Approche Par Compétence

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1 Approche Par Compétence Mathématiques 11 ème Sciences Production de Mathematikos Site de la Scientia, Sikasso Mali Nota Ce polycopié tient lieu de Notes de cours et ne dispense en aucune façon la présence aux cours proprement dit de Mathématiques. Mea Culpa Comme dans toutes notes de cours, des erreurs sont encore présentes dans ce polycopié. N hésitez pas à me les communiquez à l adresse : math.esgt.lasa@gmail.com La joie d apprendre!!! Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 0

2 Mathématiques 11 ème Sciences 05 heures par semaine Programme Pédagogique Unité d Apprentissage 1 Chapitre 1 : Applications Chapitre 1I : Fonctions polynômes Chapitre III : Équations et Inéquations Chapitre IV : Trigonométrie Chapitre V : Étude locale des fonctions numériques Unité d Apprentissage 2 Chapitre VI : Suites Numériques Chapitre VII : Dénombrement et Probabilité Chapitre VIII : Géométrie plane Unité d Apprentissage 3 Chapitre IX : Géométrie dans l espace Chapitre X : Statistique Bibliographie Types imprimés Mathématiques Collection Inter Africaine de Mathématiques 1 ère SM/SE Mathématiques collection 1 ère Mathématiques 1 ère S Collection Transmaths Types numériques Publication de Mathematikos Sikasso, version révisée de Septembre 2012 Professeur chargé de l apprentissage du cours de Mathématiques Le mathématicien Émérite : SAMATE L@mine Sikasso Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 1

3 CHAPITE 0 COUS PÉLIMINAIE INTENSIF appel sur les fonctions numériques de la 10 ème Commune On définit la fonction b) Par une représentation graphique 0.1. d une fonction Étant donnés E et F deux ensembles non vide de, on appelle fonction numérique de la variable réelle de E vers F, toute relation de E vers F telle que chaque élément de E est lié à un élément au plus par F. Autrement dit, on nomme fonction de E vers F toute relation de E vers F telle que pour tout ; 0 On note : (La variable est muette et peut être remplacé par une qui correspond à la fonction autre variable telle : Exemple pratique 1 La relation définie par : : c) Par une représentation sagittale Soit l ensemble des prénoms E et l ensemble des noms de famille F tels que et est une fonction 0.2. Vocabulaire Soit une fonction de E vers F telle que - est l antécédent de ou de. Aly Moïse Moustapha Antoine Traoré Cissé Camara Koné Samaté - ou s appelle l image de par la fonction -L ensemble E est appelé ensemble de départ et l ensemble F est appelé ensemble d arrivée Graphe d une fonction Soit une fonction définie de E vers F. On nomme graphe de ou graphique de ou courbe représentative de dans un repère orthogonal tout sous ensemble de formé par les couples d éléments liés par la correspondance suivante : 0.4. Diverses déterminations d une fonction numérique On peut définir une fonction par : a) Une formule mathématique (formule explicite) Cette relation fait correspondre à chaque élément de E un élément au plus de F. C est alors une fonction de E vers F. d) Par un tableau de valeurs C est le tableau de valeurs de la fonction e) Par la touche d une calculette Les fonctions etc sont les fonctions numériques f) Par un instrument de mesure ou de conversion Le compteur d un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru est une fonction. g) Par une expression littéraire Soit la fonction précédemment définie par : Le compteur d un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru. Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 2

4 Le trajet parcouru est ici la variable réelle et le prix à payer est la fonction dépendant de. Cette fonction est une fonction définie littérairement Ensemble de définition d une fonction a) Soit la fonction représentée dans le repère ci après. a) Trouver graphiquement l ordonnée du point ou des points d intersection des droites passant par,, et et du graphe. b) Quel est le domaine de définition de la fonction. Étant donnée une fonction de vers. On nomme ensemble de définition (ou domaine de définition) de et on note, l ensemble des éléments qui possèdent une image par. Autrement dit, l ensemble de définition de est l ensemble de tous les réels pour lesquels est calculable. b) Ensemble de définition d une fonction polynôme Étant donnée une fonction polynôme définie telle avec, L ensemble de définition de est l ensemble des nombres réels c'est-à-dire c) Ensemble de définition d une fonction rationnelle Étant donnés et deux fonctions quelconques et soit la fonction rationnelle définie par. L ensemble de définition de est où est l ensemble des solutions de l équation. En d autre terme d) Ensemble de définition d une fonction irrationnelle Étant donnés une fonction définie par où est une fonction quelconque. Le domaine de définition de est. Exemple pratique 2 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes puis les écrire sous forme d intervalle en précisant les bornes a) On dit que l on a calculé les images directes des réels,,, et par et on note respectivement,,, et Image réciproque d un point par une fonction Activité 2 en groupe Soit la fonction représentée dans le repère ci après. a) Trouver graphiquement l abscisse du point ou des points d intersection des droites passant par,, et et du graphe. b) Quel est le domaine de définition de la fonction c) d) e) f) g) h) i) 0.6. Image directe d un point pour une fonction numérique Activité 1 en groupe On dit que l on a calculé les images réciproques des réels,,, et par et on note respectivement,,, et. Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 3

