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1 Moélistion pr on grph Élémnts s por l énrgétiq pr Blkm OULD BOUMM Prossr à l Éol Polythniq Univrsitir Lill (Polyth Lill) t Gnvièv DUPHIN-TNGUY Prossr à l Éol Cntrl Lill. Conpts t éinitions : port, lin, on grph... BE Vrils énrgi t pissn Vris on grphs Pso on grphs Élémnts lngg on grph Élémnts pssis port Élémnts tis Élémnts jontion Lins inormtion Cslités n on grphs... 9 Tl nottions t symols... 2 éérns iliogrphiqs... 2 L s proéés énrgétiqs possènt n omportmnt ortmnt non linéir û priniplmnt à l intrtion mtll plsirs phénomèns ntrs ivrss t ssoint s omposnts thnologiqs qi mttnt n œvr s énrgis ntrs iérnts (méniq, himiq, thrmoynmiq, t.). L omportmnt ynmiq typ systèm st érit générlmnt pr s éqtions iérntills non linéirs. L émrh lssiq sé sr ls éqtions prmir prinip (onsistnt à étir ls éhngs n sttionnir o n trnsitoir) vint ompliqé n rison rtèr mltiénrgi t non sttionnir typ proéé. L otil on grph (grph liison o grph à lins) à votion plriisiplinir prmt jstmnt, pr s ntr grphiq, à l i n lngg niié, ihr xpliitmnt l ntr s éhngs pissn ns l systèm, tls q ls phénomèns stokg, trnsormtion t issiption énrgi t mttr n évin l ntr physiq t l lolistion s vrils étt. Pr illrs, l moèl on grph st évolti, qi prmt isémnt inr l moèl (n ontion s hypothèss moélistion rtns) pr simpl jot novx élémnts (prt thrmiq, t inrti, t.) sns voir à rprnr l émrh pis l ét. L métho st pté à l otntion moèls intégrés, st porqoi l intérêt l moélistion pr on grph s phénomèns rnontrés n géni énrgétiq t n géni s proéés st évint. L otil on grph été éini initilmnt n 959 MIT (Boston, US) pr Pyntr [], pis introit n Erop niqmnt vrs ls nnés 97. Ctt émrh moélistion st très pégogiq por l ompréhnsion t l nlys l ynmiq s systèms. L méthoologi été évloppé à prtir 996 priniplmnt pr Krnopp, osnrg t Thom [2] [3]. Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28 Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir BE 8 28

2 MODÉLISTION P BOND GPH L moélistion pr on grphs s systèms à strtr rigi (méniq, éltriq) onn énorms évloppmnts ; pr ontr, l moélistion s systèms thrmiqs, thrmoynmiqs o tot simplmnt n géni énrgétiq t s proéés rst nor n omin ovrt n rison l omplxité s phénomèns. C sont portnt s typs prosss, présnts ns ls instris à risq qi néssitnt, por lr onnissn t lr ontrôl, s moèls pls n pls préis t xploitls. C lngg répon prtilièrmnt in à s soins pr ls rtéristiqs sivnts : n pproh énrgétiq qi prmt n éomposition systèm étié n sos-systèms qi éhngnt l pissn t qi strtrnt l proér moélistion ; n trminologi niié por tos ls omins physiqs, oné sr l notion nlogi ntr phénomèns ; n rprésnttion grphiq por vislisr ls trnsrts pissn, mis ssi slité ; n soplss inhérnt qi prmt ir évolr l moèl n jotnt s phénomèns négligés ; n éritr systémtiq s éqtions mthémtiqs isss moèl on grph sos orm éqtions iérntills ; n spport por n nlys strtrll s propriétés moèl n v l onption systèms srvilln o ommn [4]. Un rèv présnttion s onpts t éinitions s on grphs it l ojt txt qi onstit l prmièr prti l nsml «Moélistion pr on grph». C ossir présnt ls ss s on grphs ppliqés x systèms énrgétiqs, t l hoix s vrils pissn t énrgi ns s systèms. L son prti t nsml st trité ns l ossir [BE 8 28] «Moélistion pr on grph. pplition x systèms énrgétiqs».. Conpts t éinitions : port, lin, on grph Por pls inormtion, l ltr s rportr x réérns [] à [6]. in introir l méthoologi l otil on grph, éinissons or ls notions mltiports, lins t ports. Ls élémnts mltiports sont ls nœs n grph, ils sont rprésntés pr s rtèrs lphnmériqs. Pr xmpl sr l igr, trois élémnts mltiports q nos ésignons pr, t TF sont rprésntés. Ls ports hq mltiport sont rprésntés pr s sgmnts, à l i sqls l élémnt mltiport pt êtr onnté à l nvironnmnt. insi, sr l igr, l élémnt st à trois ports, l élémnt à n port t l élémnt TF possè x ports. Ls lins