Triangle rectangle et applications

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1 Triangle rectangle et applications I. osinus d un angle aigu dans le triangle rectangle Vocabulaire : On considère l angle aigu dans le triangle rectangle en. et angle a deux côtés : Le côté [] qui est l hypoténuse Le côté [] qui est appelé le côté adjacent à l angle De même, le côté [] est le côté adjacent de l angle Définition 1 : Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d un angle aigu, le quotient de la longueur du côté adjacent de cet angle par la longueur de l hypoténuse. On note : cos = côté adjacent de l'angle = hypoténuse De même on obtiendra : cos = Remarques : 1 ette formule ne s applique q aux triangles rectangles! 2 Du fait que et sont des longueurs, alors le cosinus d un angle aigu est toujours strictement positif. 3 Du fait également que les longueurs et sont inférieures à la longueur de l hypoténuse, le cosinus d un angle aigu est toujours inférieur à 1. ONLUSION : 0 < cos < 1 4 Le cosinus d un angle aigu n a pas d unité!!! M. LMPSON, ollège Jean Renoir à Montier-en-Der 1

2 Intérêt : Le cosinus d un angle aigu permet de calculer une longueur ou la mesure d un angle dans un triangle rectangle. METHODE: 1 alculer une longueur dans un triangle rectangle as n 1: On cherche la longueur du côté adjacent. On considère un triangle rectangle en tel que = 42 et = 7,5 cm. Déterminer la valeur approchée au dixième près de la longueur. Dans le triangle rectangle en, on a : D où : cos = cos 42 = 7,5 = 7,5 cos 42 valeur exacte 5,6 cm valeur approchée alculatrice: 42? 7,5 cm Utilisation de la calculatrice en mode «degrés». as n 2: On cherche la longueur de l'hypoténuse. On considère un triangle XYZ rectangle en Y tel que YXZ = 54 et XY= 4 cm. Déterminer la valeur approchée au dixième près de la longueur XZ. Z Dans le triangle XYZ rectangle en Y, on a : cos YXZ = XY XZ? D où : XZ = cos 54 = 4 XZ 4 cos 54 XZ 6,8 cm valeur exacte valeur approchée alculatrice: Y 54 4 cm X M. LMPSON, ollège Jean Renoir à Montier-en-Der 2

3 2 alculer une mesure d angle dans un triangle rectangle On considère un triangle KLM rectangle en K tel que : LK = 4 cm et LM = 9 cm. Déterminer une valeur approchée au dixième près de la mesure de l angle KLM. Dans le triangle KLM rectangle en K, on a : cos KLM = LK LM cos KLM = 4 9 Donc : KLM 70,7 L 4 cm? K 9 cm M alculatrice: II. Triangle rectangle et cercle circonscrit Rappels : droites remarquables Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse (ou encore l hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit). I est le milieu de l hypoténuse [] I du triangle rectangle en. Donc I est le centre du cercle circonscrit du triangle. M. LMPSON, ollège Jean Renoir à Montier-en-Der 3

4 Propriété 2 : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle (et a pour hypoténuse ce côté). G F omment montrer que EFG est rectangle en G? E D R Le triangle EFG est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre le côté [EF]. Donc le triangle EFG est rectangle en G. De la même manière, on montrerait que le triangle DEF est rectangle en D et que le triangle FER est rectangle en R. PPLITION : 1 ) Tracer un segment [] de 6 cm, puis tracer le cercle de diamètre []. Placer un point sur ce cercle tel que : = 37 2 ) Montrer que le triangle est rectangle. 3 ) Déterminer la mesure de l angle. 4 ) alculer la longueur du segment [] arrondi au dixième près. REDTION : 1 ) Faire la figure 2 ) Le triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre le côté []. Donc le triangle est rectangle en. 3 ) Dans le triangle rectangle en, la somme des angles aigus est égales à 90, donc : = = 53 M. LMPSON, ollège Jean Renoir à Montier-en-Der 4

5 4 ) Dans le triangle rectangle en, on a : cos = cos 53 = 6 D où : = 6 cos 53 Donc : 3,6 cm III. Distance d un point à une droite Soit une droite (D) et un point. Le point de la droite (D) le plus proche de est le point H tel que la droite (H) est perpendiculaire à (D). H est appelée la distance du point à la droite (D). H (D) REDTION : La droite (MH) est perpendiculaire à la droite (D) en H. Donc la distance du point M à la droite (D) est MH, soit 2,4 cm. (3 carreaux) Remarque : 1 Pour tout point N de la droite (D) non confondu avec le point H, on a H < N. N 1 H N 2 N 3 (D) 2 Si le point appartient à la droite (D), alors la distance du point à la droite (D) est nulle. M. LMPSON, ollège Jean Renoir à Montier-en-Der 5

6 IV - Tangente à un cercle en un point Définition 2 : On appelle TNGENTE au cercle () (de centre O) en un point de (), la droite passant par perpendiculaire au rayon [O]. onstruction : vec l équerre Soit () un cercle de centre O et un point du cercle. Tangente au point Pour construire la tangente de () en, il suffit : 1 de tracer le segment [O] ; 2 puis de tracer la droite perpendiculaire au segment [O] passant par le point. onstruction à la règle et au compas M. LMPSON, ollège Jean Renoir à Montier-en-Der 6