2006/2009. Laboratoire de finance des marchés de l énergie PANTONE 574 U PANTONE 576 U PANTONE 578 U BLACK

Transcription

1 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie PANTONE 574 U PANTONE 576 U PANTONE 578 U BLACK

2 éditorial SOMMAIRE Le laboratoire FiME 4 René Aïd Directeur du laboratoire de Finance des Marchés de l énergie Nizar Touzi Vice-président de la chaire Finance et Développement Durable Travaux de laboratoire 14 Les publications 42 Que peut la recherche devant les immenses défis qui se présentent au monde de l énergie et de la finance? En effet, le secteur de l énergie vit actuellement des évolutions majeures. La vague de libéralisation que le monde connaît depuis quinze ans a conduit aux développements de marchés de l électricité sur le modèle des marchés standardisés de matières premières. Les préoccupations liées à la réduction des gaz à effet de serre pour enrayer les effets du changement climatique ont elles-mêmes conduit en Europe à la création d un marché de permis d émissions négociables. Si tous ces prix permettent aux producteurs de gérer efficacement à court terme les capacités existantes, ils restent encore trop silencieux pour permettre aux décideurs de faire des choix technologiques qui les engagent sur cinquante ans. En effet, l incertitude sur le long terme semble n avoir jamais été aussi grande : ressources fossiles, régulations concurrentielle et environnementale, impacts du changement climatique... Autant d incertitudes à long terme que les prix ne reflètent pas. Tout récemment, ces difficultés sont venues se doubler d une des plus importantes crises que la finance, et de ce fait, les économies mondiales, ait connue depuis Les commentaires actuels relèvent qu il s agit à la fois d une crise de la valorisation et d une crise de la régulation. Et que la finance n en sortira pas sans de profonds changements. Dans ce monde en mouvement, la recherche n est pas restée inerte. En France, elle connaît une phase importante d adaptation : autonomie des universités, pôle de compétitivité, campus d excellence, partenariat public privé et mécénat de recherche... Autant de mécanismes qui attestent d une volonté de faciliter les initiatives locales et d augmenter les échanges entre industriels et académiques. Le laboratoire de Finance des Marchés de l Énergie participe à ces trois mondes en mouvement : l énergie, la finance et la recherche. Il a été créé en octobre 2006 à l initiative de l université Paris-Dauphine, du Centre créé de Recherche en Économie et en Statistique de l ENSAE et de la R&D du groupe EDF pour venir compléter la chaire «Finance et Développement Durable : Approches Quantitatives» d un lieu opérationnel d échanges. Son but est de contribuer au développement de méthodes de valorisation d actifs et de choix d investissement ainsi qu aux questions de régulation des marchés de l énergie au travers de modèles quantitatifs. Ses moyens sont l ouverture aux réseaux scientifiques et l échange. Il accueille ainsi des professeurs et des ingénieurs, économistes et mathématiciens. Tous désireux de faire progresser ensemble les méthodes de choix énergétiques de demain. Le lecteur trouvera dans ce premier rapport d activité un échantillon des travaux conduits par l équipe du laboratoire FiME. Régulation du marché du gaz et de l électricité, gestion des risques financiers, modélisation des prix de l électricité et du gaz, modèle de taux d intérêt mais également méthode de résolution d équations aux dérivées partielles et de réduction de variance... Voilà quelques-uns des travaux qui, nous l espèrons, convaincront le lecteur qu il est possible de contribuer aux défis actuels en faisant de la recherche utile, innovante et de qualité par l association de personnes de l industrie et de l université. 2 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 3

3 SOMMAIRE Le laboratoire FiME Les partenaires 6 Les chercheurs Les enseignants-chercheurs 8 Les ingénieurs-chercheurs 10 Les doctorants 12 Ils ont rejoint le laboratoire FiME 13 Le laboratoire FiME Le laboratoire FiME, ce sont des partenaires et des personnes partageant le même intérêt pour les questions de méthode. Trois ans après sa création, ces pages donnent la parole à ses partenaires fondateurs : l université Paris-Dauphine, le CREST, EDF R&D et la chaire Finance et Développement Durable. Elles présentent également tous ceux qui font de ce projet une aventure humaine. Séminaire du laboratoire FiME. 4 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 5

4 Les partenaires FiME, laboratoire virtuel, carrefour de rencontre et d échange Elyes Jouini Vice-président de l université Paris-Dauphine chargé de la recherche, directeur de l Institut de Finance de Dauphine. Dans le monde de l énergie, la prise en compte du long terme dans les décisions d investissement est fondamentale, et le développement des produits dérivés pose par ailleurs des problèmes de calcul inédits. Tout cela constitue un domaine de recherche extrêmement vivant, et fondamentalement pluridisciplinaire. Le laboratoire FiME et la Chaire sont un lieu où des idées nouvelles sont en train de naître pour apporter des réponses concrètes à ces nouveaux enjeux. C est un «laboratoire virtuel», carrefour de rencontres et d échanges entre des spécialistes qui se situent à la pointe de leur discipline. Un lieu très ouvert, qui a réussi à attirer très largement, bien au-delà du cercle initial, des chercheurs d autres universités, qui viennent participer aux groupes de travail où s élabore la réflexion, et assister à nos séminaires et conférences. C est cette interaction qui est, pour nous, l élément fort de ce partenariat. Après un an d existence, nous constatons que la «greffe» a pris de façon extraordinaire. Pour nous, universitaires, c est une formidable opportunité pour apprendre à travailler de manière concrète et régulière avec les industriels. Avec EDF R&D, nous avons la chance d avoir en face de nous des ingénieurs-chercheurs qui connaissent parfaitement le monde de la recherche et savent inscrire leur réflexion dans la durée. Cette première expérience est d ores et déjà une réussite, qui nous ouvre la voie à d autres collaborations, avec EDF ou d autres partenaires. Le défi a été relevé avec succès, et ce n est que le début! Avec le laboratoire FiME, notre effort est démultiplié : il y a un véritable effet de levier PANTONE 574 U PANTONE 576 U PANTONE 578 U BLACK François Carême Directeur des programmes Réseaux et Management d énergies d EDF R&D, membre du Conseil d orientation de la chaire Finance et Développement Durable et de son Comité de pilotage, ainsi que du Comité d orientation du laboratoire FiME. L une des préoccupations d EDF est d optimiser ses choix et de gérer ses risques dans une perspective de long terme, où les contraintes environnementales et les raretés énergétiques seront dominantes. C est sur ces thématiques, développées dans les programmes de recherche que je pilote au sein d EDF R&D, que travaille le laboratoire. La logique de sa création était de trouver des synergies avec le monde universitaire. En ouvrant nos thèmes de recherche à des partenaires scientifiques, nous poursuivions un double objectif : d une part, être plus efficace au contact de scientifiques de haut niveau travaillant sur des thèmes voisins ; d autre part, bénéficier d un «effet de levier» en faisant travailler des chercheurs d autres instituts et tirant parti de leurs réseaux. Le laboratoire FiME s intéresse ainsi aux liens entre la finance et les marchés de l énergie ; son intérêt scientifique réside dans l efficacité de la recherche sur les critères et méthodes d optimisation, de gestion des actifs et de gestion des risques à long terme. La proximité entre la Chaire et le laboratoire, entre des économistes et des mathématiciens de haut niveau (Dauphine, le CREST, l École polytechnique ) a permis de faire progresser la recherche dans les thèmes souhaités. À titre d exemple, on peut citer l application à la gestion des réserves pétrolières de la théorie des jeux à champ-moyen, évolution notable de la recherche en mathématique due à Pierre-Louis Lions et ses collaborateurs. Ou encore, l amélioration du calcul de valeur d option sur le marché de l électricité au-delà du modèle traditionnel de Black-Scholes. Une vraie dynamique s est instaurée, et l entrée de l École polytechnique, il y a un an et demi, a permis d introduire encore plus de rigueur dans le pilotage des recherches. L équipe est de bon niveau, les synergies et l «effet réseau» jouent pleinement : le défi a été relevé avec succès, et ce n est que le début! Yannick Jacquemart Chef du département OSIRIS (Optimisation, Simulation, Risque et Statistiques) au sein d EDF R&D, membre du Comité d orientation du laboratoire FiME. Au sein de mon département à EDF R&D, nous n avions qu une demi-douzaine de chercheurs spécialisés dans les mathématiques financières. en effet, cette compétence est relativement nouvelle dans notre domaine, puisque le souci de se couvrir des risques financiers n est apparu qu avec l ouverture des marchés. Ces chercheurs étaient donc assez isolés. Nous manquions de masse critique pour cette compétence émergente. La chaire Finance et Développement Durable et le laboratoire associé ont été pour nous le moyen d intéresser la communauté financière à nos problématiques, d adapter les techniques financières aux spécificités des marchés de l énergie, et de fournir à nos chercheurs un environnement stimulant. Avec le laboratoire FiME, notre effort est démultiplié : il y a un véritable effet de levier. Grâce à ce partenariat, que l on peut qualifier de stratégique, nous parvenons désormais à faire vivre cette compétence à un bon niveau et de façon pérenne, avec une masse critique interne limitée. Ce laboratoire permet d entretenir un contact permanent avec la communauté scientifique, de bénéficier de ses connaissances et de la veille permanente qu elle effectue ; le temps de passage du savoir académique à la recherche appliquée est accéléré. Faire de la recherche dans un tel environnement où tout est facilité est beaucoup plus efficace, intéressant et valorisant pour nos chercheurs. Pour le manager que je suis, cela me fournit une réassurance sur la qualité des travaux qu ils mènent. Ceux qui participent à ce laboratoire sont les chercheurs le plus en pointe sur l amont. Bien reconnus par la communauté scientifique, ils ne sont pas pour autant coupés du département. En interne, ils supervisent les travaux de recherche plus appliquée menés par d autres collaborateurs. Ils sont des passeurs de savoir, pour faire monter plus vite les jeunes en compétences. Le relais entre la recherche amont et la recherche appliquée est ainsi bien assuré. C est une structure qui fonctionne avec une grande souplesse Bertrand Villeneuve Professeur d économie à l université Paris-Dauphine, chercheur au CREST. Spécialiste de l économie de l énergie, je faisais partie des rares chercheurs qui s intéressaient à l économie du gaz naturel, au travers des techniques de l économie industrielle, et à l analyse de la régulation des marchés de l énergie. Dès qu il a été question de sa création, j ai manifesté mon intérêt pour le laboratoire FiME ; très complémentaire à mes activités au sein du CREST, il m a en outre permis de m intégrer progressivement à l université Paris-Dauphine. Je consacre au laboratoire environ une journée par semaine, en proposant chaque année un nouveau sujet d études. J ai ainsi travaillé sur des thèmes comme les cessions d actifs liées aux restructurations, ou l économie du stockage du gaz naturel. Pour moi, le principal intérêt du laboratoire FiME est d être un lieu de rencontre et de débat entre chercheurs et industriels. Par ailleurs, l effet de groupe cautionne nos recherches et leur assure une bonne visibilité. Enfin, le laboratoire FiME me permet de confronter les doctorants que j encadre à des interlocuteurs variés qui valident la pertinence de leur travail. Bien que nos interlocuteurs d EDF aient parfois des contraintes qui limitent leur engagement dans la durée, nos contacts sont cependant fructueux. Ils m aident à hiérarchiser les problématiques, à bénéficier d une veille technologique, tandis que je leur apporte des méthodologies utiles dans leur travail au quotidien. Bref, c est une structure qui fonctionne. Nous bénéficions d une grande souplesse de gestion sur la base de projets et des moyens financiers d une politique incitative en matière de publications. Le laboratoire FiME nous offre la possibilité de travailler à un très bon niveau, en mobilisant les meilleurs mathématiciens et économistes sur des sujets qui auraient été difficiles à financer sur les seuls fonds publics. Un partenariat gagnantgagnant entre les deux parties Jean-Michel Lasry Président du Comité de pilotage de la chaire Finance et Développement Durable, professeur associé de l université Paris-Dauphine, conseiller scientifique du Directeur Général du Crédit Agricole CIB. Au moment de leur création, en 2006, le laboratoire FiME et la Chaire étaient des précurseurs. à l époque, il n existait pas de lieu de rencontre pluridisciplinaire de ce type. Grâce à cette coopération entre université et industrie, les spécialistes de la finance, de l économie, des mathématiques, de l énergie, de l économie du carbone, du développement durable, des matières premières, etc. peuvent désormais croiser leurs compétences et leur expérience pour traiter les problématiques de façon transversale. Cette initiative a été à l origine d un véritable courant porteur, qui a fait école depuis lors. Notre collaboration scientifique avec le laboratoire est très étroite. les chercheurs du laboratoire FiME nous apportent leurs problématiques industrielles. en retour, nous leur fournissons les éléments théoriques qui contribuent à répondre à ces problématiques. Au sein de cette équipe très large, la dynamique a très bien pris. c est toute la collectivité des chercheurs qui bénéficie de cette entente globale. Exemple concret de cette fructueuse collaboration : la théorie des jeux à champ-moyen, qui fournit un cadre mathématique nouveau pour poser les questions d investissements à long terme dans des capacités de production. Autre exemple : avec Roger Guesnerie, titulaire d une chaire d économie au Collège de France, nous avons travaillé sur le thème «Calcul économique et développement durable», en étudiant notamment les taux d actualisation à utiliser pour les projets à très long terme - 50 à 100 ans. Au-delà, cette coopération illustre bien l intérêt du partenariat publicprivé, beaucoup moins développée en France qu aux USA : un partenariat gagnant-gagnant entre les deux parties, au bénéfice de tous 6 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 7

