Informatique Fondamentale

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1 Informatique Fondamentale Informatique fondamentale et modélisation L informatique fondamentale est une branche de l informatique dont le principal but est la modélisation de problèmes, concepts ou applications informatiques, et le développement d algorithmes pour analyser les modèles. I les modèles sont généralement des concepts abstraits, basés notamment sur les mathématiques I l abstraction permet de simplifier les problèmes concrets et de se concentrer sur leurs aspects essentiels I l abstraction permet plus de rigueur par une formalisation précise

2 Exemples de modèles I graphes : modèles de réseaux sociaux, routiers, web, etc. ), de dépendances (entre les variables d un programme, entre les classes en programmation objet, etc.),... I la logique : modélise les énoncés mathématiques I les systèmes de déduction : modélisent la notion de preuve I la machine de Turing I les automates : modélisent des programmes informatiques simples I les mots sur un alphabet quelconque : modélisent par exemple les instances d un problème, qu on représentent comme des mots, ou des séquences d ADN, etc. I langages de mots : modélisent des problèmes de décision (ensemble des instances ayant une solution) I chaînes de Markov : modélisent des systèmes probabilistes

3 Réductions entre problèmes I une notion essentielle en informatique fondamentale I modélisation d un problème par un autre Pour les problèmes de décision (réponse oui/non) Réduire un problème A dans un problème B, c est trouver une méthode permettant d encoder toute entrée I A du problème A comme une entrée I B du problème B, telleque I A a une solution si et seulement si I B a une solution I parfois on demandera que cette méthode soit un algorithme I pour les problèmes qui ne sont pas des problèmes de décision (trier un tableau par exemple), on demandera que toute solution de I A s encode en une solution de I B et réciproquement toute solution de I B se décode en une solution de I A

4 Exemple de réduction I problème A : I I INPUT : un tableau d entier OUTPUT : oui si tous les éléments sont distincts, non sinon I problème B : I I INPUT : un tableau d entier, OUTPUT : oui si la suite des éléments est strictement croissante, non sinon I réduction : trier le tableau. I complexité en temps = Réduction + coût pour résoudre B = O(n.log(n)) + O(n) = O(n.log(n)) I nous verrons beaucoup d autres exemples dans ce cours.

5 6 Objectifs du cours I apprendre à modéliser des problèmes de manière précise et rigoureuse I maîtriser la notion de réduction entre problèmes I acquérir des notions de base sur les concepts et modèles fondamentaux de l informatique Plan I modèles pour les énoncés mathématiques et les preuves : la logique et les systèmes de déduction I application de la logique à l informatique : les solveurs SAT I notion de complexité de problèmes et réduction entre problèmes I modèles de calcul et notion d indécidabilité I modèles de programmes : les automates finis

6 INTRODUCTION A LA LOGIQUE

7 9 Qu est-ce que la logique? Définition du Littré Science qui a pour objet les procédés du raisonnement. Définition du Trésor Science relative aux processus de la pensée rationnelle (induction, déduction, hypothèse p. ex.) et à la formulation discursive des vérités.. Définition du Larousse Science du raisonnement en lui-même, abstraction faite de la matière à laquelle il s applique et de tout processus psychologique..

8 10 Origines de la logique : Grèce Antique I enseignement du discours (logos en grecque) et de la rhétorique. Aristote ( 384, 322). I Formaliser les règles de déduction. I Décrire avec précision et rigueur des énoncés et des raisonnements sur ces énoncés. I Exemple : syllogisme 1. Tous les hommes sont mortels. 2. Or X est un homme. 3. Donc X est mortel. I Si les prémisses sont vrais (1 et 2), les règles de la logique assurent que 3 est vrai, peu importe la valeur de X. I En notation ensembliste, cela s exprime ainsi : si H M et X 2 H, alors X 2 M.

9 11 Fausses vérités et paradoxes I l utilisation du langage naturel comme notation est imprécise et peut mener à des énoncés faux Tout ce qui est rare est cher 2. Or une chose pas chère, c est rare 3. Donc une chose pas chère, c est cher. I... ou à des paradoxes I I I Cette phrase est fausse. Problème de l auto référence. Un crocodile s empare d un bébé crocodile et propose à sa mère de récupérer son bébé si elle devine ce qu il va en faire, ce à quoi elle répond tu vas le dévorer. Que va donc faire le crocodile? Le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-là. Qui rase le barbier?

10 12 Un petit dernier...

