Chapitre 6 : Angles et parallélisme. Définition 1 : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 90.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 6 : Angles et parallélisme. Définition 1 : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 90."

Transcription

1 Vocabulaire des angles Parallèles, sécantes et angles Somme des mesures des angles d'un triangle I. Angles particuliers Chapitre 6 : Angles et parallélisme 1. Angles complémentaires, angles supplémentaires Définition 1 : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 90. Définition 2 : Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est Angles adjacents Définition 3 : Deux angles sont adjacents lorsque : a. ils ont le même sommet ; b. ils ont un côté commun ; c. ils sont de part et d autre de ce côté. 3. Angles opposés par le sommet Définition 4 : Deux angles opposés par le sommet sont deux angles : a. qui ont le même sommet ; b. dont les côtés sont dans le prolongement l un de l autre. Propriété 1 : des angles opposés par le sommet Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. Exercices : 36, 37, 39, 40, 41 page 215 (+ 38?) 4. Angles alternes-internes, angles correspondants Soient deux droites (d) et (d') coupées par une sécante (s) en A et B respectivement : Définition 5 : Deux angles sont alternes-internes si : a. ils ont pour sommets les points A et B ; b. ils sont situés de part et d autre de la droite (s) ; c. ils sont situés entre les droites (d) et (d'). Définition 6 : Deux angles sont correspondants lorsqu ils sont situés : a. ils ont pour sommets les points A et B ; b. ils sont situés d un même côté de la droite (s) ; c. seulement un est situé entre les droites (d) et (d'). Exercices : 42, 43, 44, 45, 46 page 215 David Prieto Colmenarejo 1

2 II. Propriétés des angles formés par deux droites parallèles et une sécante. Propriété 2 : des angles alterne-internes Si deux droites parallèles (xx') et (yy'), sont coupées par une sécante (zz') en A et B respectivement, alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure. Soit M milieu de [AB] A et B sont symétriques par rapport à M. Les droites (xx') et (yy') sont symétriques par rapport à M car elles sont parallèles et contiennent les points A et B respectivement ; donc et sont symétriques par rapport à M (par rapport à M, les demi-droites [Ax') et [By) sont symétriques ainsi que [Az ) et [Bz)). La symétrie centrale conserve la mesure des angles. Propriété 3 : des angles correspondants Si deux droites parallèles (xx') et (yy'), sont coupées par une sécante (zz') en A et B respectivement, alors les angles correspondants qu'elles forment sont de même mesure. 1. Les droites (xx') et (yy') sont parallèles et que les angles et sont alternes-internes Si deux droites parallèles (xx') et (yy'), sont coupées par une sécante (zz') en A et B respectivement, alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure. 2. et que et sont opposés par le sommet Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. et donc que Exemples : exercice 47 page 216 Exercices : 48, 49, 50, 52 et 53 page 216 (49 et 50 à l'oral) David Prieto Colmenarejo 2

3 III. Propriétés réciproques Propriété 4 : réciproque des angles alterne-internes Si deux droites (xx') et (yy'), coupées par une sécante (zz'), forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles. Soit M milieu de [AB] 1. xaz zby sont des angles alterne-internes de même mesure. Ses sommets, A et B, sont symétriques par rapport à M et ils ont un côté qui est symétrique l'un de l'autre par rapport à M : [Az') et [Bz) sont symétriques par rapport à M. La symétrie centrale conserve la mesure des angles. Les angles xaz zby sont symétriques par rapport à M et donc ses côtés le sont aussi. Alors [Ax) et [By') sont deux demi-droites symétriques par rapport à M et (xx') et (yy') aussi. 2. (xx') et (yy') sont symétriques par rapport à M Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle (xx') et (yy') sont parallèles Propriété 5 : réciproque des angles correspondants Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. On considère par exemple, les angles correspondants xaz et ybz. xaz ybz et que ybz est opposé par le sommet de zby, et donc de même mesure. Alors xaz ybz et ybz zby, et donc xaz zby. Mais xaz et zby sont des angles alterne-internes. La propriété réciproque des angles alterne-internes. (xx') et (yy') sont parallèles. Exemples : 56 page 217 Exercices : 57, 58, 59, 60 page 217 David Prieto Colmenarejo 3

4 IV. Applications Les propriétés vues aux paragraphes précédents nous permettent de justifier deux propriétés vues en sixième : Propriété 6 : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Si (d) (d') et (d) (d'') alors (d') (d''). (d) (d') et (d) (d'') Les angles codés sur la figure sont correspondants (on aurait pu aussi coder des angles alternes-internes) La propriété réciproque des angles correspondants. (d') (d'') Propriété 7 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si (d) (d') et (d) (d ) alors (d ) (d ). (d) (d') et (d) (d'') La propriété des angles alternes-internes ou des angles correspondants. (d ) (d ) David Prieto Colmenarejo 4