5 Danielle Florens Les chercheurs Les enseignants-chercheurs Structure ouverte, le laboratoire FiME accueille des chercheurs affiliés à ses partenaires fondateurs, mais venant d autres institutions également (École polytechnique, INRIA, université de Colombie Britannique). Structure souple, les chercheurs consacrent seulement une partie de leurs temps à ce projet. JOSEPH Frédéric Bonnans Diplômé de l École centrale Paris et docteur-ingénieur de l université de Technologie de Compiègne, Joseph Frédéric Bonnans est professeur chargé de cours au Centre de Mathématiques Appliquées de l école polytechnique. Il est également directeur de recherche à l Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA) où il dirige l équipe COMMANDS qui s intéresse notamment aux questions d optimisation dynamique. Luciano Campi Luciano Campi, titulaire d un doctorat en mathématiques de l université Pierre et Marie Curie (2003), est maître de conférence à l université Paris-Dauphine depuis Il est affilié au CEREMADE. Il est également co-responsable du Master Ingénierie Statistique et Financière (ISF) de Dauphine où il enseigne les modèles de taux et le calcul stochastique. Ses recherches portent sur les mathématiques financières. Gilles Chemla Gilles Chemla est ingénieur des ponts et chaussées, et titulaire d un doctorat en économie de la London School of Economics. Il est habilité à diriger des recherches par l université Paris-Dauphine. Il est également directeur de recherches au CNRS depuis Il a rejoint le Laboratoire FiME depuis sa création. Ses centres d intérêts sont la finance d entreprise : fusions acquisitions, capital investissement et capital risque, politiques d investissements et de financement, les privatisations et, dernièrement, les fonds de pension. Romuald Elie Romuald Elie est maître de conférence en mathématiques appliquées à l université Paris-Dauphine. Il est titulaire d un doctorat de mathématiques. Ses travaux portent sur les mathématiques financières, les probabilités numériques, le contrôle stochastique et les équations différentielles stochastiques rétrogrades. Danielle Florens est professeur au CEREMADE à l université Paris-Dauphine et membre du Comité de pilotage de la chaire Finance et Développement Durable. Ses travaux figurent parmi les premiers réalisés sur l estimation des paramètres des processus de diffusion à partir d observations discrètes. Outre ses activités de recherche, Danielle Florens est également impliquée dans de nombreux projets de développement de formations universitaires en Afrique. Alfred Galichon Alfred Galichon est professeur d économie à l École polytechnique et ingénieur en chef des Mines. Il est titulaire d un diplôme d ingénieur de l École polytechnique et d un doctorat en économie de l université d Harvard. Ses travaux portent sur l économie, la microéconomie et la finance quantitative. Il a été distingué en 2010 par le Cercle des Économistes et le journal Le Monde Diplomatique. Nizar Touzi Bertrand Villeneuve Bertrand Villeneuve est professeur à l université Paris- Dauphine. Ingénieur diplômé de l École centrale Paris, il est docteur en économie (EHESS, 1996). Il est agrégé du supérieur en sciences économiques. Il est également directeur scientifique de la Fondation du Risque, et éditeur associé du Journal of Risk and Insurance. Ses centres d intérêt sont l économie des risques et de l assurance, les marchés de l énergie et l organisation industrielle. Jean-Michel Zakoïan Jean-Michel ZAKOÏAN est professeur à l université de Lille. Il est depuis 2006 membre de l EQUIPPE, laboratoire se consacrant à l étude théorique et empirique des phénomènes économiques, de leurs modélisations et de leurs prévisions. Il effectue depuis près de 20 années ses recherches sur l économétrie financière. Il est, en 2009, co-auteur de l ouvrage «Modèle GARCH -Structure, estimation et application financières» paru chez Economica. Nizar Touzi est professeur à l École polytechnique. Il a également enseigné à Imperial College, à l ENSAE, à l université de Princeton et HEC. Spécialisé en finance mathématique, il est Vice-président de la Société Bachelier et éditeur au sein de divers journaux de mathématiques financières et de probabilité. Il a remporté en 2007 le Prix Europlace du meilleur Jeune Chercheur en Finance. Il est 8 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 invité au Congrès International de Mathématiques en Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 9

6 Les ingénieurs-chercheurs Olivier Féron La première fonction d un ingénieur-chercheur n est pas de produire de la recherche académique, mais des solutions opérationnelles pour l industrie. Toutefois, les ingénieurs-chercheurs trouvent dans le laboratoire FiME le moyen d être à l état de l art des techniques de calcul économique et des méthodes numériques tout en faisant connaître aux universitaires les problèmes des industriels de l énergie. Ils partagent ainsi leur temps entre les projets opérationnels du groupe EDF et le développement de travaux évalués sur la base de leurs publications et de leur pertinence. René Aïd Olivier FERON est ingénieur de l École supérieure d électricité et docteur en mathématiques appliquées de l université d Orsay (2006). Il a alors rejoint EDF comme ingénieur-chercheur en statistique et en mathématiques financières, appliquées, entre autre, à la gestion actif-passif pour le compte de la direction financière du groupe EDF. Il a rejoint le laboratoire FiME en Ses centres d intérêt sont la modélisation des prix de l électricité et la gestion des risques financiers. Nadia Oudjane Arnaud Porchet Diplômé de l École polytechnique en 2004, Arnaud PORCHET a effectué sa thèse à EDF R&D au sein du laboratoire FiME et a obtenu le titre de docteur de l université Paris-Dauphine en Il a été chercheur au CREST, puis à l université de Princeton. Ses recherches ont été centrées sur des problématiques d organisation et de valorisation sur les marchés de l énergie, et en particulier, les mécanismes de trading des droits à émettre du carbone. Il est actuellement Senior Associate au département Strategic Risk Solutions de Citigroup. Corinne Chaton Xavier Warin Ingénieur-docteur, chercheur auprès d EDF R&D, René AÏD est Directeur du laboratoire de Finance des Marchés de l Energie. Après avoir animé des équipes autour de modèles de calcul économique et de gestion des risques à EDF R&D, il s est spécialisé dans la modélisation des prix et l optimisation de la production. Ses travaux se consacrent à l analyse de la gestion des risques à long terme, aux dynamiques d investissement et à l application des mathématiques à la finance d entreprise. Corinne CHATON est docteur en économie de l université de Toulouse pour ses travaux sur les «Décisions d investissement en environnement incertain avec une application au secteur électrique». Après avoir travaillé au sein de la Direction de la Recherche de Gaz de France, elle a rejoint le département d économie d EDF R&D en novembre 2005 pour se pencher sur les problématiques gazières et environnementales. Elle est chargée de cours à l université Paris XII. Elle est également chercheur associée au CABREE (Centre for Applied Business Research in Energy and the Environment) de l université d Alberta. Nadia OUDJANE est ingénieur de l École nationale supérieure d aéronautique et de l espace et docteur en mathématiques appliquées de l université de Rennes. Ses travaux de thèse ont porté sur les méthodes particulaires appliquées aux filtrages non-linéaires dans le cadre d un partenariat avec l ONERA. Elle est ingénieur expert à EDF R&D et travaille sur la gestion des risques, les mathématiques appliquées à la finance et les probabilités numériques. Elle est également professeur associée en mathématiques appliquées à l université Paris XIII. Ingénieur expert d EDF R&D et diplômé de l École nationale supérieure des techniques avancées, Xavier WARIN a travaillé dans le domaine de la neutronique pour les cœurs de réacteurs, notamment sur les équations de transport et de diffusion. Spécialiste des méthodes numériques, il s est investi également dans le domaine financier et a développé des outils de contrôle stochastique en grande dimension ainsi que des outils de décision pour des projets d investissement. 10 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

