2) On écrit au hasard un nombre à deux chiffres en choisissant ces chiffres parmi {4; 2; 1} sans répétition :

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1 Exercice 1 - Univers Pour les expériences aléatoires suivantes, déterminer à chaque fois l univers Ω de l expérience : 1) On lance une pièce de monnaie et on observe la face visible : { } Ω = SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 1 ) On écrit au hasard un nombre à deux chiffres en choisissant ces chiffres parmi {; ; 1} sans répétition : { } Ω = ) On arrive à un instant au hasard à un feu tricolore et on note la couleur du feu : { } Ω = ) Pierre et Léa ont acheté deux billets de loterie qui peuvent être gagnant ou perdant : { } Ω = 5) Dans un tiroir on a mélangé chaussettes rouges (R) et chaussettes bleues (B). Dans l obscurité on choisit au hasard et simultanément deux chaussettes puis on regarde leurs couleurs { : } Ω = 6) Dans un tiroir on a mélangé 1 chaussettes rouges (R), chaussettes bleues (B) et chaussettes jaunes (J). Dans l obscurité on choisit au hasard et simultanément trois chaussettes puis on regarde leurs couleurs : { } Ω = Exercice - Boules (1) Dans une urne opaque, il y a des boules jaunes, vertes et rouges. On sait que la probabilité de tirer au hasard une boule rouge est de 5 et que la probabilité d en tirer une verte est de 1. Quelle est la probabilité dans tirer une jaune? Justifier. Exercice - Boules () 1 Une urne contient quatre boules qui portent le numéro, trois le numéro, deux le numéro et une le numéro 1. On tire au hasard une boule de l urne et on note son numéro n. a) Ω = {1; ; ; } représente l ensemble des issues. Donner les probabilités des événements élémentaires {1}, {}, {} et {}. b) Calculer la probabilité de chacun des événements : A : "n est impair", B : "n ". 1

2 Exercice - Événements Pour chacune des expériences aléatoires suivantes on demande de citer : 1 Un événement élémentaire ; Un événement comportant plusieurs issues ; Un événement certain ; Un événement impossible. 1) On choisit au hasard et simultanément deux stylos parmi quatre stylos de couleur rouge, vert, noir et bleu. SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 1 : : ) Un singe tape successivement sur deux touches de chiffres d une calculatrice. On note le nombre ainsi obtenu. 1 : : ) Dans une urne, il y a boules vertes et boules rouges. On tire successivement boules sans remise. 1 : : ) Dans une urne, il y a boules vertes et boules rouges. On tire successivement boules avec remise de la boule tirée après chaque tirage. 1 : : Exercice 5 - Une roue de loterie e 1 e 10 1 e e e 1 e 1 e e e 1 e Exercice 6 - Boules () : : : : : : : : La roue d une loterie comporte 10 secteurs identiques dont rapportent 1 e, 5 rapportent e et 1 rapporte 10 e. On fait tourner la roue qui s arrête au hasard sur le repère fléché. On obtient alors le gain indiqué. 1) Quelle est l univers de cette expérience aléatoire? ) Quelle est la probabilité de gagner 1 e? e? 10 e? Un sac contient 5 boules. On sait qu il y a des boules vertes et des boules rouges. On sait également que la probabilité de est de. est-il possible à partir de ces informations de connaître le contenu du sac? Justifier. 5

3 Exercice 7 - Bataille navale Au jeu de la bataille navale, chaque joueur (A et B) a un carton quadrillé dont les cases sont notées de A à J et de 1 à 10 et sur lequel sont schématisés en bleu cinq bateaux de taille différentes qui ne peuvent pas se toucher. À tour de rôle, les joueurs annoncent une case (par exemple H6). Le joueur adverse répond «touché» si la case désignée est bleue et «à l eau» sinon. Voici le carton du joueur B : SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE = 5 cases 1) Le joueur A commence. Déterminer la probabilité de l événement T : «c est touché», puis la probabilité de l événement E : «c est à l eau». ) C est maintenant le premier tour du joueur B. Quelle est la probabilité de l événement V : «il ne touche pas le porte avion (5 cases) du joueur A»? ) Au bout de 0 tours, le joueur A a «touché» 5 fois et «raté» les autres tours. Quelle est la probabilité de l événement G : «il touche un bateau du joueur B au tour suivant»? Exercice 8 - La cible Exercice 9 - Les cakes Une cible est partagée en trois zones délimitées par trois cercles de même centre et de rayons respectifs 10 cm, 0 cm et 90 cm. On bande les yeux à une personne qui lance une fléchette sur la cible. On ne tient pas compte des fléchettes qui n atteignent pas la cible. 1) Quelle est la probabilité de marquer 7 points? ) Quelle est la probabilité de marquer 5 points? ) Calculer alors de deux façons la probabilité de marquer points? Gaspard a mis une fève dans sa pâte à cake. Avec cette pâte il a préparé trois cakes en forme de parallélépipèdes rectangles : Un «gros» de 0 cm 10 cm 10 cm ; Un «moyen» de 0 cm 10 cm 8 cm ; Un de 1,5 cm 10 cm 8 cm ; On considère les événements suivants : X : «la fève est dans le gros cake» ; M : «la fève est dans le cake moyen» ; S : «la fève est dans le petit cake». Calculer p(x), p(m), p(s), p(x M) et p(x M).