sont ormés lorsq x ports sont onntés ntr n pir élémnts mltiports. L nsml s mltiports onntés ntr x pr s lins rprésnt l on grph o grph liison o grph à lins (igr ). Nos rtinrons l nom on grph por s qstions ommoité. D n mnièr pls glol, l on grph pt êtr éini omm n grph linéir où ls nœs sont ls élémnts mltiports t ls rs ls lins. Totois l on grph st op pls rih q l grph. En on grph, ls lins (pplés lins pissn) rprésntnt l pissn o l lx énrgi éhngé ntr ls x mltiports onntés. Ctt pissn s xprim omm l proit x vrils omplémntirs. Inépnmmnt omin physiq onsiéré (thrmiq, éltriq, himiq...), s vrils sont pplés vrils générlisés ort t lx notés rsptivmnt pr t. C lin (on) port ls x vrils pissn t st ésigné pr l symol n mi-lèh omm iniqé sr l igr. Pr onvntion, l lx st tojors rprésnté ôté l mi-lèh. L pissn instntné n ontion tmps t rntrnt o sortnt port st l proit ort -lx ( ) : P (t ) = (t ) (t ) () L irtion l pissn positiv st rprésnté pr l sns l mi-lèh. Un rprésnttion on grph prmt mttr n évin qtr inormtions (igr 2) : l liison physiq ntr ls x systèms pr l lin on grph ; l slité pr l trit sl (évloppé 4) ; l typ énrgi tilisé pr l ntr s vrils pissn t nin l irtion l pissn trnsmis pr l irtion l mi-lèh. 2. Vrils énrgi t pissn 2. Vris on grphs Ls vrils ort t lx por qlqs omins physiqs sont onnés pr l tl. L proit ort-lx st n pissn, typ on grph st lors pplé vri on grph. BE Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

3 MODÉLISTION P BOND GPH TF élémnt mltiport TF élémnts t ports Tl Vrils générlisés ort t lx n vri on grph Domin physiq Eort Flx Éltriq Tnsion (V) ornt i () Méniq trnsltion Méniq rottion For F (N) Copl Γ (N m) Vitss trnsltion ẋ (m/s) Vitss nglir ω (r/ s) Hyrliq Prssion P (P) Déit volmiq V (m 3 /s) Thrmiq Tmpértr T (K) Flx ntropi Ṡ (J/(K s)) Chimiq (trnsormtion) Chimiq (inétiq) Potntil himiq µ (J/mol) inité himiq (J/mol) Flx molir ṅ (mol/ s) Vitss l rétion ξ (mol/s) TF 5 5 Ls rltions (2) t (3) pvnt êtr réérits iérmmnt n tilisnt n orm iérntill : 4 Figr Élémnt mltiport (), élémnts t ports (), on grph () C 4 on grph p( t) = ( t) p = t q( t) = ( t) q = t ( t)t ( t)t L énrgi E (t ) st llé pr intégrtion l pissn : E( t) t P ( t )t t = = ( t)( t)t (4) (5) (6) Cslité : l ort st n onné por Typ énrgi tilisé Lin (on) physiq ntr t B Figr 2 Inormtions ornis pr n rprésnttion on grph B Dirtion lx pissn : vrs B Il st isé, n tilisnt ls rltions (4) t (5), xprimr l énrgi E n ontion l n s vrils énrgi ns ls éqtions (2) t (3) : E( t) t ( t)q ( t) t = = ( t)p( t) Pr illrs, omm il sr montré pls loin ( 3..2 t 3..3), ls vrils ort (t ) t lx (t ) pvnt êtr xprimés n ontion, rsptivmnt, s vrils éplmnt = (q ) t implsion = (p). lors l énrgi E pt êtr xprimé non slmnt n ontion tmps, mis ssi n ontion l n s vrils énrgi p t q : (7) En pls s vrils pissn (ort t lx), x trs typs vrils sont importnts por l sription ynmiq s systèms. Cs vrils sont pplés s vrils énrgi por ls risons q nos évloppons pls loin ( 2.2.2). Cs vrils its énrgi notés p (t ) t q (t ) sont pplés rsptivmnt momnt générlisé o implsion t éplmnt générlisé. Ells sont éinis pr ls rltions intégrls s vrils l ort t lx omm sit : p( t) t t ( t)t = p + ( t)t t q( t) t t ( t)t = q + ( t)t t () (2) (3) E p ( q) q = ( q)q E ( p) p = ( p)p Ls éqtions (8) t (9) motivnt l pplltion p t q omm vrils énrgi n istintion s vrils pissn t. Exmpl : l énrgi potntill stoké E p ns n rssort rir k n spposnt q l or F (l ort) st proportionnll éplmnt x (vril énrgi q ) F = kx, st in : q x 2 2 E p ( q ) = ( q)q = kx x = ---- kx q x 2 kx (8) (9) () L mêm émrh pt êtr évloppé por trs phénomèns physiqs. Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir BE Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

