Limites et Continuité

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1 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès. Octobre 2013

2 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Sommaire 1 Voisinages, Points adhèrents Voisinages d un point Points Adhèrents 2 Limites Limites et relation d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone 3 Fonctions continues 4 Les grands théorèmes sur les fonctions continues Théorème des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème de Heine Monotonie et continuité

3 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Définition (Voisinages) Soient x 0 R et V R. On dit que V est un voisinage de x 0 s il existe α > 0 tel que ]x 0 α,x 0 + α[. On dit que V est un voisinage de + (resp. ) s il existe M R tel que ]M,+ [ V (resp. ],M[ V ). L ensemble des voisinages d un point x 0 R est noté par V (x 0 ). Exemple Un intervalle ouvert I = ]a,b[, < a < b < +, est voisinage de chacun de ses points. En effet, soit x 0 I. On choisit α tel que 0 < α < min(x 0 a,b x 0 ), et on a alors ]x 0 α,x 0 + α[ I, donc I est un voisinage de x 0.

4 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Proposition (i) Si x 0 R et V V (x 0 ), alors x 0 V. (ii) Toute partie contenant un voisinage de x 0 est encore un voisinage de x 0 : ((V V (x 0 )) (V W)) (W V (x 0 )). (iii) Une intersection finie de voisinages ( de x 0 est ) un voisinage de x 0 : n (V 1,,V n V (x 0 )) V k V (x 0 ). k=1 (iv) Si x 0 x 1, alors il existe V V (x 0 ) et W V (x 1 ) tels que V W = /0.

5 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Démonstration. Les propositions (i), (ii) et (iii) sont immédiates. Démontrons (iv). Si x 0,x 1 sont des réels, on pose α = x 1 x 0, V = ]x 0 α,x 0 + α[ et 3 W = ]x 1 α,x 1 + α[. Alors V V (x 0 ), W V (x 1 ) et V W = /0. si x 0 R et x 1 = +, alors V = ]x 0 1,x 0 + 1[ V (x 0 ) et W = ]x 0 + 1,+ [ V (x 1 ) et V W = /0. si x 0 R et x 1 =, alors V = ]x 0 1,x 0 + 1[ V (x 0 ) et W = ],x 0 1[ V (x 1 ) et V W = /0. Si x 0 = + et x 1 =, alors V = ]0,+ [ V (x 0 ) et W = ],0[ V (x 1 ) et V W = /0.

6 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Remarque Une intersection infinie de voisinages de x 0 n est pas nécessairement un voisinage de x 0. Par exemple, les intervalles ouverts I n = ] 1/n,+1/n[ sont des voisinages de 0 mais leur intersection I n = {0} n est pas un voisinage de 0. Définition On dit qu une propriété P (x) est vraie au voisinage de x 0 s il existe un voisinage U V (x 0 ) tel que P (x) soit vraie, pour tout x U. Par exemple, l inégalité x < x 2 est vraie au voisinage de + et au voisinage de 2, mais elle n est pas vraie au voisinage de 1. n=1

7 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Définition (adhèrence d un ensemble) Soit x 0 R. On dit que x 0 est adhèrent à une partie A de R si A rencontre tout voisinage de x 0 : (x 0 est adhèrent à A) ( V V (x 0 ),V A /0). Il est clair, d après cette définition, que les points de A sont adhèrents à A. Proposition (Caractèrisation des points adhèrents) Un point x 0 R est adhèrent à une partie A de R si, et seulement si x 0 est la limite d une suite (u n ) d éléments de A.

8 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Démonstration. 1 er cas : x 0 R. Si x 0 est adhèrent à A, alors pour tout n N, il existe u n A tel que x 0 1/n < u n < x 0 + 1/n. On a alors A u n x 0. Inversement, s il existe une suite (u n ) d éléments de A qui converge vers x 0, alors pour tout α > 0, il existe N N tel que u N x 0 < α. Donc {u N } A ]x 0 α,x 0 + α[, A ]x 0 α,x 0 + α[ /0 et x 0 est adhèrent à A. 2 eme cas : x 0 = +. Si x 0 est adhèrent à A, alors pour tout n N, il existe u n A tel que u n > n. On a alors A u n x 0. Inversement, s il existe une suite (u n ) d éléments de A qui admet x 0 = + comme limite, alors pour tout M R, il existe N N tel que u N > M. On en déduit que {u N } A ]M,+ [ vide, donc + est adhèrent à A. 3 eme cas : x 0 =. Laissé en exercice.

