Espaces vectoriels notes de cours Licence Sciences et Technologies, L1, M 2

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1 Espaces vectoriels notes de cours Licence Sciences et Technologies, L1, M 2 H. Le Ferrand, February 26, 2007 Contents 1 Espaces vectoriels Définition Exemples K n F(IR) IR IN Propriétés Sous-espaces vectoriels. Dépendance linéaire Sous-espaces vectoriels Définition Combinaisons linéaires Notion de sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs Dépendance linéaire Le concept de base et de dimension Le résultat fondamental Base Equivalence-ligne Un exemple La notion fondamentale de matrice Retour à l exemple du début de cette section Opérations élémentaires-lignes sur une matrice Espace vectoriel de dimension finie Théorème et définition Somme de sous-espaces Un premier résultat Somme de deux sous-espaces Systèmes linéaires Généralités Rang Systèmes homogènes Dimension de l ensemble des solutions Rang de la transposée

2 1 Espaces vectoriels 1.1 Définition Un ensemble V est appelé espace vectoriel sur K (K = IR ou lc ) s il est muni de deux opérations, V V V, (u, v) u + v, et K V V, (λ, u) λu vérifiant les axiomes (u, v et w sont dans V, α et β dans K): V(1) u + (v + w) = (u + v) + w, u + v = v + u V(2) il existe un vecteur 0 (le vecteur nul) tel que u V u + 0 = u V(3) pour tout u V il existe un vecteur u tel que u + ( u) = 0 V(4) α(u + v) = αu + αv V(5) (α + β)u = αu + βu V(6) (αβ)u = α(βu) V(7) 1.u = u Les éléments de V sont appelés vecteurs. Remarque 1.1 Les différentes propriétés de + font de (V, +) un groupe commutatif. 1.2 Exemples K n Par définition K n = {(α 1,..., α n ), / α i K, i = 1... n} On a (α 1,..., α n ) = (β 1,..., β n ) si et seulement si α i = β i pour tout i. Les opérations sont : (α 1,..., α n ) + (β 1,..., β n ) = (α 1 + β 1,..., α n + β n ) (1) λ(α 1,..., α n ) = (λα 1,..., λα n ). (2) Alors, K n est un K-espace vectoriel. Remarque 1.2 Dans le cas n = 1, lc est un lc -espace vectoriel, c est aussi un IR-espace vectoriel F(IR) Soit F(IR) l ensemble des applications de IR dans IR muni des opérations : f + g : x (f + g)(x) = f(x) + g(x) (3) F(IR) est un IR-espace vectoriel. αf : x (αf)(x) = αf(x) (α IR). (4) IR IN L ensemble des suites réelles IR IN muni des opérations (u n ) + (v n ) = (u n + v n ) (5) est un IR-espace vectoriel. λ(u n ) = (λu n ). (6) 2

3 1.3 Propriétés Soit V un K-espace vectoriel, on a les propriétés suivantes : (i) si u + v = u + w alors v = w. (ii) l équation u + x = v a une unique solution, notée v u. On a v u = v + ( u). (iii) ( u) = u (iv) 0.u = 0 (v) (αu) = ( αu) = α( u) (α K, u V ). (vi) ( α)( u) = αu (vii) si αu = αv avec α 0 alors u = v. Remarque 1.3 Si αu = 0, α K, u V, alors α = 0 ou u = 0. Remarque 1.4 Si les a i sont dans V, a a n = n a i, on a : n n n a i + b i = (a i + b i ) (7) n λ i a i + ( n ) λ i a = n µ i a i = 2 Sous-espaces vectoriels. Dépendance linéaire. 2.1 Sous-espaces vectoriels Définition n λ i a (8) n (λ i + µ i )a i (9) Un sous-espace S V où V est un K-espace-vectoriel, est un ensemble non vide tel que : (s1) si a et b sont dans S, a + b S ; (s2) si a S et λ K, λa S. On dit que S est un sous-espace vectoriel de V. Remarque 2.1 (s1) et (s2) équivaut à : (a, b) S S, (λ, µ) K K, λa + µb S. Remarque 2.2 Il est clair (!) que S est un K- espace vectoriel. Un sous-espace est tout simplement un espace vectoriel contenu dans un espace vectoriel ambiant (pour les mêmes opérations!) Exemple 2.3 Soit S l ensemble des solutions de { x + 2y 3z + t = 0 x + y + z + t = 0 S est sous-espace vectoriel de IR 4. Exemple 2.4 L ensemble des solutions de y + m 2 y = 0 est un sous-espace vectoriel de F(IR). Exemple 2.5 des sous-espaces de F(IR) : C(IR), C 1 (IR), C (IR), les fonctions polynomiales. (10) 3

