c 2008 Marc Feeley Recursivite page 1 Copyright c 2008 Marc Feeley

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Rose Tassé
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1 IFT1025 Récursivité Recursivite page 1 Copyright

2 Définition Recursivite page 2 Définition tirée d un dictionnaire humoristique... RÉCURSIVITÉ : Si vous ne comprennez pas, allez voir récursivité

3 Définition plus sérieuse Recursivite page 3 Lorsqu un système contient une autoréférence (ou une copie de lui-même) on dit que ce système est récursif En informatique, la récursivité est un des concepts de programmation les plus importants Permet de résoudre des problèmes complexes en les décomposant en problèmes plus petits Vous connaissez déjà des systèmes récursifs... Voyons quelques exemples tirés de la nature...

4 Domaine minéral Recursivite page 4 Une montagne (générée par ordinateur)

5 Domaine animal Recursivite page 5 Un coquillage de nautilus

6 Domaine végétal (1) Recursivite page 6 Une vraie fougère et une générée par ordinateur

7 Domaine végétal (2) Recursivite page 7 Du romanesco (hybride broccoli/choux-fleur) Très récursif!

8 Domaine végétal (3) Recursivite page 8 Un arbre réel et un arbre généalogique des ascendants

9 Effet droste (1) Recursivite page 9 Un parfait et un imparfait

10 Effet droste (2) Recursivite page 10

11 Escalier Recursivite page 11 (vision itérative) Un escalier de hauteur h c est : une séquence de h marches (vision récursive) Un escalier de hauteur h c est : une marche suivie d un escalier de hauteur h 1

12 Monter un escalier en Java Version itérative : Recursivite page 12 static void monter_escalier( int h ) { for (int i = 1; i <= h; i++) monter_marche(); Version récursive : static void monter_escalier( int h ) { if (h == 1) monter_marche(); else { monter_marche(); monter_escalier( h-1 );

13 Récursivité en action Que fait l appel monter escalier( 3 )? = = = monter_escalier( 3 ) monter_marche(); monter_escalier( 2 ); monter_marche(); monter_marche(); monter_escalier( 1 ); monter_marche(); monter_marche(); monter_marche(); Recursivite page 13 Même effet que la version itérative, c est-à-dire 3 appels à monter marche()

14 Jeu "devinez le nombre de 1 à 100" Le jeu : Recursivite page 14 La personne #1 choisit secrètement un nombre X de 1 à 100 La personne #2 propose à la personne #1 un nombre P de 1 à 100, qui lui répond c est exact! si X = P plus bas si X < P plus haut si X > P La personne #2 doit répéter jusqu à ce que le nombre soit deviné

15 Recherche dichotomique Recursivite page 15 La stratégie la plus efficace est d utiliser une recherche dichotomique La personne #1 choisit secrètement le nombre 37 #2 propose #1 répond plus bas #2 propose #1 répond plus haut #2 propose #1 répond c est exact! Il faut au maximum 7 tentatives

16 Recherche dichotomique récursive en Java rechercher( min, max ); fait la recherche en supposant que min X max static final int EXACT = 0; static final int PLUS_BAS = -1; static final int PLUS_HAUT = 1; static int lire_reponse() {... Recursivite page 16 static void rechercher( int min, int max ) { if (min == max) System.out.println( "c est " + min ); else { int n = (min + max) / 2; System.out.println( "est-ce que c est " + n ); switch (lire_reponse()) { case PLUS_BAS : rechercher( min, n-1 ); break; case PLUS_HAUT: rechercher( n+1, max ); break;

17 Recherche dichotomique lorsque X = 37 Recursivite page 17 Le jeu débute par l appel rechercher( 1, 100 ); = = = = = rechercher( 1, 100 ); System.out.println( "est-ce que c est 50" ); switch (lire_reponse()) {... System.out.println( "est-ce que c est 50" ); rechercher( 1, 49 ); System.out.println( "est-ce que c est 50" ); System.out.println( "est-ce que c est 25" ); switch (lire_reponse()) {... System.out.println( "est-ce que c est 50" ); System.out.println( "est-ce que c est 25" ); rechercher( 26, 49 ); System.out.println( "est-ce que c est 50" ); System.out.println( "est-ce que c est 25" ); System.out.println( "est-ce que c est 37" ); switch (lire_reponse()) {... /* fini */

