Table des matières. 1 Notions de métrologie. 1.2 Mesurage et mesurande. 1.1 Qu est-ce que la métrologie? 1.3 Valeur vraie et erreur

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1 LES MESURES ET INCERTITUDES EN TP Table des matières 1 Notions de métrologie Qu est-ce que la métrologie? Mesurage et mesurande Valeur vraie et erreur Erreur aléatoire et systématique Évaluation des incertitudes de type A 2.1 Définition Meilleur estimateur du résultat Meilleur estimateur de l incertitude Évaluation des incertitudes de type B 4.1 Définition Meilleur estimateur de l incertitude Propagation des incertitudes Définition Cas particulier d une somme ou d une différence Cas particulier d un produit ou d un quotient Notions de métrologie 1.1 Qu est-ce que la métrologie? Lorsque nous procédons à une mesure, nous somme inévitablement soumis à des imperfections. Pour rendre compte de ces problèmes, nous devons associer une incertitude à chacun de nos résultats. La métrologie est la science des mesures. Elle indique notamment les méthodes d évaluation des incertitudes sur les résultats. Il existe des normes qui fixent les règles de calcul des incertitudes ainsi que le vocabulaire à employer. Si cela vous intéresse, vous pouvez chercher les normes NF NORM 1005 de 1999 qui fixe les règles de calcul et NF X de 1994 qui fixe le vocabulaire. 1.2 Mesurage et mesurande Un peu de vocabulaire... Définition (Mesurage) Le mesurage est le processus qui permet d obtenir une ou plusieurs valeurs numériques que l on peut raisonnablement attribuer à une grandeur. Dans la pratique, nous disons mesure à la place de mesurage. Définition (Mesurande) Une mesurande est une propriété physico-chimique que l on peut exprimer de façon quantitative sous la forme d un nombre et d une référence. La référence est en fait l unité de la propriété, par exemple des mètres (m) ou des centimètres (cm) pour une distance. Il s agit tout simplement de la grandeur à mesurer : température, pression, intensité électrique, distance, etc Valeur vraie et erreur Définition (Valeur vraie) La valeur vraie x vraie est la valeur numérique que nous devrions obtenir lors du mesurage d une grandeur X si la mesure était parfaite. 1

2 Comme il est impossible en pratique de faire des mesures parfaites, le résultat de mesure x sera toujours différent de x vraie. Définition (Erreur) L erreur de mesure δx est l écart entre le résultat x d une mesure et la valeur vraie x vraie : δx = x x vraie à un protocole qui sur-estime ou sous-estime systématiquement la valeur d un paramètre. Pour comprendre les rôles des erreurs aléatoires et systématiques, nous pouvons prendre l image d un tir à l arc : les différentes flèches sont nos résultats de mesures et le centre de la cible est la valeur vraie. Bien sûr, comme x vraie est inconnue, l erreur δx est inconnue aussi et tout l art de l expérimentateur consiste à trouver un majorant de δx, qu on appelle incertitude x, tel que l on soit "raisonnablement sûr" que x vraie appartienne à l intervalle : [x x ; x + x] avec x = un majorant de δx 1.4 Erreur aléatoire et systématique Définition (Erreur aléatoire) Lors de mesurages répétés, une erreur est dite aléatoire si elle varie de façon imprévisible. Dans ce cas les différents résultats de mesures se répartissent de façon aléatoire autour d une valeur moyenne. C est par exemple le cas lorsqu on déclenche un chronomètre le de mesures répétée. On a autant de chances de déclencher légèrement avant le début de l évènement que légèrement après. La mesure du temps sera donc entachée d une erreur aléatoire. Définition (Erreur systématique) Toujours lors de mesurages répétés, on dit qu on commet une erreur systématique si tous les résultats de mesure sont décalés d une constante donnée, dans le même sens par rapport à x vraie. En général cette erreur systématique peut et doit être corrigée. Il s agit souvent d erreurs dues à un défaut des appareils de mesure, à un mauvais réglage du zéro de l appareil ou encore d erreurs dues 2 δx δx x!"#$%!"#$&!"#$'!"#$( Cas 1 : faibles erreurs aléatoires et systématiques. Les mesures sont centrées autour de la valeur vraie. Cas 2 : les mesures sont centrées autour de la valeur vraie mais elles sont très dispersées : les erreurs aléatoires sont grandes mais les erreurs systématiques sont faibles. Cas : les mesures sont resserrées autour d une valeur : faibles erreurs aléatoires. En revanche, toutes les mesures sont décalées par rapport à la valeur vraie : les erreurs systématiques sont grandes. Cas 4 : les mesures sont loin de la valeur vraie et très éparpillées. x Les erreurs aléatoires X et systématiques sont grandes. % x x =( x ± δx) x = x ± δx x %