4 2.1.2 Combinaisons linéaires Définition 2.6 Soit {a 1,..., a m } une famille de vecteurs de V. Un vecteur a V est dit combinaison linéaire des vecteurs a 1,..., a m, s il existe λ 1,..., λ m K tels que a = m λ ia i. On a la propriété immédiate : Proposition 2.7 Soit S un sous-espace de V, toute combinaison linéaire (finie) de vecteurs de S est encore dans S Notion de sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs. {a 1,..., a m } une famille de vecteurs de V (m 1). L ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs a 1,..., a m forment un sous-espace vectoriel S = S(a 1,..., a m ). Remarque 2.8 S(a 1,..., a m ) est le plus petit sous-espace vectoriel de V contenant {a 1,..., a m }. On dit que S(a 1,..., a m ) est le sous-espace engendré par a 1,..., a m. Remarque 2.9 Un problème important est de prouver qu un sous-espace vectoriel est engendré par une famille finie de vecteurs. On peut penser à l exemple des suites de Fibonacci vu dans le premier chapitre. Remarque 2.10 L autre question qui suit la précédente, est : si on a S = S(a 1,..., a m ), n-y-a-t-il pas trop de a i? Un des vecteurs a i est peut-être combinaison linéaire des autres. 2.2 Dépendance linéaire Proposition 2.11 Soit {a 1,..., a m } une famille de vecteurs de V. Un des vecteurs a i peut être exprimé en fonction des vecteurs a 1,..., a i 1, a i+1,..., a m si et seulement si il existe (µ 1,..., µ m ) (0,..., 0) tel que µ 1 a µ m a m = 0. Remarque 2.12 Dans ce cas S(a 1,..., a m ) = S(a 1,..., a i 1, a i+1,..., a m ). Définition 2.13 On dit que la famille {a 1,..., a m } est liée (ou que les vecteurs a 1,..., a m sont linéairement dépendants) s il existe (λ 1,..., λ m ) (0,..., 0) tel que λ 1 a λ m a m = 0. Dans le cas contraire on dit que la famille est libre (i.e λ 1 a λ m a m = 0 entraine λ 1 = λ 2 = = λ m = 0). Exemple 2.14 {0} est liée! Exemple 2.15 Si a 0, {a} est libre. Exemple 2.16 {a, b} est linéairement dépendant si et seulement si a = λb ou b = λ a. exercice 1 Dans IR 2 que dire des vecteurs a = (1, 1), b = (1, 1), c = (2, 1)? exercice 2 Soit l équation dans IR 3 (ou lc 3 ), x 1 + 2x 2 x 3 = 0. Montrer que S, l ensemble des solutions, est engendré par deux vecteurs u 1 et u 2. 3 Le concept de base et de dimension Dans l exercice précédent, S = S(u 1, u 2 ) avec u 1 = (1, 1 2, 0) et u 2 = (0, 1, 2). Pouvions nous diminuer le nombre de vecteurs générateurs, i.e a-t-on S = S(u)? La réponse est non. Cela vient du fait que le système (u 1, u 2 ) est libre. 4