9 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesvoisinages fonctions continues d un point Points Adhèrents Exemples + est adhèrent à N, car + est la limite de la suite (n) d éléments de N. Soit A = [0,1[. Si x A, alors x est adhèrent à A. D autre part, pour tout α > 0, A ]1 α,1 + α[ /0. Donc 1 est adhèrent à A. Si x < 0, alors il existe α = x/2 > 0 tel que A ]x α,x + α[ = /0. Donc x n est pas adhèrent à A. On démontre, de même que si x > 1, alors x n est pas adhèrent à A. Soit A une partie dense dans R. Alors tout réel x 0 est adhèrent à A. En effet, pour tout α > 0, il existe a A tel que x 0 α < a < x 0 + α, donc A rencontre tout voisinage de x 0.

10 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Sommaire 1 Voisinages, Points adhèrents Voisinages d un point Points Adhèrents 2 Limites Limites et relation d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone 3 Fonctions continues 4 Les grands théorèmes sur les fonctions continues Théorème des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème de Heine Monotonie et continuité

11 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Limite suivant un ensemble Définition Soient f une fonction réelle de domaine de définition D, A une partie de D, x 0 un point adhèrent à A et l R. On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers x 0 en appartenant à A si pour tout voisinage V de l, il existe un voisinage U de x 0 tel que, pour tout x A U, on ait f(x) V : V V (l), U V (x 0 ), x D,(x A U) (f(x) V). (1) ou encore, V V (l), U V (x 0 ),f(u A) V. (2)

12 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone f(x) tend vers l lorsque x tend vers x 0 en appartenant à A signifie : si x 0,l R : ε > 0, δ > 0, x A,( x x 0 < δ) ( f(x) l < ε). si x 0 R et l = + : M > 0, δ > 0, x A,( x x 0 < δ) (f(x) > M). si x 0 = + et l R : ε > 0, M > 0, x A,(x > M) ( f(x) l < ε). si x 0 = + et l = + : M > 0, M > 0, x A,(x > M ) (f(x) > M). si x 0 = + et l = : M < 0, M > 0, x A,(x > M ) (f(x) < M). si x 0 = et l = + : M > 0, M < 0, x A,(x < M ) (f(x) > M). si x 0 = et l = : M < 0, M < 0, x A,(x < M ) (f(x) < M).

13 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Proposition Si f(x) admet une limite lorsque x tend vers x 0 en appartenant à A, alors celle-ci est unique. Démonstration. Supposons, par l absurde, que f(x) admet deux limites distinctes l 1 et l 2, lorsque x tend vers x 0 en appartenant à A. On peut alors trouver V 1 V (l 1 ) et V 2 V (l 2 ) disjoints. A chaque V i, i = 1,2, on peut associer un voisinage U i de x 0 tel que f(u i A) V i. Soit U = U 1 U 2. On a alors f(u A) f(u 1 A) f(u 2 A) V 1 V 2 = /0. Donc U A = /0. Or U est un voisinage de x 0, ce qui contredit le fait que x 0 est adhèrent à A. Contradiction. Notation : lim x x 0,x A f(x) = l ou encore f(x) note simplement l = lim x x 0 f(x). x x 0,x A l. Lorsque A = D, on

14 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Cas particuliers Lorsque x 0 A, la limite éventuelle ne peut être que f(x 0 ). En effet, x 0 appartient à U A, pour tout U V (x 0 ). Donc f(x 0 ) appartient à tout voisinage V de l. Ceci entraîne que l est fini et que l = f(x 0 ). Supposons que A = D\{x 0 }. Dans ce cas, on convient d écrire lim x x 0,x x 0 f(x) = l et on dit que l est la limite de f(x) lorsque x tend vers x 0, par valeurs diffèrentes. Lorsque A = D ],x 0 [ (resp. A = D ]x 0,+ [), on dit que l = lim f(x) est la limite à gauche (resp. limite à droite) de f(x) x x 0,x A lorsque x tend vers x 0. On note alors : l = lim f(x) = lim f(x) x x 0,x<x 0 (resp. l lim f(x) = lim f(x)). x x 0,x>x 0 x x + 0 x x 0

