1. L arbre ci-dessous est un arbre de probabilité. La probabilité manquante sous la tache est :

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1 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 EXERCICE 1 : Pour chacune des 4 questions suivantes, plusieurs propositions de réponses sont faites. Une seule des propositions est exacte. Aucune justification n est attendue. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte 0 point. Reporter sur votre copie le numéro de la question et écrire la bonne réponse. 1. L arbre ci-dessous est un arbre de probabilité. La probabilité manquante sous la tache est : b. c La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à /9 La somme des probabilités connues sur des 3 branches est égale à La probabilité manquante est donc 4 9. Il faut donc écrire : question 1, réponse c. Dans une salle, il y a des tables à 3 pieds et à 4 pieds. Léa compte avec les yeux bandés 169 pieds. Son frère lui indique qu il y a 34 tables à 4 pieds. Sans enlever son bandeau, elle parvient à donner le nombre de tables à 3 pieds qui est de : a. 135 b. 11 c tables à 4 pieds, cela fait 136 pieds ( ), , Le nombre de pieds des tables ayant 3 pieds est , Il y a 11 tables ayant 3 pieds. Il faut donc écrire : question, réponse b % du volume d un iceberg est situé sous la surface de l eau. La hauteur totale d un iceberg dont la partie visible est 35m est d environ : a. 350 m b m c. 31,5 m La partie visible d un iceberg représente 10% de son volume. (100% 90% 10%). 35m représente 10%de la hauteur de l iceberg. 100% 10 10%, , La hauteur totale de l iceberg est 350m. Il faut donc écrire : question 3, réponse a. 4. La figure ci-dessous a le même périmètre que : a b c On parle de périmètre, donc de la longueur du pourtour.

2 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 Réponse a : impossible : il manque les demi-cercles. Réponses c : impossible, il manque 1 demi-cercle. Les réponses a et c étant fausses, et comme il n y a qu une seule bonne réponse, il reste la réponse b. Il faut donc écrire : question 4, réponse b. EXERCICE : Arthur vide sa tirelire et constate qu il possède billets. Il a des billets de 5 et des billets de 10 pour une somme total de 15. Combien de billets de chaque sorte possède t-il? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. Soient a le nombre de billets de 5 et b le nombre de billets de 10. Commentaire : La phrase : «Arthur vide sa tirelire et constate qu il possède billets.» se traduit par : ab La phrase : «Il a des billets de 5 et des billets de 10 pour une somme total de 15.» se traduit par : 5a10b 15 Rédaction : Le problème se traduit par le système : ab 5a10b 15 méthodes possibles : ab 5a10b 15 a b 1. la substitution 5 b 10b 15 on remplace a par b a b 110 5b 10b 15 on a développé 5 b a b 5b on a réduit les b (5b 10b 5b ) et, en même temps, on a ajouté à chaque membre l opposé de 110, donc : 110. a b 5b 15 on a calculé a b b 15 5 on calcule b a b b 3

3 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 a 3 on a remplacé b par 3 b 3 a 19 b 3 Attention : la consigne n est pas résoudre, mais : «Combien de billets de chaque sorte possède t-il?» Il ne faut pas dire : le système admet une solution, le couple : (19 ; 3), mais : Arthur a 19 billets de 5 et 3 billets de 10.. la combinaison ab 5 L1 on multiplie par 5 pour obtenir le même nombre de a sur les lignes 5a10b 15 L 5a5b 110 L3 5a10b 15 L 5b10b L3 L En faisant L3 L, les 5a disparaissent (5a 5a 0) ab L1 On recopie L1 5b 15 on réduit les b, on calcule a b on a isolé a b 15 ( 5) On calcule b a b b 3 a 3 On remplace b par 3 dans a b b 3 a 19 Arthur a 19 billets de 5 et 3 billets de 10. REMARQUE : Si on utilise la substitution on écrit 9 systèmes. Si on utilise la substitution on écrit 7 systèmes. Si tu as le choix, utilise la méthode de combinaison, car elle est plus rapide EXERCICE 3 : 6 points Caroline souhaite s équiper pour faire du roller. Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87 et une paire de rollers noirs à 99. Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre 3 modèles qui coûtent respectivement 45, et 9. On va faire un arbre : Départ : achat des rollers 1. Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour que l ensemble coûte moins de 130?