5 3.1 Le résultat fondamental Proposition 3.1 Soit S un sous-espace vectoriel d un K-espace vectoriel V. On suppose que S est engendré par n vecteurs a 1,..., a n. Supposons que b 1,..., b p soient des vecteurs de S avec p > n. Alors la famille {b 1,..., b p } est liée. exercice 3 Regardons, à titre d exercice ce qui se passe sur un exemple. Soit S = S(a 1, a 2 ) et b 1 = 2a 1 + a 2, b 2 = a 1 + a 2 et b 3 = a 1. Trouvons une relation de dépendance entre b 1, b 2 et b Base Proposition 3.2 Supposons que S, sous-espace vectoriel d un espace vectoriel V, possède deux systèmes générateurs finis libres, {a 1,..., a m } et {b 1,..., b n }. Alors n = m. Remarque 3.3 On fera attention qu un espace vectoriel, même d ailleurs un sous-espace, n admet pas nécessairement de système générateur fini. Définition 3.4 a) Si la famille {b 1,..., b k } est libre et engendre V, on dit que c est une base de V. b) Supposons que V possède une base formée de k vecteurs. Toutes les autres bases ont alors k vecteurs. Cet entier est alors appelé la dimension de V (dim V = k). Notons que l écriture d un vecteur sur une base est unique. Exemple 3.5 La base canonique de K n. Exemple 3.6 Donner différentes bases de IR n [X], ensemble des polynômes à coefficients réels de degré n. 3.3 Equivalence-ligne Un exemple On travaille dans IR 4, il s agit de trouver une base du sous-espace vectoriel engendré par a = ( 3, 2, 1, 4), b = (4, 1, 0, 2), et c = ( 10, 3, 2, 6), et de mettre en évidence, s il y a lieu, une relation de dépendance entre a, b et c. Soit (e 1, e 2, e 3, e 4 ) la base canonique de IR 4 : a = 3e 1 + 2e 2 + e 3 + 4e 4 b = 4e 1 + e 2 + 2e 4 (11) c = 10e 1 + 3e 2 + 2e 3 + 6e 4 L objectif est de trouver de nouveaux sytèmes générateurs pour S(a, b, c). On procède de la façon suivante : (I) échanger un vecteur et un autre : S(b, a, c) = S(a, b, c). (II) remplacer un vecteur par la somme de ce vecteur et d un multiple d un autre. Par exemple on vérifie que : S(a 2b, b, c) = S(a, b, c). Remarque 3.7 Une base étant fixée (ici la base canonique de IR 4 ) les opérations précédentes sont en fait effectuées sur les coefficients (ou coordonnées) des vecteurs sur la base. 5

6 3.3.2 La notion fondamentale de matrice Nous avons déjà rencontré des matrices. Définition 3.8 Une famille ordonnée {r 1,..., r p } de p vecteurs lignes de K n est appelée matrice p n, (p lignes, n colonnes qui donnent le format de la matrice). Exemple 3.9 Soit r 1 = ( 3, 2, 1, 4), r 2 = (4, 1, 0, 2), r 3 = ( 10, 3, 2, 6), on obtient la matrice = r 1 r 2 (12) r 3 Plus généralement, si r i = (α i1,..., α in ) (i = 1,..., p), α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A =... α p1 α p2 α pn Les colonnes de A sont les vecteurs colonnes de K p, α 11 α 21 c 1 =.,..., c n = αp1 α 1n α 2n. αpn (13) (14) i) On écrit A = (α ij ) 1 i p,1 j n et parfois (A) ij au lieu de α ij. L ensemble des matrices p n à coefficients dans K est noté M pn, ou mieux K p n. Ainsi une matrice ligne est un élément de K 1 n et une matrice colonne un élément de K p 1. Proposition 3.10 K p n est K-espace vectoriel de dimension pn. ii) Si A = (α ij ) K p n, sa matrice transposée est notée A T et par définition A T = (β ij ) K n p où β ij = α ji. Exemple 3.11 A = , A T = Remarque 3.12 La tranposition transforme les vecteurs lignes en vecteurs colonnes et réciproquement. iii) On travaillera avec IR p n et lc p n. On peut remarquer que si A lc p n, il existe A 1 et A 2 dans IR p n telles que A = A 1 + ia Retour à l exemple du début de cette section Il s agit de trouver une base de S(a, b, c) en faisant de l élimination de Gauss.. 6