5 V. La somme des mesures des angles d un triangle : démonstration et applications Exercice 51 page 216 Propriété 6 : La somme des mesures des angles d un triangle quelconque ABC est toujours 180º. Soit (d) une droite parallèle à (AB) passant par C. Soient D et E deux points sur (d) disposés comme sur la figure. =α 1. (d) (AB) 2. et sont alterne-internes On applique : la propriété des angles alterne-internes (*) = = α = β 1. (d) (AB) 2. et sont alterne-internes On applique : la propriété des angles alterne-internes (*) = = β = γ (*) La propriété des angles alterne-internes nous permet d affirmer que si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alterne-internes sont de même mesure. Nous avons donc : = = α = = β = γ La somme des mesures des angles d un triangle quelconque ABC est : + + = + + = α + β + γ = 180º c.q.f.d. Applications : 1. Les angles dans un triangle équilatéral mesurent 60º. 2. Les angles à la base dans un triangle isocèle mesurent α sommet principal. β 3. Les angles non droits d un triangle rectangle sont complémentaires. où β est l angle du Réciproques : 1. Si les angles d un triangle mesurent chacun 60º alors le triangle est équilatéral. 2. Si deux angles d un triangle mesurent chacun α β alors il est isocèle et l angle principal mesure β. Si deux angles d'un triangle sont complémentaires alors ce triangle est rectangle. Exercices : 61, 62, 63 page , 65, 66, 67, 68, 69 page 218 David Prieto Colmenarejo 5

6 VI. Activité sur geogebra Avant de commencer à utiliser Geogebra : la fenêtre doit occuper tout l écran; enlever les axes en cliquant sur la case pour décocher, au menu affichage. Attention : pour savoir comment utiliser un outil de construction, il faut placer le curseur sur l outil pour obtenir une info-bulle. Exercice 1 : a. Placer trois points non-alignés, A, B et C, et tracer la droite (AC) b. Placer le point D tel que D (AC) et tracer la droite (BD) c. Placer les points E et F tels que : E (AC) mais E [AC) F (BD) mais F [BD) d. Tracer la droite (AB) et placer les points G et H tels que : G (AB) mais G [AB) H (AB) mais H [BA) e. Afficher la mesure de l'angle ABD en vert, celle de son angle alterne-interne en rouge et celle de son angle correspondant en marron. f. Bouger le point A pour faire varier les angles et énoncer, dans une boîte de texte, une conjecture sur la relation entre la position des droites (AC) et (BD) et les mesures des angles construits. Exercice 2 : a. Tracer une droite (AB) et placer un point C n appartenant pas à la droite (AB). b. Tracer la droite (AC) et afficher l'angle BAC qui a pour mesure α. c. Tracer la droite (DC) de façon que B et D soient de part et d'autre de (AC) et que l'angle ACD mesure α. d. Afficher la mesure de l'angle ACD et bouger le point B pour voir comment varient les deux angles affichés. e. Ecrire une conjecture sur la relation entre ces droites quand les angles construits sont de même mesure. Exercice 3 : Théorème de la somme des angles d'un triangle a. Construire un triangle ABC quelconque. b. Tracer la droite parallèle à (AB) passant par C et placer sur cette droite deux points D et E tels que C [DE]. c. Afficher, en bleu, l'angle BAC, de mesure α et son angle alterne-interne relatif à la droite (AC), de mesure β. d. Afficher, en rouge, l'angle ABC, de mesure γ et son angle alterne-interne relatif à la droite (BC), de mesure δ. e. Afficher, en vert, l'angle ACB, de mesure ε. f. Dans une boîte de texte, donner la somme des angles du triangle, en utilisant les mesures affichées et en établissant la somme (S = α + γ + ε), dans la case de saisie. g. Inclure une autre boîte de texte, en utilisant les mesures des angles alternes-internes et celle de l'angle ACB et une autre somme : S' = β + δ + ε. Ne pas oublier d'enregistrer les fichiers pour les faire arriver au professeur! Les exercices doivent être enregistrés dans le dossier de l élève, sous-dossier "geometrie", sous-dossier "ang_paral", sous le nom de «nom_prénom_exercice_numéro d exercice» (Exemple: prieto_david_exercice_2 dans le dossier "ang_paral", dans le dossier "geometrie", dans le dossier "prieto_david") David Prieto Colmenarejo 6

Chapitre 8 Symétrie axiale

Chapitre 8 Symétrie axiale I. s symétriques Chapitre 8 Symétrie axiale Définition 1 : Deux points, A et B, sont symétriques par rapport à une droite (d), si la droite (AB) est perpendiculaire à (d) et le point d intersection des

Plus en détail

Chapitre 2 : Angles. Objectifs : Reproduire un angle Particularité de deux angles. Angles et parallélisme. Angles dans un triangle.

Chapitre 2 : Angles. Objectifs : Reproduire un angle Particularité de deux angles. Angles et parallélisme. Angles dans un triangle. Chapitre 2 : Angles Objectifs : Reproduire un angle Particularité de deux angles. Angles et parallélisme. Angles dans un triangle. 1. Rappel sur les angles. 1.1 Définition Déf : Un angle est une portion

Plus en détail

Angles et droites. 1) Angles supplémentaires et complémentaires Définitions 1) Deux angles complémentaires sont deux angles dont..