15 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Remarques (a) Dans la définition 2 de la limite, on peut remplacer A par A U 0, où U 0 est un voisinage de x 0. On traduit cette propriété en disant que la limite est une notion locale. (b) La limite d une suite réelle u = (u n ) est la limite en + de la fonction réelle u : D = N R n u(n) = u n Par exemple, si lim u n = l est finie, alors : n lim u n = l ε > 0, N N, n > N,u n ]l ε,l + ε[ n V V (l), U V (+ ),u(u N) V. lim u(n) = l. n,n N

16 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Exemples lim (3x + 2) = 5 : pour tout ε > 0, (3x + 2) 5 = 3 x 1 < ε si x 1 x 1 < ε/3. Donc x 1 < δ(= ε/3) (3x + 2) 5 < ε. lim (x x 1 1) 2 = + : pour tout réel M > 0, (x 1) 2 > M si (x 1) 2 < M 1 ou encore si x 1 < 1/ M. Il suffit de prendre δ = 1/ M. lim 1/x = 0 : pour tout ε > 0, 0 < 1/x < ε si x > 1/ε. Il suffit de x + prendre M = 1/ε. Soit f(x) = x/ x. On a : lim = lim = 1 et lim = lim = 1. x 0 f(x) x 0 x/ x x 0 +f(x) x 0 +x/x { 1 si x 0 Soit f(x) = ; On a lim f(x) = 1, mais f(x) n admet 0 si x = 0 x 0,x 0 pas de limite lorsque x 0, car une telle limite devrait être égale à la fois à f(0) = 0 et à lim = 1, ce qui est impossible. +f(x) x 0

17 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Théorème On suppose que f est définie au voisinage de x 0. Pour que f admette une limite l R en x 0 par valeurs diffèrentes, il faut et il suffit que f admette en x 0 une limite à gauche et une limite à droite et que ces deux limites soient égales à l : lim f(x) = l x x 0,x x 0 lim f(x) = lim f(x) = l. x x 0 x x + 0 Démonstration. Laissée en exercice.

18 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Théorème (Lien avec les suites) Soient f : D R, A D, x 0 un point adhèrent à A et l R. Pour que l = lim f(x), il faut et il suffit que pour toute suite (u n) d éléments de A x x 0,x A ayant x 0 comme limite, on ait lim f(u n) = l. n

19 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Démonstration. La condition est nécessaire : supposons que l = lim x x 0,x A f(x). Pour tout V V (l), il existe U V (x 0 ) tel que f(u A) V. Soit (u n ) une suite d éléments de A telle que lim u n = x 0. Il existe N N tel que, pour tout n n > N, u n U et donc f(u n ) V. Donc lim f(u n) = l. n La condition est suffisante : supposons, par l absurde, qu il existe V V (l) tel que que pour tout U V (x 0 ), on ait f(a U) V. Posons, pour tout n N : ]x 0 1/n,x 0 + 1/n[ si x 0 R U n = ]n,+ [ si x 0 = + ], n[ si x 0 = Alors U n V (x 0 ), donc il existe u n A U n tel que f(u n ) / V. On obtient une contradiction, puisque u n x 0 et f(u n ) l.

20 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Remarque Le théorème 2.2 est parfois utilisé pour montrer qu une fonction n admet pas de limite en un point x 0. Pour cela, il suffit d exhiber deux suites (u n ) et (v n ) d éléments de A qui admettent x 0 comme limite et telles que (f(u n )) et (f(v n )) admettent ( ) deux limites distinctes. Par exemple, la fonction 1 1 f : x sin n admet pas de limite en 0, car les suites u n = x 2nπ + π/2 et v n = 1 nπ tendent vers 0 lorsque n, alors que f(u n) = 1 1 et f(v n ) = 0 0.