7 Philippe Février Les doctorants De gauche à droite : Marie Bernhart, Émilie Fabre, Mathilde Bouriga, Adrien Nguyen Huu, Laure Verdier, Laure Durand-Viel et Amélie Mauroux. Le laboratoire FiME compte parmi ses acteurs des doctorants d institutions très diverses, comme on pourra en juger par la liste suivante. Les sujets qu ils abordent participent également d une recherche pluridisciplinaire entre économie et mathématiques appliquées. Marie Bernhart poursuit des recherches sur les méthodes de valorisation d actifs physique ou financier de stockage de gaz au sein du laboratoire de Probabilités et de Modèles Aléaoires de l université Paris-Diderot. Sous la direction de Huyên Pham, professeur à l université Paris-Diderot, de Peter Tankov, professeur chargé de cours à l École polytechnique, et de Xavier Warin, elle développe des schémas numériques de résolution d équations différentielles stochastiques rétrogrades modélisant la dynamique de ces problèmes de valorisation. Mathilde Bouriga s intéresse dans sa thèse au problème de l estimation des matrices de corrélations de processus de diffusion, objet central dans les problèmes de mesure de risque et d allocation d actifs. Rattachée au CEREMADE à Dauphine, elle développe une approche d estimation bayésienne sous la direction de Christian Robert, professeur à l université Paris- Dauphine, de Jean-Michel Marin, professeur à l université de Montpellier II, et d Olivier Féron. Laure Durand-Viel finalise actuellement une thèse financée par le CREST et dirigée par Bertrand Villeneuve, sur l économie et la régulation du marché du gaz. Elle aura travaillé pendant trois ans sur les aspects stratégiques liés aux contrats de long terme. Elle occupe actuellement un poste d économiste à l Autorité de la Concurrence. Émilie Fabre, quant à elle, réalise une thèse en mathématique financière sous la direction de Nizar Touzi, professeur à l École polytechnique, au CMAP. Elle s attaque à des problèmes de couverture d un actif indivisible par un portefeuille d actifs financiers. Amélie Mauroux travaille sous la direction de Bertrand Villeneuve au CREST. Ses recherches portent sur l analyse des marchés de l énergie et tout particulièrement, du gaz naturel. Elle examine les relations entre les politiques de l énergie et de l environnement en Europe, et, dans une approche normative, se penche sur l évaluation des leviers et des instruments économiques mobilisés. Les travaux de thèse d Adrien Nguyen Huu portent sur la valorisation de produits dérivés dans des marchés incomplets. Sous la direction de Bruno Bouchard, professeur à l université Paris-Dauphine et de Nadia Oudjane, il développe des méthodes basées sur du contrôle optimale stochastique pour calculer des stratégies optimales de couverture de produits dérivés sur le marché de l électricité. Comme Mathilde, il est rattaché au CEREMADE. Laure Verdier travaille sur l investissement socialement responsable et ses interactions avec la politique environnementale des entreprises au sein de Dauphine Recherche en Management. Sa thèse dirigée par Gilles Chemla, traite actuellement de l impact d investisseurs verts et socialement responsables sur les prix des actifs, sur les choix de portefeuilles ainsi que de leurs conséquences sur les décisions d investissement des entreprises. Ils ont rejoint le laboratoire FiME Ivar Ekeland, Philippe Février et Delphine Lautier ont souhaité participer à la dynamique de recherche créée par la chaire Finance et Développement Durable et le laboratoire FiME sur les questions de modélisation économique, d énergie et de gestion durable. Ivar Ekeland Ivar EKELAND est titulaire d une Chaire de Recherche du Canada en Economie Mathématique, à l université de Colombie Britannique (Vancouver). Il l a rejointe en 2003, après une longue activité à l université Paris-Dauphine, dont il a été président de 1989 à Il a acquis depuis longtemps une renommée internationale qu il doit à des travaux de premier plan dans de nombreux domaines : analyse convexe et non linéaire, théorie du contrôle, mécanique hamiltonienne, géométrie symplectique, économie mathématique et finance. Parmi ses nombreux écrits, il est récompensé respectivement des prix Jean Rostand et d Alembert pour ses livres Le calcul, l imprévu (1984) et Au hasard (1991), dans lesquels il développe notamment la question de la frontière entre déterminisme et hasard soulevée par la théorie du chaos. Personnalité du monde de la recherche, Ivar Ekeland est également très concerné par la diffusion au plus grand nombre des nouveaux concepts dégagés par la science dont il s attache avant tout à faire ressortir la portée philosophique. Il a ainsi publié de nombreux ouvrages de vulgarisation scientifique, tels Le chaos ou Le chat au pays des nombres, parus en 2006, qui connaissent un grand succès en France et à l étranger. Philippe FÉVRIER est directeur du CREST-LEI et professeur chargé de cours à l École polytechnique et à l ENSAE. Spécialiste en économie industrielle et en économie appliquée, ses recherches portent sur la théorie des enchères, des contrats, des incitations et de la politique de la concurrence. L année 2003 le voit recevoir successivement un prix de l AFSE, pour ses travaux sur les enchères multi-unités, et la prestigieuse bourse Fulbright. Dans le cadre du laboratoire FiME, Philippe Février se propose d étudier la formation des prix et l importance du rôle des enchères sur le marché de l énergie ainsi que le marché des droits à polluer. S il existe de nombreux travaux sur les enchères, peu d entre eux portent sur l analyse comportementale des firmes sur le marché de l énergie. Ce sujet présente un vif intérêt pour les organisateurs d enchères et pour le régulateur. Aucune étude empirique du marché des droits à polluer n a été menée, à ce jour, sous un angle microéconomique, ce qui implique de prendre en compte les décisions des firmes sous contrainte des allocations issues des accords de Kyoto. De tels travaux permettraient pourtant d anticiper les effets de nouvelles politiques. Delphine Lautier Delphine LAUTIER est maître de conférence à l université Paris-Dauphine et rattachée au Cereg. Chercheur associée au Cerna, à l École des Mines de Paris, elle est spécialisée dans la structure par terme des prix sur les marchés de matières premières. Elle a dirigé un groupe d étude du laboratoire FiME visant à élaborer des stratégies dynamiques de couvertures sur le marché du pétrole brut. Dans le cadre du laboratoire FiME, Delphine Lautier a concentré ses recherches sur le lien entre le marché physique et le marché dérivé des matières premières. Ses recherches ont abouti à un modèle qui trouve un équilibre entre la théorie centrée sur l information dégagée par les prix et la théorie axée sur la gestion des risques des dérivés. Ses travaux ont permis d expliquer les relations entre le prix au comptant et les prix à terme et ainsi d analyser conjointement la couverture des risques et la découverte des prix. Ces modèles présentent un intérêt vif pour toutes les entreprises qui produisent, vendent ou utilisent des matières premières. 12 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

8 SOMMAIRE Travaux de laboratoire Aperçu de l économie saisonnière du gaz 16 Quotas ou tarif de rachat : que choisir? 18 Pallier aux effets d aubaine des marchés de droits carbone 20 Intégration verticale ou marchés à terme? 22 Les entreprises, oubliées de l analyse de l ouverture du marché de l énergie 24 Vers une meilleure évaluation du risque 26 Essequatuer sequis auguer adiamet nonum nulla consequate venibh exerci blam zzrit et vulla Modèle GARCH guidé par des comportements exogènes 28 Comprendre la formation des prix de l électricité 30 Méthodes de Monte Carlo pour les EDP non linéaires 32 Adapter les produits dérivés aux besoins des entreprises 34 Optimisation d une décision d investissement 36 Les systèmes naturels à la rescousse de l algorithmique : application aux méthodes de Monte-Carlo 38 Un modèle de courbe des taux au service d une gestion actif-passif de long terme 40 Travaux de laboratoire La technique nécessaire à la rigueur scientifique peut rendre difficile la compréhension des travaux de recherche. Dans les pages qui suivent, nous avons souhaité rendre accessible au plus grand nombre les résultats de travaux du laboratoire FiME au travers de synthèses en deux pages. 14 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

9 Aperçu de l économie saisonnière du gaz D après un entretien avec Bertrand Villeneuve à propos de son article co-écrit avec Corinne Chaton et Anna Creti, «Some Economics of Seasonal Gas Storage», publié en 2008 dans Energy Policy. Difficile de dessiner le paysage de l industrie moderne du gaz. D où l idée qu ont eue Bertrand Villeneuve, Corinne Chaton et Anna Creti de l analyser dans un cadre cohérent en se focalisant sur l économie du stockage saisonnier, en étudiant la relation entre quantités stockées et prix, et l impact de contraintes externes, comme les politiques publiques, par exemple. L idée a germé suite à la déréglementation dans les années 90 des marchés de l énergie aux États-Unis et en Europe, et aux nombreux travaux qui en ont découlé ; or si certains portaient sur la production ou le transport du gaz, peu s intéressaient à l économie de son stockage, véritable casse-tête pour les outils d analyse classique. En effet, il est insuffisant d observer des marchés spot à un instant t, le transport et le stockage du gaz permettant une déconnection entre production et consommation contrairement à l électricité. Le stockage est d autant plus difficile à modéliser qu un autre type d acteurs doit aussi être pris en compte : les stockeurs purs. Les prix à un instant t dépendent donc de conditions instantanées d offre et de demande, des chocs et des anticipations de prix. Quoi qu il en soit, le stockage est, pour les chercheurs, au centre de l industrie du gaz - flexibilité, moindre investissement en infrastructure de production et de transport ou amortissement des fluctuations de prix. Un modèle simple du marché saisonnier du gaz D où le parti pris des chercheurs d un horizon temporel infini, mais basé sur un cycle saisonnier, partagé entre un été à la fin duquel les stocks sont maximum, et un hiver à la fin duquel les stocks sont vides. Les chercheurs ont donc créé, avec un objectif de clarification, un modèle simple du marché du gaz saisonnier pour comprendre comment le stockage, par nature source de flexibilité de l industrie du gaz, peut être une activité économiquement viable. La différence significative entre prix futurs et les prix spot sont le moteur du stockage. Bernard Villeneuve, Corine Chaton et Anna Creti ont ainsi décrit dans une première étape les fondamentaux de ces marchés, pour déterminer les conditions optimales de fonctionnement d une industrie de stockage, et se sont penchés, dans une deuxième étape, sur les possibilités de dysfonctionnement, de détournement et d abus. stockage. Mais plafonner les prix en hiver, par exemple, réduirait l écart de prix entre les deux saisons, et découragerait le stockage. Ce même plafonnement des prix en hiver, par ailleurs, ne responsabilise en rien consommateur pour l utilisation d une ressource rare : des mesures telles que rationnement, listes d attente, priorités etc. devraient être mises en place, avec tous les risques liés (subjectivité, lobby etc.). C est pourquoi les chercheurs proposent à partir de leur modèle une réflexion sur une politique de prix optimal, qui par ailleurs aurait un impact plus positif sur l économie de stockage qu un simple «laissez-faire». Bertrand Villeneuve expliquant un modèle d économie du gaz. Se basant sur une étude menée en Europe et aux États-Unis, les chercheurs ont établi un modèle simple des marchés saisonniers du gaz, afin de comprendre le lien entre quantités stockées et prix. Ce modèle permet de déterminer dans un premier temps l équilibre concurrentiel sous les conditions idéales de stockage ; il est suffisamment flexible pour incorporer des phénomènes tels que les chocs d offre ou de demande, ou encore l épuisement progressif des ressources. Enfin est discuté l impact des politiques publiques telles que le plafonnement de prix et les réquisitions. Les limites d un arbitrage La pression de l opinion publique ou l incompréhension de la logique du stockage peuvent conduire à imposer des régulations qui vont tuer dans l œuf l incitation à stocker. Le modèle montre la limite de politiques de lissage ou de plafonnement de prix, voire de prix unique, qui supprimeraient la source de revenus de l industrie de stockage. Or, sans marché libre dont le stockage est un aspect capital, seraient observés des replis sur soi des opérateurs, un manque de transparence des marchés, des vagues de concentration etc. Avec toutes les difficultés à terme pour les régulateurs d évaluer ces entreprises. L impact de contraintes externes Le modèle a permis de comparer la performance idéale du marché avec celle qui résulterait d une quelconque intervention. Si la performance idéale est atteinte lorsque les coûts marginaux de production et les dispositions marginales à payer se valent, cet équilibre est rapidement bousculé par des dispositions mal évaluées, tel un plafonnement des prix (price cap). Ce dernier ne se justifie que dans la mesure où il défend les intérêts des consommateurs sans décourager l économie du Le modèle peut servir le régulateur pour déterminer l efficience (ou la non-efficience) d une politique de lissage ou de régulation des prix. Les auteurs mettent ainsi en garde les pouvoirs publics contre une intervention qui découragerait l industrie du stockage par manque de revenus. En revanche, ils mettent en évidence l aide qu un plafonnement des prix pourrait apporter à une communauté de consommateurs qui pourrait alors exercer un véritable pouvoir sur le producteur dès lors qu elle s organise par le biais d une coordination entre états et d une véritable politique européenne en ce sens. 16 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