3 2 Évaluation des incertitudes de type A 2.1 Définition Une incertitude de type A concerne uniquement un grand nombre de mesures effectuées sur une même mesurande. Cela se produit lorsqu un expérimentateur répète n fois la mesure d une grandeur X, dans les mêmes conditions. On peut aussi imaginer que n expérimentateurs mesurent une fois la grandeur X, tous dans les mêmes conditions 1. Soient x 1, x 2,..., x n les résultats de ces n mesures (ou mesurages si vous préférez) et soit x vraie la valeur vraie associée. 2.2 Meilleur estimateur du résultat Les lois de la statistique indiquent que, lorsque les erreurs systématiques sont nulles (il ne reste donc que les erreurs aléatoires), la valeur la plus proche de x vraie est la moyenne arithmétique x des n résultats : ni=1 x i x = (1) n On dit que x est le meilleur estimateur de x vraie. En toute rigueur, cela n est vrai que si n est très grand (en théorie, n doit tendre vers l ). Cependant nous devrons nous contenter de cela, même si n est de l ordre de 10 ou Meilleur estimateur de l incertitude Pour évaluer l incertitude (c est à dire un majorant des valeurs absolues des erreurs) il faut définir ce qu on appelle un niveau de confiance, exprimé en pourcentage : en général, on prend 95% ou 99%. 1. Cela pose cependant le problème de savoir si ces conditions sont vraiment identiques d une expérience à l autre. Prenons par exemple un niveau de confiance de 95%. Il s agit alors de déterminer un nombre x > 0 tel que x vraie appartienne à l intervalle : [ x x ; x + x] avec une probabilité supérieure ou égale à 95%. Autrement dit, avec ce niveau de confiance, nous avons plus de 95 chances sur 100 que x vraie soit dans cet intervalle 2. Les lois statistiques permettent de calculer le x associé à une série de n mesures x 1, x 2,..., x n et à un niveau de confiance donné. Pour cela : Il faut d abord calculer l écart type σ n 1, défini par : σ n 1 = 1 n 1 n (x i x) 2 (2) i=1 On calcule ensuite x en introduisant le coefficient Student t n et en posant : de x = t n σ n 1 n () Le coefficient de Student dépend du nombre n de mesures et du niveau de confiance que l on souhaite. Le tableau ci-dessous en donne quelques valeurs utiles. 2. Cela ne veut donc pas dire qu il est sûr que x vraie soit dans cet intervalle. Simplement, la probabilité pour qu il n y soit pas est faible.. On peut définir les écarts type σ n 1 et σ n. Dans le calcul de ce dernier, on divise par n au lieu de n 1. Les machines à calculer donnent ces deux grandeurs, parfois appelées écart type pour l échantillon et écart type pour la population. Consultez la notice de votre machine pour en savoir plus.

