INONA MARINA NY ATAO HOE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

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1 INONA MARINA NY ATAO HOE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Par Tsira Louis Venceslas Dernière mise à jour : 31/12/2015 Sommaire I. Ahoana marina ny ahatakarana ny logique momba an io TVI io?... 3 Théorème... 3 Figures... 3 Figure 1(manamarina ny TVI)... 4 Figure 2 (izay tsy manamarina ny TVI)... 4 II. Ahoana ny fomba fampiharana azy any anatin ny devoir any?... 5 Exemple:... 5 Méthode : Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 1

2 Solution :... 5 III. Inona no azo ampiasana an io TVI io eo amin ny fiainana?... 6 Mesure de kilométrage... 6 La Dichotomie (fin du cours TVI)... 6 madabooky.com dia miara miasa akaiky amin ny cours MAMIRATRA Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 2

3 Aty amin ny terminale S (scientifique) dia matetika ampiharina ny «Théorème des valeurs Intermédiaires» na TVI, indrindraindrindra rehefa sendra «problème» de fonction iray ianao. Azo inoana fa raha TC na TD ianao dia tsy afa-miala amin io TVI io. Ary mety manontany tena ianao hoe : Ahoana marina ny ahatakarana ny logique momba an io TVI io? Ahoana ny fomba fampiharana azy any anatin ny devoir any? Inona no azo ampiasana an io TVI io eo amin ny fiainana? Manome anao valiny mahafa-po amin ireo fanontaniana ireo ity cours iray ity Fanazavana tsotsotra Ny TVI ho an ny fonction continue dia théorème iray ahafahana mahita ireo valeurs intermédiaires ou point intermédiaires iray na mromaro ao anatin ny intervalle iray. Tsy mazava. Aza manahy fa ho hitanao ary ho hazonao izany rehefa avy eo. I. Ahoana marina ny ahatakarana ny logique momba an io TVI io? Tsy misy afa-tsy mamerina aminao ny «théorème général» sy manoro anao «figures» vitsivitsy ny fomba afahana memetraka aminao ny «logique» momba an io TVI io izahay. Théorème Si f une fonction continue sur une intervalle I tel que a ϵ I et b ϵ I et que f(a)xf(b) < 0 ; alors il existe au moins c ϵ I ; a < c < b tel que f(c) = 0 Raha adika amin ny teny gasy dia izao Raha f fonction iray continue ao anatin ny intervalle I iray (ohatra hoe intervalle I = [1 ; 4] avec a = 1 et b = 4), ary a ϵ I et b ϵ I ary f(a)xf(b) < 0; dia tsy maintsy misy farafahakeliny iray ny point c ϵ I ary a < c < b ary f(c) = 0. Ndao ary hijery figure avy hatrany isika mba hanazava an io. Figures Raha avy namaky cours momba ny «fomba fitadivana domaine de définition» ianao dia tadidio foana ilay hoe : «f(x) = y» (y eo amin ny «axe» mihitsy no teneniko eto rehefa manao sary ianao), raha mbola tsy namaky ianao dia fantaro manombok izao fa «f(x) = y», na rehefa manao sary aza. Ndao hijery figure 2 samihafa isika Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 3

4 Figure 1(manamarina ny TVI) Vérification du théorème : Hitantsika amin io sary fa : I = [1 ; 4] A (a = 1; y = 1.5 ) B (b = 4; y = -2) c (c = 2; y = 0) Io sary io no ahafahana manazava ilay TVI -tapany voalohany : la fonction f est continue sur I = [1 ; 4]. -tapany faharoa : a ϵ I et b ϵ I. -tapany fahatelo : f(a)xf(b) < 0 => 1.5x-2 = - 3 => positif x négatif (io no porofo fa misy ilay point c (xc ; 0) ary manapaka ny axe des x ilay courbe izany hoe : f(x) = f(c ) = 0 ). -tapany fahefatra : il existe c tel que a < c < b. (eo anelanelan ny a sy b no misy ny «point c») -tapany fahadimy : f( c) = 0. (satria eo amin ny axe des x no misy azy). Figure 2 (izay tsy manamarina ny TVI) Vérification du théorème : Hitantsika amin io sary fa : I = [3 ; 7] A (a = 3; y = 4 ) B (b = 7; y = 1) c : n existe pas -tapany voalohany : la fonction f est continue sur I = [3 ; 7]. Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 4