10 EDF Médiathèque - Didier Marc Quotas ou tarif de rachat : que choisir? D après un entretien avec Corinne Chaton autour de l article soumis pour publication «Competition and Environmental Policies in an Electricity Sector», co-écrit avec Marie-Laure Guillerminet 1. Deux mécanismes économiques permettent actuellement de contribuer à la réduction des gaz à effet de serre : les quotas d émissions qui contraignent les installations industrielles, et les tarifs de rachat qui stimulent l investissement dans les énergies renouvelables. Corinne Chaton et Marie-Laure Guillerminet montrent dans quelles conditions ces deux instruments peuvent engendrer des conflits d objectifs. Vue aérienne de la centrale thermique de Porcheville, en bord de Seine. Installation sujette à un quota d émissions de gaz carbonique. Sensible à l impact des émissions totales de gaz à effet de serre (GES) sur le réchauffement climatique, la communauté européenne a ratifié le protocole de Kyoto en 1997, qui fixe des objectifs aux pays industrialisés pour stabiliser les concentrations de CO 2 dans l atmosphère. Les chercheurs sont donc parties du paquet Climat Energie adopté par la Commission européenne en 2008, fixant, entre autres objectifs pour 2020 : -20 % en réduction de gaz à effet de serre par rapport au niveau de 1990, +20 % d énergies renouvelables (EnR) et +20 % en efficacité énergétique. D une part, imposer des quotas de CO 2 semblait la solution la plus «directe» pour diminuer les émissions de CO 2 ; d autre part, la promotion des EnR avait aussi trouvé Les chercheurs ont développé un modèle grâce auquel vont être observés le niveau optimal d investissement en capacité de production d électricité, les productions mensuelles des différentes technologies, les émissions de CO 2, les prix, les profits et le surplus des consommateurs. Pour chaque structure de marché étudiée, monopole ou duopole, premièrement deux types de consommateurs sont considérés : les dépendants au climat, ou non ; et deuxièmement sont observés les impacts des politiques environnementales (aucune politique ; avec tarifs de rachat ; avec quotas de CO 2 ). Le modèle est appliqué sur une période de 15 ans, de 2006 à 2021, et utilise des données françaises de la DGEMP. EDF Médiathèque - Arfaras Fabrice sa solution en France : les tarifs de rachat, subventions sans lesquelles le développement des EnR n auraient pu avoir lieu aussi rapidement par manque de maturité technologique. Ces deux solutions paraissent donc fortement liées, contribuant toutes deux théoriquement à la diminution des émissions de CO 2. Quelle est la meilleure politique énergétique? Les chercheurs se sont donc intéressées au mix énergétique et à l impact des deux politiques environnementales - quotas et tarifs de rachat - sur les décisions d investissement et de production sur le marché de l électricité. Elles ont par ailleurs étudié deux structures de marché : monopole régulé (maximisation du surplus des consommateurs et du profit du producteur) ou duopole (opérateur historique + ensemble des autres producteurs agrégés en un deuxième opérateur). n Si le choix entre les différentes structures et entre les deux politiques environnementales considérées est basé sur la maximisation du surplus collectif et la minimisation des émissions de CO 2, alors la réponse est le monopole régulé. n Si la décision est basée sur la concurrence avec le moins d émissions possibles de CO 2, alors la meilleure réponse est le duopole contraint par des quotas d émission de CO 2. Politique qui aura un coût pour le consommateur dont le surplus diminuera par rapport à la situation avec un planificateur social : en situation de duopole, chaque entreprise va maximiser son profit, les quantités proposées seront plus faibles et d autant plus du fait de l existence des quotas. n Si la décision est de favoriser l entrée de concurrents, alors la politique des tarifs de rachat est la solution la plus adaptée. Mais cette politique ne va profiter qu à ses bénéficiaires. L opérateur historique verra une baisse de ses profits et le consommateur une baisse de son surplus. Ferme solaire de Narbonne. Par ailleurs, la politique des tarifs de rachat va permettre l augmentation des investissements en éolien et en solaire qui, paradoxalement, peuvent amener à une augmentation des émissions de GES! Sources d électricité intermittentes, elles sont souvent associées aux énergies fossiles polluantes (telles des turbines au fioul, par exemple). Attention, si investir dans les énergies renouvelables semble contre-productif en matière de réduction des émissions de CO 2, cette constatation dépend du parc de production installé et de la forme de la demande. En Allemagne, la situation est inverse : de nombreuses centrales à charbon sont déjà installées, et ce sont elles qui sont couplées avec des EnR! L association des deux politiques est-elle optimale? Le modèle montre que l association de ces deux instruments (tarif de rachat et quotas d émission de CO 2 ) peuvent générer des conflits d objectifs. Éviter ces conflits exige d assouplir les contraintes d émission de CO 2, chose qui peut être faite grâce à des échanges de quotas, (hypothèses non traitées par le modèle, par manque de visibilité sur les prix futurs), ou encore de mettre des limites aux investissements en EnR, ou en abandonnant les tarifs de rachat (ce qui devrait être une mesure transitoire). En conclusion, les chercheurs montrent que les politiques doivent tenir compte du mix énergétique et de la structure du marché et qu une politique efficace dans un pays peut avoir des résultats opposés dans un autre. Il semblerait que compte tenu de la structure du parc en France, les tarifs de rachat s avèrent efficaces pour promouvoir les EnR, ils sont aussi des instruments contre-productifs en termes d émissions de CO 2. Leur prochaine étape : prendre en compte le paramètre éludé de l efficacité énergétique ; et regarder les conclusions du modèle à partir d une étude portant sur l association de deux marchés (l Allemagne et la France, par exemple). L intérêt de ces travaux est de montrer les conflits d objectifs de ces deux politiques pour le parc français. Ils mettent par ailleurs en relief la contrainte liée à l obligation de rachat faite à EDF ; contrainte d autant plus forte qu elle se rajoute à l obligation d anticipation de l extension du réseau. Par ailleurs, ces travaux pointent également un risque de gaspillage des capacités de production installées : investir (grâce aux tarifs de rachat) dans des EnR combinées à de nouvelles centrales à combustibles fossiles peut induire une sous-utilisation des capacités déjà installées pour les consommateurs du pays étudié. 1. Université de Hambourg. 18 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

11 Pallier aux effets d aubaine des marchés de droits carbone D après un entretien avec Arnaud Porchet à propos de son article «Market Design for Emission Trading Schemes» co-écrit avec René Carmona 1, Max Fehr 2 et Juri Hinz 3 et à paraître en 2010 dans SIAM Review. Le système actuel de droits carbone à émettre présente l inconvénient de favoriser certains acteurs et de passer une grande partie des coûts aux consommateurs. Il est sousoptimal mais pourrait être modifié pour adapter les quotas de droits carbone à la demande et compenser le poids supporté par les consommateurs. Deux systèmes de gestion des droits à polluer existent : le marché des droits à émettre (EU Emissions Trading Scheme) et les systèmes de cap-and-trade (États-Unis, Canada, Australie et Japon). Leur objectif est de réduire la pollution en introduisant des mécanismes de marché. Dans l ETS, une autorité centrale alloue les droits à émettre entre producteurs et participants pour une période prédéterminée de manière à atteindre un certain niveau global d émissions. Marché des droits à émettre et effets d aubaine L objectif de l ETS est de réduire la pollution globale au coût le plus faible pour la société. Néanmoins, le système tel qu il est conçu aujourd hui implique un transfert de richesse du consommateur au producteur pouvant Pour cette étude, les chercheurs ont élaboré un modèle mathématique d analyse du système européen d échange des droits d émission (EU ETS). En analysant les imperfections du système en place, ils ont ensuite élaboré un modèle d allocation relative des droits permettant de répondre à certaines critiques adressées à l EU ETS. Ce modèle a été testé contre le benchmark représenté par l EU ETS entre 2005 et 2008 (première phase). excéder le coût social de réduction de la pollution. Une des solutions consisterait à redistribuer au consommateur une partie des gains des producteurs d électricité grâce à une taxe et en vendant les droits à émettre en début de période. La taxation peut être lourde à mettre en place sur le plan politique et présente un risque réglementaire plus important que le système de trading. L allocation initiale des droits à émettre est délicate : le régulateur doit naviguer entre excès ou manque de droits. La mise aux enchères de la totalité des droits représente un risque important pour les entreprises car elles ne savent pas si leur coût sera plus élevé que le revenu généré plus tard. Toutefois, l allocation initiale distribue les coûts au sein du système. Ces coûts sont passés au consommateur final. Les effets d aubaine sont importants pour les producteurs d électricité : tout d abord, ils reçoivent les droits à émettre gratuitement. Ensuite, les producteurs d électricité facturent chaque mégawattheure au prix marginal (incluant le coût de pollution), indépendamment des coûts de production associés. Le coût de la pollution est ensuite incorporé dans le prix des biens. Schéma relatif : un moyen d optimiser le système en place La taxation rend difficile la maîtrise de la production. Le régulateur devrait adapter la taxe pour contrôler l impact. D une manière générale, les prix des droits à émettre convergent vers zéro (cas d un excès de droits à émettre) ou vers le prix de pénalité (si les droits sont insuffisants). La seconde phase ( ) de l EU ETS prévoit une sanction de non-respect des objectifs plus élevée qu en première phase ( ) : de 40 à 100 euros plus le prix spot du droit à émettre pour la période suivante. La mise en place d un schéma relatif permettrait de supprimer l effet d aubaine initial et de minimiser les coûts pour les consommateurs. Au lieu de se cantonner à l allocation initiale de droits à polluer, il s agirait de délivrer les quotas de manière continue proportionnellement à la production et la consommation. C est donc une incitation continue à maintenir les prix de production bas et à prendre en compte les évolutions de la demande d électricité. Ce schéma présente néanmoins une difficulté : atteindre la quantité absolue des droits à émettre. Les enchères, particulièrement difficiles à modéliser, pourraient être un outil utile. Arnaud Porchet montrant ses conclusions. Application pour les régulateurs des marchés carbone Les régulateurs ont des difficultés à anticiper les quantités de droits carbone nécessaires à la réduction de la pollution au cours d une période considérée. Libérer les quotas de manière régulière permet d adapter les quotas à la demande d électricité (et éviter les excès d allocation), mais aussi à la production (et éviter les effets d aubaine). Par ailleurs, cela réduit les effets d aubaine liés à la distribution initiale gratuite des droits. 1. René Carmona est professeur d ingénierie financière à l université de Princeton. 2. Max Fehr est post-doctorant à la London School of Economics. 3. Juri Hinz est professeur associé à l université de Singapour. 20 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