11 13 Logique Moderne I 19é siècle : la logique devient un outil scientifique (Boole, Hilbert, Gödel, Church, Turing...). I Formaliser les mathématiques comme un langage. Formaliser le concept de démonstration. I Spécifier des propriétés de systèmes informatiques de manière précise et rigoureuse : c est cet aspect qui va nous intéresser pour le model-checking.

12 14 Exemple Considérons la situation décrite par les a rmations suivantes : 1. Si le train arrive en retard et il n y a pas de taxis à la gare alors l invité arrive en retard. 2. L invité n est pas en retard. 3. Le train est arrivé en retard. Et la déduction suivante : il y avait des taxis à la gare. Question Pourquoi peut-on déduire qu il y avait des taxis à la gare? Premièrement, si on met l a rmation 1 et l affirmation 3 ensemble, on peut a rmer que s il n y avait pas eu de taxis à la gare, alors l invité serait arrivé en retard. D après l a rmation 2, l invité n est pas arrivé en retard. Donc il y avait des taxis à la gare.

13 15 Autre Exemple Considérons un autre exemple : 1. Si il pleut et l invité a oublié son parapluie alors l invité est trempé. 2. L invité n est pas trempé. 3. Il pleut. Et la déduction suivante : l invité n a pas oublié son parapluie. Question Pourquoi peut-on déduire que l invité n a pas oublié son parapluie? Premièrement, si on met l a rmation 1 et l affirmation 3 ensemble, on peut a rmer que si l invité avait oublié son parapluie, alors il serait trempé. D après l a rmation 2, l invité n est pas trempé. Donc l invité n a pas oublié son parapluie.

14 16 Remarque La deuxième démonstration suit la même structure logique que la première démonstration. Il su t de remplacer les fragments de phrase Exemple du train Exemple du parapluie Le train est arrivé en retard Il pleut comme suit : Il y a des taxis à la gare L invité a son parapluie L invité est en retard L invité est mouillé.

15 17 Formalisation Logique Exemple du train Exemple du parapluie Proposition Le train est arrivé en retard Il pleut p Il y a des taxis à la gare L invité a son parapluie q L invité est en retard L invité est mouillé r Démonstration 1. Hypothèse : si p et non q, alorsr 2. Hypothèse : p 3. Hypothèse : non r 4. Déduction : si non q alors r 5. Déduction : comme non r, alorsq.

16 18 Formalisation logique Alors nous pouvons formaliser les situations décrites dans ces deux premiers exemples par la formule logique suivante : ((p ^ q)! r) ^ r ^ p Et nous pouvons formaliser la déduction par : ((p ^ q)! r) ^ r ^ p = q Où = se lit : q est une conséquence logique de ((p ^ q)! r) ^ r ^ p.

17 19 Conditions Booléennes dans les langages de programmation Considérons le test suivant : if (x 3 and z apple 3) or (y apple 2 and z apple 3) then... Il peut-être remplacé par if (x 3 or y apple 2) and z apple 3 then... Car (p _ q) ^ r est logiquement équivalent à (p ^ r) _ (q ^ r).

18 20 Logique Propositionnelle I les propositions sont représentées par des variables propositionnelles p, q, r,... I les formules sont des suites de symboles construites à partir des variables propositionnelles et des connecteurs Booléens ^, _,,!,...Onparleradesyntaxe. I Exemple : (p ^ q)! (p _ q). I La sémantique des formules est définie en interprétant les variables propositionnelles par des valeurs Booléennes vrai (>) et faux(?), et en interprétant les connecteurs Booléens comme des fonctions Booléennes. I Une formule est satisfaisable si elle est vraie pour une certaine interprétation de ses variables. Ex : p, p _ q, p! q, maispasp ^ p. I Une formule est valide si elle est vraie pour tout interprétation de ses variables. Ex : p! p, p _ p, p! (q! (p ^ q)). I Questions : comment décider si une formule est satisfaisable? valide?

19 21 Modélisation en Logique Propositionnelle Modélisation I Soit une instance I d un problème P quelconque (par exemple, une base de données d étudiants et de cours, une grille de jeu Sudoku, un ensemble de tâche avec des délais et un ensemble de processeurs,...). I Il s agira de définir un ensemble de propositions Prop et une formule de la logique propositionnelle construite sur Prop, tellequei a une solution si et seulement si est satisfaisable, i.e. il existe un assignement des variables de Prop (à vrai ou faux) qui rend vraie la formule. I idéalement, l assignement trouvé doit nous donner la solution au problème I : emploi du temps, grille résolue, ordre d a ectation des tâches aux processeurs...