4 MODÉLISTION P BOND GPH Tl 2 Vrils générlisés momnt t éplmnt n vri on grph Domin physiq Momnt Déplmnt Éltriq Méniq trnsltion Méniq rottion Hyrliq Flx mgnétiq Φ (W) Momnt J (N s) Momnt nglir Ω (N m s) Implsion prssion p p (N s/m 2 ) Ls vrils its énrgi por iérnts omins physiqs sont onnés pr l tl 2. Dns l omin l himi t l thrmiq, ls vrils momnt générlisé p n sont ps éinis r il n st ps possil xprimr ls vrils ort (tmpértr o potntil himiq) n ontion l érivé l vril omplémntir lx (lx ntropi o lx molir) omm st l s n méniq por l loi l mss M o n éltriité por l s n oin intn L : 2.2 Pso on grphs Chrg q (C) Élongtion x (m) ngl Θ (r) Volm V (m 3 ) Thrmiq Entropi S (J/ K) Chimi Nomr mols n F = M ẋ, = L i t t 2.2. Porqoi ls pso on grphs? L otil on grph prmt moélisr pritmnt ls systèms méniqs t éltriqs ([S 7 222] Ls on grphs t lr pplition n métroniq ). Por s systèms, ls vrils ort t lx sont rsptivmnt tnsion-or t intnsité ornt-vitss. Cs systèms sont érits pr n vri on grph ont l proit ort-lx st l pissn instntné sr n lin o n port n omposnt systèm. Dns ls systèms thrmoynmiqs t pls glolmnt n géni s proéés t énrgétiq, l tilistion vris on grphs introit s vrils ort t lx thrmiq t himiq (tmpértr, potntil himiq, t lx ntropi, lx molir) qi sont ntr omplx t inptés x prolèms simltion, non ssils x msrs, r ils n oéissnt ps à s lois onsrvtion simpls (l ntropi pr xmpl n st ps onsrvé). On introit lors por lr moélistion n pso on grph évloppé initilmnt pr Krnopp [5] por lql l () proit s vrils ort t lx n pls l imnsion n pissn. Totois, il t notr q ls propriétés lssiqs (sls, strtrlls, mis n éqtions...) éits n vri on grph rstnt vlls por n pso on grph Vrils pissn t énrgi n pso on grphs En thrmoynmiq, ls vrils, ont l niormité st néssir por rélisr l éqilir n systèm, sont pplés intnsivs o tnsion. Ells orrsponnt x vrils ort (trm pls générl q tnsion n on grph). C st l s l tmpértr, l prssion, s onntrtions o potntil himiq. D trs vrils tlls q l volm, l mss, l hrg éltriq, l énrgi intrn, l ntropi... sont s vrils xtnsivs. Ls vrils xtnsivs orrsponnt x vrils éplmnt (l intégrl lx) n on grph. Dns ls systèms éltriqs o méniqs, n sl omin physiq st impliqé t x vrils ls sont impliqés : tnsion-ornt o or-vitss. En thrmoynmiq, trois omins physiqs sont impliqés : l thrmiq, l liiq t l mtéril o l himiq. Exmpl : n li n éolmnt st rtérisé pr n nsml vrils, qi st : por ls orts : l prssion P t l tmpértr T ; por l lx : l éit volmiq (o mssiq), l lx ntropi t l lx qntité movmnt. D trs vrils pvnt ssi intrvnir tlls q l lx hlr, l lx énrgi intrn U o l lx nthlpi Ḣ. Sr l tl 3 sont rprésntés ls vrils pissn t énrgi n pso on grph tilisés n géni s proéés. En thrmiq, l proit s vrils ort lx ( T ) n ps l imnsion n pissn, l pissn orrspon pltôt à l vril lx ( ). Ls motivtions l tilistion s vrils sront trités pls loin ( 3..). 3. Élémnts lngg on grph On éinit ns tt prti l nsml s mltiports néssirs por l moélistion n systèm physiq n mnièr génériq n tilisnt ls vrils générlisés ort t lx. Cs élémnts s s lssiint n : trois élémnts pssis (, C t I) ; x élémnts tis (S t S) qtr jontions (,, TF t GY). () Tl 3 Vrils générlisés pso on grph Domin Eort ( ) Flx ( ) Déplmnt q Implsion p Chimiq Conntrtion C (mol/m 3 ) Flx molir ṅ (mol/s) Nomr mols n Hyrliq Prssion P (N/m 2 ) Déit mssiq ṁ (kg/s) Mss m (kg) Implsion prssion p [(N s)/m 2 ] Thrmiq : ontion Tmpértr T (K) Flx thrmiq (J/ s) Qntité hlr Q (J) onvtion Tmpértr T (K) Flx nthlpi Ḣ (J/ s) Énrgi intrn U (J) BE Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