7 3.3.4 Opérations élémentaires-lignes sur une matrice On résume ce que l on a vu. On travaille sur une matrice A K p n. Définition 3.13 On appelle opération élémentaire-ligne sur A une opération du type : (I) échanger deux lignes de A ; (II) remplacer la ligne r i par r i + λr j (i j, λ K) : (III) remplacer r i par µr i (µ 0). Soit V un K-espace vectoriel muni d une base finie (a 1,..., a n ). Soit b 1,..., b p des vecteurs de V : Considérons A = (λ ij ) 1 i p,1 j n la matrice des coefficients. b i = λ i1 a 1 + λ i2 a λ in a n i = 1... p (15) Proposition 3.14 Les opérations élémentaires-lignes sur A, nous donnent de nouveaux systèmes générateurs de S(b 1,..., b p ) et au final dans le cadre de l élimination de Gauss, une base de S(b 1,..., b p ). Remarque 3.15 Quand a-t-on (b 1,..., b p ) libre? Remarque 3.16 On peut définir de même des opérations élémentaires- colonnes. exercice 4 Donner une base de S(b 1, b 2, b 3 ) IR 3 où b 1 = (1, 3, 4), b 2 = (4, 0, 1) et b 3 = (3, 1, 2). 4 Espace vectoriel de dimension finie 4.1 Théorème et définition Lemme 4.1 Si (a 1,..., a p ) est liée et si (a 1,..., a p 1 ) est libre alors a p S(a 1,..., a p 1 ). Proposition 4.2 Soit V un espace vectoriel possédant un système générateur fini, alors il posséde une base (évidemment finie). Définition 4.3 Un espace vectoriel possédant un système générateur fini est dit espace vectoriel de dimension finie. Démonstration 4.4 si V = {0}, la conclusion est immédiate. si V {0} possède n générateurs, intéressons nous aux familles libres de vecteurs de V. Il y en a car V {0}. Le cardinal d une telle famille ne peut excéder n. Choisissons une famille libre de cardianl maximal p : (b 1,..., b p ). Toute famille de p + 1 vecteurs est donc liée. Ainsi, si b V, (b 1,..., b p, b) est lié, or (b 1,..., b p ) est libre donc b S(b 1,..., b p ), i.e (b 1,..., b p ) est une base de V. Corollaire 4.5 Si dim V = p et si (a 1,..., a p ) est libre alors (a 1,..., a p ) est une base de V. Proposition 4.6 Si V est de dimension finie engendré par a 1,..., a n, il est possible de choisir une base de V parmi les vecteurs a 1,..., a n (dans un espace de dimension finie une famille génératrice contient toujours une base). Démonstration 4.7 si V = {0}, la conclusion est immédiate. si V {0} quitte à changer l ordre des indices, il est possible de choisir une famille {a 1,..., a r }, 1 r n, libre de plus grand cardinal, i.e n importe quelle famille de plus de r + 1 a i est liée. D après le lemme, les vecteurs a r+1,..., a n sont dans S(a 1,..., a r ), ce qui permet de conclure. Corollaire 4.8 Si dim V = p et si (a 1,..., a p ) est génératrice alors (a 1,..., a p ) est une base de V. 7