Angles et droites. 1) Angles supplémentaires et complémentaires Définitions 1) Deux angles complémentaires sont deux angles dont.. I) Angles Angles et droites 1) Angles supplémentaires et complémentaires Définitions 1) Deux angles complémentaires sont deux angles dont.. Les angles et forment un angle droit : la somme de leurs mesures

Plus en détail

Contenu : Angles Triangles Solides composés Structure de résolution

Contenu : Angles Triangles Solides composés Structure de résolution Contenu : Angles Triangles Solides composés Structure de résolution Johann Sievering v03 CFP Arts Genève http://edu.ge.ch/cfpaa/ OBJECTIFS du COURS Angles Triangles Objectifs : Connaître le vocabulaire

Plus en détail

Les deux font la paire

Les deux font la paire Les deux font la paire Dans les figures 2 et 4, les angles bleus et roses sont dits adjacents. Ce n est pas le cas pour les autres figures. A partir de tes observations, essaie d expliquer à quelles conditions

Plus en détail

Chapitre 6 : Angles, triangles et quadrilatères

Chapitre 6 : Angles, triangles et quadrilatères Chapitre 6 : Angles, triangles et quadrilatères Nommer un angle Donner la nature d'un angle Mesurer un angle (gabarit, rapporteur) Construire un angle Calculer des mesures d'angles Bissectrices Triangles

Plus en détail

TRIANGLES Inégalité triangulaire : Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

TRIANGLES Inégalité triangulaire : Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. TRIANGLES Inégalité triangulaire : Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Th Trois longueurs étant données, Si la plus grande est

Plus en détail

SYMETRIE CENTRALE EXERCICES

SYMETRIE CENTRALE EXERCICES SYMETRIE CENTRALE EXERCICES DÉMONTRER EN UTILISANT LES PROPRIÉTÉS DE LA SYMÉTRIE Exercice 1. Etant donnés trois points non alignés A, B et O, on appelle A' et B' les symétriques respectifs de A et B par

Plus en détail

Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme»

Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme» Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme» I. Reproduire un angle ; rappels 1/ Mesurer un angle (Voir fiche d'exercices) 2/ Construire un angle de mesure donnée Construire les angles suivants

Plus en détail

Chapitre 10 - La géométrie Définitions et Propriétés des Angles, Triangles, Droites, Cercles

Chapitre 10 - La géométrie Définitions et Propriétés des Angles, Triangles, Droites, Cercles Chapitre 10 - La géométrie Définitions et Propriétés des Angles, Triangles, Droites, Cercles En géométrie déductive, on n accepte pas une phrase comme vrai sans preuve d un fait, une règle, ou propriété

Plus en détail

LES TRIANGLES. Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des 2 autres. L INEGALITE TRIANGULAIRE :

LES TRIANGLES. Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des 2 autres. L INEGALITE TRIANGULAIRE : I) L inégalité triangulaire : 1) Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des 2 autres. B A C L INEGALITE TRIANGULAIRE : BC BA + AC BA BC + AC AC AB + BC 2) Conséquences

Plus en détail

COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES?

COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES? 1 COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES? 1) En utilisant les propriétés vues en 6 ème Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles On sait que

Plus en détail

Les Angles. a xoy et a yoz sont complémentaires. O. a xoy et a x'oy' sont opposés par le sommet, donc a xoy = a x'oy'

Les Angles. a xoy et a yoz sont complémentaires. O. a xoy et a x'oy' sont opposés par le sommet, donc a xoy = a x'oy' Dans les eigibles u socle, il a reprouire un angle au compas Les Angles Il a également l'utilisation u rapporteur. I.Angles complémentaires et supplémentaires (pas ans le socle) Deu angles sont complémentaires

Plus en détail

S11 Autour de la GEOMETRIE PLANE Vocabulaire et constructions de base

S11 Autour de la GEOMETRIE PLANE Vocabulaire et constructions de base CRPE Mise en route S11 Autour de la GEOMETRIE PLANE Vocabulaire et constructions de base 1. A et B sont deux points du plan. que représentent (AB), [AB], [AB), AB? 2. A, B et C sont trois points distincts

Plus en détail

Angles Angles correspondants. Angles supplémentaires. Angles opposés par le sommet.

Angles Angles correspondants. Angles supplémentaires. Angles opposés par le sommet. Angles 1 1. Vocabulaire. Soit l'angle de sommet O et de côtés [Ox et [Oy On le note: xoy Mesure de l'angle: mes xoy = 38 ou par abus de language : xoy = 38 Remarque En notant l'angle xoy, on note en fait

Plus en détail

Angle et parallèles. Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Angle et parallèles. Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Angle et parallèles Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Si 2 droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l une est perpendiculaire à l autre.

Plus en détail

Cours sur les angles

Cours sur les angles Cours sur les angles I. Vocabulaire 1. Angles adjacents - Angles opposés par le sommet Deux angles sont opposés par le sommet s ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l un de l autre.