5 MODÉLISTION P BOND GPH i i : F F F x : m P = P P 2 P P 2 V V x P V : h µ = µ µ 2 µ µ 2 n n µ : n rprésnttion générl rprésnttion spéiiq omin physiq Figr 3 Élémnt à port 3. Élémnts pssis port Ls élémnts sont its pssis r ils trnsormnt l pissn qi lr st orni n pissn issipé (élémnt ), stoké sos orm énrgi potntill (élémnt C) o inétiq (élémnt I). Cs élémnts sont générlmnt à port ns l s s systèms monoénrgétiqs r ils rçoivnt l pissn pr n sl lin. Comm l pissn st orni à s élémnts, l mi-lèh st orinté vrs l élémnt. 3.. Élémnts t S L élémnt à port moélis tot phénomèn qi issip l énrgi : l pissn qi li st orni st trnsormé n énrgi thrmiq issipé. Notons q l trm issipti st op pls lrg n on grph q l sns hitl. Il onrn ssi ls élémnts érits pr n rltion lint ls vrils ort t lx. Ct élémnt st rprésnté n on grph pr l igr 3. À titr xmpl (igr 3), itons ls résistns éltriqs, ls rottmnts visqx méniqs, ls rstritions hyrliqs, ls mmrns himiqs séprnt x soltions potntils himiqs iérnts. On rprésnt pr l typ phénomèn intiié t pr, m, h o l vlr prmètr intrvnnt ns l éritr l loi n linéir por ls iérnts omins physio-himiqs (igr 3,,, ). L loi génériq qi l rtéris st n rltion sttiq lint l ort t l lx : Φ (, ) = () Ctt loi linéir o non linéir s érit pr xmpl : = i (loi ohm), F = m ẋ P = h V 2 (n méniq), (n hyrliq : loi Brnolli). Prosss ontion thrmiq n énrgétiq Dns l sit txt, nos mployons : l trm ontion por ls phénomèns trnsrt hlr ntr l li t l proi ; l trm onvtion por l trnsrt énrgi intrn véhilé pr l trnsport n li. in introir l notion élémnt n énrgétiq, xminons l moélistion l mtièr rpos (prolèm ontion) q on rnontr n générl ns ls prois s éhngrs hlr, ns ls ors, ns ls phénomèns prts thrmiqs à trvrs ls prois t. Dns s, on pt tilisr ssi in l pir tmpértr-lx ntropi ( T, Ṡ) por onstitr n vri on grph q l pir tmpértr-lx thrmiq ( T, ) por n pso on grph. Pr nlogi v l éltriité, nos éinissons l lx hlr (qntité hlr trnsmis pr nité tmps) omm n pissn résltnt proit n «tnsion» T t «n ornt» Ṡ : = TṠ (2) L lx thrmiq st ii n pissn t st xprimé n jols pr son (J/s) o n wtts (W), l tmpértr T (ort) st xprimé n klvins (K) t l lx ntropi Ṡ n W/ K. Ctt éqtion (2), pplé prois éqtion Crnot, st l onmnt tot l thrmoynmiq. L éqtion Crnot st nlog à ll xprimnt l pissn P éltriq : P = i Comm l ornt éltriq i st l lx l hrg éltriq, l ornt thrmiq st l lx l ntropi, i st vri r l lx hlr st n pissn thrmiq. Sr l igr 4 st shémtisé n systèm thrmiq rprésntnt x hmrs t 2 in lorigés portés à s tmpértrs sols T t (T > ) t éhngnt n lx hlr à trvrs n proi résistn thrmiq t. L invrs t (/ t ) sr noté K t t rprésnt l ontn thrmiq, notion nlog à l ontn ns l omin éltriq. L tilistion l pir tmpértr-lx thrmiq ( T, ) por n pso on grph st ssz ommo. En t, l lx hlr éhngé ntr ls x hmrs st érit pr n simpl éqtion onstittiv n pso on grph, nlog à l loi ohm n éltriité : = ( T ) = K t ( T ) t Φ (, ) = Φ ( T, ) = (3) Ctt éqtion (3) s rprésnt ilmnt pr n moèl on grph (igr 4 ). Ls élémnts (rsptivmnt ) sr ls moèls on grphs (igr 4 t ) sont s jontions prmttnt oplr ls omposnts physiqs (élémnts on grph) lorsq ils sont somis à n mêm lx (rsptivmnt à n mêm ort). Cs élémnts sont érits pls loin ns l prgrph L éqtion (3) st in n rltion lgériq n élémnt lint l ort (T ) nlog à n iérn potntil t l lx nlog à n ornt éltriq. Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir BE Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

6 MODÉLISTION P BOND GPH ésistn thrmiq t : t S T Q S 2 T Q T Q Q T S S 2 T S S S 2 Clorig S S 3 moèl n pso on grph moèl n vri on grph Figr 4 Moèl n pso t n vri on grph prosss ontion En rvnh, l tilistion lx ntropi onit à érir ls lois sos n orm non linéir pls omplx. En t, n spposnt q l lx hlr orni pr l hmr st instntnémnt égl lx hlr répéré pr l hmr 2, on pt érir : T Ṡ = = Ṡ 2 (4) C = q/t rprésnttion générl L lx ntropi ntt réé st : F x Ṡ Ṡ 2 Ṡ (5) T ( T T T K ) 2 = = = = t T i k P g Ṡ st in positi pisq il y rétion ntropi ( Ṡ 2 > Ṡ ). L xprssion (5) st ssi n éqtion onstittiv n élémnt, lint ls lx ntropi t l ort (tmpértr). Totois, tt résistn thrmiq st à x ports t st rprésnté pr l moèl on grph l igr 4. Ctt résistn à x ports, onsrvtiv pissn l prtilrité sivnt : l lx ntropi Ṡ 2 qittnt l mltiport st spérir lx ntropi Ṡ rntrnt ns. Lorsq l résistn st n omposnt physiq n systèm, l ntropi systèm tn à gmntr hq ois q n lx