21 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone A partir du théorème 2.2 et des théorèmes sur les limites des suites, on déduit les résultats suivants : Proposition Soient f,g : D R, A D et x 0 un point adhèrent à A. Alors : si f g au voisinage de x 0 et si les limites l = lim x x 0,x A f(x) et l = lim g(x) existent (dans R), alors l l (prolongement des x x 0,x A inégalités). si f g au voisinage de x 0 et si lim x x 0,x A lim x x 0,x A g(x) = + ; et si lim f(x) =. x x 0,x A lim x x 0,x A f(x) = +, alors g(x) =, alors si f h g au voisinage de x 0 et si lim f(x) = lim g(x) = l, x x 0,x A x x 0,x A alors h(x) admet une limite lorsque x x 0,x A et cette limite est égale à l (propriété des gendarmes).

22 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Théorème Soient f,g : D R, A D et x 0 un point adhèrent à A. On suppose que les limites l = lim f(x) et l = lim g(x) existent dans R. Alors : x x 0,x A x x 0,x A lim (f(x) + g(x)) = l + l si l + l est défini dans R. x x 0,x A lim f(x)g(x) = ll si ll est défini dans R. x x 0,x A pour tout λ R, lim λf(x) = λl. x x 0,x A Si de plus l 0, alors f/g est définie au voisinage de x 0 et lim x x 0,x A f(x)/g(x) = l/l si l/l est défini dans R. Les formes +, 0 (± ), 0/0 et / sont indéterminées.

23 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Théorème (Composition des limites) Soient f : D f R, A D f, x 0 un point adhèrent à A, g : D g R et B D g. On suppose que f(a) B et que l = lim f(x) existe. Alors l est adhèrent à B et si l = lim y l,y B x x 0,x A g(y) existe, alors lim g f(x) = l. x x 0,x A Démonstration. Montrons d abord que l est adhèrent à B. Soit V V (l). Il existe U V (x 0 ) tel que f(u A) V. Comme x 0 est adhèrent à A, on a U A /0, donc /0 f(u A) V B et par suite V B /0. Donc l est adhèrent à B. Si l = lim g(y) existe, alors pour tout W V (l ), on peut trouver y l,y B V V (l) tel que g(v B) W. De même, il existe U V (x 0 ) tel que f(u A) V. Il en résulte que g f(u A) g(v B) W. Donc lim x x 0,x A g f(x) = l.

24 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Théorème (Critère de Cauchy) Soient f : D R, A D et x 0 un point adhèrent à A. Pour que f(x) admette une limite finie lorsque x x 0,x A, il faut et il suffit que la condition suivante, dite critère de Cauchy, soit vérifiée : ε > 0, U V (x 0 ), x,y A U, f(x) f(y) < ε. (3) Démonstration. Supposons que l = lim f(x) existe dans R et soit ε > 0. Il existe x x 0,x A U V (x 0 ) tel que f(x) l < ε/2, pour tout x A U. Donc, pour x,y A U, on aurait f(x) f(y) f(x) l + f(y) l < ε/2 + ε/2 = ε. Donc la condition 3 et satisfaite. Inversement, supposons que f vérifie la condition 3. Soit (u n ) n 0 une suite d éléments de A qui converge vers x 0 (une telle suite existe car x 0 est adhèrent à A). La condition 3 entraîne que la suite (f(u n )) n 0 est une suite de Cauchy, donc convergente, puisque R est complet. Soit l R sa limite et soit ε R +. Soit U le voisinage de x 0 associé à ε par la condition 3. Il existe N N tel que pour tout n N, on ait u n U A et f(u n ) l < ε. Soit x U A. On a Donc lim f(x) = l. x x 0,x A f(x) l f(x) f(u N ) + f(u N ) l < 2ε.

