POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
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- Coralie Gisèle Crevier
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1 POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 4 : THEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr 24
2 I. Théorème DES valeurs intermédiaires : Enoncé : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b]. Si f est continue dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c) = k. Signification : f est une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b]. (f est quelconque, pas forcément strictement croissante ou strictement croissante, peu importe ses variations sur [a ; b].) on choisit (par exemple) a < b. Il est clair que l intervalle-image de [a ;b] par f est [f(a) ; f(b)] (ou [f(b) ; f(a)]) Le Théorème stipule alors que toute valeur k comprise dans cet intervalle [f(a) ; f(b)] (ou [f(b) ; f(a)]) possède au moins un antécédent c dans l intervalle des antécédents : [a ; b] ( cela revient à dire rigoureusement et mathématiquement l évidence que toute image d une fonction continue provient forcément d un antécédent) II. Théorème de LA valeur intermédiaire : Théorème appelé aussi : Corollaire des valeurs intermédiaires, ou : Théorème de la bijection. Enoncé : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b]. Si f est continue et strictement monotone dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il n existe qu un et un seul réel c de [a;b] tel que f(c) = k. 25
3 Signification : Les éléments du Théorème précédent sont repris ; mais si f est à présent strictement croissante sur [a ;b] ou strictement décroissante sur [a ;b], tout réel k de l intervalle-image [f(a) ; f(b)] (ou [f(b) ; f(a)])ne peut provenir que d un seul antécédent c (et non éventuellement de plusieurs comme vu au paragraphe I) Remarque : Lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, chaque élément de I a donc une et une seule image. On dit que f est une bijection de I sur f(i) III. Exercice-type et méthode de la dichotomie: Soit ( ) = a) Justifier que f est continue sur [ 2; 1] b) Etudier les variations de f c) Montrer que l équation ( ) = 0 admet dans [ 2; 1] une unique solution d) Donner un encadrement de à 10 près e) En déduire le signe de f sur [ 2; 1] Solution : a) f est une fonction polynôme définie sur R donc continue sur R, à fortiori dans [ 2; 1] b) f est une fonction polynôme donc dérivable sur R, donc a fortiori dérivable dans [ 2; 1] Pour tout x [ 2; 1], f (x) = 3x² + 3 > 0, [ 2; 1] c) f est continue strictement croissante sur [ 2; 1] l intervalle-image de [ 2; 1]par f est [ ( 2); (1)], c est-à-dire [ 6; 12] or 0 [ 6; 12], donc, d après le Théorème de la valeur intermédiaire, il n existe qu un et un seul antécédent de 0 par f dans [ 2; 1] 26
4 d) Méthode d encadrement par dichotomie (ou : balayage): Sur la calculatrice on programme un pas de 1 en commençant à 2 : x 0 1 f(x) se situe entre (-6) et 4, c est donc entre (-2) et (-1) que f(x) passe donc par 0 ; [ 2; 1] On affine la précision de en reprogrammant la calculatrice avec un nouveau pas de 0,1, et en commençant à -2 : x 2 1,9-1,8-1,7-1,6-1,5-1,4-1,3 f(x) 6-4,56-3,23-2,013-0,896 0,125 1,056 1,903 0 se situe entre (-0,896) et 0,125, c est donc entre (-1,6) et (-1,5) que f(x) passe donc par 0 ; [ 1,6; 1,5] On affine la précision de en reprogrammant la calculatrice avec un nouveau pas de 0,01, et en commençant à -1,6 : x 1,6 1,59-1,58-1,57-1,56-1,55-1,54-1,53-1,52-1,51-1,50 f(x) 0,896-0,79-0,68-0,57-0,47-0,37-0,27-0,17-0,07 0,027 0,125 0 se situe entre (-0,07) et 0,027, c est donc entre (-1,52) et (-1,51) que f(x) passe donc par 0 ; [ 1,52; 1,51] Conclusion : [, ;, ] ; nous avons encadré à près e) f est croissante sur [ 2; ], de f(-2) = - 6 jusque f( )= 0, donc ( ) <0 sur [ ; [ f est croissante sur [ ; 1], de f( )= 0 jusque f(1) =12, donc ( ) sur [ ; ] IV. Intérêt et utilisation du Théorème de la valeur intermédiaire : 1. Donner des solutions approchées pour des équations plus «difficiles» Exemple : ci-dessus la solution de +3 +8=0 se situe dans l intervalle [ 1,52; 1,51] 2. Pouvoir étudier le signe de certaines dérivées également plus «difficiles», afin de déterminer les variations de la fonction dont elles dérivent 27
5 Exemple ( suite de l exercice-type) : Soit g( ) = définie également sur [ 2; 1] ² a) Calculer la dérivée de g, et exprimer la en fonction de la fonction f de l exercice-type cidessus b) Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x, en déduire les variations de g Solution : a) g est dérivable sur [ 2; 1] en tant que quotient de fonctions dérivables sur [ 2; 1] pour tout x appartenant à [ 2;1], ( ) = ( ) ( )( ) ( ) = [3 ( +1) 2( 4)] = [ ] = [ ] ( ) =. ( ) >0 [ 2;1], ( ). ( ) x signe de x ( ) Signe de g (x) ( ) 0 [ 2; ] [0; + [, [ ; ] [ ; + [ ( ) 0 [ ;0], é [ ; ] 28
6 Exercice : Partie A Soit la fonction g définie sur R par : g(x) = x + 3x +x 5 1. calculer g(1) ; en déduire un polynôme P de degré 2 tel que : g(x) = (x 1). P(x) 2. déterminer le signe de g(x) sur R Partie B Soit la fonction f définie sur = R { 1} par : ( ) = ( )² On appelle la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (,, )d unité graphique 1 cm. 1. Déterminer les réels a,b, c et d tels que, pour tout x de, on ait : + ( ) = + + ( + 1)² 2. Etudier les limites de f aux bornes des intervalles de ; interprétation graphique 3. a) étudier la dérivabilité de f b) montrer que, pour tout réel de, on a : ( ) = ( ) ( ) c) en déduire les variations de f 4. montrer que l équation ( ) =0 possède une solution unique sur a) montrer que est compris entre 2 1 b) donner une valeur approchée de à 10 près c) déterminer le signe de f(x), pour tout x de 5. a) Montrer que possède une asymptote non parallèle aux axes de coordonnées b) Etudier la position relative de et c) Déterminer les coordonnées du point commun à et ; soit B ce point. d) Donner une équation de la tangente en B e) Montrer que la tangente en B recoupe l axe des ordonnées en un point C situé sur 6. Tracer dans le repère orthonormal (,, ) : les axymptotes, la tangente en B, puis la courbe 7. Discuter, suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de points d intersection de la courbe et de la droite d équation : = 29
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