4 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 casque 45 casque = = 144 1/ 1/ 1/ 1/ rollers noirs rollers noirs rollers gris rollers gris casque casque = 11 + = 11 casque 9 casque = = 18 casque 45 casque = = 13 casque casque = = 109 chaque issue a une probabilité de de se réaliser : 3 6 casque 9 casque = = 116 Il y a 4 issues La probabilité qu un ensemble coûte moins de 130 est Autre méthode : Rollers noirs : 99 Rollers gris : 87 Casque à Casque à Casque à Il y a quatre possibilités sur les six que l ensemble coûte moins de La probabilité qu un ensemble coûte moins de 130 est Elle s aperçoit qu en achetant la paire de rollers noirs et le casque à 45, elle bénéficie d une réduction de 0% sur l ensemble. a. Calculer le prix en euros et en centimes de cet ensemble après réduction. La paire de rollers noirs et le casque à 45, coûtent ensemble 144 Elle bénéficie d une réduction de 0% sur l ensemble. (rappel : diminuer un prix de 0%, c est multiplier ce prix par 1 0% % , 144 0,8 115, 0. Elle va donc payer, après la réduction de 0%, 115,0 b. Cela modifie t-il la probabilité obtenue à la question 1? Justifier. Si on remplace 144 par 115,0, il n y a plus quatre possibilités sur les six que l ensemble coûte moins de 130, mais 5. La probabilité qu un ensemble coûte moins de 130 est 5 6 EXERCICE 4 : 5 points Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1045 dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes. 1. Peut-il faire 76 sachets? Justifier la réponse.

5 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 Pour faire 76 sachets, il faut que le nombre de dragées au chocolat et le nombre de dragées aux amandes soient des multiples de 760 et , 57 0, donc 1045 n est pas divisible par 76. Flavien ne peut pas faire 76 sachets. La totalité des 1045 dragées aux amandes ne peut pas être répartie totalement dans 76 paquets.. a. Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser? Justifier. Le nombre de paquets est un diviseur commun de 1045 et 760. Le nombre de paquets doit être maximum, donc ce nombre sera le PGCD de 760 et Recherche du PGCD de 760 et de a b a b par l algorithme des différences Le PGCD de 1045 et de 760 est la dernière différence non nulle, donc : 95. Flavien pourra réaliser au maximum 95 sachets. a b r par l algorithme d Euclide Le PGCD de 1045 et de 760 est le dernier reste non nul, donc : 95. Flavien pourra réaliser au maximum 95 sachets.. b. Combien de dragées de chaque sorte y aura t-il dans chaque sachet? Dans chaque sachet, il y aura 11 dragées aux amandes et 8 dragées au chocolat. Vérification avec la calculatrice : TI - Collège Plus Taper : maths enter 1045 nde, 760 enter affichage : 95 CASIO fx-9 Taper : SECONDE CALC 1045 SECONDE EXE affichage : 95 EXERCICE 5 : Tom doit calculer 3,5.

6 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 «Pas la peine de prendre la calculatrice», lui dit Julie, tu n as qu à effectuer le produit de 3 par 4, et rajouter 0,5. 1. Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3, , 5 1 0, 5 1, 5 3,5 1, 5 3,5 34 0, 5, donc Julie a raison.. Proposer une façon simple de calculer 7,5. et donner le résultat. 7,5 78 0, , 5 56, 5 ( 7,5 7,57,5 56, 5 ) 3. Julie propose la conjecture suivante : ( n 0,5) n( n 1) 0, 5, où n est un nombre entier positif. Prouver que la conjecture de Julie est vraie quel que soit le nombre n. ( n 0,5) n 0,5 n 0,5 n n 0,5 n n n n ( 1) 0, 5 0, 5 Pour tout nombre entier positif n, on a bien : ( n 0,5) n( n 1) 0, 5. EXERCICE 6: On dispose d un carré de métal de 40 cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque coin, un carré de coté x et on relève les bords par pliage. 1. Quelles sont les valeurs possibles de x? 40 x représente une longueur, donc 40 x est un nombre positif ou nul. Donc : 40 x 0 40 x x 40 x 0 x est une longueur, donc x est un nombre positif ou nul. Conclusion : on obtient l encadrement : 0 x 0. On donne x 5 cm. Calculer le volume de la boîte. x 40 x V 40 x x x 5 V Le volume de la boîte est égal à 4500 cm 3. Le graphique donne le volume de la boîte en fonction de la longueur x Répondre aux questions à l aide du graphique (laisser les pointillés apparents)