18 La recette de récursivité Recursivite page 18 S assurer que le problème peut se décomposer en un ou plusieurs sous-problèmes de même nature Identifier le cas de base qui est le plus petit problème qui ne se décompose pas en sous-problèmes résoudre(p ) = si P est un cas de base, le résoudre directement sinon décomposer P en sous-problèmes P 1, P 2,... résoudre récursivement P 1, P 2,... combiner les résultats pour obtenir la solution pour P

19 Courbe fractale de Koch Courbe qui a une similarité propre : Recursivite page 19

20 Niveaux de courbes Recursivite page 20 niveau 0 niveau 1 niveau 2 niveau 3 niveau 4 niveau 5

21 Algorithme Pour tracer une courbe de Koch de A à B : niveau = 0, tracer une ligne de A à B : Recursivite page 21 A 0 1 niveau = N, décomposer en 4 segments comme ci-dessous et tracer une courbe de Koch de niveau N 1 à la place de chaque segment B A 1/3 1/3 60 o 1/3 0 1/3 2/3 1/3 B 1

22 Classe utilitaire Classe pos représentant des coordonnées 2D : Recursivite page 22 class pos { public double x, y; public pos( double xx, double yy ) { x = xx; y = yy; public pos add( pos p ) { return new pos( x+p.x, y+p.y ); public static pos rot( double dist, double angle ) { double a = * angle / 180; return new pos( dist * Math.cos(a), dist * Math.sin(a) ); dist B A angle

23 Classe koch Recursivite page 23 static void koch( int niv, pos p0, double dist, double angle ) { pos p4 = p0.add( pos.rot( dist, angle ) ); if (niv == 0) System.out.println( "("+p0.x+","+p0.y+")-("+p4.x+","+p4.y+")" ); else { pos p1 = p0.add( pos.rot( dist/3, angle ) ); pos p2 = p1.add( pos.rot( dist/3, angle+60 ) ); pos p3 = p0.add( pos.rot( 2*dist/3, angle ) ); koch( niv-1, p0, dist/3, angle ); koch( niv-1, p1, dist/3, angle+60 ); koch( niv-1, p2, dist/3, angle-60 ); koch( niv-1, p3, dist/3, angle ); static void tracer() { koch( 5, new pos( 0, 0 ), 1, 0 );

24 Koch en Scheme Recursivite page 24 (define (koch niv p0 dist angle) (let ((p4 (add p0 (rot dist angle)))) (if (= niv 0) (line p0 p4) (let* ((p1 (add p0 (rot (/ dist 3) angle))) (p2 (add p1 (rot (/ dist 3) (+ angle 60)))) (p3 (add p2 (rot (/ dist 3) (- angle 60))))) (koch (- niv 1) p0 (/ dist 3) angle) (koch (- niv 1) p1 (/ dist 3) (+ angle 60)) (koch (- niv 1) p2 (/ dist 3) (- angle 60)) (koch (- niv 1) p3 (/ dist 3) angle))))) ESSAYER

25 Tours de Hanoï Le jeux est composé de 3 poteaux (A, B, C) et de N disques troués de différentes tailles Recursivite page 25 Au départ, les N disques sont en ordre de grandeur sur le poteau A Le but est de déplacer les N disques au poteau C, en déplaçant seulement un disque à la fois, et en ne mettant jamais un disque sur un disque plus petit État de départ avec 4 disques: A B C

26 Tours de Hanoï (suite) Comment résoudre ce problème? Recursivite page 26 Il existe un algorithme récursif très simple Pour déplacer une pile de N disques de X à Y il faut déplacer une pile de N 1 disques de X à Z déplacer le disque restant de X à Y déplacer une pile de N 1 disques de X à Y

27 Tours de Hanoï (suite) Recursivite page 27 static void hanoi( int N, char X, char Y, char Z ) { if (N > 0) { hanoi( N-1, X, Z, Y ); System.out.println( "deplacer de " + X + " a " + Y ); hanoi( N-1, Z, Y, X ); static void go() { hanoi( 4, A, C, B );

28 % javac hanoi.java % java hanoi deplacer de A a B deplacer de A a C deplacer de B a C deplacer de A a B deplacer de C a A deplacer de C a B deplacer de A a B deplacer de A a C deplacer de B a C deplacer de B a A deplacer de C a A deplacer de B a C deplacer de A a B deplacer de A a C deplacer de B a C Execution Recursivite page 28

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