Plus en détail

Angles et parallélisme Exercices corrigés

Angles et parallélisme Exercices corrigés Angles et parallélisme Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires Exercice 2 : trouver l angle complémentaire à un angle Exercice 3 : montrer

Plus en détail

Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme»

Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme» Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme» I. Reproduire un angle ; rappels 1/ Mesurer un angle (Voir fiche d'exercices) 2/ Construire un angle de mesure donnée Construire les angles suivants

Plus en détail

Fiches de géométrie. Pour démontrer que deux droites sont parallèles. Pour démontrer...

Fiches de géométrie. Pour démontrer que deux droites sont parallèles. Pour démontrer... 3 Pr démontrer... Fiches de géométrie Niveau 3ème...que deux droites sont parallèles... Fiche...que deux droites sont perpendiculaires... Fiche 2...que deux longueurs sont égales... Fiche 3...que deux

Plus en détail

5 ème Angles et parallèlisme ACTIVITÉS

5 ème Angles et parallèlisme ACTIVITÉS 5 ème Angles et parallèlisme ACTIVITÉS Activité 1 : Je reconnais des angles adjacents. Sur les figures 1 et 2, l angle rouge et l angle bleu sont adjacents. Sur les figures 3 à 7, l angle rouge et l angle

Plus en détail

Rappels sur les angles. définition :

Rappels sur les angles. définition : Rappels sur les angles I. Vocabulaire sur les angles a. angles adjacents définition : Les angles AOB et BOC sont adjacents si: Ils ont le même sommet O. Ils ont un côté commun [OB) Ils sont situés de part

Plus en détail

I/ Vocabulaire et définitions. 1 ) Mises au point

I/ Vocabulaire et définitions. 1 ) Mises au point Angles I/ Vocabulaire et définitions 1 ) Mises au point Remarques 1 2 ) Définition d un angle: Application Soit la figure ci-contre Compléter L angle dessiné a pour sommet E Ses côtés sont les deux Demi-droites

Plus en détail

#2 Triangles, médiatrices et cercle circonscrit

#2 Triangles, médiatrices et cercle circonscrit #2 Triangles, médiatrices et cercle circonscrit I Construction d un triangle connaissant ses 3 longueurs Activité 1 : Construis un triangle dont les côtés mesurent 3, 5 et 9 cm. Que remarque-t-on? Réponse

Plus en détail

NOM et Prénom Classe de Cinquième Contrat 4 Année

NOM et Prénom Classe de Cinquième Contrat 4 Année Corrigé TEST T4 ANGLES ET TRIANGLES (55 ) Compte rendu : Fractions : SIMPLIFIEZ avant d additionner ou de soustraire! Combien de fois faut-il le répéter! Distributivité : Factorisez au maximum. Constructions

Plus en détail

Justifier. 2) Comment déceler des transformations dans une figure? 7-8

Justifier. 2) Comment déceler des transformations dans une figure? 7-8 Justifier 1) Comment justifier que page a) un quadrilatère est un parallélogramme, 2 b) un quadrilatère est un rectangle, 3 c) un quadrilatère est un losange, 4 d) un quadrilatère est un carré, 4 e) un

Plus en détail

SOMMAIRE. Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme

SOMMAIRE. Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme SOMMAIRE Fiche 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche 3 : Démontrer qu un triangle est équilatéral Fiche 4 : Démontrer qu un triangle

Plus en détail

THEOREMES DE GEOMETRIE

THEOREMES DE GEOMETRIE THEOREMES DE GEOMETRIE DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE Hauteurs : On appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au coté opposé à ce sommet.

Plus en détail

GÉOMÉTRIE PLANE. On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm On écrit : (AB) l (CD) et pas [AB] l [CD].

GÉOMÉTRIE PLANE. On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm On écrit : (AB) l (CD) et pas [AB] l [CD]. GÉOMÉTRIE PLANE Langage géométrique : notations et vocabulaire. [ ] = segment [AB] = segment d extrémités A et B. AB = longueur du segment AB (ou parfois la distance de A à B). ( ) = droite (AB) = droite

Plus en détail

Exercice de géométrie

Exercice de géométrie DOMAINE : Géométrie NIVEAU : Débutants CONTENU : Exercices AUTEUR : Igor KORTCHEMSKI STAGE : Cachan 2011 (junior) Exercice de géométrie 1 Énoncés Exercice 1 Soit ABC un triangle. Montrer que l intersection

Plus en détail

Construire et de crire une figure ge ome trique De monstrations en ge ome trie plane

Construire et de crire une figure ge ome trique De monstrations en ge ome trie plane Analyse de la figure Notes Géométrie 2016 Construire et de crire une figure ge ome trique De monstrations en ge ome trie plane Construire et décrire une figure géométrique Un programme de tracé est une

Plus en détail

CORRECTION DU DEVOIR DE RECHERCHE N 4 classe de 5e

CORRECTION DU DEVOIR DE RECHERCHE N 4 classe de 5e CORRECTION DU DEVOIR DE RECHERCHE N 4 classe de 5e I. PARTIE COURS: Je recherche dans mon livre et je copie sur ma feuille les définitions et dans chaque cas j'illustre la définition à l'aide d'un dessin:

Plus en détail

Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier. Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE

Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier. Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE 2002 Exercice 1 On donne une sphère s par son équation (x 1) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 9 et les points

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE I. DROITE ET SEGMENT 1. Généralités Il existe une droite et une seule passant par deux points A et B distincts donnés, on la note (AB). On peut dire que la droite passe par

Plus en détail

Penser : «les mesures des côtés du petit triangle sont proportionnelles aux mesures respectives des côtés du grand triangle».