20 22 Exemple I Prop = {p i,j,v i, j, v 2 {1,...,9}} I p i,j,v est mise à vraie ssi la case de coordonnées (i, j) contient la valeur v I les formules devront exprimer les règles du Sudoku : 1. chaque valeur de 1 à 9 apparaît exactement une fois sur chaque ligne et chaque colonne 2. chaque sous-carré 3x3 doit contenir chaque valeur de 1 à 9 exactement une fois 3. les contraintes de départ doivent être respectées I ce qui donnera par exemple : p 1,1,1! p 1,2,1 ^ ^ p 1,9,1 (si la case de coordonnées (1, 1) contient la valeur 1, alors les cases de coordonnées (1, 2) à (1, 9) ne contiennent pas la valeur 1).

21 23 Vers plus d expressivité Phrase Chaque étudiant est plus jeune qu un professeur. Nous pouvons identifier cette phrase avec une variable propositionnelle p. La logique propositionnelle n est n est pas assez fine pour modéliser cette situation de manière précise Décomposition Quels sont les éléments essentiels de cette phrase? 1. être un étudiant 2. être un professeur 3. être plus jeune que quelqu un d autre

22 24 Vers plus d expressivité : les prédicats Phrase Chaque étudiant est plus jeune qu un professeur. 1. être un étudiant 2. être un professeur 3. être plus jeune que quelqu un d autre Ces qualités sont représentées par des prédicats. 1. E(alice) :aliceestuneétudiante 2. P(john) : john est un professeur 3. J(alice, john) : alice est plus jeune que john

23 25 Vers plus d expressivité : les variables De manière générale, on utilise des variables x, y, z,... pour abstraire des valeurs concrètes : 1. E(x) : x est un étudiant 2. P(y) : y est un professeur 3. J(x, y) : x est plus jeune que y

24 26 Vers plus d expressivité : les quantificateurs Phrase Chaque étudiant est plus jeune qu un professeur. On a besoin de quantificateurs : universel 8, pour tout existentiel 9, ilexiste

25 27 Vers plus d expressivité : la logique du premier ordre Phrase Chaque étudiant est plus jeune qu un professeur. Voici comment représenter cette phrase en logique du premier ordre (appelée aussi logique des prédicats) : 8x :(E(x)! (9y : P(y) ^ J(x, y))) qui se lit : pour tout x, six est un étudiant, alors il existe y tel que y est un professeur et x est plus jeune que y.

26 28 Logique du premier ordre : autre exemple I Considérons les prédicats suivants : I I O(x) : x est un oiseau V (x) : x sait voler I et les phrases suivantes : I il n est pas vrai que tous les oiseaux savent voler (8x : (O(x)! V (x))) I de manière équivalente, il existe un oiseau qui ne sait pas voler : 9x : O(x) ^ V (x)

27 29 La logique du premier ordre : un dernier exemple Considérons les règles suivantes : 1. les parents d un enfant sont des ancètres de cet enfant ; 2. les ancêtres d une personne qui est l ancêtre d une deuxième personne sont également ancètres de cette deuxième personne ; 3. deux personnes sont d une même famille si et seulement si elles ont un ancêtre commun.

28 30 La logique du premier ordre un dernier exemple Formalisation de la règle SpecApparente : 1. 8x, y : Parent(x, y)! Ancetre(x, y) 2. 8x, y :(9z : Ancetre(x, z) ^ Ancetre(z, y))! Ancetre(x, y) 3. 8x, y : Apparente(x, y) $9z : Ancetre(z, x) ^ Ancetre(z, y)

29 31 La logique du premier ordre un dernier exemple La formalisation de cet exemple permet maintenant de faire des calculs pour raisonner sur cette règle. Par exemple, il est possible de poser de manière précise des questions comme : I est-ce qu un parent x et son enfant y sont apparentés? SpecApparente =? 8x, y : Parent(x, y)! Apparente(x, y) I est-ce que la relation Apparente est symétrique? SpecApparente =? 8x, y : Apparente(x, y)! Apparente(y, x) Note Répondre à ces questions de manière formelle revient à faire une preuve qui établit la propriéte ou à construire un contre-exemple.

30 Exemples d application de la logique en informatique I design de circuits numériques I vérification hardware et software, model-checking. Logiques temporelles. I preuves de programmes I bases de données : SQL. I théorie de la complexité. Classes P et NP. I...