K p(p 2 +4p+6) M Φ = 6 deg ω co =.7 rad/s K g = 8 db M r =.5 db ω r = 2.8 rad/s ω π = 4 rad/s db.5 db db 3 db 6 db db db 3 db 5 3 db 6 db 2 db 5 6 db Amplitude (db) db 4 db Amplitude (db) System: G Gain (db): 3.82 Phase (deg): 44 Frequency (rad/sec): 2.8 System: G Gain (db):.26 Phase (deg): 7 Frequency (rad/sec): db 5 System: G Gain (db): 8.2 Phase (deg): 8 Frequency (rad/sec): db db Phase (deg) Phase (deg)

14 Exemple (suite) 4 G(p) = K p(p 2 +4p+6) K = 2.5 Bode Diagrams Bode Diagrams Gm=8.648 db (at 4 rad/sec), Pm=62.75 deg. (at.697 rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 2 25 Frequency (rad/sec)

15 Exemple (suite) 5 G(p) = K p(p 2 +4p+6) M Φ = 6 deg ω co = rad/s K g = 2.4 db K = 5 M r = 4.3 db ω r = 3.76 rad/s ω π = 4 rad/s Amplitude (db) 3.25 db.5 db 2 db 3 db 6 db 2 Amplitude (db) 2 2 System: untitled Gain (db):.99 Phase (deg): 79 Frequency (rad/sec): db 6 db db System: untitled Gain (db):.729 Phase (deg): 63 Frequency (rad/sec): Phase (deg) Phase (deg)

16 Exemple (suite) 6 G(p) = K p(p 2 +4p+6) K = 5 Bode Diagrams Bode Diagrams Gm=2.442 db (at 4 rad/sec), Pm=6.44 deg. (at rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 2 Frequency (rad/sec)

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