Penser : «les mesures des côtés du petit triangle sont proportionnelles aux mesures respectives des côtés du grand triangle». 2 nde Ch III Géométrie Plane Théorèmes et rappels sur les angles I- Le théorème de Pythagore est sa réciproque. Hypothèses = «ce qu on sait» = conditions à vérifier pour pouvoir appliquer le théorème Conclusion

Plus en détail

LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE

LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE I. Le débat Pour discuter de la validité d'énoncés mathématiques, les mathématiciens ont mis en place des règles de débat. En mathématiques, ces principales règles sont

Plus en détail

Fiche(1) Trigonométrie. Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4. Exercice 5

Fiche(1) Trigonométrie. Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4. Exercice 5 Trigonométrie Fiche(1) La droite (PP ) est le support de la bissectrice de l angle. (RR ) est perpendiculaire à (PP ). 1) Par quels réels sont repérés chacun des points P, P, R, R sur le cercle trigonométrique?

Plus en détail

S11C. Autour de la GEOMETRIE PLANE Corrigé Vocabulaire et constructions de base

S11C. Autour de la GEOMETRIE PLANE Corrigé Vocabulaire et constructions de base CRPE S11C. Autour de la GEOMETRIE PLANE Corrigé Vocabulaire et constructions de base Mise en route at hs.c om 1. (AB) représente la droite (en noir) qui passe par A et B, [AB] représente le segment (en

Plus en détail

Les paires particulières d angles

Les paires particulières d angles Les paires particulières d angles 1 Table des matières 1 Introduction 3 2 Les angles adjacents 4 2.1 Illustration............................ 4 2.2 Définition............................. 4 2.3 Exemples

Plus en détail

Polygones, triangles et quadrilatères

Polygones, triangles et quadrilatères Polygones, triangles et quadrilatères I) Les polygones 1) Un polygone est une figure fermée composée de plusieurs segments (au moins trois). 2) Vocabulaire a) Les côtés Chaque segment qui compose ce polygone

Plus en détail

Chapitre n 4 : les triangles

Chapitre n 4 : les triangles Chapitre n 4 : les triangles I. Les propriétés de construction d'un triangle a. L'inégalité triangulaire l inégalité triangulaire Si les points A, B et C ne sont pas alignés, alors : AB+BC=4+5,5=9,5 cm

Plus en détail

Séquence 8 : ANGLES ALTERNES-INTERNES. Objectifs : Réflexion. Activité 1: Année Séance 1

Séquence 8 : ANGLES ALTERNES-INTERNES. Objectifs : Réflexion. Activité 1: Année Séance 1 Séance 1 Séquence 8 : ANGLES ALTERNES-INTERNES Objectifs : Caractérisation angulaire du parallélisme Connaitre le vocabulaire sur les angles dans le parallélisme Reconnaitre des droites parallèles Déterminer

Plus en détail

Trigonométrie. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre.

Trigonométrie. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre. Trigonométrie C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Voici un plan sommairement relevé par le géomètre Thalide. 366 m 30 B 282 m Objectifs du chapitre. Connaître et utiliser les relations entre le cosinus,

Plus en détail

Parallélogrammes particuliers

Parallélogrammes particuliers Parallélogrammes particuliers C H A P I T R E 16 Énigme du chapitre. Construire un parallélogramme ABCD de périmètre 36 cm de périmètre et dont la longueur AB est le double de la longueur BC. Objectifs

Plus en détail

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires.

Plus en détail

COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse.

COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES COURS Objectifs du chapitre : Déterminer des longueurs dans un triangle en utilisant le théorème de Pythagore ou de Thalès. Démontrer

Plus en détail

Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices

Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices DISTANCE POINT-DROITE ET BISSECTRICES 17 Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices 2.1 L équation normale d une droite Introduction : L équation normale d une droite nous permettra de calculer

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales.

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales. PRODUIT SCALAIRE I Produit scalaire Définition ( voir animation ) Soient et deux vecteurs du plan. On considère trois points O, A et tels que : OA = u et O =. On appelle produit scalaire du vecteur par

Plus en détail

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles DEMONTRER 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment 2) Démontrer que deux droites sont parallèles 3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 4) Démontrer qu un triangle est rectangle

Plus en détail

I Rappels sur les symétries :

I Rappels sur les symétries : I Rappels sur les symétries : I. 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de [ AB ]. On appelle médiatrice du segment [ AB ] la droite perpendiculaire en I à ( AB ). Propriétés : La médiatrice de [ AB ]