25 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Définition On dit que la fonction f : D R est croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout (x,y) D 2, x < y f(x) f(y) (resp. x < y f(x) < f(y)). f est dite décroissante (resp. strictement décroissante) si f est croissante (resp. strictement croissante). f est dite monotone (resp. strictement monotone ) si f est soit croissante soit décroissante (resp. soit strictement croissante soit strictement décroissante). Théorème (de la limite monotone) Soit f : ]a,b[ R une fonction croissante. Alors pour tout x 0 ]a,b[, les limites lim f(x) et lim f(x) existent et on a x x 0 x x + 0 sup f(t) = lim f(x) f(x 0 ) lim a<t<x 0 x x 0 x x + 0 D autre part, si a < x 0 < x 1 < b, alors lim x x + 0 f(x) = inf x 0 <t<b f(x) lim f(x). x x 1 f(t). (4)

26 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur leslimites fonctions et relation continues d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone Démonstration. Par hypothèse, l ensemble {f(t)/a < t < x 0} est majoré par f(x 0), donc il admet une borne supérieure M = sup f(t) f(x 0). Soit ε > 0. Par a<t<x0 définition de la borne supérieure, il existe δ > 0, a < x 0 δ < x 0, tel que M ε < f(x 0 δ) M. Puisque f est croissante, on a Donc M = lim f(x). x x 0 On démontre de même, que t [x 0 δ,x 0[,M ε < f(x 0 δ) f(t) M. lim x x + 0 Soit maintenant a < x 0 < x 1 < b. On a : lim x x + 0 f(x) = inf f(t) ;( ) x0<t<b f(x) = inf f(t) = x0<t<b inf f(t). x0<t<x1 La dernière égalité provient de ( ) appliquée à la restriction de f à ]x 0,x 1[. De même, on a : Donc lim x x + 0 lim f(x) = sup x x 1 a<t<x1 f(x) lim f(x). x x 1 f(t) = sup f(t). x0<t<x1 Remarque Il existe un résultat analogue pour les fonctions décroissantes, mais le sens des inégalités est inversé.

27 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Sommaire 1 Voisinages, Points adhèrents Voisinages d un point Points Adhèrents 2 Limites Limites et relation d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone 3 Fonctions continues 4 Les grands théorèmes sur les fonctions continues Théorème des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème de Heine Monotonie et continuité

28 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Définition Soit f : D R et x 0 D. On dit que f est continue en x 0 si lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), c est-à-dire si : ε > 0, δ > 0, x D, x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. (5) On dit que f est continue à droite (resp. à gauche) en x 0 si (resp. si lim x x 0 f(x) = f(x 0 )). lim x x + 0 On dit que f est continue sur D si f est continue en tout point de D. f(x) = f(x 0 ) Pour que f soit continue en x 0 il faut (et il suffit) que f soit définie en x 0 (x 0 D) et que la limite l = lim f(x) existe (dans R) (car dans ce cas x x 0 l = f(x 0 )). Si f n est pas définie en x 0 R et que l = lim f(x) existe (dans R), alors la x x 0 fonction f : D R définie par f(x) = { f(x) si x D l si x = x 0 est appelée prolongement par continuité de f en x 0.

29 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Exemple { x si x Q Etudions la continuité de la fonction f(x) =. On remarque 0 si x R\Q que, pour tout x R, on a 0 f(x) x. Donc lim f(x) = 0 = f(0), donc f x 0 est continue en 0. Soit x 0 R. On peut trouver deux suites (r n ) de rationnels et (ρ n ) d irrationnels qui convergent vers x 0 (on utilise ici la densité de Q et de R\Q dans R). On a lim f(r n) = lim r n = x 0 lim f(ρ n) = 0, n n n donc f n admet pas de limite en x 0, et par suite f est discontinue en x 0. Remarque On déduit du caractère local de la notion de limite, que si U 0 est un voisinage de x 0, alors f est continue en x 0 si, et seulement si sa restriction à U 0 D est continue en x 0. Les fonctions continues se comportent bien avec les suites : Proposition une fonction f est continue en x 0 si, et seulement si pour toute suite (u n ) d éléments de D qui converge vers x 0, la suite (f(u n )) converge vers f(x 0 ). Démonstration. C est une conséquence du théorème 2.2.