5 -tapany faharoa : a ϵ I et b ϵ I. -tapany fahatelo : f(a)xf(b) > 0 => 4x1 = 4 => positif x positif (hatreo dia efa ampy anaporofoana fa tsy misy ilay point c eo anelanlan ny a sy b ka f(c) = y = 0). Ary jereo tsra fa : sur l intervalle I = [3 ; 7] la courbe ne coupe pas l axe des x. donc le point c n existe pas. Hitanano ve io???? TA-ND-RE-MO fa ny «TVI dia sty azo appliquer-na raha tsy ao anaty intervalle iray ihany, ary rehefa négatif ihany ny f(a)xf(b) izay vao misy ilay point c, ary raha misy izy io dia mety ho iray na maromaro II. Ahoana ny fomba fampiharana azy any anatin ny devoir any? Exemple: Soit f une fonction définie sur R par: f(x) = x 3 + 3x 5 et soit (C ) sa courbe représentative Montrer que la courbe (C) coupe l axe des abscisses en un point unique n tel que n ϵ [1 ; 2]. Méthode : Etape 1 : trouver la dérivée de la fonction f (raha mbola tsy natao izany. Ary io dérivée io no ahafantarana hoe, «continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur l intervalle I = [1 ; 2]» ilay fonction f.). Etape 2 : calcul de f(1)xf(2) (izany hoe ilay f(a)xf(b) no tadiavina). Etape 3 : conclure (hamarino fa marina ilay noteneniny ao amin ny sujet). Solution : Cherchons f (x) : f (x) = 3x² + 3 > 0 (toujours positif pour tout x ϵ R, donc la fonction f est strictement croissante sur R) Calculons f(1)xf(2) : f(1) = (1) 3 + 3(1) 5 = -1 < 0 f(2) = (2) 3 + 3(2) 5= 9 > 0 f est continue et strictement croissante sur l intervalle [1 ; 2] et f(1)xf(2) < 0, alors il existe n ϵ [1 ; 2] tel que f(n) = 0. TA-ND-RE-MO ihany koa fa mety ho izao ny fanontaniana mipetraka : Monter que l équation x 3 + 3x 5 = 0 admet une solution unique n tel que n ϵ [1 ; 2]. Tadidio anafa fa mitovy amin ilay teo ambony ihany ny famaliana azy. Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 5

6 NY TSARA MBA HO TADIDY (NOTEZ BIEN L ESSENTIEL) III. Inona no azo ampiasana an io TVI io eo amin ny fiainana? Mesure de kilométrage Ndao atao hoe misy train kely iray mandeha amin ny lalana manana forme sinusoïdale izany hoe toy izao hitantsika ambany izao: Bon, mety matetika ianareo no manontany tena hoe ahoana ny fonctionnement an ireny logiciel intelligent ireny Tsotra dia tsotra, io mathématique ataontsika aty amin ny classe de terminale io ihany dia efa ahavitana zavtra betsaka amina logiciel. Eto dia asaintsika miteny hoe POINT C ilay logiciel raha toa ka sendra mandalo amin ireo point menamena ireo ilay train De ahoana no anaovana an izany Asaintsika manao verification-ny TVI io ilay logiciel, izany hoe manao calcul ny f(a)x(b) foana ilay logiciel mandritry ny dian io train io rehetra, ary rehefa negative ilay f(a)xf(b) dia miteny izy hoe : POINT C hany ka rehefa tonga any amin ny alehany ilay train dia fantatra hoe : izao kilaometatra no vitan io train io. DIA HOATRAN IZAY NY TENA ILANA MATHEMATIQUE AMIN IRENY LOGICIEL IRENY La Dichotomie (fin du cours TVI) Un jeu de devinette informatisé et basé sur la mathématique (TVI). Mitovitovy amin ilay «mesure de kilométrage» ihany ny principe fa miapmy kely fotsiny ilay mathématique... Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 6

7 madabooky.com dia miara miasa akaiky amin ny cours MAMIRATRA Cours «MAMIRATRA», lieu : CEG AMPEFILOHA, salles : 13, 14, matières : Mathémathique, Physique-Chimie, SVT, classes : TC et TD, pour Fmg/mois, TA pour Fmg/mois Frais d inscription : 0 Ar, Début du cours Février 2016 Raha mpianatry ny «cours MAMIRATRA» ianao dia, betsaka lavitra mihoatra ireo tsy mpianatry ny «cours MAMIRATRA» ny zavatra omen ny madabooky.com ho anao, ireto avy ny hampiavaka anareo amin ny hafa : Modules Echanges des FICHIERS (élèvesprofesseurs) Délais de communication (élèvesprofesseurs) Possibilité de communication (élèvesprofesseurs) Cours en particulier Cours complet + compléments de cours Discussion entre membres Mpianatry ny «cours MAMIRATRA» Afaka maka sary izay sujet manahirana anao ianao, dia alefanao aty aminay, traitenay ary hazavainay ho anao ny fanaovana azy, avy eo averinay aminao amin alan ny SARY(JPG, PNG) PDF, WORD Isan andro Mamaly ny «messagenao matetika ny mpampianatry ny cours MAMIRATRA amin alalan ny madabooky.com Tsy voafetra ny fifaneraserana amin ny mpampinatra amin alalan ny madabooky.com Oui, en VIDEO(spéciale), PDF, WORD, Fampianarana Tsotra,feno ary mazava Oui Tsy mpianatry ny «cours MAMIRATRA» Oui, mais entre élèves :SARY(JPG). POUR BIENTOT Indaraindary Vofetra cours en VIDEO(en général), PDF, Fampianarana tsotra Oui Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 7

8 Inscrivez-vous vite chez COURS MAMIRATRA et bénéficiez plein d avantages et plus de fonctionnalités sur madabooky.com Inona marina ny atao hoe «théorème des Valeurs Intermédiaires» 8

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