Plus en détail

PROPRIETES, THEOREME DE GEOMETRIE

PROPRIETES, THEOREME DE GEOMETRIE PROPRIETES, THEOREME DE GEOMETRIE Droites Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. (6ème) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,

Plus en détail

Proprié té s dé gé omé trié plané

Proprié té s dé gé omé trié plané Proprié té s dé gé omé trié plané Droites Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles (fig.1). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième

Plus en détail

Vocabulaire géométrique (Cm1) Vocabulaire géométrique (Cm2)

Vocabulaire géométrique (Cm1) Vocabulaire géométrique (Cm2) Vocabulaire géométrique (Cm1) La droite : c est un trait qui passe par un nombre infini de points alignés. On ne peut donc pas mesurer une droite. Le point : on le représente par une croix et on le nomme

Plus en détail

Les angles. 115, indique l amplitude des angles demandés et justifie ta réponse. D2 et D1 sont I1 =.

Les angles. 115, indique l amplitude des angles demandés et justifie ta réponse. D2 et D1 sont I1 =. Les angles Activité 1 : les angles remarquables Dans les spectacles, la lumière offre une féérie que le public approuve. Des faisceaux lumineux à rayons parallèles sont représentés. Sachant que D 2 = 115,

Plus en détail

I. Polygones : II. Triangles : 1) Définition : Les segments [AC], [AB] et [BC] sont les trois côtés du triangle.

I. Polygones : II. Triangles : 1) Définition : Les segments [AC], [AB] et [BC] sont les trois côtés du triangle. 1 / 6 I. Polygones : Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments. II. Triangles : 1) Un triangle est un polygone à trois côtés. Les segments [AC], [AB] et [BC] sont les trois côtés

Plus en détail

I. Les figures élémentaires :

I. Les figures élémentaires : I. Les figures élémentaires : A. Les triangles : Triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a deux de ses côtés de. un triangle est isocèle les deux côtés issus du sommet principal ont. un

Plus en détail

1 Figure symétrique par rapport à un point Construction d une figure symétrique par rapport à un point. 4

1 Figure symétrique par rapport à un point Construction d une figure symétrique par rapport à un point. 4 Sommaire 1 Figure symétrique par rapport à un point. 2 2 Construction d une figure symétrique par rapport à un point. 4 3 Propriétés de la symétrie centrale. 9 3.1 Droites symétriques..........................

Plus en détail

Angles. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre. Connaître et utiliser les propriétés relatives

Angles. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre. Connaître et utiliser les propriétés relatives ngles H P I T R 6 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Une bande de papier aux bords parallèles a été découpé comme le montre le dessin ; les deux pointes forment respectivement des angles de 34

Plus en détail

Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès Le théorème de Thalès Programmes : 4 e : - Triangles, milieux et parallèles : théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d un triangle - Triangles déterminés par 2 droites parallèles coupant deux demi-droites

Plus en détail

6 ème COURS : droites perpendiculaires et droites parallèles.

6 ème COURS : droites perpendiculaires et droites parallèles. 1 Droites sécantes Définition : deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun. Ce point commun est appelé point d intersection des deux droites. Les deux droites (d1) et (d2) se

Plus en détail

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore Théorème de Pythagore C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Tom veut rejoindre l école le plus rapidement possible. Il doit traverser une rivière de 1 mètre de large. Où faut-il

Plus en détail

Propriété Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle l orthocentre du triangle.

Propriété Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle l orthocentre du triangle. Géométrie Espace 2 nde 1 Géométrie dans l espace I. Rappels de collège A. Formumaire 1. Hauteurs Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Il y a donc 3 hauteurs

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

Trigonométrie. Mathématique. Sylvie Jancart. septembre 2015

Trigonométrie. Mathématique. Sylvie Jancart. septembre 2015 Mathématique Sylvie Jancart sylvie.jancart@ulg.ac.be septembre 2015 Equations trigonométriques élémentaires Exemple 1 : résoudre dans IR l équation sin x = 1 : 2 L examen du cercle trigonométrique montre

Plus en détail

Symétrie centrale - Exercices

Symétrie centrale - Exercices Symétrie centrale - Exercices Exercice 1 On considère le triangle ABC tel que AB = 4, 5 cm, AC = 6cm et BC = 4cm. a. Construire ce triangle. b. Tracer les symétriques A et C de A et C par rapport à B.

Plus en détail

ANGLES ET CERCLES AUTOEVALUATION

ANGLES ET CERCLES AUTOEVALUATION NOM : DELAIS :.. PRENOM :... :.. CLASSE : :.. CTM N 11 AUTOEVALUATION TRAVAIL T S P J T S P J J ai toujours mon CTM au complet aec moi Je me munis du matériel nécessaire à la réalisation de la tâche Je

Plus en détail

Exercices sur le barycentre

Exercices sur le barycentre Exercices sur le barycentre Exercice 1 : ABCD est un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AD] et J celui de [BC]. 1) Ecrire IJ comme la somme de AB et de deux autres vecteurs que l on précisera. 2)