7 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 a. Pour quelle valeur de x, le volume de la boîte est-il maximum? Le volume de la boîte est maximum quand x est environ égal à 6,5 cm. b. On souhaite que le volume de la boîte soit 000 cm 3. Quelles sont les valeurs possibles de x? Le volume de la boîte est de 000 cm 3, quand x vaut environ 1,5 cm et 14 cm volume de la boîte , ,5 x EXERCICE 7: 5 points Le pentagone est un bâtiment abritant le ministère de la défense des Etats-Unis. Il a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA 38 m. B M 38 m A Il est représenté par le schéma ci-contre. Rappel : 1. Calculer la mesure de l angle AOB. Un polygone régulier a tous ses sommets sur un même cercle dont le centre est appelé centre du polygone régulier. L angle au centre formé par deux sommets consécutifs du polygone régulier ayant n côtés et le centre du cercle mesure 360 n o Pentagone régulier : polygone ayant 5 côtés de même longueur et 5 angles égaux : ABC BCD CDE DEA EAB) Réponse : A et B sont deux sommets consécutifs du pentagone régulier de centre O, donc : AOB La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. a. Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de l angle AOB et la médiatrice de [AB]. [OA] et [OB] sont rayons du cercle, donc le triangle AOB est isocèle en O. (OM) est la hauteur issue du sommet principal O du triangle AOB. Rappel : dans un triangle isocèle de sommet principal O, la hauteur issue de O relative à la base du triangle isocèle, la médiatrice de la base, la bissectrice de l angle de sommet O, la médiane issue de O relative à la base du triangle isocèle sont confondues. C O D E (OM) est donc, à la fois la bissectrice de l angle AOB et la médiatrice de la base [AB] du triangle isocèle. b. Prouver que [AM] mesure environ 140 m.

8 CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 M? A OAM est un triangle rectangle en M. (OM) est la bissectrice de l angle AOB, AOB 7, donc AOM AOB 7 36 O Dans le triangle AMB rectangle en M, on a : sin AOM AM AO [AM] mesure environ 140 m AM AO sin AOM 38 sin 36 AM 139,89 c. En déduire une valeur approchée du périmètre du pentagone. P AB BC CD DE, ABCDE est un pentagone régulier, donc : AB BC CD DE EA, donc : P 5 AB Calcul de AB M est le pied de la hauteur (OM), (OM) est la médiatrice de [AB], donc M est le milieu de [AB] M est le milieu de [AB], donc : AB AM, AB 140 AB 80 P 5 AB P 5 80 P 1400 Le périmètre du pentagone mesure environ 1400m. EXERCICE 8: Les longueurs sont données en centimètre. ABCD est un trapèze. 1. a. Donner une méthode permettant de calculer l aire du trapèze ABCD. L aire du trapèze ABCD est égale à l aire du rectangle de longueur 7 et de largeur 3 auquel on enlève les aires des triangles rectangles 1 A B 3 1. b. Calculer l aire du trapèze ABCD A , 51, L aire du trapèze ABCD est égale à 15 cm. D 7 C. Dans cette question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. L aire A d un trapèze est donnée par l une des formules suivantes. Retrouver la formule juste en expliquant votre choix. b B h A b B h A b B h A b B h 1ère méthode : On va tester chaque formule en remplaçant b par 3, B par 7 et h par 3.

9 b Bh ,5 31,5 15 b Bh b Bh La bonne formule est A b B h e méthode : CORRIGE SUJET DNB AMERIQUE DU NORD JUIN 013 En comparant les figures, on peut écrire : b AB B DC L aire du trapèze ABCD est la somme des aires des triangles ABC et ABD. Aire des triangles ABC et ABD. A ABC AB h b h A ABD DC h B h A ABC A ABD b h B h bh B h b B h A ABCD b B h La formule juste donnant l aire d un trapèze est : b B h