12 Intégration verticale ou marchés à terme? D après un entretien avec Gilles Chemla autour de l article soumis pour publication intitulé «Hedging and Vertical Integration in Electricity Markets» co-écrit avec René Aïd, Arnaud Porchet et Nizar Touzi. Les mécanismes de gestion du risque sur le marché de l électricité, intégration verticale ou marchés à terme, sont des substituts, mais imparfaits : ils permettent d avoir les mêmes effets (baisse des prix du marché de détail et augmentation des parts de marché des agents intégrés ou non), mais ils présentent des différences importantes d intérêt pour un producteur et un fournisseur. De nombreuses raisons expliquent que les entreprises du marché de l électricité se penchent sur la gestion de risques. Gilles Chemla en distingue deux catégories : les risques opérationnels (risques de pénalités imposées par le régulateur si elles ne satisfont pas la demande). Et les risques plus financiers (comme les intérêts de lisser les profits dans le temps). Pour y faire face, elles ont classiquement utilisé deux outils : soit l intégration verticale, soit les marchés à terme. Intégration verticale ou marchés à terme? Ces questions reviennent très souvent dans les réflexions de décideurs : gérer ses risques au moyen de l intégration verticale ou simplement faire appel au marché financier? Or, si ces deux voies de gestion du risque ont donné lieu à une abondante littérature académique, elles ont, paradoxalement, toujours fait l objet d études séparées : n soit ces études ont porté sur une gestion de risque court terme, l entreprise faisant appel au marché financier pour ce faire (pour rappel, les marchés à terme liquide en électricité excèdent rarement 3 à 6 mois), n soit elles ont choisi l intégration verticale comme réponse à leur besoin de gestion de risque à long terme. L originalité des travaux de Gilles Chemla et de ses co-auteurs est de montrer l existence d un lien entre ces deux outils de gestion de risque, et leur interrelation. Si l angle d étude choisi porte sur le marché de l électricité, commodité non stockable, leurs arguments peuvent s appliquer beaucoup plus généralement à toute forme de commodités. Intégration verticale et marchés à terme sont des substituts Les chercheurs ont d abord démontré qu intégration verticale et marchés à terme sont deux mécanismes substituts, dans la mesure ou ils autorisent tous deux une diversification du risque. Plus particulièrement pour les entreprises aval, c est-à-dire les fournisseurs, cette diversification les autorise à ouvrir plus de comptes clients et augmenter leur activité : l offre s élargit et corrélativement le prix de détail diminue. La concurrence s accroît sur le marché de la commercialisation, au détriment de la profitabilité des industries de commercialisation mais au bénéfice du consommateur. Barrage de Saint-Pierre- Cognet, France. sur les segments amont et aval de l industrie, l appel aux marchés à terme ne couvre pas entièrement les risques soit de faire appel aux marchés spot en cas de hausse de la demande, soit de payer plus cher que le coût réel en cas de baisse de la demande. Cette flexibilité face à l incertitude de la demande est possible dans le cas d une intégration verticale, mais l est moins dans le cas des marchés à terme. Les conclusions de ces travaux de recherche sont robustes. À partir du moment où il existe sur le marché des agents non intégrés sensibles au risque, alors les marchés à terme seront toujours utilisés mais l intégration verticale garde des atouts en termes de gestion des risques qui sont hors de portée des marchés à terme. EDF Médiathèque - zumstein michael Les chercheurs ont comparé deux grands outils de gestion des risques financiers du marché de l électricité, outils que sont d un côté les marchés à terme, et de l autre, l organisation de l entreprise entre production, trading et commercialisation. L originalité de l article est de donner pour la première fois un équilibre sur trois marchés différents que sont le marché de gros spot, le marché de détail et le marché à terme. Le modèle d équilibre est illustré par le marché français de l électricité. mais des substituts imparfaits. Les chercheurs montrent également des différences entre les deux mécanismes, différences d intérêt importantes selon que l on est un fournisseur pur ou un producteur pur. Les fournisseurs jouent un jeu plus risqué que les producteurs puisqu ils doivent d abord saisir des clients puis ensuite se couvrir, tandis que l électricité étant non stockable, les producteurs connaissent la demande au moment de produire. En premier lieu, ces deux mécanismes ne traitent pas également l asymétrie entre production (sensible à la fluctuation des coûts ou au prix de gros) et commercialisation (sensible à la fluctuation de la demande). Les profits réalisés sur le marché de gros au comptant ne dépendent pas du prix de détail alors que les profits du marché de détail dépendent aussi du prix du marché de gros au comptant. De ce fait, les producteurs tirent toujours un bénéfice de l existence d un marché à terme alors que ce ne sera pas toujours le cas pour un fournisseur. L intégration verticale, puisqu elle porte sur ces deux segments, élimine cette asymétrie, contrairement aux marchés à terme. Par ailleurs, l intégration verticale est un mécanisme de gestion de risques plus robuste que les marchés à terme. Si l intégration verticale diversifie les opérations EDF Médiathèque - zumstein michael Alors que les entreprises s interrogent régulièrement sur la possibilité d intégrer verticalement certains producteurs ou fournisseurs afin de gérer leurs risques plutôt que sur celle de recourir simplement aux marchés à terme, la littérature académique n avait pas, jusqu ici, analysé la gestion des risques à travers ses deux instruments. Cet article s attache à clarifier leurs qualités respectives et les incitations à intégrer un fournisseur ou un producteur en présence de marchés à terme. Dans la salle des marchés : opérateur de marché téléphonant devant des écrans de contrôle. 22 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

13 Les entreprises, oubliées de l analyse de l ouverture du marché de l énergie D après un entretien avec René Aïd autour de son article «Long Term Risk Management for Utility Companies: the Next Challenges» à paraître en 2010 dans International Journal of Theoretical & Applied Finance. La libéralisation du marché a mis en lumière des incohérences entre analyse et gestion des risques à moyen et à long terme des producteurs d électricité. Les outils aujourd hui utilisés issus du secteur financier sont inadaptés, et ceux de la période monopole dépassés. D où la nécessité selon l auteur d initier un nouvel élan de recherche. La libéralisation du marché de l électricité a introduit des changements considérables. Aux États-Unis, certaines de ses conséquences furent la crise californienne de l énergie, l affaire Enron, les pics de prix ou encore les interruptions de service (black outs). En Europe, les anciens monopoles producteurs d électricité ont vécu un changement majeur de modèle centré sur la planification vers un modèle dominé par la stratégie commerciale et concurrentielle sans que les outils de gestion n aient atteint la maturité nécessaire. Des modèles historiques inadaptés Les hypothèses sous-jacentes aux modèles de calcul économique du temps du monopole (certitudes sur les tarifs, sur les clients, sur la réglementation) ne sont plus vérifiées. Les facteurs de risques économiques et financiers sont beaucoup plus nombreux que par le passé. Historiquement, le modèle d affaires des producteurs d électricité consistait à satisfaire la demande au moindre coût et en respectant un certain niveau de qualité de service (fiabilité). Le principe de spécialité impliquait que les monopoles ne pouvaient assumer que la production, le transport et la distribution d électricité. Mais ce principe leur évitait de se poser la question de leur modèle d affaire. L équilibre à long terme entre investissements et production était déterminé par la planification et le niveau d obligations de fourniture d électricité (équivalent à un coefficient d aversion au risque). Le prix de l électricité devant être stable et uniforme entre les consommateurs, il était déterminé en fonction des coûts marginaux de production. Les paramètres influençant la production ont gagné en complexité : la réglementation (environnementale et financière) du marché et les subventions aux énergies renouvelables et à la production décentralisée introduisent des distorsions par rapport à la rentabilité naturelle des différentes filières technologiques. La nécessaire mise en cohérence des adaptations Face à ces évolutions, les entreprises ont procédé à un grand nombre d adaptations : changement de statut, passage du taux d actualisation issu du plan (8 %) au calcul du coût du capital (10 %) et mise en place de systèmes de gestion de risque financier inspiré du monde bancaire (Value at Risk et limites de risque pour toutes les entités). Toutefois, ces transformations ont conduit à la coexistence de paramètres de gestion des risques dont la cohérence d ensemble doit être reposée. Ainsi, on peut citer la question du lien entre le coût du capital et les limites de risques fixées à l aide de mesure de risque de type Value at Risk. Même si ces deux paramètres ont des champs d action bien séparés (la sélection des projets d investissement pour le premier et la gestion du capital économique pour les seconds), ils portent tous les deux des informations sur les préférences des entreprises face au risque et devraient être reliés. De plus, le maintien dans les processus de décision du coût de défaillance issu du monopole et porteur d information sur l aversion au risque de l entreprise pose aussi des problèmes d articulation avec les paramètres précédents. Ces difficultés appellent à un programme de recherche permettant de répondre à ces besoins des entreprises. Un tel programme de recherche passe par la réalisation de modèles quantitatifs. Toutefois, les difficultés méthodologiques sont grandes. Si les modèles sont trop réalistes, leur complexité induit des calculs numériques qui ne font qu obscurcir l analyse au lieu de l éclairer. S ils sont trop pauvres, ils trahissent l importance des différents leviers de décision des entreprises. Les modèles de finance quantitative développés par Rochet et Villeneuve (Corporate portofolio management, Annals of Finance, 2005) paraissent à l auteur un juste milieu propice à l analyse de la gestion des risques. L auteur espère voir se développer cette voie de recherche sur la gestion des risques financiers dans l entreprise, et y contribuer. EDF Médiathèque - morin alexis Cette étude procède à une revue de la littérature académique, de ses apports et de ses lacunes en matière d analyse de la gestion des risques des fournisseurs d électricité. L auteur a qualifié et confronté plusieurs analyses afin d identifier les domaines propices à la recherche à venir. Il pointe notamment sur les insuffisances des outils existants et leur inadaptation aux besoins des entreprises du secteur. Application pour les managers L article montre les limites des outils utilisés par les entreprises du secteur, tels que la value at risk. Or, il n existe à ce jour pas de recommandation académique pour les managers d entreprises productrices d électricité. Des modèles spécifiques de gestion des risques pour les producteurs d électricité sont pourtant indispensables, ce qui implique de trouver des alternatives aux outils utilisés actuellement. Les programmes de recherche, divisés entre les analyses de dynamiques de prix et les conseils aux régulateurs, doivent s étendre aux besoins des entreprises. Chantier de l EPR à Flamanville. Un investissement capitalistique dont la durée de vie prévisionnelle est de quarante ans. 24 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

