Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires

Transcription

1

2 Problème 1 : costructio de triagles Das u pla affie euclidie orieté, o cosidère deux poits disticts B et C et u poit M apparteat pas à la droite BC). Pour chacue des assertios suivates, détermier s il existe u poit A qui la vérifie. O précisera pour chaque cas le ombre de solutios et o predra soi de fourir toutes les explicatios et justificatios utiles. 1. M est le cetre de gravité du triagle ABC. 2. M est le cetre du cercle circoscrit au triagle ABC. 3. M est l orthocetre du triagle ABC. 4. M est le cetre du cercle iscrit au triagle ABC. Problème 2 : autour du théorème des valeurs itermédiaires Darboux 1 systématisera das so mémoire de 1875 la démarche amorcée das sa correspodace où il expose au coup par coup [...] les propriétés implicites de la pratique commue de la otio de foctio cotiue. Il cherche à dégrossir le cocept de foctio cotiue et à le dépouiller de tout ce qui est pas strictemet iduit par sa défiitio, et que l «usage», l activité mathématique passée lui avait doc coféré. Cauchy 2 avait cassé le cadre foctio cotiue/foctio aalytique. Darboux cherche à casser les assimilatios suivates : foctio cotiue/foctio mootoe, foctio cotiue etre a et b/ foctio qui passe par toutes les valeurs itermédiaires etre fa) et fb), foctio cotiue/foctio dérivable. E réduisat à sa juste mesure la classe des foctios cotiues, Darboux doe ue réalité, ue épaisseur aux classes des foctios qui e le sot pas. Il libère le cocept de foctio du carca de la cotiuité. 3 O se propose das ce qui suit de mettre e lumière quelques poits évoqués par le texte précédet. Partie I : prélimiaires O pourra utiliser les résultats suivats : toute partie o vide majorée de R admet ue bore supérieure ; soiet a et b des réels tels que a < b ; toute applicatio cotiue f: [a,b] R est borée et atteit ses bores; toute suite croissate et majorée est covergete, toute suite décroissate et miorée est covergete ; si deux suites réelles u ) N et v ) N coverget alors lim u +v ) = lim u + lim + + et si pour tout etier o a u v alors lim u lim v v 1. Gasto Darboux ) 2. Augusti-Louis Cauchy ) 3. Pricipes de l aalyse chez Darboux et Houël : textes et cotextes Hélèe Gispert i Revue d histoire des scieces, 1990, Tome 43, 2-3. pp ) 2/6

3 Les résultats suivats sot à démotrer ; ils e doivet pas être cosidérés ici comme des propriétés coues. 1. Démotrer que si w ) N est ue suite décroissate de limite l alors, pour tout etier, o a w l o raisoera par l absurde). 2. Théorème des suites adjacetes O cosidère deux suites u ) N et v ) N adjacetes, c est à dire telles que : u ) N est ue suite croissate v ) N est ue suite décroissate la suite v u ) N coverge vers Motrer que la suite v u ) N est décroissate E déduire que, pour tout etier, o a : v u Motrer que les suites u ) N et v ) N coverget Motrer que lim u = lim + 3. Suite et applicatio cotiue + v Soit X ue partie o vide de R et soit u ) N ue suite d élémets de X qui coverge vers u réel l. Soit f ue applicatio, défiie sur X, à valeurs das R, défiie et cotiue e l. Motrer que la suite fu ) ) coverge vers fl). N Partie II : propriété des valeurs itermédiaires Soit f ue foctio à valeurs das R défiie sur u itervalle I d itérieur o vide. O dit que f possède la propriété des valeurs itermédiaires si pour tout a,b) I 2 tel que a < b et pour tout réel λ compris etre fa) et fb), il existe c [a,b] tel que fc) = λ. Cette propriété sera otée P das la suite. 1. Démostratio du théorème des valeurs itermédiaires O se propose das ce qui suit de démotrer le théorème suivat théorème des valeurs itermédiaires) : si f est ue applicatio cotiue de I das R alors f possède la propriété P. Soit a,b) I 2 tel que a < b. La coclusio état immédiate si fa) = fb), o peut toujours supposer quitte à remplacer f par f) que fa) < fb) ; das la suite o supposera cette hypothèse vérifiée. O cosidère les suites a ) N et b ) N défiies par a 0 = a, b 0 = b et pour tout etier : ) a +b a +1 = a +b si f < λ alors 2 2 b +1 = b ) a +b a +1 = a si f λ alors 2 b +1 = a +b Justifier que, pour tout etier, a [a,b] et b [a,b] 1.2. Motrer que, pour tout etier : b +1 a +1 = b a Motrer que les suites a ) N et b ) N sot adjacetes Coclure. 3/6