hlr irl trvrs t élémnt. L génértion l ntropi Ṡ 3 = Ṡ 2 Ṡ (igr 4 ) éit l jontion pt êtr xpliitmnt mis n évin pr l moèl on grph. Nos vons introit n élémnt S (résistn générnt l ntropi) qi sr étillé ns l ossir [BE 828]. L tr omplxité l rltion (2) provint ll nmériq l ort (T ). C prolèm slité sr isté prgrph Élémnt C L élémnt C à port moélis tot systèm qi trnsorm l pissn qi li st orni n énrgi potntill stoké. Sr l igr 5 sont onnés ls rprésnttions générl t spéiiq à qlqs omins physiqs t élémnt on grph. L loi génériq qi l rtéris st n rltion ynmiq lint l intégrl lx (soit l éplmnt générlisé) t l ort : Φ, ( t)t = Φ (, q) = Dns l s linéir, l loi génériq s érit : q C = n éltriité, P ρg V = n hyrliq, F kx = n méniq. (6) C F C:C C:/k i x Figr 5 Élémnt C à port F V C:/(ρg) rprésnttion spéiiq omin physiq L pité C n onnstr C st nlog à l invrs l rir k n rssort pplé omplin t nlog à l onstnt /(ρg ) n résrvoir ylinriq stion t rmpli n li mss volmiq ρ. Sr l s l éqtion (8), ρg shnt q V q t P( V) V = V = -----, on éit pr xmpl C l énrgi potntill grviiq stoké pr n pité hyrliq (résrvoir) stion (igr 5 ) : q E p ( q) V ( q)q 2 2 = = P( V)V = ρg V 2 V q V (7) L énrgi potntill stoké st rprésnté sr l igr 6 pr l sr lté ns l s linéir ( ) t non linéir ( ). Por éinir l élémnt C ns l omin thrmiq, onsiérons n orps porté à n tmpértr niorm pr n lx hlr (igr 7). L tmpértr T orps épn l qntité hlr mlé : t Q = t+ Q t (8) En spposnt q l pité thrmiq C t glol orps rst onstnt, l tmpértr sr : Q T = T C t P V (9) BE Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

7 MODÉLISTION P BOND GPH = q/ = (q) Ctt rltion st in n rltion onstittiv n élémnt pso on grph lint l vril éplmnt Q (intégrl lx ) t l vril l ort (l tmpértr T ) (igr 7 ). Détrminons l rltion onstittiv l élémnt C n vri on grph n tilisnt l pir (T, Ṡ). En tilisnt ls éqtions Crnot (2) t (9), on éit : q s linéir q q s non linéir q S Q Q = = = = Q T C t S S Q T Q C t ln T Q C (2) t ln T Figr 6 Énrgi stoké pr n élémnt C ns l s linéir t non linéir où : T = T xp S (2) C qi rprésnt n rltion lint l vril générlisé éplmnt (ntropi S ) t l ort (tmpértr T ). Son grph st onné igr 7. Q, T S, T T S T C:C t shém 3..3 Élémnt I L élémnt I (inrti) st ssi n élémnt stokg énrgi. L élémnt I trnsorm l pissn qi li st orni n énrgi inétiq por ls systèms méniqs t mgnétiqs por ls systèms éltriqs. Sr l igr 8 sont onnés ls rprésnttions générl t spéiiq à qlqs omins physiqs t élémnt on grph. L loi génériq qi l rtéris st n rltion ynmiq lint l intégrl l ort (soit l implsion) t l lx : T T Φ I, ( t )t = Φ I (, p) = (22) T T = T + Q/C T = T xp(s/c) T Q S éinition l pité thrmiq Dns l s linéir, l loi génériq s érit : L i /t = (soit φ Li = ) n éltriité F M ẋ. = (soit p M x = ) n méniq (igr 8 ). En hyrliq l inrti li ns n onit longr t stion (igr 8 ) pt êtr éit n onsiérnt q l or motri tnnt à élérr l li mss ρ st à l iérn prssion : Figr 7 Élémnt C thrmiq ρ ( V /) = ( P t P 2 ) = P V = Pt = p ρ ρ (23) = q/t I rprésnttion générl L inrti li st lors : ns l s n volm stion onstnt : por n stion vril : I = ρ / i i L I:L Γ ω Figr 8 Élémnt I à port Γ, ω I:J P P 2 V P = P P 2 I: ρ / ( ) V rprésnttion spéiiq omin physiq P t I = ρ ( ) C s st évimmnt simpliié pisq on onsièr V / omm l vitss niimnsionnll moynn n li inomprssil. Ds lls l inrti li pls étillés sont trités ns l littértr [6]. L énrgi inétiq stoké [. éqtion (9)] n orps mss M n movmnt st ns l s linéir : p E 2 2 p ( p)p ---- (24) p = = p M M Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir BE Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

