Mickaël Péchaud 30 novembre 2003

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1 TD de MAPLE 3 Mickaël Péchaud 30 novembre 2003 Ce td porte plus particulièrement sur les polynômes. On continuera tout de même à manipuler des commandes introduites dans les tds précédents... 1 Définition Lorsque l on parle de polynôme en Maple, on se référera souvent à une expression, et pas à une fonction. Cette expression doit contenir une ou plusieurs variables formelles (ie qui n ont pas encore été affectées). On utilisera en général des lettres majuscules comme variables. Exemples de polynômes : >P :=X 2 + X + 1 ; P :=X 2 + X + 1 >Q :=a*x 2 + b*x + c ; P :=ax 2 + bx + c >P :=(X - Y)(X + Y) + Z ; P :=(X Y )(X + Y ) + Z 2 Opérations de base 2.1 Évaluation Un polynôme étant une expression, il faut bien faire attention à utiliser la syntaxte adaptée : >P :=X 2 + X + 1 : >subs(x=2, P) ; 7 ; P reste inchangé après cette évaluation : >P ; X 2 + X + 1 on ne fera surtout pas >P(2) ; X(2) 2 + X(2) + 1 1

2 2.2 Tracé Comme nous l avons déjà vu, la syntaxe est la suivante : >plot(p, X) ; ou encore >plot(p, X=-3..3) ; 2.3 Intégrales et primitives On utilisera int avec les 2 syntaxes suivantes : >v :=int(p, X=-3..3) ; pour une intégrale >IP :=int(p, X) ; pour une primitive. Maple renverra la primitive nulle en Dérivation On utilisera diff, et non pas l opérateur différentiel D : >DP :=diff(p, X) ; On peut aussi dériver aux ordres supérieurs, ou encore par rapport à plusieurs variables : >DP :=diff(p, X, X) ; >DP :=diff(p, X, Y) ; 3 Opérations plus spécifiques 3.1 Changement de forme expand La commande expand développe un polynôme qui était sous forme factorisée. >P :=(X - 2)*(X + 1) : expand(p) ; X 2 X collect collect permet de regrouper des termes selon une variable donnée. >P :=(X - Y)*(X + 2*Y) + (X - Z)*(X + 2*Z) : collect(p, X) ; 2X 2 + (Y + Z)X 2Y 2 2Z 2 >collect(p, Z) ; 2Z 2 + XZ + (X Y )(X + 2Y ) + X 2 2

3 3.1.3 sort La commande sort permet de classer les monômes contituant un polynôme par degrés croissants. Il faut que le polynôme soit sous forme développée. >P :=b*x + c + a*x 2 : sort (P, X) ; ax 2 + bx + c 3.2 Degrés et coefficients degree donne le degré total d un polynôme. On peut aussi demander le degré par rapport à une seule variable : >P :=b*x + c + a*x 2 : degree (P) ; 3 >degree(p, X) ; 2 coeff permet d accéder aux coefficients. On utilisera deux syntaxes : >P :=b*x + c + a*x 2 : coeff (P, X, 2) ; a >coeff (P, X 2 ) ; a 3.3 Division de polynômes Les commandes quo et rem donnent les quotient et reste de la division euclidienne de 2 polynômes : >P :=2*X *X 4 : Q :=X+1 : quo(p, Q, X) ; rem(p, Q, X) ; 2X 3 2X 2 + 2X Racines et Factorisation 3.5 Racines On peut trouver les racines d un polynôme à l aide de la commande solve. La syntaxe est la suivante : >Q :=X ; >solve(q, X) ; #équivalent à solve(q=0, X) ; I, -I ; On peut noter que Maple renvoie une séquence des racines. Si le degrés du polynôme est trop élevé, Maple ne peut pas calculer ses racines exactes. >Q :=X 5 + X : solve(q, X) ; RootOf(_Z 5 + _Z 3 + 1) 2 solutions : appeler allvalues sur la réponse contenant un RootOf. utiliser fsolve à la place de solve. Maple ne renverra que les racines réelles si on ne spécifie rien. 3