30 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Proposition Si f est continue en x 0 et si f(x 0 ) 0, alors f(x) garde un signe fixe au voisinage de x 0. Démonstration. Quitte à changer f en f, on peut supposer que f(x 0 ) > 0. Puisque f est continue en x 0, on peut associer à ε = f(x 0 )/2 > 0, un voisinage U V (x 0 ) tel que x D U ε < f(x) f(x 0 ) < ε. On en déduit que, pour tout x D U, f(x) > f(x 0 )+ε = f(x 0 )/2 > 0, donc f(x) > 0 pour x D U. f(x0) x0 U

31 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues opérations sur les fonctions continues Théorème Soient f : D R, x 0 D, g : f(d) R et y 0 = f(x 0 ). Si f est continue en x 0 et g est continue en y 0, alors g f est continue en x 0. Démonstration. C est une consèquence du théorème 2.4 de composition des limites. Théorème Soient f,g : D R deux fonctions continues en x 0 D et soit λ R. Alors λf + g et f g sont continues en x 0. Si de plus g(x 0 ) 0, alors f/g est définie au voisinage de x 0 et elle est continue en x 0. Démonstration. C est une consèquence du théorème 2.3.

32 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Définition (Fonction uniformément continue) Une application f : D R est dite uniformément continue (u.c en abrégé) sur D si, et seulement si ε > 0, δ > 0, x,y D,( x y < δ) ( f(x) f(y) < ε). (6) Remarques La continuité uniforme est de caractère global (elle dépend de l ensemble D), alors que la continuité est de caractère local (elle ne dépend que du point x 0 et non de l ensemble D). Si f est u.c sur D et si (x n ) et (y n ) sont deux suites d éléments de D telles que x n y n 0, alors f(x n ) f(y n ) 0. La continuité uniforme est plus forte que la continuité : dans la condition 5, δ dépend à la fois de x 0 et de ε, alors que dans la condition 6, il ne dépend que de ε. Donc une application u.c sur D est continue sur D, mais la réciproque est fausse en général : la fonction f : x x 2 est continue sur R, mais elle n y est pas u.c, car en posant x n = n,y n = n + 1/(n + 1), on a x n y n 0 mais f(x n ) f(y n ) 0.

33 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur les fonctions continues Une classe importante d applications u.c. est celle des applications lipshitziennes : Définition Une application f : D R est dite k-lipshitzienne, où k est un réel positif si x,y D, f(x) f(y) k x y. Par exemple, les fonctions sin et cos sont 1-lipshitziennes sur R.

34 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Sommaire 1 Voisinages, Points adhèrents Voisinages d un point Points Adhèrents 2 Limites Limites et relation d ordre Opèrations sur les limites Théorème de la limite monotone 3 Fonctions continues 4 Les grands théorèmes sur les fonctions continues Théorème des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème de Heine Monotonie et continuité

35 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Théorème Soit f : [a,b] R une application continue telle que f(a)f(b) 0. Alors il existe c [a,b] tel que f(c) = 0. Démonstration. Il suffit de considèrer le cas où f(a)f(b) < 0. Quitte à considèrer f, on peut supposer que f(a) > 0 et que f(b) < 0. Posons E = {x [a,b]/f(x) > 0}. E est une partie de R, non vide (a E ) et majorée (par b ). Soit c = supe. On a : a c < b. Si f(c) > 0 et puisque f est continue en c, alors il existerait d ]c,b] tel que f(d) > 0 (cf. proposition 3.2). On aurait alors d E et d > c = supe. Contradiction. Si f(c) < 0, en utilisant une fois de plus la continuité de f en c et la proposition 3.2, on peut trouver c [a,c[ tel que c < x c f(x) < 0. D autre part, puisque c < c = supe, il existe x E,c < x c. On aboutit à la contradiction f(x) < 0 et x E. En fin de compte, la seule possibilité qui reste est f(c) = 0.