8 MODÉLISTION P BOND GPH Dns l s hyrliq (igr 8 ), on éit isémnt l o-énrgi inétiq stoké n shnt q l qntité movmnt s éit omm sit : on trov : W m = Mẋ = MV / = ρ V E ---- ρ = V V = ---- I V V 2 2 (25) Un tr hngmnt vril ns l éqtion (6) onit à l éinition l o-énrgi qi s xprim n ontion s vrils pissn t pr : por n élémnt C : S S ntrés inépnnts Figr 9 Sors ort t lx 3 3 MS MS ntrés molés (pr n vril) 3 3 E * P ( ) t = q( ) + E * P ( ) (26) por n élémnt I : (27) Exmpl : l o-énrgi por s élémnts C t I ns l s linéir por n rssort t n mss sont rsptivmnt : Notons q l énrgi t l o-énrgi n sont égls q ns l s linéir, mis iérnts n non linéir (s l strtion mgnétiq). 3.2 Élémnts tis E * C ( ) = p( ) + E * C ( ) Ls élémnts its tis sont x qi ornissnt l pissn systèm. On isting ls sors ort S t lx S. insi n pomp prssion P (rsptivmnt n génértr tnsion ) spposé iél moélisé pr S :P (rsp. S : ) ppliq n prssion (rsptivmnt n tnsion) irit hyrliq (rsptivmnt éltriq) ql il st onnté, qi ntrîn l irltion n éit volmiq V (rsptivmnt n ornt i ) : l proit ( PV ) (rsptivmnt i ) st l pissn instntné orni pr tt sor. Sr l igr 9 sont rprésntés ls symols s élémnts. L orinttion l mi-lèh st ixé, t st rprésnté sortnt l sor. L vril ort o lx orni pr l sor st spposé inépnnt l vril omplémntir lx (por S) o ort (por S). Si ls sors ppliqés sont inépnnts (grvité, tnsion o ornt limnttion, pomp...) on ls rprésnt pr S o S, si n rvnh lls sont molés pr s vrils xtrns (pomp ommné pr xmpl) on ls ésign pr Ms o MS («M» por molé). 3.3 Élémnts jontion Cs élémnts, notés,, TF t GY srvnt à oplr ls élémnts, C t I por onstrir l rhittr systèm à moélisr. Ils sont tos onsrvtis pissn Jontion t jontion t E* k = F 2 /2k t E* M = Mẋ 2 /2 Por rproir l rhittr systèm à moélisr, ls élémnts, C t I sont oplés ntr x pr s jontions jontion Figr Élémnt jontion t jontion lorsq ils sont somis à n mêm ort t pr s jontions lorsq ils sont somis à n mêm lx. L pplition s lois moèl on grph l xmpl onné pr l igr onnnt ls rltions qi ls rtérisnt : éqtions por l jontion, t éqtion por l jontion : = 2 = 3 = 4 : églité s orts = : iln s pissns = : somm lgériq s lx nll (28) = 2 = 3 = 4 : églité s lx = : iln s pissns (29) = : somm lgériq s orts nll L ponértion sr ls lx (o ls orts) s it v n sign (+) o ( ) sivnt q l mi-lèh st ntrnt ns l jontion (o ) o sortnt. L jontion orrspon n méniq à s élémnts n séri (mêm or) t à s élémnts n prllèl n éltriité (mêm tnsion) t n hyrliq (mêm prssion). L jontion orrspon n méniq à s élémnts n prllèl (mêm vitss) t à s élémnts n séri n éltriité (mêm ornt) t n hyrliq (mêm éit volmiq). Ells prmttnt n xtnsion à tos ls omins l physiq s lois Kirhho (loi s nœs, loi s mills) omin éltriq. Ds xmpls systèms méniqs t hyrliqs sont onnés pr ls igrs t Trnsormtr (TF) t gyrtr (GY) Ls phénomèns trnsormtion pissn sont rprésntés pr ls élémnts TF (trnsormtr) t GY (gyrtr). Cs x élémnts à x ports sont rprésntés pr l igr 3. À titr xmpl n trnsormtr, on pt itr n rs lvir, n systèm poli o n piston hyrliq por rprésntr s trnsormtions intromins (trnsormtion l pissn hyrliq n pissn méniq ns l s n vérin hyrliq igr 3 ) o l pissn éltriq n pissn méniq ns l s n motr éltriq (igr 3 ). Ls BE Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

9 MODÉLISTION P BOND GPH k x rltions qi ls rtérisnt (por imnsionnr ls mols m t r ) sont por l trnsormtr : M F (t) = m 2 2 = m (3) r l trnsormtr onsrv l pissn : S:F (t) F C F (t) x C:/k F x x F I x I:M t por l gyrtr : 2 = = = m 2 = r 2 2 = r (3) r, l mêm mnièr, l gyrtr oit onsrvr l pissn : Figr Exmpl moèl on grph n systèm méniq Pomp S : V p V p Figr 2 Exmpl moèl on grph n systèm hyrliq Figr 3 Élémnt trnsormtr t gyrtr P, V P Figr 4 Lin inormtion, éttrs ort t lx V V 2 : 3 C P V 3 P s 4 V 4 P tm V P s 4 P C V 4 S : P tm V 2 F, x P F P = F/ TF V x / x = V/ élémnt trnsormtr lin inormtion P r D = V 3 i Γ, ω Γ = rω GY i r ω Γ = ri éttrs ort élémnt gyrtr D = éttrs lx 2 = = = r 2 Dns l s vérin hyrliq (igr 3 ) l mol m st l invrs l ir piston (P = F / ). Por l gyrtr, r st l oiint proportionnlité lint l ornt i t l opl Γ (Γ = ri ). Si r t m sont vrils, ls élémnts TF t GY vinnnt s trnsormtrs molés (MTF) t gyrtrs molés (MGY). 