Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

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1 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire. Pré-requis : cotiuité ijectio bijectio compositio foctios usuelles propriétés de - bores supérieures propriétés des suites théorème de Bolzao-Weierstrass. I INTRODUCTION. Soit I u itervalle de R et f ue foctio de I das R. Nous rappelos que l image de I par f, oté f I, est l esemble de tous les réels f x avec x I. L objectif de cet exposé est de trouver ue (ou des coditio(s écessaire et suffisate afi que la foctio f : I f I soit ue bijectio. C est ce que ous établiros das u premier temps. Puis, ous ous demaderos quelles particularités possèdet la foctio réciproque d ue foctio cotiue, strictemet mootoe sur u itervalle. II IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE. A DEFINITION. Défiitio : c I. I est u itervalle de si, ( ab, I I, c est compris etre a et b, alors B EXEMPLES. 3 f est la foctio x x et I =,. Sur le dessi ci-dessous, ous lisos : f I =, 4 [ ]. x 3 f est la foctio x et I = ], + [. x + Sur le dessi ci-dessous, ous lisos : f I = 3,. ] [ Page

2 Sylvai ETIENNE 3/4 cotiue sur I. Das chacu des cas ci-dessus, C THEOREME. f ( I est aussi u itervalle ; cela tiet au fait que f est Théorème (théorème des valeurs itermédiaires : Si f est ue foctio cotiue sur u itervalle I de, alors f I est u itervalle. Nous allos faire ue preuve par dichotomie. Soit a, b I et d tels que f a d f b. Il s agit de motrer l existece d u c I tel que f c = d. Nous pouvos supposer, sas perte de gééralité, que a b. a + b Iitialisos otre suite par : a = a et b = b. Puis,, si f d, alors b b = + a + b et a + =, sio, ous posos : a+ a et = a + b b + =. Aisi les suites ( a et ( b vérifiet les coditios suivates : ( a croît et ( b décroît,, f ( a d f ( b, ( b a, b a. Ces suites sot adjacetes, doc coverget vers ue limite commue l. La cotiuité de la foctio f ous permet de passer à la limite das (, et aisi d avoir d = f l. Remarques : L hypothèse de cotiuité est idispesable. Pour la foctio f représetée ci-cotre, l image de l itervalle [, + [ est la paire ; qui est pas u itervalle. Mais f est pas cotiue e. L hypothèse que I est u itervalle est, elle aussi, idispesable. Si I est pas u itervalle et même si f est cotiue e tout poit de I, l image f I peut e pas être u itervalle. Le théorème éoce qu ue coditio suffisate. E effet, l image d u itervalle I par ue foctio o cotiue sur I, peut être u itervalle. f I peut être réduit à u poit. Par exemple, si f est la foctio costate x a et { } I = alors f I = a. ( III IMAGE D UN SEGMENT. Page

3 Sylvai ETIENNE 3/4 Rappels : U segmet de est u itervalle fermé boré [ ab, ] de. Théorème de Bolzao-Weierstrass : Toute suite borée de admet au mois ue valeur d adhérece ; id est : il est possible d extraire ue sous-suite covergete de toute suite borée de. Théorème : Si f est cotiue sur u itervalle fermé boré [ ab, ], alors f est boré et atteit ses bores. Faisos ue démostratio par l absurde : supposos f o borée. Alors, pour tout, il existe ue suite ( u [ a, b] tel que f ( u ( u k k = f ( l k. Le théorème de Bolzao-Weierstrass motre l existece d ue sous-suite qui coverge vers ue limite l das [ ab, ]. Par cotiuité, ous obteos lim k + f u, ce qui est impossible. Motros à préset que f atteit ses bores. Soit M = sup f x. Il existe alors ue suite ( u [ a, b] telle que lim + f u = M. Le théorème de Bolzao-Weierstrass doe l existece d ue sous-suite ( u k qui coverge vers ue limite l das ab. Aisi k ous avos par cotiuité lim f ( u = f ( l = M. Nous e déduisos doc M [ a,b]. Il k + e est de même pour la bore iférieure. k x [ a; b] [, ] Corollaire : Si f est cotiue sur u segmet I, alors f ( I est u segmet. C est ue coséquece directe des théorèmes et. IV FONCTIONS RECIPROQUES. Propositio : Soit I u itervalle de, et f : I cotiue sur I. f est ijective si et seulemet si elle est strictemet mootoe. Si f est strictemet croissate, alors pour tout ( ( ab, I I; a< b f( a < f( b fortiori l implicatio a b f ( a f ( b est vraie. ( Supposos f ijective., et à Page 3