14 Vers une meilleure évaluation du risque D après un entretien avec Alfred Galichon à propos de son article «Comonotonic Measures of Multivariate Risks» co-écrit avec Ivar Ekeland et Marc Henry et à paraître en 2010 dans Mathematical Finance. EDF Médiathèque - sargos alexandre Par mesure de sécurité, les régulateurs imposent aux établissements financiers de provisionner des fonds à hauteur des risques qu ils encourent. Provision que les décideurs ont tendance à essayer de minimiser pour immobiliser le moins d actif possible. Comment alors choisir la meilleure mesure du risque pour une régulation plus efficace? Direction Optimisation Amont Aval Trading EDF. Suivi de la courbe de puissance pour analyse des besoins. Depuis les accords de Bâle II en 2004, les établissements financiers sont tenus de détenir un montant de fonds propres qui dépend du niveau de risque de leurs positions. Il est donc essentiel à la fois pour les entreprises et pour les régulateurs de pouvoir évaluer le risque que présente chaque position financière, y compris lorsqu il s agit d un investissement dans une autre entreprise (une filiale par exemple). D un côté le régulateur veut pénaliser le risque pris en imposant une somme à immobiliser, d un autre côté les managers cherchent à minimiser cette somme, et pas nécessairement le risque. Mais quelles propriétés devrait vérifier une mesure de risque optimale? La Value at Risk (VaR), l outil le plus utilisé sur les marchés financiers pour évaluer les risques est-t-elle pertinente? Incite-t-elle réellement les entreprises à un comportement plus vertueux, c est-à-dire moins risqué? Les chercheurs veulent montrer que les mesures de risque dépendant de plusieurs variables et vérifiant la condition de «cohérence forte» admettent une représentation sous forme de fonctions de corrélation maximale. Ils proposent des exemples de calcul de mesure de risque «fortement cohérente» à plusieurs variables en utilisant des algorithmes classiques. Les limites de la Value at Risk La VaR de niveau 99 % imposée par les accords de Bâle II est définie comme la plus petite quantité de fonds propres qui permet de couvrir les pertes dans 99 % des cas. Elle ne prend donc pas en compte les pertes dans le 1% de cas restants. Par ailleurs, pour les régulateurs, utiliser la VaR pour évaluer le risque n est pas totalement satisfaisant car «tout risque peut être découpé en petites parties qui sont indétectables pour la VaR», explique Alfred Galichon. En effet, si cette mesure du risque est utilisée pour déterminer la somme réglementaire qu une entreprise doit détenir, créer des filiales qui couvrent séparément certains de ses risques permet à un groupe de réduire considérablement (et même, l annuler dans certains cas) le montant à provisionner sans diminuer pour autant le risque qui pèse sur ses positions. Pour éviter ces arbitrages réglementaires, les chercheurs recommandent d utiliser une mesure du risque sous-additive, c est-à-dire telle que diversifier les sources de risque au sein d une même entreprise permette également de diminuer le risque global. Vers un équilibre «Imposer une mesure de risque sous-additive permettrait de ne pas inciter les managers des entreprises à créer des filiales qui dispersent le risque», explique Alfred Galichon. Mais, a contrario, la mesure de risque ne doit pas favoriser systématiquement les conglomérats. Pour obtenir un équilibre entre ces deux contraintes, les chercheurs expliquent que la mesure de risque utilisée pour calculer le montant de fonds propres à provisionner doit vérifier la propriété dite de «cohérence forte». C est-à-dire que les régulateurs doivent imposer aux entreprises de provisionner la somme permettant de faire face au pire des scénarios de risque envisagés afin d annuler l effet artificiel de réduction du risque lorsqu il est éclaté entre plusieurs entités. En imposant une mesure de risque qui vérifie cette propriété, les entreprises ne sont donc pas incitées à former des conglomérats pour diminuer les sommes à provisionner. Hétérogénéité des facteurs de risque Un autre problème soulevé dans cet article est celui de la diversité des facteurs de risque. Peuvent-ils tous être ramenés à un risque financier? Une approche classique de quantification du risque consiste à évaluer en euros tous les facteurs de risque et à se rapporter ainsi au seul facteur de risque financier. Mais est-il possible de donner une valeur financière à un risque environnemental ou humain comme la pollution d une rivière ou un accident de travail? De plus, donner un prix à ce type de risque pourrait dans certains cas inciter les entreprises à agir de manière contraire à l éthique en ne percevant plus que le coût économique de ce type de risque. Ainsi plutôt que d agréger tous les risques en un risque de type financier puis de quantifier celui-ci, Ivar Ekeland, Alfred Galichon et Marc Henry proposent de considérer la mesure de risque comme une fonction complexe qui dépend de plusieurs variables. Idée sous-jacente : les différents facteurs de risque peuvent être évalués dans des unités différentes qui ne sont pas systématiquement des euros. Applications pour le régulateur n Avec cette étude, les chercheurs attirent l attention des régulateurs sur la nécessité de mettre en place des mécanismes de mesure du risque qui orientent les entreprises vers des comportements éthiques. L enjeu : un meilleur équilibre de l économie. n Les chercheurs soulèvent également la question du bien-fondé de la conversion de tous les types de risque en un risque financier et proposent de considérer des mesures de risque qui reposent sur plusieurs variables à travers l utilisation d une fonction complexe. 26 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

15 Modèle GARCH guidé par des comportements exogènes D après un entretien avec Jean-Michel Zakoïan autour de son article co-écrit avec Nazim Regnard et soumis à publication «A Conditionally Heteroskedastic model with time-varying coefficients for daily gas spot prices». Cet article introduit les processus GARCH à coefficients variables dans le temps (modèle stochastique non linéaire) pour modéliser la volatilité des prix de marché du gaz. Ce choix de méthode permet de reproduire deux phénomènes importants : les agrégats de volatilité (les tendances) mais également les variations des facteurs exogènes qui impactent l offre et la demande, et par la même, le paramétrage du modèle. Répéter un grand nombre de fois une expérience pour en déduire la fréquence d occurrence d événements est l idée maîtresse des probabilités et des statistiques. En finance, comme dans toute science sociale, on s aperçoit toutefois que les observations successives des variables étudiées sont issues d un système en perpétuelle évolution. Ainsi, chaque jour, l «expérience» n est pas rejouée dans des conditions identiques. Pour tenir compte de cette évolution de la structure sous-jacente du marché, des modèles ayant une volatilité dynamique ont été introduits. En particulier, les modèles GARCH permettent de déclencher des périodes de plus fortes volatilités lorsque des phénomènes anormaux, susceptibles de déstabiliser les marchés, sont observés. Ces modèles ont été introduits par Bollerslev en 1986 à partir de travaux de Hengle en Ils n ont depuis pas cessé d être perfectionnés. Nazim Regnard et Jean-Michel Zakoïan, proposent un modèle étendant les modèles GARCH en permettant d introduire une dépendance supplémentaire de la volatilité à un ensemble d états exogènes quelconques. Le modèle proposé permet de mieux prendre en compte la structure fluctuante des marchés financiers. Bien qu extrêmement générale, la méthode peut être appliquée à l étude des cours de l électricité. En effet, ces marchés prennent en compte des effets de saisonnalité liés à la variation des besoins énergétiques, ou bien aux modes de consommation différents suivant les jours de la semaine. La principale difficulté est de savoir quelles sont les conditions pour que le modèle proposé ait un sens et comment estimer ses paramètres. Les paramètres d un modèle GARCH correspondent à un niveau de volatilité minimal, à une vitesse de retour à une volatilité basse et à un coefficient de déstabilisation en cas d observation d anomalie. Ces trois paramètres, fixes, dans un modèle GARCH classique, dépendent ici d états exogènes du système. Toute la pertinence de ce type d approche dépend alors de la capacité de son utilisateur à estimer correctement ces paramètres. Sans cela, le résultat des simulations peut soit diverger, on obtient alors des résultats arbitrairement grands, soit donner une vision biaisée du phénomène étudié. Jean-Michel Zakoïan expliquant le fonctionnement des processus GARCH. L étude du sujet se veut théorique et approfondie. L article met en avant les propriétés probabilistes et les méthodes d estimation des paramètres de modèles à coefficients variables. Outre le formalisme théorique, il propose d appliquer la méthode aux prix journaliers du gaz en utilisant la température comme variable exogène. Différents régimes de températures seront mis en évidence, avec différentes dynamiques de volatilités. L estimation des paramètres est réalisée à l aide de la méthode du maximum de vraisemblance, adaptée au problème. Les mouvements innovants extraits des données historiques doivent suivre une loi de Gauss, et ne pas posséder de régime inter-temporel. La vraisemblance est la probabilité que les mouvements observés suivent effectivement la loi spécifiée par le modèle. Les paramètres sont ajustés pour que la loi soit maximale. Les auteurs présentent et démontrent plusieurs théorèmes, permettant de prouver que sous des conditions relativement peu restrictives, la méthode fonctionnera correctement. L existence d une solution non explosive est prouvée par un théorème, pourvu que l hypothèse ergodique soit vérifiée. C est-à-dire que les états exogènes soient explorés de manière homogène au cours du temps. Les paramètres doivent, en outre être contraints par une inégalité qui dépend à la fois des caractéristiques de la volatilité et des probabilités d occupation des états exogènes. Ils explorent ensuite des cas particuliers, où les états exogènes peuvent être périodiques, stationnaires, ou être représentés par une chaîne de Markov. L analyse des séries temporelles financières a connu des développements remarquables dans les deux dernières décennies. Les modèles de type GARCH sont une des voies importantes permettant de mieux appréhender la nature fluctuante des marchés financiers. La dépendance du modèle à des états exogènes de la nature permettra une meilleure modélisation des marchés et en particulier celui de l énergie. EDF Médiathèque - eranian philippe Centre de stockage gaz de Cellino Attanasio, Italie. La possibilité de conditionner la dynamique de volatilité d une série de prix par plusieurs régimes du niveau de température, permettrait d effectuer de la prédiction. De façon plus générique, il serait pertinent de pouvoir prédire la dynamique d une série temporelle en fonction d un état futur d un ou plusieurs facteurs exogènes. 28 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