3.4 Lins inormtion Lorsq n pissn n intrvint ns l moélistion n systèm physiq o lorsq n s x vrils ort o lx st négligl (pissn trnsmis négligl), on tilis n lin inormtion (igr 4 ) t non n lin pissn. C signl st rprésnté pr n lèh ntièr. C st l s pr xmpl n signl orni pr n régltr à n vnn tomtiq por l régltion n vril. Ls ptrs sont ssi onsiérés omm iéx, n onsommnt n pissn. Ls ptrs pplés éttrs lx D o éttr ort D sivnt q ils msrnt l vril ort o lx sont rprésntés rsptivmnt pr l symol onné pr ls igrs 4 t. L trit sr l lèh iniq l slité ppliqé à l élémnt. Cs notions slité sont évloppés ns l prgrph sivnt. 4. Cslités n on grphs Ls élémnts on grphs présntés i-sss ( 3) prmttnt rprésntr l rhittr n systèm physiq où pprissnt ls éhngs pissn ntr ls élémnts. L moèl mthémtiq sr rprésnté pr l nsml s éqtions mthémtiqs (lgériqs, iérntills o lgéro-iérntills) éits irtmnt moèl on grph pr ls éqtions onstittivs (s jontions t s élémnts). L n s propriétés importnts moèl on grph st l slité : n t ls on grphs prmttnt éinir l strtr ll t orintr l progrmmtion moèl vrs n simltion pls rost. Cl st n vntg évint sr ls rprésnttions grphiqs. Exminons l igr 5. Ls x systèms t B éhngnt l pissn. Lors ll moèl x sittions sont possils : soit ppliq n ort à B qi régit n nvoynt à n lx ( qi s trit pr l lo igrmm igr 5) ; soit ornit n lx à B qi rnvoi à n ort ( qi s trit pr l lo igrmm igr 5). Cs x shéms simltions sont mis n évin sr l moèl on grph (igrs 5 2 t 5 2) pr l position trit sl plé prpnilirmnt à hq lin, n sivnt l onvntion shémtisé pr l igr 5. Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir BE Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

10 MODÉLISTION P BOND GPH B B st n onné por B 2 B 2 B st n onné por B Figr 5 Cslités n on grphs L trit sl st plé près (rsptivmnt loin) l élémnt por lql l vlr l vril ort (rsptivmnt lx) st n onné. L position trit (qi onrn l orr ll) st inépnnt sns l mi-lèh (qi montr l irtion l pissn). Sr l tl 4 sont résmés ls règls slité s iérnts élémnts on grph. :/ t 3 T T Q Q 2 J : ort + T T Q = Q 3 Q 2 = Q 3 J : lx lgorithm ttion s slités L ttion s règls l slité n st ps ritrir, mis somis à s règls qi sont résmés ns l nré. Exmpl Consiérons ls éqtions isss s moèls on grphs phénomèn ontion moélisé pr ls vris t pso on grphs [éqtions (3) t (5)]. Ls igrs 6 onnnt ls moèls pso on grphs sx t lrs shéms simltion orrsponnts. Por l élémnt à port (igr 6 ), l iérn tmpértr (T ) st n onné r l trit sl st plé près. L slité typ ontn (tl 4) té moèl pso on grph (igr 6 ) onn, n ppliqnt l règl énoné ns l nré, ls éqtions strtrlls ssoiés à l jontion (por ls orts t ls lx) t ls lois onstittivs l élémnt sivnts : Jontion : Élémnt : Enré ésmé s règls tion slités. tr l slité oligtoir x sors t x élémnts non linéirs n rsptnt ls ontrints slité x jontions (voir tl 4). 2. tr n slité préérntill intégrl x élémnts I t C n rsptnt ls rstritions slité x jontions. 3. Complétr l slité sr ls élémnts linéirs. 4. En s onlit slité sr n jontion rprnr n 2 t moiir l slité sr l élémnt I o C s onlit. orts : T = T, lx : = 2 = 3 = = T = K t T t (32) (33) v t = /K t l vlr l résistn thrmiq, /K t l ontn thrmiq. Ls lèhs sr l moèl on grph montrnt l sns ns lql l vril (ort o lx) st onn. :/ t 3 T T Q Q 2 2 Q 2 = Q Q 3 = Q J : lx Figr 6 Moèls pso on grph sl t ls shéms simltion phénomèn ontion L igr 6 onn l lo igrmm orrsponnt. C shém simltion st onstrit n isnt pprîtr sr x ligns istints ssoiés rsptivmnt x orts t x lx, n sommtr (somm lgériq s orts por l jontion ) t n point onnxion (églité s lx por l jontion ). () Ls igrs 6 2 t 2 sont onstrits por n slité résistn (l sorti st l ort) l élémnt. Ls trs moèls t lrs shéms lo orrsponnts (igr 7) rprésntnt l élémnt à x ports por tilisr n vri on grph phénomèn ontion. L slité onsistnt à llr ls lx ntropi n onnissnt ls tmpértrs T t [éqtions (34) t (35)] t orrsponnt moèl on grph l igr 7 st l pls ommo. En t, l moèl sl moèl on grph (igr 7 ) introit s éqtions omplxs por llr : (34) (35) L moèl sl l igr 7 signiint q, onnissnt ls lx ntropi Ṡ t Ṡ 2, l élémnt à x ports ornit ls tmpértrs T t n pt êtr simlé pisq on n pt ps, n rélité, imposr ritrirmnt Ṡ t Ṡ 2, ( Ṡ 2 Ṡ ) oit êtr positi. Q Q 3 J : ort + + T J : ort T 2 T ( T Ṡ F ( T, ) ) ( T K ) = = = t T t T ( T Ṡ 2 F 2 ( T, ) ) ( T K ) = = = t T t BE 8 28 Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

