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1 Prties connexes de R et fonctions continues PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES Prties connexes de R crctéristion Prtie connexe de R On dit qu'une prtie D de est connexe si D n'dmet ps de prtition en deux ouverts non vides disjoints 2 Première crctéristion Soit D une prtie de D est connexe si et seulement si toute ppliction continue de D dns { 0; } est constnte Démonstrtion Supposons D connexe Soit f une fonction continue de D dns { 0; } { 0 } et { } sont des fermés mis ussi des ouverts (cr complémentires d'un fermé) f { 0} donc un ouvert, de même que f { } ({ 0} ) ({ } ) = ({ 0;} ) = ({ 0} ) ({ } ) = ( ) = f f f D f f f D étnt une prtie connexe de, on en déduit que f { 0} D, l'utre à ) f est donc constnte (imge réciproque d'ouverts pr une fonction continue) = D ou f { } est = D (l'un est égl à Pour l condition suffisnte, montrons que si D n'est ps connexe, lors il existe une fonction continue de D dns { 0; } non constnte On suppose donc que D n'est ps connexe Il existe donc deux ouverts A et A 2 non vides et disjoints tels que D= A A2 Soit f l fonction définie pr : si x A x D, f( x) = 0 si x A2 f n'est ps constnte sur D cr A et A 2 sont non vides f ({ 0;} ) = D f ({ 0} ) = A2 f ({ } ) = A f ( ) = Dns tous les cs, on otient un ouvert L'imge réciproque de tout ouvert est un ouvert donc f est continue S DUCHET - wwwepsilon2000frst /5

2 Prties connexes de R et fonctions continues 3 Deuxième crctéristion Les prties connexes de sont les intervlles de Démonstrtion Si I n'est ps un intervlle, lors il existe, I tels que c tel que c et c I On lors I = (] ; c[ I) (] c; + [ I) et { t, t } I Il existe donc ] ; c[ I et ] c; + [ I sont deux ouverts non vides disjoints de I De plus, leur réunion est égle à I donc I n'est ps une prtie connexe de On donc montré que si I est une prtie connexe de, lors I est un intervlle de Soit I un intervlle de Montrons que I est une prtie connexe de Soit f une fonction continue de I dns { 0; } Montrons que f est constnte Soient, I, vec < ({ f }) est ouvert et fermé dns I Soit { } f B = f f [ ; ] (B est l'ensemle des points de [ ; ] dont l'imge pr f est ) B est fermé non vide cr B et B est mjoré pr B dmet donc une orne supérieure, notée c c B cr B est fermé donc f () c = f() f ({ f }) est un ouvert contennt c donc il existe 0 ε > tel que ] c ε; c ε[ f { f } + Si c, il existe lors x tel que c x x f f, ce qui contredit l définition de c Donc c= Donc f = f et donc f est constnte sur I I est donc connexe (d'près 2) < < et { } Conséquence des crctéristions 2 et 3 : L'imge d'un intervlle pr une fonction continue est un intervlle 2 Fonctions continues sur un connexe 2 théorème (condition suffisnte pour qu'une ppliction monotone soit continue) Soit I un intervlle de Soit f une fonction réelle monotone sur I telle que f ( I ) soit un intervlle Alors f est continue sur I Démonstrtion On suppose f croissnte sur I Soit un point intérieur à I D'près le théorème de l limite monotone, f dmet une limite à guche en notée f ( ) et une limite à droite en notée f ( + ), et on : f ( ) f f( + ) Montrons que f ( ) = f( + ) : Supposons le contrire, à svoir f ( ) < f( + ) Il existe lors y, y f, tel que f ( ) < y< f( + ) f ( I ) étnt un intervlle, y f( I) Soit x I, x S DUCHET - wwwepsilon2000frst 2/5