8 4.2 Somme de sous-espaces Un premier résultat On travaille en dimension finie. Proposition 4.9 Soit b 1,..., b q des vecteurs linéairement indépendants dans V. Si (b 1,..., b q ) n est pas une base de V (i.e q < dim V = n), il existe des vecteurs b q+1,..., b n tels que (b 1,..., b n ) soit une base de V. Cette propriété est une version du théorème de la base incomplète. Démonstration 4.10 Soit (a 1,..., a n ) une base de V. si q = n 1, il existe a i S(b 1,..., b q ), (b 1,..., b q, a i ) est libre, c est une base de V. si q = n s, supposons la propriété vraie jusqu à s 1 : il existe a i S(b 1,..., b q ), (b 1,..., b q, a i ) est une famille libre de q + 1 = n (s 1) vecteurs, ce qui permet de poursuivre le raisonnement par récurrence Somme de deux sous-espaces Définition 4.11 Soit S et T deux sous-espaces vectoriel de V, on pose : On vérifie que S + T est un sous-espace vectoriel de V. S + T = {s + t ; s S, t T }. (16) Proposition 4.12 Si V est de dimension finie, S un sous-espace vectoriel de V, S est de dimension finie et dim S dim V. Preuve 4.13 Si dim V = n, n importe quelle famille de n + 1 vecteurs de S est liée. Il suffit de considérer une famille maximale libre (s 1,..., s k ) de S. On a k n et S = S(s 1,..., s k ). Remarque 4.14 S = V si et seulement si dim S = dim V. Proposition 4.15 Si S et T sont deux sous-espaces d un espace de dimension finie, si S T = {0} alors dim(s + T ) = dim S + dim T. Démonstration 4.16 Soit (s 1,..., s d ) une base de S et (t 1,..., t e ) une base de T, alors la famille (s 1,..., s d, t 1,..., t e ) engendre clairement S +T. Si α 1 s 1 + α d s s +β 1 t 1 + +β e t e = 0, alors α 1 s 1 + α d s s = (β 1 t β e t e ) et comme S T = {0}, il vient 0 = α 1 s 1 + α d s s = β 1 t β e t e puis 0 = α 1 = = α d = β 1 = = β e, i.e la famille (s 1,..., s d, t 1,..., t e ) est libre... Définition 4.17 Si S T = {0} on dit que la somme S + T est directe et on la note S T. Dire que la somme est directe équivaut à dire que si x S + T, x = s + t cette écriture étant unique. exercice 5 Définir et caractériser la somme directe de trois sous-espaces. exercice 6 Montrer, S et T étant deux sous-espaces d un espace de dimension finie, dim(s + T ) + dim(s T ) = dim S + dim T. (17) 8

9 5 Systèmes linéaires 5.1 Généralités On considère le système (S) α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2... α p1 x 1 + α p2 x α pn x n = β p à p équations, n inconnues. On travaille sur IR ( ou lc ). Une solution de (S) est un n-uple (λ 1,..., λ n ) satisfaisant toutes les égalités ci-dessus. Considérons la matrice du système A = (α ij ) 1 i p,1 j n et notons c j sa j-ième colonne. Si b = (β 1,..., β p ) T alors (λ 1,..., λ n ) est solution de (S) λ 1 c 1 + λ 2 c λ n c n = b. (19) Le système homogène est alors : (18) x 1 c 1 + x 2 c x n c n = 0. (20) Il y a toujours la solution (0,..., 0)! Supposons que le système x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b ait une solution x. L ensemble des solutions du système est alors x + S H = {x + x où x est solution du système homogène} (21) S H désigne l ensemble des solutions du système homogène. Nous devons répondre aux questions suivantes : (a) Quand (S) a-t-il des solutions? (b) Si oui en trouver? (c) S H est un sous-espace vectoriel de K n, donc est de dimension finie. Quelle est sa dimension? En donner une base? 5.2 Rang Définition 5.1 Soit A = (α ij ) K p n dont les colonnes sont notées c 1,..., c n. Le rang de A est la dimension de S(c 1,..., c n ) (on parle aussi du rang des vecteurs colonnes). Remarque 5.2 ranga min(p, n). (22) Proposition 5.3 Le système x 1 c 1 + x n c n = b a une solution (on dira qu il est compatible) si et seulement si une des deux conditions suivantes est satifaite : (a) b S(c 1,..., c n ) (b) dim S(c 1,..., c n ) = dim S(c 1,..., c n, b). Démonstration 5.4 Déjà (a) équivaut à la comptabilté du système. Montrons que (a) équivaut à (b) : si b S(c 1,..., c n ) alors S(c 1,..., c n, b) = S(c 1,..., c n )! si dim S(c 1,..., c n ) = dim S(c 1,..., c n, b), comme S(c 1,..., c n ) S(c 1,..., c n, b), on a S(c 1,..., c n ) = S(c 1,..., c n, b)... 9