11 MODÉLISTION P BOND GPH Tl 4 ègl slités s iérnts élémnts on grph Élémnt Symol Éqtion sl Blo igrmm ègl Sor ort S S : S : onné L ort (o lx) imposé pr l sor ort (o lx) st n onné onn por l systèm. Sor lx S onné Systèm ègl : l slité st oligtoir. S : S : Systèm Jontion = 3 = 4 = = ( ) 3 (+) S 4 ( ) 2 = 2 Un sl ort pt onnr s vlr x trs, (ii ). ègl : n sl trit sl près l jontion. 3 = 3 4 = 4 Jontion = 3 = 4 = = ( ) 3 (+) S 4 ( ) 2 = 2 Un sl lx pt onnr s vlr x trs, (ii ). ègl : n sl lin sns trit sl près l jontion. 3 = 3 4 = 4 TF 3 TF :m 3 3 TF :m 3 = m 2 2 = m 2 = m = m 2 2 m m 2 m m 2 2 Un ort t n lx sont imposés TF. ègl : n sl trit près TF. 3 GY :r 3 = r 2 2 = r 2 r r 2 Dx lx o x orts sont imposés GY. GY 3 GY :r 3 2 = ---- r = ---- r 2 r 2 r 2 ègl : x trits o n trit près GY. C C:C C:C = Φ C ( t ) = Φ C (q) Cslité préérntill intégrl. Φ C ( t) = Φ t C ( ) (Φ ()) t C Cslité érivé. I I:I I:I = Φ I ( t ) = Φ I (p) Cslité préérntill intégrl. Φ I ( t) = Φ t I ( ) (Φ ( )) t I Cslité érivé. : : = Φ ( ) Φ ( ) Cslité résistn. = Φ ( ) Φ () Cslité ontn. Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir BE 8 28 Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28

12 MODÉLISTION P BOND GPH T S S 2 T S S 2 Nottions t symols Symols Unité Désigntion T S S 2 T S S 2 T S 2 S S 2 Figr 7 Moèls vri on grph sl phénomèn ontion Nottions t symols Symols Unité Désigntion J/mol inité himiq (o stion m 2 ) C Prmètr rtéristiq n élémnt piti Unité slon Eort omin E J Énrgi E p J Énrgi potntill E J Énrgi inétiq Unité slon Flx omin F N For H J Enthlpi totl H W Flx nthlpi trnséré pr onvtion h J/kg Enthlpi mssiq i Intnsité éltriq I Prmètr rtéristiq n élémnt inrtil J N s Momnt k N/m ir n rssort K t W/K Contn thrmiq m Longr L m Niv ṁ kg/s Déit mssiq M o m kg Mss n Nomr mols S T ṅ mol/s Flx molir P P Prssion p Unité slon Vril momnt générlisé omin p p N s/m 2 Implsion prssion P W Pissn W Flx thrmiq q C Vril éplmnt générlisé Chrg Prmètr rtéristiq n élémnt résisti t K/W ésistn thrmiq h P/(m 3 /s) ésistn hyrliq Ω ésistn éltriq g J/(mol K) Constnt molir s gz m m s N ésistn méniq (rottmnt) Ṡ W/(K) Flx ntropi S J/K Entropi s J/(K kg) Dnsité ntropi t s tmps T K (o o C) Tmpértr V Tnsion J/kg Énrgi intrn mssiq U J Énrgi intrn U W Flx énrgi intrn V m 3 /s Déit volmiq V m 3 Volm x Vril étt x m Déplmnt linéir ẋ m/s Vitss trnsltion W m kg m/s Qntité movmnt Γ N m Copl µ J/mol Potntil himiq ν P s Visosité ynmiq ρ kg/m 3 Mss volmiq ξ vnmnt n rétion himiq ξ mol/s Vitss n rétion himiq Φ W Flx mgnétiq Ω N m s Momnt nglir ω r/s Vitss nglir [] PYNTE (H.). nlysis n sign o nginring systms. MIT prss (96). [2] THOM (J.U.). Introtion to Bon grphs n thir pplitions. Prgmon Prss (975). [3] KNOPP (D.) t OSENBEG (.). Systms ynmis. nii pproh. Wily Intrsins ; Nw York (99). éérns iliogrphiqs [4] OULD BOUMM (B.), SMNTY (.K.), MEDJHE (K.), STOSWIECKI (M.) t DUPHIN-TNGUY (G.). Mol ilr sing Fntionl n on grph tools or FDI sign. Control Enginring Prti, CEP, vol. 3/7, pp (24). [5] KNOPP (D.K.). Stt Vrils n Pso-Bon grphs or Comprssil Thrmoli Systms. Jornl o Msrmnt n Control, pp , vol. 33, n o 4 (976). [6] DUPHIN-TNGUY (G.). Ls Bon Grphs. Hrms Sins Plitions (2). BE Tot rprotion sns toristion Cntr rnçis xploittion roit opi st stritmnt intrit. Thniqs l Ingénir Dossir élivré por Mm, Monsir 4/9/28