Plus en détail

MATHÉMATIQUE MAT Prétest C. Questionnaire

MATHÉMATIQUE MAT Prétest C. Questionnaire MATHÉMATIQUE MAT-5111 COMPLÉMENT ET SYNTHÈSE II Prétest C Questionnaire Préparé par : France Joyal et Yves Robitaille Vérifié par : Paul Huard et Gilles Viau Novembre 2008 Question 1 Voici les règles

Plus en détail

THEME : ANGLES ET PARALLELISME EXERCICES CORRIGES. Exercice 1 : Exercice 2 : Sur le schéma ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

THEME : ANGLES ET PARALLELISME EXERCICES CORRIGES. Exercice 1 : Exercice 2 : Sur le schéma ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. THEME : ANGLES ET PARALLELISME EXERCICES CORRIGES Exercice 1 : Calculer l angle ˆ C. ˆ A : ˆ A et xc ˆ y sont opposés par le sommet. A ˆ = xc ˆ y = 35 Dans le triangle C, la somme des angles est égale

Plus en détail

Donc O est le milieu de segment [MM ] Donc I est le milieu de [AB] Donc I est le milieu de [BC] Donc O est le milieu de [AC] et [BD]

Donc O est le milieu de segment [MM ] Donc I est le milieu de [AB] Donc I est le milieu de [BC] Donc O est le milieu de [AC] et [BD] COMMENT DEMONTRER Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient au segment [AB] et IA = IB Propriété :Si un point appartient à un segment et est équidistant des extrémités

Plus en détail

Triangle rectangle, cercle et médiane

Triangle rectangle, cercle et médiane Triangle rectangle, cercle et médiane A) Activités préparatoires. 1. Parallèles et milieux. Exercice n 1 : Recopier et compléter les chaînons suivants : 1 er cas : (AB) est parallèle à (CD). (MN) est parallèle

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES Configurations du plan Le théorème de Pythagore s applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à une figure qui comprend des droites parallèles

Plus en détail

Configuration de Thalès

Configuration de Thalès onfiguration de Thalès H P I T R E 4 Énigme du chapitre. Tracer un segment [] de 5 cm. En utilisant le théorème de Thalès, construire le point appartenant au segment [] et tel que = 5. 7 Une construction

Plus en détail

On vous demande de donner des équations paramétriques de la droite d et p perpendiculaire à chacune de ces deux droites.

On vous demande de donner des équations paramétriques de la droite d et p perpendiculaire à chacune de ces deux droites. Géométrie analytique : Juillet 2003 (première série) Question 1 : (25%) Dans l espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz on considère les droites p x = y z = 6 q y = 3x z = 2x On vous demande de donner

Plus en détail

Angles : Définitions utiles. Angles : Propriétés utiles. Triangle : Droite des milieux. Triangle : Généralités

Angles : Définitions utiles. Angles : Propriétés utiles. Triangle : Droite des milieux. Triangle : Généralités Angles : Définitions utiles Angles : Propriétés utiles D1: Deux angles qui ont un sommet commun et un côté commun sont dits adjacents. Sur la figure ci contre, l angle en rouge et l angle en vert ont en

Plus en détail

Chapitre n 10 : «Les triangles»

Chapitre n 10 : «Les triangles» Chapitre n 10 : «Les triangles» I. Rappels Vocabulaire Les sommets sont A, B, C. Les côtés sont [ AB], [ BC ] et [CA]. Les angles sont ACB, CAB et ABC. Le côté [ AB] est opposé au sommet C. Le sommet A

Plus en détail

LES QUADRILATERES COMMENT DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST...

LES QUADRILATERES COMMENT DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST... THEME : LES QUADRILATERES COMMENT DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST... SOMMAIRE : PARALLELOGRAMME? RECTANGLE? LOSANGE? CARRE? PARALLELOGRAMME? Vous disposez principalement de deux méthodes, une concernant

Plus en détail

ANNEXE. PREMIÈRE PARTIE : ÉNONCÉS EXTRAITS DU COURS MAT (N os 1 à 55)

ANNEXE. PREMIÈRE PARTIE : ÉNONCÉS EXTRAITS DU COURS MAT (N os 1 à 55) ANNEXE PREMIÈRE PARTIE : ÉNONCÉS EXTRAITS DU COURS MAT - 4111-2 (N os 1 à 55) ANGLES 1. Des angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite sont supplémentaires. 2. Les angles opposés par

Plus en détail

Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur

Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur A la fin du chapitre, tu dois être capable de : 6 G 7 : Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée (usage

Plus en détail

Mathématique et Mécanique de Base

Mathématique et Mécanique de Base Mathématique et Mécanique de Base Pauline GERUS - Leila LEFEVBRE - Violaine SEVREZ Licence 1 STAPS BMC 51 2009-2010 Définition Repère = zone de référence Etablit en fonction des objectifs On choisit une

Plus en détail

Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur

Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur A la fin du chapitre, tu dois être capable de : 6 G 7 : Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée (usage