10 Exemple 5.5 A titre d exemple, en utilisant l élimination de Gauss (qui à chaque étape donne un système équivalent au système initial), regarder si les systèmes suivants sont compatibles ou non : { x1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 1 (23) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 3x 1 + x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 + x 3 = 1 x 1 + x 2 2x 3 = 0 Autre formulation : soit A = (c 1,..., c n ) IR p n la matrice du système, A = (c 1,..., c n, b) IR p (n+1) la matrice augmentée, le système est compatible si et seulement si ranga = ranga. 5.3 Systèmes homogènes Dimension de l ensemble des solutions α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = 0 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = 0... α p1 x 1 + α p2 x α pn x n = 0 A = (α ij ) = (c 1,..., c n ) IR p n. Posons r = ranga = dims(c 1,..., c n ) et quitte à renuméroter les colonnes, supposons (c 1,..., c r ) libre. Il existe alors pour chaque i {r + 1,..., n} une relation de dépendance linéaire : Proposition 5.6 Sous les hypothèses précédentes, (24) (25) c i = λ (i) 1 c 1 + λ (i) r c r. (26) u i = (λ (i) 1,..., λ(i) r, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) où 1 figure à la i-ième place, est solution du système homogène et (u r+1,..., u n ) est une base de l ensemble des solutions. Corollaire 5.7 (Théorème du rang version1) La dimension de l ensemble des solutions d un système homogène en n inconnues est n r où r est le rang de la matrice associée. Exemple 5.8 Etudions les systèmes suivants : { x1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 0 x 1 x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 0 (27) (28) { x1 + 2x 2 x 3 + x 4 + x 5 = 0 (29) 10

11 5.3.2 Rang de la transposée Soit A = (α ij ) IR p n, c i IR p 1 sa i-ième colonne, r j IR 1 n sa j-ième ligne. Si x = (x 1,..., x n ) T, on pose r i x = α i1 x 1 + α in x n. (30) On vérifiera que Le systèma homogène associé à A s écrit alors : (λr + µs)x = λrx + µsx. (31) r 1 x = 0... r p x = 0 Proposition 5.9 On a ranga = dim S(r 1,..., r p ), i.e le rang des vecteurs lignes et le rang des vecteurs colonnes sont égaux. Démonstration 5.10 Soit t = dim S(r 1,..., r p ) et supposons que (r 1,..., r t ) soit une base de S(r 1,..., r p ). On considère les deux systèmes : r 1 x = 0 (1)... (33) r p x = 0 et r 1 x = 0 (2)... r t x = 0 (1) et (2) ont les mêmes solutions : clairement, une solution de (1) est une solution de (2). Si x est solution de (2), pour t + 1 i p, r i = ψ 1 r 1 + ψ t r t, puis r i x = t k=1 ψ kr k x = 0... Soit A la matrice dont les lignes sont r 1,..., r t : ranga t car les colonnes de A sont des vecteurs à t composantes. Ainsi n ranga n t. Par ailleurs (1) et (2) ont le même espace de solutions, qui a pour dimension n ranga = n ranga n t, ainsi ranga t, en faite le rang des vecteurs colonnes est plus petit que le rang des vecteurs lignes. C est fini! car il suffit d appliquer ceci à la matrice A T. Corollaire 5.11 ranga T = ranga. (32) (34) 11

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