5 CHAPITE 1 APPLICATIONS peut ne pas en exister, en exister un, en exister plus d un) est appelé un antécédent de par. Exemple pratique Fonctions et applications On considère l application telle que a) Activité 1 en groupe On considère les fonctions et telles que et a) Déterminer l image du réel 6 par. b) Déterminer l antécédent du nombre 4 par Égalité de deux applications a) Activité 3 en groupe a) Trouver le domaine de définition de et de b) Comparer ces domaine trouvés à l ensemble de départ de chacune des fonctions et. Le domaine de définition de est différent de son ensemble de départ et celui de est égal à son ensemble de départ. On dit que est une fonction et est une application. s d une application Étant donnée une fonction de E vers F et de domaine de définition. est une application si et seulement si = ensemble de départ. Exemple pratique 1 Justifier si les fonctions suivantes sont des applications : 1.2. Image et antécédent d un nombre par une application a) Activité 2 en groupe On considère l application a) Trouver la valeur de pour définie sur par b) Pour quelle(s) valeur(s) de,on a : et On dit que l on a calculé l image du réel 3 par d une part et l antécédent des réels et 15 par d autre part. -Pour tout, l élément tel que, s il existe est appelé l image de par. -Pour tout, tout élément tel que (il On donne deux applications telles que : a) Trouver le domaine de définition de et de b) Comparer leur ensemble de départ et d arrivée c) Calculer et puis les comparer. On dit que et sont deux applications égales. Étant données et deux applications. On dit que et sont égales ssi : a) Elles ont même ensemble de départ et même ensemble d arrivée. b) Elles ont même domaine de définition c) Pour tout réel appartenant à l ensemble de définition, on a 1.4. Applications particulières 1) Applications injectives a) Activité 4 en groupe On considère l application Quel est le nombre de solutions des équations : et? Ces équations admettent toutes au plus une solution. On dit que l application est injective. Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 4

6 Étant donnée une application définie de E vers F. On dit que est injective ou que est une injection, si tout élément de F a au plus un antécédent par. c) Interprétation mathématique Soit l application de E vers F. est injective si et seulement si pour tout, on a : Exemple pratique 3 Étudier l injectivité des applications suivantes : a) b) Ces équations admettent toutes une et une seule solution. On dit que l application est bijective. Étant donnée application définie de E vers F. On dit que est une application bijective ou est une bijection ssi elle est injective et surjective. c) Interprétation mathématique Soit l application de E vers F. est une bijection si et seulement si pour tout b F, il existe un et un seul ( a E tel que Exemple pratique 5 2) Applications surjectives a)activité 5 en groupe Étudier le caractère bijective des applications suivantes : a) b) Soit l application définie sur par Quel est le nombre de solutions des équations : et? 4) Bijection réciproque d une application a) Activité 7 en groupe On définit l application Ces équations admettent toutes au moins une solution. On dit que l application est surjective. Étant donnée application définie de E vers F. est surjective ou que est une surjection si tout élément de F a au moins un antécédent par. c) Interprétation mathématique a) Pour tout, résoudre l équation : b) Donner l expression explicite de l application Soit l application de E vers F. est surjective si et seulement si Exemple pratique 4 Préciser si les applications suivantes sont surjectives ou non : a) définie de vers par b) de vers qui à fait correspondre 3) Applications bijectives a) Activité 6 en groupe On considère l application Quel est le nombre de solutions des équations :, et? On dit que l application est la réciproque ou la bijection réciproque de et on note. Soit une application bijective de E vers F. Pour tout image telle que, il existe un seul antécédent La correspondance qui va de F vers E qui a associe est une application et elle est bijective. Elle se nomme bijection réciproque de et est notée. Exemple pratique 6 Trouver la bijection réciproque des applications bijectives suivantes : Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 5