4 n t 95% 4,0,18 2,78 2,57 2,45 2,7 2,1 2,26 t 99% 9,9 5,84 4,60 4,0,71,50,6,25 n t 95% 2,20 2,16 2,1 2,09 t 99%,11,01 2,95 2,86 Finalement, le résultat de la mesure sera présenté sous la forme suivante, en veillant à ne garder que deux chiffres significatifs pour l incertitude (ce qui conduira à l arrondir par excès) : X = ( x ± x) unité (4) On peut aussi définir l incertitude relative ou précision p = x, exprimée en % et écrire le résultat sous la forme : x X = ( x ± p %) unité (5) Exemple : si on trouve x = 1, et x = 4, , on arrondit en posant : x = 4, L incertitude porte donc sur les cinquième et sixième chiffres après la virgule, donc on n écrit x que jusqu à ces chiffres : x = 0, / = 0, Le résultat s écrira donc : X = (1,012 ± 0,049).10 Évaluation des incertitudes de type B.1 Définition Une incertitude de type B concerne une mesure unique, sur laquelle on ne peut donc faire aucun traitement statistique. L expérience fournit alors un seul résultat de mesure x. Dans ce cas, la seule manière de procéder pour évaluer l incertitude sur x est de : lire les informations fournies par le constructeur de l appareil de mesure dans le cas où on utilise un multimètre, une burette, un chronomètre, etc...en général, ces informations fournissent une incertitude app x, due à l appareil, sur le résultat de cette mesure unique ; évaluer l incertitude de lecture si la mesure est faite avec une règle, le vernier d un goniomètre,..., bref avec tout appareil qui nécessite de lire des graduations. Dans ce cas, on évalue souvent l incertitude lect x à une demi-graduation ; tenir aussi compte de l incertitude op x liée au mode opératoire : déclenchement et arrêt du chronomètre par exemple. En additionnant toutes ces incertitudes, nous obtenons l incertitude expérimentale : exp x = app x + lect x + op x..2 Meilleur estimateur de l incertitude Cependant, cette incertitude expérimentale doit être majorée. Pour obtenir un résultat "fiable", la norme NF ENV 1005 de 1999 impose de définir l incertitude x par : x = 2 exp x si on veut que la valeur vraie x vraie appartienne à l intervalle [x x ; x+ x] avec un taux de confiance de 95%. x = exp x si on veut que la valeur vraie x vraie appartienne à l intervalle [x x ; x+ x] avec un taux de confiance de 99%. Finalement, nous écrirons le résultat final sous la forme : X = (x ± x) unité (6) 4

5 en veillant à ne garder que deux chiffres significatifs pour x (et donc en arrondissant par excès ici encore). 4 Propagation des incertitudes 4.1 Définition Il arrive extrêmement souvent qu une grandeur g dépende d autres grandeurs X ou Y. Toutes les lois de la physique ne sont d ailleurs que des relations entre grandeurs qui peuvent finalement se mettre sous la forme : g = g(x, Y,...) Exemple : loi des gaz parfaits : P = nrt V donc P = g(n, T, V ). Supposons que g ne dépende que de deux autres grandeurs X et Y : g = g(x, Y ). Des expériences ont donné les résultats de mesure suivants : X = x m ± x et Y = y m ± y où x m et y m sont les résultats de mesure et x et y sont les incertitudes associées. Nous souhaitons savoir quel est le meilleur estimateur de g vraie et quelle est l incertitude associée g. On parle ici de propagation des incertitudes (sous entendu de X et Y vers g) La relation générale à utiliser pour calculer g est : g = [ ] g 2 [ ] g 2 X (x m, y m ) ( x) 2 + Y (x m, y m ) ( y) 2 (7) Cette formule se généralise aisément au cas où g dépend de plus de deux autre grandeurs. Quant au meilleur estimateur de g vraie, il s agit de : g m = g(x m, y m ) (8) 4.2 Cas particulier d une somme ou d une différence Dans les cas où g = X + Y ou bien g = X Y, l incertitude sur g vaut : g = ( x) 2 + ( y) 2 (9) 4. Cas particulier d un produit ou d un quotient Ce sont les cas où g = C XY ou g = C X/Y, où C est une constante. Dans ce cas, la formule générale donne : Produit : g = C 2 ym 2 ( x) 2 + C 2 x 2 m ( y) 2. Quotient : g = C 2 y 2 m ( x) 2 + C2 x 2 m y 4 ( y) 2 Dans les deux cas, l expression de l incertitude relative est la même et elle est très simple à retenir (et facilement généralisable au cas où g dépend de plus de deux grandeurs) : g g m = ( x ) 2 ( ) y 2 + (10) x m En conclusion : si une grandeur g est le produit ou le quotient de deux autres grandeurs X et Y (à une constante multiplicative C près), il faut d abord calculer l incertitude relative avant de revenir éventuellement à l incertitude absolue. y m 5