36 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d FIGURE : Toute valeur γ comprise entre f(x ) et f(x ) est atteinte par f au moins une Théorème (théorème des valeurs intermédiaires) Soit f : I R une application continue sur un intervalle I de R et soient x 1,x 2 I,x 1 < x 2. Toute valeur comprise entre f(x 1 ) et f(x 2 ) est atteinte par f : γ [min(f(x 1 ),f(x 2 )),max(f(x 1 ),f(x 2 ))], α [x 1,x 2 ],f(α) = γ Démonstration. Soit γ [min(f(x 1 ),f(x 2 )),max(f(x 1 ),f(x 2 ))], et soit g : [x 1,x 2 ] x [f(x) γ]. g est continue et vérifie g(x 1 )g(x 2 ) 0. On applique alors le théorème 4.1 à g sur [x 1,x 2 ]. f(x2) γ f(x1) x1 x2

37 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Corollaire L image continue d un intervalle de R est un intervalle. Démonstration. Soit f : I R une fonction continue sur un intervalle I R. On a, d après le théorème 4.1, pour tout u,v f(i), u < v [u,v] f(i). Donc f(i) est un intervalle.

38 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Définition Une fonction f : D R est dite majorée sur une partie A D s il existe M R tel que f(x) M, pour tout x A. f est dite minorée (resp. bornée) sur A si ( f) (resp. f ) est majorée sur A. Théorème (de Weierstrass) Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b] fermé et borné, alors f est bornée et atteint ses bornes : µ,λ [a,b], x [a,b],f(µ) f(x) f(λ). (7) f a µ λ b

39 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Démonstration. Supposons, par l absurde, que f n est pas majorée sur [a,b]. Pour tout n N, on peut trouver x n [a,b] tel que f(x n ) > n. La suite (x n ) étant bornée, on peut en extraire une sous-suite (xϕ(n)) qui converge vers un point l [a,b] ( Bolzano-Weierstrass). On a lim f(x ϕ(n)) = +, car f(xϕ(n)) > ϕ(n), pour n tout n. Or f est continue en l et lim x ϕ(n) = l, donc lim f(x ϕ(n)) = f(l). n n Contradiction. Donc f est majorée sur [a, b]. Montrons à présent qu il existe λ [a,b] tel que f(λ) = M = sup f(x). Par a x b définition de M, on a : ε > 0, x ε [a,b],m ε < f(x ε ) M. Donnons à ε les valeurs 1/n, (n N ), pour obtenir une suite (x n ) d éléments de [a,b] telle que pour tout n 1, on ait M 1/n < f(x n ) M. On applique de nouveau le théorème de Bolzano-Weierstrass pour extraire de (x n ) une sous-suite (x ψ(n) ) qui converge vers une limite λ [a,b]. Par continuité de f, on a lim f(x ψ(n)) = f(λ). Or M 1/ψ(n) < f(x ψ(n) ) M, et n par passage à la limite, on obtient M f(λ) M, donc M = f(λ). Pour terminer la démonstration, on applique ce qui précède à f, pour en déduire que f est minorée et atteint sa borne inférieure.

40 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Remarque L hypothèse de l intervalle fermé et borné dans le théorème 4.3 est essentielle : par exemple, la fonction f : x x est continue et bornée sur l intervalle ouvert ]0, 1[, mais elle n atteint pas ses bornes. De même la fonction g : x 1/x est continue sur l intervalle ]0,1] mais elle n y est pas bornée. En combinant les théorèmes 4.2 et 4.3, on peut dire que l image continue d un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.

41 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Théorème (de Heine) Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue. Démonstration. Soit f : [a, b] R une application continue. Supposons, par l absurde, que f n est pas u.c sur [a,b] : ε > 0, δ > 0, x,y [a,b], x y < δ et f(x) f(y) ε. Soit n N. En donnant à δ la valeur 1/n, on trouverait x n,y n [a,b] tels que x n y n < 1/n et f(x n ) f(y n ) ε. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire une sous-suite (xϕ(n)) de (x n ) qui est convergente vers un point c [a,b]. Comme xϕ(n) yϕ(n) 1/ϕ(n) 0, on en déduit que (yϕ(n)) converge aussi vers c. Or f est continue en c, donc lim f(x ϕ(n)) = lim f(y ϕ(n)) = f(c). n n Ceci contredit le fait que f(xϕ(n)) f(yϕ(n)) ε > 0, pour tout n 1.