4 Sylvai ETIENNE 3/4 L esemble E {( x, y I I / x y est coexe, et l applicatio ϕ: xy, f x f y = < } est cotiue et e s aule pas jamais sur I I. La partie ϕ E sera doc u coexe de * * qui e cotiet pas. Cela motre que ϕ E ou ϕ E. Théorème 3 : Soit f ue foctio cotiue et strictemet croissate (resp. décroissate sur u itervalle I. f est ue bijectio de I sur f I et sa bijectio réciproque f est cotiue et strictemet croissate (resp. décroissate sur l itervalle f I. Par le théorème et la propositio, ous avos : f est ue bijectio de I das f I. + Supposos que f soit croissate. Posos J = f I. Motros que f est strictemet croissate. Si y, y J J et y y, si ous posos x = f y et x f y, alors (sio la stricte croissace de f etraîe, ce qui est absurde. < [ = if { b x ; x a; ε} = - Si x a, b, le réel ε est strictemet positif et vérifie x ε, x + ε [ I. Comme f est croissate, x x ε; x + ε I y f x ε ; f x + ε J. Soit η = if y f x ε ; f x + ε y. Alors y > y { ( ( } Motros à préset que est cotiue e u poit y J. f Soit a et b (avec a b les bores de I (fiies ou ifiies et posos f y = x. Soit * ε +. Nous avos deux cas : ] ] < ] [ ] η, η[ ( ε, ( ε y y + f x f x + J, et la croissace de f etraîe : (], [ ], [ ] f y η y η x ε x ε x ε x f y e , ε[ x < x, ce qui prouve la cotiuité de - Si x est ue bore de I, il faut raisoer de faço idetique mais avec des itervalles semi-ouverts et e otat que est l ue des bores de J. y V APPLICATIONS. A RACINE. Le théorème ous doe e particulier : si ue foctio f est cotiue sur [ ab, et si f ( b < f ( x = ] [ f a Exemple :, l équatio admet au mois ue solutio das ab,. ] Page 4

5 Sylvai ETIENNE 3/4 Soit la foctio suivate : f :,5, [ ] 3 x x x x , 5] f f Nous avos : f est cotiue sur [ et 5 = 576 <. Aisi, l équatio f x = admet au mois ue solutio das ], 5[. B GRAPHE. Il est pas toujours évidet de détermier la foctio réciproque d ue foctio, même si c est ue foctio cotiue strictemet mootoe. Cepedat, das u repère ormé, les graphes de f et de f sot symétriques par rapport à la première bissectrice des axes. Exemples : Quelques foctios réciproques sot vues au lycées, telles : f :, et sa foctio réciproque est f. x x. g:, et sa foctio réciproque est g. x x. Nous avos aussi la foctio expoetielle qui admet pour foctio réciproque la foctio logarithme épérie. Cepedat, ous pouvos défiir d autres foctios, dites foctios hyperboliques, qui sot les foctios réciproques de cosius, sius et tagetes : c:, π,, et c :,, π, [ ] [ ] [ ] [ ] x ( x x ( x cos arccos. π π π π s:, [, ], et s :[, ],, xsi x x arcsi x. Page 5

6 Sylvai ETIENNE 3/4 π π π π t:, ], + [, et t : ], + [,, x ta x x arcta x. VI CONCLUSION. E coclusio, ous avos vu que l image d u itervalle par ue foctio cotiue doe u itervalle, celle d u segmet u segmet. De plus, ous avos caractérisé la cotiuité de la foctio réciproque via la foctio iitiale. Il reste à étudier le cas de la dérivabilité. Page 6

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