Plus en détail

1 Rappels et définitions Angles adjacents Angles supplémentaires et complémentaires. 6

1 Rappels et définitions Angles adjacents Angles supplémentaires et complémentaires. 6 Sommaire 1 Rappels et définitions. 2 2 Angles adjacents. 4 3 Angles supplémentaires et complémentaires. 6 4 Angles opposés par le sommet. 8 4.1 Définition................................ 8 4.2 Propriété

Plus en détail

On souhaite démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

On souhaite démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles. 1 FICHE TD 1 (9 PAGES) EXERCICE 1 On souhaite démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles. 1) Observer la figure ci- dessus, et le codage. 2) D après le codage, que sait- on? 3) En relisant

Plus en détail

HOMOTHÉTIES - TRANSLATIONS - ROTATIONS

HOMOTHÉTIES - TRANSLATIONS - ROTATIONS HOOTHÉTIES - TRASLATIOS - ROTATIOS I s - Propriétés On appelle translation de vecteur u, l'application qui à un point associe l'unique point tel que = u On la note souvent t u (ou simplement t lorsqu'il

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

ANGLES ET PARALLÉLISME

ANGLES ET PARALLÉLISME ANGLES ET PARALLÉLISME Quelques définitions Définition 1. Deux angles sont dits adjacents lorsque : 1. ils ont le même sommet ; 2. ils ont un côté en commun ; 3. ils sont situés de part et d'autre de ce

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

Triangles Triangles.odt clicprof.free.fr 1/10

Triangles Triangles.odt clicprof.free.fr 1/10 Triangles Table des matières 1Quelques rappels sur les triangles...2 1Médiatrices...2 2Bissectrices...2 3Nature d'un Triangle...2 Triangle isocèle...2 Triangle équilatéral...2 Triangle rectangle...2 2Construction

Plus en détail

Orthogonalité de droites et de plans

Orthogonalité de droites et de plans Orthogonalité de droites et de plans Par Mathtous Ce mini cours s'adresse en priorité aux élèves de première. Il a pour objectif de rappeler les propriétés essentielles des droites orthogonales et des

Plus en détail

L essentiel des notions

L essentiel des notions L essentiel des notions Sésamath Quatrième L essentiel des notions http://www.sesamath.net/ Association Sésamath http://manuel.sesamath.net/ Adaptation réalisée par Marie-Laure Besson Table des matières

Plus en détail

I) Droites du triangle

I) Droites du triangle SEMAINE 2 I) Droites du triangle 1) Les médiatrices ; cercle circonscrit a) Rappels de vocabulaire Deux droites sont parallèles ou sécantes. Elles sont sécantes si elles se coupent. Le point où elles se

Plus en détail

5. Définition. Arc de cercle. Un arc de cercle est une portion de cercle comprise entre deux points quelconques de ce cercle.

5. Définition. Arc de cercle. Un arc de cercle est une portion de cercle comprise entre deux points quelconques de ce cercle. 6 e Décrire des figures usuelles Objectif 04 Livre 12 Mots clefs. Cercle Rayon, diamètre, corde et arc d un cercle Équidistance Triangle, triangle isocèle, triangle rectangle, triangle équilatéral Base

Plus en détail

Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications

Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications Introduction : On se place dans plan affine euclidien orienté. On suppose connu : - Angles orientés de vecteurs, relation de Chasles - Pour un triangle

Plus en détail

CONFIGURATIONS DU PLAN (quelques rappels)

CONFIGURATIONS DU PLAN (quelques rappels) CONFIGURATIONS DU PLAN (quelques rappels).1polygones.1.1.parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. S Un parallélogramme admet un centre

Plus en détail

Comment démontrer que deux droites sont parallèles

Comment démontrer que deux droites sont parallèles F1 Comment démontrer que deux droites sont parallèles P : Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l une est parallèle à l autre. P : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,

Plus en détail

RECTANGLE. I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits. ABCD est un rectangle

RECTANGLE. I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits. ABCD est un rectangle RECTANGLE I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits ABCD est un rectangle Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits II- Remarque: Si ABCD un rectangle, alors (AB) est

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Il y a de la géométrie dans l'espace au bac tous les ans. Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, ı, j, k ) orthonormal de l'espace. Introduction L'espace,

Plus en détail

GE ERALITES. On peut au choix travailler avec ou sans axes, avec ou sans quadrillage en cochant ou décochant axes ou grille dans le menu Affichage.

GE ERALITES. On peut au choix travailler avec ou sans axes, avec ou sans quadrillage en cochant ou décochant axes ou grille dans le menu Affichage. GE ERALITES GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique qui permet notamment de construire des figures. Ouvrir le logiciel GeoGebra en cliquant sur son icône. La fenêtre suivante apparaît : Commande

Plus en détail

S12. Autour des POLYGONES Quadrilatères et polygones réguliers convexes. Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est un parallélogramme

S12. Autour des POLYGONES Quadrilatères et polygones réguliers convexes. Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est un parallélogramme CRPE Mise en route 1. Trouver l intrus. Justifier. 2. Voici des polygones convexes S12. Autour des POLYGONES Quadrilatères et polygones réguliers convexes 1 2 3 4 5 6 7 8 Lesquels sont : des quadrilatères?

Plus en détail