16 EDF Médiathèque - brault philippe Comprendre la formation des prix de l électricité D après un entretien avec Luciano Campi autour de l article «A Structural Risk-Neutral Model of Electricity Prices» co-écrit avec René Aïd, Adrien Nguyen Huu et Nizar Touzi et publié en 2009 dans Int. Jour. of Theoretical & Applied Finance. Le marché de l électricité peut-il être étudié à l aune des outils en vigueur sur les marchés financiers? «Oui, répond Luciano Campi, mais à condition de démontrer qu il est possible de contourner la contrainte de non-stockabilité de ce produit singulier». Pour cela, les chercheurs ont développé un modèle qui lie les prix de l électricité aux matières premières qui permettent de la produire. EDF Trading. Luciano Campi fait remarquer que «si nombre chercheurs utilisent les outils destinés aux marchés d actions pour comprendre les mécanismes en jeu sur le marché de l électricité, la question de la pertinence de ces outils est rarement étudiée». En particulier, quel est l impact du caractère non stockable de l électricité sur la formation des prix? Quel lien y a-t-il entre prix à court terme (spot) et à long terme (forward)? Les chercheurs apportent un début de réponse à ces questions en montrant que si l électricité n est pas stockable, les matières premières combustibles qui permettent sa production, elles, le sont. Les chercheurs développent un modèle qui, en contournant la contrainte de non stockabilité de l électricité, vise à faire le lien entre prix spot et prix à terme sur ce marché. Leur étude se base sur l hypothèse d une économie dans laquelle toute l électricité est produite par des centrales thermiques. Le marché spot de l électricité est par ailleurs supposé concurrentiel. Non-stockabilité de l électricité : une caractéristique bien spécifique L électricité est un bien singulier qui peut difficilement être comparé aux commodités traditionnellement échangées sur les marchés. Son caractère non stockable, en particulier, fait qu elle est consommée au moment où elle est produite. L hypothèse d absence d opportunité d arbitrage (tous les acteurs décèlent les opportunités de profit à long terme et veulent les saisir, résultat : le prix de l actif tend naturellement vers son prix de non-arbitrage) qui prévaut dans les modèles de marchés financiers n a donc plus aucun sens lorsqu il s agit d électricité. En d autres termes, explique Luciano Campi, «le prix à terme n est pas égal au spot capitalisé au taux d intérêt du marché et rien ne permet de lier les prix à court et long termes en matière d électricité». Un constat qui n a pourtant pas empêché l émergence de modèles mathématiques entièrement basés sur la relation censée lier prix spot et à terme de l électricité (des modèles qui s appuient notamment sur les travaux de Black et Scholes). Prix à court et long termes Luciano Campi invite à distinguer, comme sur tous les marchés, les prix à court et à moyen termes qui caractérisent le marché de l électricité. n Le prix spot : ils correspondent aux prix négociés la veille pour le lendemain et reflètent donc l équilibre entre offre et demande à court terme. Le caractère non stockable de l électricité fait peser sur ces prix une forte volatilité puisqu une augmentation de la demande ne peut être compensée immédiatement par un ajustement de l offre. Un phénomène d autant plus complexe à anticiper que les variations de demande peuvent difficilement être prévues : elles reposent sur des variables non maîtrisées (conditions climatiques en particulier). n Le prix à terme : pour minimiser les risques de volatilité qui pèsent sur le marché spot, les opérateurs signent des contrats de vente et d achat de l électricité sur des périodes de un, voire plusieurs mois. Le prix de l électricité sur le marché à terme est alors négocié largement en amont de sa consommation. Mais existe-t-il vraiment un lien entre prix spot et à terme? Et est-il possible de le modéliser comme pour les marchés financiers? Établir un lien entre prix spot et prix à terme Si l électricité ne peut être stockée, les chercheurs font remarquer que les matières premières qui concourent à sa production (notamment le gaz et le pétrole), elles, le peuvent. Ils ont conçu alors un modèle qui permet de lier le marché de l électricité avec ceux des combustibles. Les chercheurs s affranchissent ainsi de la contrainte de non stockabilité de l électricité et montrent que prix spot et à terme sont liés. En d autres termes, ils montrent qu il est pertinent d utiliser des modèles neutres au risque (basés Tokyo, quartier de Shinjuku la nuit. L électricité est indispensable à notre vie quotidienne. sur l hypothèse d absence d opportunité arbitrage) pour comprendre comment se forment les prix de l électricité sur le marché. La question des pics de prix Leur modèle basé sur les énergies combustibles est d autant plus pertinent qu il permet de rendre compte des pics de prix, habituellement difficiles à modéliser sur les marchés de l électricité. Ces pics correspondent au moment où «des hausses soudaines de la demande (par exemple en période de grand froid) se rapprochent de la production maximale du système productif», explique Luciano Campi. Des pics de prix qui ne s observent pas sur les marchés d actions par exemple où suite à une augmentation soudaine, les prix mettent généralement beaucoup de temps à retrouver un niveau initial. Cette recherche est l une des rares à établir un lien concret, basé sur le marché des combustibles, entre prix spot et prix à terme sur le marché de l électricité. Le modèle développé, qui conclut à la pertinence de l utilisation des outils en vigueur en finance pour comprendre le marché de l électricité, est avant tout un point de départ vers d autres travaux qui permettraient d améliorer l analyse des mécanismes qui régissent la formation des prix de l électricité. 30 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

17 Méthodes de Monte-Carlo pour les EDP non linéaires D après un entretien avec Nizar Touzi et Xavier Warin autour de leur article co-écrit avec Arash Fahim 1 «A Probabilistic Numerical Method for Fully Nonlinear Parabolic PDEs» à paraître en 2010 dans Annals of Applied Probability. Les problèmes de finance, d économie et de physique sont modèlisés souvent par des équations aux dérivées partielles (EDP). Les modèles les plus réalistes conduisent à des EDP totalement non linéaires. Une méthode probabiliste de résolution de ces EDP a été développée par les auteurs. Différents schémas de résolution sont proposés et une analyse de convergence effectuée. Exemple de la puissance du calcul numérique. Simulation de la tenue des vis des internes de cuve. L évolution d un système, qu il soit financier, économique ou physique, peut souvent être représentée de façon plus ou moins simplifiée par un système d équations aux dérivées partielles (EDP). Pour les EDP linéaires, comme l équation d évaluation des options de Black et Scholes, la solution peut être représentée sous forme d une moyenne sur l ensemble des aléas envisagés pour le futur. Cette représentation a des conséquences très importantes puisqu elle ouvre la porte aux méthodes numériques probabilistes, telles que les méthodes de Monte-Carlo, pour l approximation de la solution. Les méthodes de Monte-Carlo sont très appréciées par l industrie financière du fait de leur souplesse et de leur capacité à traiter des problèmes en grande dimension. L extension de cette méthode au cadre non linéaire répond à un besoin des opérationnels. Par exemple, l évaluation robuste d une position dans un cas où la connaissance des volatilités et des corrélations est incertaine conduit à une EDP fortement non linéaire, c est-à-dire contenant une non linéarité touchant le terme de dérivée seconde. La prise en compte de l illiquidité des marchés dans des modèles qui font intervenir le Gamma du portefeuille, comme une pénalisation dans la valeur du portefeuille, conduit aussi à des EDP fortement non linéaires. Arash Fahim, Nizar Touzi et Xavier Warin proposent une méthode numérique générale permettant d utiliser les méthodes de Monte-Carlo pour ces EDP fortement non linéaires. Ils démontrent à l aide de la théorie des solutions de viscosité que le schéma numérique qu ils proposent converge, en donnant une limite pour l erreur maximale commise. Des formules sont fournies, permettant de mettre en œuvre simplement la méthode. Le schéma numérique proposé par les auteurs est appliqué à deux problèmes : un problème simplifié de propagation de suivi de frontière et un problème d optimisation de portefeuille financier. Pour les deux problèmes, la méthode est systématiquement testée sur un problème de basse dimension pour lequel une solution est connue, puis étendue à des dimensions supérieures. Le problème simplifié de propagation de front se nomme «flot de courbure moyenne», il consiste à déformer une frontière dans une direction orthogonale à son gradient avec une vitesse proportionnelle à la courbure. C est un problème non linéaire auquel la méthode s applique. Dans le cas de l optimisation de portefeuille, il s agit de résoudre les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman, associées à un système dynamique régi par des équations différentielles stochastiques auxquelles on ajoute des contraintes. Pour la gestion d un portefeuille, ces contraintes sont des cibles à atteindre en termes de rentabilité et de minimisation des risques. Notons que les problèmes de ce type sont en général assez délicats à traiter en pratique. Ils conduisent souvent à des instabilités numériques, où l on constate que de petits changements des variables conduisent à de grands écarts de résultat. Ces instabilités sont aberrantes par rapport à ce qui est observé en réalité. Elles sont le plus souvent traitées à l aide de «ruses numériques», dépendantes du problème traité. Le fait de disposer d une méthode générique suffisamment simple est un réel atout technique afin de traiter efficacement les problèmes d évaluation et de gestion des risques des produits financiers les plus complexes. EDF R&D Dans cet article les auteurs montrent la convergence du schéma numérique, utilisant les méthodes de Monte-Carlo, pour les EDP totalement non linéaires avant de borner l erreur d approximation. Ils finissent par mettre en pratique des expériences numériques pour l approximation de la solution des équations de courbure moyenne et l équation d Hamilton-Jacobi-Bellman. Les méthodes proposées peuvent s appliquer à un très grand nombre de problèmes. Les auteurs se limitent ici à la propagation de suivi de frontière et à un problème d optimisation de portefeuille financier. Dans ce dernier cas, où l on cherche à maximiser la rentabilité tout en minimisant les risques, la méthode proposée permet de résoudre numériquement les équations de Hamilton- Jacobi-Bellman à cinq dimensions en contrôlant les erreurs commises par la méthode numérique. 1. Arash Fahim est post-doctorant au Fields Institute, Toronto. 32 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

18 Adapter les produits dérivés aux besoins des entreprises D après un entretien avec Romuald Elie à propos de son article co-écrit avec Bruno Bouchard et Cyril Imbert «Optimal Control under Stochastic Target Constraints» à paraître en 2010 dans SIAM Journal of Control and Optimization. Les options sont des produits dérivés qui peuvent être assimilés à des assurances en garantissant à leur acquéreur un prix d achat fixe à une date future en dépit de certains aléas économiques (variation du prix des matières premières, fluctuation des taux de change ). Mais comment définir le contrat optimal qui protègera au mieux l acquéreur tout en satisfaisant également le vendeur? Suite aux travaux de R. Merton, puis à ceux de F. Black et M. Scholes dans les années 1970, la finance a connu une véritable révolution grâce à l utilisation des avancées mathématiques dans le domaine des probabilités. Depuis, de nombreux produits financiers de plus en plus compliqués ont vu le jour, en particulier les options type «call» (option d achat) ou «put» (option de vente) qui permettent par exemple aux entreprises de se couvrir contre la variation du prix des matières premières ou des taux de change. Ces produits, qui ne sont pas directement liés à la performance économique d une entreprise, garantissent à leur détenteur de pouvoir vendre ou acheter un actif à une date ultérieure à un prix fixé à l avance. Mais comment déterminer le prix de ces options pour qu il soit avantageux à la fois pour l acheteur et pour le vendeur? Option d achat, option de vente, comment et quand les actionner? Une option est un titre donnant à son détenteur le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre une certaine quantité d un actif financier à une date T convenue et à un prix fixé à l avance appelé prix d exercice. Prenons l exemple d une entreprise française dont les coûts de production sont en euros et qui vend des produits aux États-Unis en dollars avec une date de livraison et de paiement T. Elle veut se prémunir d une chute de la valeur du dollar et achète donc une option d achat sur l euro qui lui permettra à la date T d échanger un dollar contre K euros si elle le désire. Plus précisément, deux cas de figure se présentent : n Si à la date d échéance T, un dollar vaut moins que K euros alors l exercice de l option permet à l entreprise de faire un profit égal à la différence entre le prix d un dollar en euro et K euros. n Dans le cas contraire, si la valeur d un dollar est supérieure à K euros à la date T, l entreprise n exerce pas l option. détenteur soit assuré de pouvoir acheter l actif à la date T convenue et au prix d exercice K prévu à l avance dans par exemple 90, 95 ou 99 % des cas. Pour les cas exceptionnels restant (10 %, 5 % ou 1 %) le contrat prévoit que le prix d achat de l actif pour le détenteur de l option est supérieur au prix d exercice et inférieur au prix de l actif à l échéance. Les chercheurs définissent alors le prix de l option comme étant la plus petite somme qui, correctement investie sur le marché, permet d obtenir à la date d échéance T une richesse supérieure ou égale à la somme qui doit être reversée au détenteur de l option dans 90, 95 ou 99 % des cas. Ainsi, par rapport au cas d une option d achat classique de type «call», l entreprise n a pas de prix garanti dans 100 % des cas mais seulement dans la grande majorité des cas. «La contrainte qui pèse sur l option est nettement moins importante et son prix est donc beaucoup plus faible. La couverture de risque n est plus parfaite mais elle est donc plus abordable», explique Romuald Elie. Les chercheurs introduisent une nouvelle méthode de valorisation d options dont le prix peut être défini comme la plus petite somme qui permet d obtenir à une date d échéance T une richesse supérieure ou égale à la somme devant être reversée au détenteur de l option dans 90, 95 ou 99 % des cas. Ils montrent ensuite que ces prix vérifient une équation aux dérivées partielles et donc peuvent être calculés ou, en tout cas, approchés. Quelle valeur donner à ce type de contrat? Le problème est de savoir quel prix donner à ces contrats pour satisfaire à la fois le vendeur et l acheteur. Dans la littérature classique, ce prix est calculé comme la plus petite somme d argent permettant d obtenir à la date d échéance T une richesse supérieure ou égale à la somme qui doit être reversée au détenteur. Cependant, «un tel prix est généralement trop élevé pour intéresser les entreprises car la contrainte imposée est trop forte», explique Romuald Elie. En effet, ce prix prend en compte tous les risques de manière certaine, tandis qu une entreprise désire un contrat moins cher qui lui permettra de se protéger contre les risques les plus probables. Que veulent réellement les entreprises en matière d options? Les chercheurs étudient un type de couverture partielle pour laquelle la contrainte serait moins forte et qui, par conséquent, serait moins onéreuse. Plus précisément, ils proposent dans le cas d une option d achat que son n Avec cette étude, Romuald Elie et ses co-auteurs attirent l attention sur l intérêt pour les entreprises de chercher à se protéger, à un prix modéré, contre certains risques même si en contrepartie, elles sont moins bien protégées dans les cas exceptionnels. n L approche des chercheurs leur permet également de proposer une méthode qui sert à approcher ou calculer, selon le cas, le prix exact de ce type de produits financiers. 34 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