3 Prties connexes de R et fonctions continues Si x <, lors f ( x) f < y cr f est croissnte Si < x, lors y< f f( x) Donc pour tout x I, y f( x), contredit le fit que y f( I) Donc f ( ) = f( + ) et donc f est continue en Si est l'extrémité guche de I (dns le cs où I est de l forme [ ; ), f dmet une limite à droite en, notée f ( + ) et f f( + ) Montrons que f = f( + ) Supposons le contrire, à svoir f < f( + ) Il existe lors y, y f( x) tel que f < y< f( + ) Soit x I, x (donc x > ) Alors y< f f( x) Donc pour tout x I, y f( x), ce qui contredit le fit que f ( I ) est un intervlle Même type de démonstrtion si est l'extrémité droite de I 22 Théorème des vleurs intermédiires Soit I un intervlle de et f une fonction numérique continue sur I Pour tous, Itels que f < f et pour tout λ [ f ; f], il existe c I tel que f( c) = λ Démonstrtion Soient, Itels que f < f f étnt continue, on en déduit que f ( I ) est un intervlle de f, f f( I) f ; f f( I) λ f ; f, λ f( I) D'où le résultt donc [ ] Donc : [ ] Conséquence : Soit f une fonction numérique définie et continue sur un intervlle I de Si, I tels que f f( ) < 0, lors il existe c [ ; ] ( ou [ ; ]) tel que f( c ) = 0 (cr [ f f ] ou [ f f ] 0 ; ; ) Si de plus on est ssuré de l'unicité de c, on peut clculer une vleur pprochée de c pr dichotomie 3 Applictions 3 Formule de l moyenne Soient f et g deux fonctions continues sur [, ; ] g étnt positive Soient M = sup f( x) Alors il existe c [ ; ] tel que fg = f() c g x [ ; ] m= inf f( x) et x [ ; ] Démonstrtion S DUCHET - wwwepsilon2000frst 3/5

4 Prties connexes de R et fonctions continues mg fg Mg donc m g fg M g Si g = 0, l'églité est évidente fg Si g 0, [ mm ; ] Il existe lors c [ ; ] tel que f() c g intermédiires), d'où le résultt = fg (théorème des vleurs g Conséquence Pour g = : il existe c [ ; ] tel que f = f ()( c ) 32 Théorème du point fixe Soit f une fonction continue sur un intervlle I = [ ; ] Si f ( I) I, lors f dmet u moins un point fixe Démonstrtion Soit g l fonction définie sur I pr gx = f( x) x Montrons que 0 gi g est continue sur I donc gi est un intervlle de g = f 0 cr f g = f 0 cr f D'près le théorème des vleurs intermédiires, il existe c I tel que gc () = 0, c'est-à-dire f () c = c 33 Théorème de Droux Soit I un intervlle de (non vide et non réduit à un point) Soit f une fonction dérivle sur I Alors f ' vérifie l propriété des vleurs intermédiires : Pour tous, I, f ' prend toutes vleur intermédiire comprise entre f '( ) et f '( ) Notons que f ' n'est ps supposée continue Démonstrtion Si f ' = f ', le théorème est évident Supposons mintennt f ' < f ' Soient φ et ψ les fonctions définies pr : φ : I ψ : I f( x) f f( x) f si x et si x x x x x f ' si x= f ' si x= f f f étnt dérivle sur I (donc en ), φ est une fonction continue sur I Soit ξ = S DUCHET - wwwepsilon2000frst 4/5

5 Prties connexes de R et fonctions continues D'près le théorème des vleurs intermédiires, φ prend toutes les vleurs intermédiires entre φ = f ' et φ = ξ De même, ψ prend toutes les vleurs intermédiires entre ψ = ξ et ψ = f ' Soit [ f '; f ' ] λ er cs : λ est compris entre f '( ) et ξ Il existe x [ ; ] tel que φ( x) = λ (théorème des vleurs intermédiires ppliqué à φ ) Si x =, lors λ = φ = f ' Si x, d'près le théorème des ccroissements finis ppliqué à f sur ] ; x [, il existe c ] ; x[ tel que f ( x) f = f '( c)( x ) Alors f '( c) = φ( x) = λ 2 ème cs : λ est compris entre ξ et f '( ) Il existe x [ ; ] tel que ψ ( x) = λ (théorème des vleurs intermédiires ppliqué à ψ ) Si x =, lors λ = ψ = f ' Si x, d'près le théorème des ccroissements finis ppliqué à f sur ] x; [, il existe c ] x; [ tel que f ( x) f = f '( c)( x ) Alors f '( c) = ψ ( x) = λ 34 Corollire du théorème de Droux Soit I un intervlle de (non vide et non réduit à un point) Soit f une fonction dérivle et convexe sur I Alors f ' est continue sur I Démonstrtion f étnt dérivle et convexe sur I, on en déduit que f ' est croissnte sur I d'près le théorème de Droux, f ' vérifie l propriété des vleurs intermédiires donc f '( I ) est un intervlle f ' est monotone sur I et f '( I ) est un intervlle donc f ' est continue sur I d'près le théorème 2 S DUCHET - wwwepsilon2000frst 5/5

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