4 3.6 Factorisation La commande factor permet de factoriser des polynômes. Par défaut, la factorisation s effectue dans le corps des rationnels Q : >P :=X 4 +X 3-3*X 2 -X + 2 : >factor(p) ; (X + 2)(X 1) 2 (X + 1) Si les racines font intervenir autre chose que des rationnels (par exemple des complexes ou des racines d entiers non-entières), il faut spécifier l extension de corps dans laquelle on se place en second argument de factor. Par exemple, pour factoriser sur Q[i], on utilisera la syntaxe suivante : >P :=X : >factor(p, I) ; (X + I)(X I) Si 2 intervient aussi, il faut alors se placer dans le corps Q[i, 2] : >P :=X : >factor(p, {I, sqrt(2)}) ; (X + I 2)(X I 2) Pour savoir dans quel corps on doit se placer lors de la factorisation, on peut utiliser solve pour trouver la forme des racines. 4 Fractions rationnelles Il y a surtout 3 commandes à connaître sur les fractions rationnelles : normal qui réduit au même dénominateur. numer qui renvoie le numérateur. denom qui renvoie le dénominateur. >F :=1/(X+1) + 1/(X+2) ; F := 1 X X+2 >normal(f) ; >numer(f) ; >denom(f) ; 2X+3 (X+1)(X+2) 2X + 3 (X + 1)(X + 2) 5 Un exemple complet : Trouver un polynôme P tel que P 2 = X 8 + 2X 6 3X 4 4X >P :=sum(a[i] X i, i = 0..4) ; P := a 4 X 4 + a 3 X 3 + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 >E :=P 2 (X X 6 3 X 4 4 X 2 + 4) : >solve({seq(coeff(e, X, i), i=0..8)}) ; #on résout le système d équations où tous les coefficients de E sont nuls. 4

5 {a 1 = 0, a 0 = 0, a 3 = 2, a 4 = 1, a 2 = 1}, {a 1 = 0, a 0 = 0, a 3 = 2, a 4 = 1, a 2 = 1} >subs(%[1], P) ; 2 X 2 X 4 6 Exercices 6.1 Factorisation Factoriser complètement les polynômes suivants : X 2 + 4X X 4 X 3 + 4X 2 X + 3. en procédant par identification, décomposer en éléments simples X Équations polynômiales 1 4(X 4 X 3 + 4X 2 X + 3) déterminer les polynômes P de degrès inférieur à 10 tels que (X+3)P (X) = (X 1)P (X + 1) écrire une procédure qui détermine un polynôme de degré n tel que (1 X 2 )P (X) 2XP (X)+n(n+1)P (X) = 0. (n ième polynôme de Legendre). (plus dur) déterminer les polynômes à 2 variables de degrés total inférieur à 6 tels que Y P X = X P Y. 6.3 Algorithme d Euclide On rappelle que si a = bq + r, où r et q sont les reste et quotient de la division Euclidienne de a par b, on a pgcd(a, b) = pgcd(b, r) Programmer l algorithme d Euclide, qui calcule le pgcd unitaire de deux polynômes. 6.4 Orthonormalisation de Schmidt L orthonormalisation de Schmidt est le procédé qui consiste à partir d une base pour un espace vectoriel, de déduire une base orthonormale pour un certain produit scalaire. Par exemple, si on a une base {a 0, a 1, a 2 } et un produit scalaire noté <, >, on procède comme suit : a 0 a 0 <a a 1 a 1 a 0,a 1> 0 <a 0,a 0> <a a 2 a 2 a 0,a 2> 0 <a a 0,a 0> 1 <a1,a2> <a 1,a 1> On normalise alors les vecteurs : a i ai <ai,a i> Créer les produits scalaires 1 1 F GdX et 1 1 F G 1 X 2 dx 5

6 Écrire une procédure qui prend en argument un entier n et un produit scalaire retourne la famille de polynômes obtenues par le procédé de Schmidt pour le produit scalaire, en partant de la base (1, X, X 2... X n ). Utiliser cette procédure avec les deux produits scalaires. On obtient les polynômes de Legendre et de Tchebychev. Tracer ces familles. vérifier que les polynômes de Tchebychev vérifient P n (cos(x)) = αcos(nx). 6

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