19 Optimisation d une décision d investissement D après un entretien avec Frédéric-Joseph Bonnans autour de son article co-écrit avec Dan Tiba 1 «Control Problems with Mixed Constraints and Application to an Optimal Investment Problem» paru en 2009 dans Mathematical Reports of the Romanian Academy of Sciences. Quelles sont les caractéristiques qualitatives d une décision d investissement? Début de réponse avec Joseph Frédéric Bonnans et Dan Tiba qui montrent que, pour certains modèles de formation du capital et certains critères d optimisation, la décision ne peut prendre que trois valeurs optimales : zéro, une valeur maximale et une valeur d équilibre. Frédéric Bonnans présentant ses travaux au séminaire du laboratoire FiME. Investissement sous contrainte Dans cet article, les auteurs s intéressent notamment à un problème d investissement optimal sous contraintes. La variable d état est le capital, qui dépend de l espace (position géographique) comme du temps. Ce capital subit une dépréciation linéaire mais aussi une diffusion géographique, qui modélise les transferts des zones plus riches vers les zones voisines plus pauvres (ainsi un pays pauvre a, selon ce modèle, de meilleures perspectives de développement s il est entouré de pays riches). La variable de décision est l investissement (création de capital). Celui-ci ne peut dépasser une fraction du capital, ce qui est cohérent si on suppose que la production est proportionnelle au capital, et que l investissement ne peut dépasser une fraction de la production. Le critère à minimiser est la somme de l investissement total et de l intégrale d une désutilité du capital, traduisant une préférence pour un niveau «moyen» du capital à tout instant, critère allant bien dans l esprit du développement durable. Vers une décision optimale d investissement Les auteurs montrent alors qu en chaque point de l espace et du temps, la décision d investissement optimal ne peut prendre que trois valeurs : zéro, un maximum ou une valeur critique optimale que l on obtient de façon quasiexplicite. Déterminer la décision optimale revient donc à identifier les trois régions optimales, d investissement nul, stationnaire, ou critique. L article étend ainsi au contexte économique la propriété dite de «bang-bang généralisé». Les problèmes de contrôle optimal visent à trouver une loi de décision à tout instant qui permet d optimiser un critère faisant intervenir la solution d un système dynamique. L enjeu est de modéliser correctement un système, de bien définir le critère à minimiser, basé par exemple sur une fonction d utilité, puis d établir les lois suivies par la commande optimale. En pratique, ces modèles trouvent des applications dans différents champs industriels, notamment, dans des secteurs où les automaticiens cherchent à optimiser des processus précis (aéronautique, aérospatiale, automobile, robotique, communication ). Concernant le secteur de l électricité, ce type de modèles peut par exemple être utilisé pour définir le niveau d investissement nécessaire afin d optimiser la production en tenant compte des spécificités du produit électricité, comme son caractère non stockable. EDF Médiathèque - sargos alexandre Direction Optimisation Amont Aval Trading EDF (DOAAT). L application de la méthodologie de l article à des problèmes de développement durable pose la question du comportement asymptotique sur des temps longs. Quand l horizon devient grand, peut-on assurer une stabilisation de la décision? Cela signifierait que l on se situerait dans trois zones possibles de capital : l une tendant vers zéro (investissement nul), l autre vers l infini (investissement maximum) et enfin, une zone de capital égal à la valeur critique? Ceci s interprèterait soit comme des accroissements d inégalités, soit au contraire comme leur réduction. 1. Dan Tiba est chercheur à l Institut de Mathématiques de l Académie de Roumanie. 36 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/

20 Les systèmes naturels à la rescousse de l algorithmique : application aux méthodes de Monte-Carlo D après un entretien avec Nadia Oudjane et François Le Gland autour de leur article soumis pour publication «A New Adaptative Monte-Carlo Method for Variance Reduction: applications to VaR computations and option pricing». Cet article présente une méthode originale de réduction de variance pour le calcul d espérance par Monte-Carlo qui s inspire de certains mécanismes d évolution des espèces pour rechercher la loi d importance optimale. Cette technique a été appliquée pour le calcul de la Value at Risk d un portefeuille et du prix d une option européenne en dehors de la monnaie. Nadia Oudjane expliquant leur méthode de réduction de variance en séminaire du laboratoire FiME. Réduire la variance pour accélérer la convergence Les méthodes de Monte-Carlo sont très fréquemment utilisées en finance quantitative, que ce soit pour la valorisation de produits financiers complexes ou pour le calcul d indicateurs de risque. Ces méthodes permettent d approcher numériquement des quantités déterministes en les estimant par la moyenne des valeurs obtenues en effectuant un grand nombre de tirages aléatoires. La précision de cette approximation dépend du nombre de simulations et de la variance de l estimateur que l on va donc chercher à réduire afin d améliorer la qualité de l approximation sans en augmenter le temps de calcul. L idée commune à toutes ces techniques dites de réduction de variance est de trouver une variable aléatoire Les auteurs utilisent une nouvelle méthode de simulation Monte-Carlo de manière à avoir une meilleure précision du calcul de VaR d un portefeuille. Ils ont développé une technique dite particulaire afin d approcher la nouvelle loi qui permettra de réduire la variance. Cette méthode consiste à introduire des particules qui seront multipliées dans les régions où la loi est importante tout en supprimant les particules dans les autres régions de l espace. En l occurrence seule 1 % des simulations sont informatives pour une VaR à 99 %. ayant la même moyenne que celle que l on cherche à déterminer mais une variance inférieure. Constatant que toutes les valeurs de la variable aléatoire n apportent pas la même quantité d information, l échantillonnage préférentiel procède en explorant l espace d une façon plus adaptée à la fonction évaluée, sélectionnant l échantillon utilisé pour le calcul en se concentrant sur les valeurs les plus «importantes». La théorie nous dit alors qu il existe une distribution, la loi d importance optimale, qui explore le mieux l espace et minimise ainsi la variance de l estimateur. Toutefois, la caractérisation de cette loi dépend de la valeur recherchée et n est donc pas accessible directement. On est donc souvent contraint, dans la pratique, de choisir «manuellement» une densité admissible, ou de recourir à des hypothèses paramétriques limitatives. François Le Gland et Nadia Oudjane proposent une méthode non paramétrique permettant de construire une approximation de la loi d importance optimale. Et si les particules cherchaient pour nous? Les auteurs définissent pour cela une suite finie de lois d importance dont le dernier terme est la loi optimale recherchée. Chacun des termes intermédiaires de cette suite est alors approché par une mesure empirique déterminée par un échantillon lui-même construit par récurrence selon une méthode particulaire. Une méthode particulaire est un procédé de recherche de la solution à un problème par lequel on parcourt l espace au moyen de «particules» que l on fait évoluer en s inspirant de la théorie de l évolution des espèces : les caractéristiques des individus évoluent de façon aléatoire (mutation) mais seuls les individus les plus adaptés survivront et se reproduiront (sélection). Dans notre cas, un système de particules correspond à un échantillon de variables aléatoires que l on fait évoluer par récurrence en appliquant les étapes de mutation et de sélection et dont la réalisation, à la dernière itération, donne une approximation discrète de la loi d importance optimale. Une étape de régularisation permet ensuite d en extraire une densité d importance approchant celle recherchée et qui pourra être utilisée pour la méthode d échantillonnage préférentiel. Application : le calcul de la Value at Risk (VaR) La VaR est la mesure la plus utilisée actuellement pour évaluer le risque financier d un portefeuille. Elle est définie comme la perte potentielle maximale que peut subir le portefeuille sur un certain horizon de temps et avec une probabilité donnée. Plusieurs méthodes existent pour calculer cette mesure, parmi lesquelles l approche Monte-Carlo. Le principe en est de simuler un grand nombre de trajectoires du portefeuille et d en déduire la perte maximale observée pour le niveau de probabilité souhaité. Bien qu elle permette toujours d obtenir un résultat, même dans les cas les plus compliqués, cette méthode présente l inconvénient d être potentiellement très coûteuse en temps de calcul du fait de la rareté des événements contribuant au calcul. L intérêt de la méthode proposée par François Le Gland et Nadia Oudjane apparaît pleinement dans ce contexte où une grande proportion des simulations réalisées par la méthode habituelle apportent peu à la précision du résultat. L expérience confirme la valeur de cet algorithme : des tests montrent que la réduction de variance est substantielle par rapport à une méthode de Monte-Carlo classique tant que la dimension de l aléa n est pas trop élevée. La généricité de l approche présentée dans cet article en fait un outil exploitable pour n importe quel calcul utilisant une méthode de Monte-Carlo. C est notamment le cas de nombreux problèmes de finance quantitative, tels que la valorisation de produits complexes ou l évaluation d indicateurs de risque sur un portefeuille. Il s avère que cette méthode est particulièrement adaptée aux calculs impliquant des événements rares, parmi lesquels la Value at Risk (VaR) et la VaR conditionnelle. 38 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/2009 Laboratoire de finance des marchés de l énergie 2006/