7 a) b) c) Exemple pratique 8 On considère les applications suivantes telles que 1.5. Graphique d une bijection et d une bijection réciproque a) Activité 8 en groupe, et Déterminer les composées et On considère l application bijective définie par a) Compléter le tableau suivant et construire le graphique (C) de point par point. b) Expliciter la bijection réciproque de et dresser un tableau de valeurs correspondant à puis construire le graphique (C ) de. c) Quel est le lien graphique entre (C) et (C )? On remarque que (C) et (C ) sont symétriques par rapport à la droite d équation. b) Technique de construction Étant donnée une bijection de E vers F où les ensembles E et F sont des parties de. Dans un repère orthogonal le graphique de et de sont symétrique par rapport à la première bissectrice (la droite d équation ) Exemple pratique 7 On donne la fonction a) Construire le graphe (C) de définie sur par b) En déduire celui (C ) de sa réciproque Composée d applications a) Étant donnés trois ensembles E, F et G et deux applications de E vers F et de F vers G. La composée de par notée et définie de E vers G telle que pour tout élément a E telle que et, on a :. b) Interprétation graphique E F G c) Propriétés des applications et de leur composée En désignant par l application identique de F telle que l application identique de E et par et et soit une application de E vers F de réciproque On a: - de F vers E (bijective) - Si est injection alors est injection - Si est surjection alors g surjective - de E vers G est bijective et - La composée de deux injections (respectivement deux surjections, respectivement deux bijections ) est une injection, (respectivement une surjection, respectivement une bijection). -La composée de deux applications et une application -La composée d applications est associative, c'est-à-dire pour toutes application et alors -Si alors f est une application involutive - Si et sont deux applications, si on a : et alors on dira que est la bijection réciproque de. Sous ses hypothèses on a - étant une application de E vers F. Pour que la relation réciproque de soit une application il faut et il suffit que soit bijective. De plus si est bijective, l application réciproque de est bijective. - Si de E vers E est involutive alors est bijective et - Toute bijection de E dans E est une permutation estriction et prolongement d une application Activité 9 en groupe Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 6

8 On considère l application définie par Écrire sans le symbole de la valeur absolue On désigne par l application pour et par l application pour. On dit que est une restriction de à. 1) estriction d une application Étant donnés E et F deux ensembles et une application E vers F. On désigne par E une partie de E. On nomme restriction de à E l application notée et définie par : Trouver cette application. De quel type d application il s agit? 1.8. Application non injective et restriction injective sur un intervalle Étant donnée une application de E vers F. Si est non injective sur E, alors il existe un sous ensemble E de E tel que la restriction de à E soit injective. Exemple pratique 11 Soit l application définie par : a) Prouver que est non injective sur b) Trouver les restrictions de injectives sur des intervalles à préciser. Exemple pratique 9 On définit la fonction 1.9. Image directe et image réciproque d un sous ensemble 1) Image directe d un sous ensemble de départ Étant donnés E et F deux ensembles et une application de E vers F. Pour toute partie A de E, on définit l image directe de A par notée telle que Déterminer l ensemble de définition de f puis une application ayant même restriction que à l ensemble de définition de 2) Prolongement d une application Étant donnés E et F deux ensembles et une application de E vers F. Si E désigne un ensemble tel que E. On appelle prolongement de à E, toute application de E vers F telle que. En d autre terme si est une application de E vers F et soit E une partie de E. La restriction de à E est Exemple pratique 10. Alors se nomme prolongement de à E. On désire trouver une application qui est un prolongement sur l ensemble des réels de la fonction définie par Exemple pratique 12 Soit l application définie par Trouver l image directe de l intervalle 2) Image réciproque d un sous ensemble d arrivée Étant donnés E et F deux ensembles et une application de E vers F. Pour toute partie B de F, on définit l image réciproque de B par notée telle que Exemple pratique 13 On définie l application. de vers telle que. p Déterminer. Polycopié de cours Chapitre préliminaire et Chapitre 1 : Applications 11 ème Sciences Lycées de Sikasso Page 7