4 2. Applicatio 1 : u théorème du poit fixe Soiet a et b deux réels tels que a < b et soit f ue foctio cotiue sur l itervalle [a,b] à valeurs das l itervalle [a,b]. Motrer qu il existe c [a,b] tel que fc) = c. 3. Applicatio 2 : première formule de la moyee Soiet a et b deux réels tels que a < b et soiet f et g deux foctios cotiues sur l itervalle [a,b]. Motrer que si g est positive sur [a,b] alors il existe c [a,b] tel que : 4. Applicatio 3 b a fx)gx)dx = fc) b Soit f ue foctio cotiue sur [0,1] telle que f0) = f1) Motrer que, pour tout etier o ul, il existe c fc ) = f a c + 1 ) gx) dx idicatio : o pourra cosidérer la foctio f défiie sur f x) = f et écrire f1) f0) e foctio de f. x+ 1 ) fx) [ 0,1 1 ] tel que : [ 0,1 1 ] par 4.2. Motrer que si o remplace 1 par u réel α ]0,1[ tel que 1 / N le résultat précédet α est plus vrai. O pourra cosidérer la foctio f défiie sur [0,1] par : ) [ ) ] 2πx 2π fx) = cos x cos 1 α α Partie III : réciproque du théorème des valeurs itermédiaires Bie avat Darboux, [...] Bolzao 4 avait critiqué comme icorrect l acceptatio du cocept de cotiuité d ue foctio das le ses où la propriété des valeurs itermédiaires est vérifiée par la foctio. Mais Lebesgue 5 ote das ses leços sur l itégratio qu «o avait pris e Frace l habitude de défiir ue foctio cotiue celle qui e peut passer d ue valeur à l autre sas passer par toutes les valeurs itermédiaires, et l o cosidérait cette défiitio comme équivalete à celle de Cauchy. Darboux, qui costruisait das so «Mémoire» des foctios dérivées o cotiues au ses de Cauchy, a pu motrer que les deux défiitios de la cotiuité étaiet forts différetes» U exemple O cosidère la foctio f défiie sur R par : f0) = 0 ) 1 fx) = si x si x = 0 Motrer que la foctio f vérifie la propositio P mais est pas cotiue e Berard Bolzao ) 5. Heri Lebesgue ) 6. Gispert, op. cit., p2 4/6

5 2. Ue classe de foctios qui vérifiet P : u théorème de Darboux Soit f ue foctio dérivable sur u itervalle I d itérieur o vide et soit a,b) I 2 a < b). O se propose de motrer que f vérifie P. O suppose f a) < f b) et o cosidère λ ]f a),f b)[. O cosidère la foctio g défiie sur I par gx) = fx) λx Justifier qu il existe c [a, b] tel que gc) = if x [a,b] gx) Motrer que c = a et c = b Coclure E déduire u exemple d ue foctio défiie sur R et qui e possède pas de primitive sur R. 3. Ue coditio pour qu ue foctio qui vérifie P soit cotiue. Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I d itérieur o vide et telle que : f vérifie P pour tout x I, f 1 {fx)}) est fermé das I. Motrer que f est cotiue sur I. Problème 3 : quelques propriétés des polyômes de Laguerre 7 O pose pour tout etier aturel et pour tout réel x : Partie I : étude de la famille L ) h x) = x e x et L x) = ex! h) x) 1. Justifier les écritures précédetes, c est-à-dire que L est bie défiie pour tout etier. 2. Calculer L 0, L 1 et L 2 explicitemet. 3. E précisat le logiciel de calcul formel ou le modèle de calculatrice utilisé, écrire ue procédure permettat d afficher L pour ue valeur de doée. 4. Motrer que pour tout etier, L est ue foctio polyomiale et détermier so degré. Das toute la suite, o idetifiera la foctio polyomiale L et le polyôme associé. 5. Soit N Calculer h ) et h +1) e foctio de L et L Doer ue relatio simple etre h +1 et h E déduire que : L +1 = X +1 L + 6. E remarquat que 1 X +1 ) L. h +1) +1) = h+1 ) +1) ), motrer la relatio : L +1 = L L. 7. E utilisat les différets résultats obteus, motrer que : N, XL +1 X)L +L = 0 et que : 1, +1)L +1 +X 2 1)L +L 1 = Edmod Laguerre ) 5/6

6 Partie II : applicatio à u calcul de somme de coefficiets biomiaux 1. E utilisat la formule de Leibiz, détermier pour N, les coefficiets du polyôme L Soiet u etier aturel et f la foctio défiie sur R par : f0) = 0 1 ) fx) = x +2 si x +1 si x = 0 Démotrer que f admet u développemet limité à l ordre +1 e 0 mais que f admet pas de développemet limité à l ordre 0 e Soiet f ue foctio admettat u développemet limité à l ordre e 0 et k u etier aturel tel que k. Doer ue coditio suffisate pour que f k) admette u développemet limité à l ordre k e 0 3. O fixe N et o cosidère N N tel que N Détermier le développemet limité à l ordre +N e 0 de h E déduire le développemet limité à l ordre N e 0 de h ) Motrer alors que l o a au voisiage de 0 : L x) = N c p x p +ox N ) où p 0,N, c p = 1 p! p=0. p ) ) +k p 1) k. k k k= E déduire que pour tout etier p N : ) p ) ) +k p 1) k 1) = p si 0 p p k k k=0 0 si p >. Partie III : étude des polyômes de Laguerre comme base orthoormée Pour tous P et Q apparteat à R[X], o pose : 1. Motrer que φ est bie défiie. φp,q) = P Q) = + 2. Motrer que φ est u produit scalaire sur R[X]. 3. Calculer pour N, φl 0,X ). 0 Px)Qx)e x dx Motrer que : k 0,, Q k R[X], x R, h k) x) = x k e x Q k x) Établir que : N, P R[X], p 0,, φl,p) = 1)p! 5. E déduire que L ) N est ue famille orthoormée de R[X],φ). + 0 h p) x)p p) x)dx. 6/6