42 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Théorème Soit f : I R une fonction monotone sur l intervalle I. Pour que f soit continue sur I, il faut et il suffit que f(i) soit un intervalle. Démonstration. La condition est nécessaire, d après le théorème des valeurs intermédiaires. Inversement, supposons que f(i) soit un intervalle et que, par exemple, f. Supposons qu il existe x 0 I où f est discontinue. Puisque f, l une au moins des inégalités suivantes est vérifiée : l := lim f(x) < f(x 0 ) ou f(x 0 ) < l + := lim f(x). x x 0 x x + 0 Supposons, par exemple, que f(x 0 ) < l +. Dans ce cas, on aurait pour tout x I, f(x) f(x 0 ) si x x 0 et l + f(x) si x 0 < x. Donc f(i) ]f(x 0 ),l + [ = /0. Fixons x 1 I, x 1 > x 0. Comme f(i) est un intervalle et qu il contient les points f(x 0 ) et f(x 1 ), on a [f(x 0 ),f(x 1 )] f(i). D autre part /0 ]f(x 0 ),l + [ [f(x 0 ),f(x 1 )] f(i) On obtient une contradiction. On traitera de manière analogue le cas où l < f(x 0 ). Donc f est partout continue sur I. Démonstration analogue si f est décroissante.

43 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Théorème (théorème de la fonction réciproque ) Soit I un intervalle de R, et soit f : I R une fonction continue et strictement monotone. Alors la fonction f réalise une bijection de I sur f(i). La fonction récirpoque f 1 : f(i) I est continue, strictement monotone et varie dans le même sens que f. Démonstration. Puisque f est strictement monotone, elle est aussi injective et réalise une bijection de I sur f(i) et la fonction récirpoque f 1 : f(i) I est strictement monotone ( elle a le même sens de variation que f ). Il reste à prouver la continuité de f 1. Notons d abord que f(i) est un intervalle (car f est continue ). D autre part f 1 (f(i)) = I est un intervalle et f 1 est monotone, donc d après le théorème 4.5, f 1 est continue.

44 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Applications La fonction sin : [ π/2, π/2] R est continue et strictement monotone et sin([ π/2,π/2]) = [ 1,1]. Donc elle réalise une bijection de [ π/2,π/2] sur [ 1,1]. Sa fonction réciproque est notée Arcsin. On a ( y = sinx, x π ) (x = Arcsiny, y 1) FIGURE : sin et Arcsin

45 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d De même les fonctions cos : [0,π] [ 1,1]; tg : ] π/2,π/2[ R; R + x x n R + sont des bijections. Leurs réciproques sont respectivement : ] Arccos : [ 1,1] [0,π]; Arctg : R π [ 2,+π ; R + x n x 2 Signalons que les graphes d une fonction bijective et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

46 Voisinages, Points adhèrents Limites Fonctions continues Les grands théorèmes sur lesthéorème fonctionsdes continues valeurs intermédiaires Théorème des valeurs extrémales Théorème d Proposition Une fonction continue f : I R (I intervalle ) est injective si, et seulement si, elle est strictement monotone. Démonstration. La condition est suffisante. Inversement supposons que f soit injective. Soit (a,b,c) I 3,a < b < c. Supposons, par l absurde, que f(b) n est pas compris entre f(a) et f(c). Par exemple f(c) est compris entre f(a) et f(b). D après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait t [a, b] tel que f(t) = f(c). Donc a c = t b, puisque f est injective. Contradiction. On raisonnerait de même si f(a) était compris entre f(b) et f(c). Donc si I a < b < c I, alors f(b) est compris entre f(a) et f(c). Fixons-nous maintenant a et b dans I, a < b. Quitte à remplaçer f par f, on peut supposer que f(a) < f(b). Montrons alors que f est croissante. Soit (x,y) I 2,x < y. En étudiant les différentes positions possibles de a,b,x,y, on montrera que f(x) < f(y) : par exemple si a < x < b < y, on aurait f(a) < f(x) < f(b) < f(y), donc f(x) < f(y),... etc.

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