4 Exercice 10 - Le sport SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE Ω Ω V Exercice 11 - Chasse ou pêche? Ω C Exercice 1 - Langues vivantes A B P I E Dans un groupe de 5 élèves, 19 font du volley, du basket et 1 pratiquent les sports. 1) Compléter le diagramme de Venn à l aide des indications ci-dessus. ) On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants : A = «l élève pratique les deux sports» B = «l élève ne pratique aucun sport» C = «l élève ne pratique que du volley» D = «l élève ne pratique que du basket» E = «l élève pratique du basket ou du volley» Dans un groupe de 0 personnes, 10 personnes pratiquent la pêche, 8 la chasse et 5 personnes ne pratiquent ni la pêche, ni la chasse. 1) Compléter le diagramme de Venn à l aide des indications ci-dessus. ) On désigne au hasard une personne du groupe. Calculer la probabilité des événements suivants : A = «la personne pratique l une au moins des deux activités» B = «la personne pratique les deux activités» Dans une classe de 5 élèves 1 pratiquent l anglais, 1 l espagnol et 6 l italien. Parmi ces élèves pratiquent à la fois l italien et l anglais, l italien et l espagnol et l anglais et l espagnol. De plus de ces élèves pratiquent les trois langues. 1) Compléter le diagramme de Venn à l aide des indications ci-dessus. ) On désigne au hasard une personne du groupe. On note A, I, E les événements suivants : A = «la personne pratique l anglais» E = «la personne pratique l espagnol» I = «la personne pratique l italien» ) Calculer p(a), p(e) et p(i). ) Calculer p(a E), p(a E). 5) Que représente l événement A I? Calculer p(a I). 6) Que représente l événement A E I? Calculer p(a E I).

5 Exercice 1 - Trédur de la Feuille SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 5 Exercice 1 - La roue numérotée 1 5 Pour aller délivrer la princesse, le chevalier Trédur de la Feuille doit entrer dans le château en prononçant la phrase magique que la bonne fée vient de lui murmurer à l oreille : «le lapin est dans l armoire». Fou de joie et d amour il se précipite, mais arrivé au pontlevis il ne sait plus très bien ce qu il a entendu. Au début il hésite entre : sapin ; boudin ; lapin ; sopalin. Ensuite, il hésite entre : le couloir ; le tiroir ; l armoire. Soit A l événement : «il donne la bonne phrase» S il répond au hasard, quelles sont ses chances de délivrer la princesse? On fait tourner une roue de loterie. La flèche indique le chiffre sur lequel elle s arrête au hasard. 1) Quel est l univers Ω de cette expérience aléatoire? ) Compléter le tableau ci dessous : Éventualités 1 5 Probabilité Exercice 15 - Groupes sanguins ) Les éventualités sont-elles équiprobables? ) On considère l événement suivant : A : «la roue s arrête sur un chiffre pair». Calculer p(a) et p ( A ). La répartition des groupes sanguins dans la population française est présentée dans le tableau suivant. Rhésus Groupe sanguin O A B AB Rh+ 7% 9% 7% % Rh- 6% 6% % 1% L expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une personne dans cette population. On assimile les probabilités aux fréquences observées. Quelle est la probabilité de chacun des événements : A : "La personne est du groupe A"? Rh+ : "La personne est de rhésus positif"? AB- : "La personne est du groupe AB rhésus négatif"? 5

6 Exercice 16 - Jeu de cartes (1) On tire au hasard une carte dans un jeu de cartes. On note sa couleur et sa valeur. On note C et D les événements suivants : C = SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 6 D = 1) Quel est l univers Ω de cette expérience aléatoire? ) Les éventualités sont-elles équiprobables? ) Déterminer p(c) et p(d) sous forme de fraction irréductible. ) Que représentent les événements C D et C D? Déterminer p(c D) et p(c D). 5) Que représente les événements C et D? Faîtes une phrase. Déterminer p ( C ) et p ( D ). Exercice 17 - Famille nombreuse Exercice 18 - Brins de paille Un couple décide d avoir trois enfants. On considère qu à chaque naissance la probabilité d avoir un garçon et la même que celle d avoir une fille. a) Compléter l arbre ci-contre pour obtenir l ensemble Ω de toutes les issues. b) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : "Obtenir une seule fille"? B : "Obtenir exactement deux filles"? B : "Obtenir au moins deux filles"? On dispose de brins de paille qui mesurent cm, 5 cm, 6 cm et 9 cm. On tire au hasard un premier brin puis, sans remettre ce brin, on en tire un deuxième. On met ces deux brins bout à bout et on mesure la longueur totale. 1) Comment représenter ici l ensemble des résultats possibles? ) Les éventualités sont-elles équiprobables? ) Soit l événement A : «on obtient une longueur de 11 cm». Calculer p(a). ) Soit l événement B : «on obtient une longueur inférieure ou égale à 11 cm». Calculer p(b). 6

7 Exercice 19 - Le Scrabble Pour jouer à la version française du Scrabble, on dispose d un sac contenant 10 jetons : jokers (qui rapportent 0 point) et 6 lettres selon la répartition suivante : A 1 B C D E 1 F G H I 1 J 8 K 10 L 1 M SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 7 N 1 O 1 P Q 8 R 1 S 1 T 1 U 1 V W 10 X 10 Y 10 Z Par exemple, on trouve 9 jetons comportant la lettre A qui rapporte 1 point (nombre noté en indice). On tire un jeton au hasard dans le sac. Donner la probabilité des événements suivants : A : "Le jeton est un E" ; B : "Le jeton est une voyelle" (et pas un joker) ; C : "Le jeton rapporte 10 points" ; D : "Le jeton rapporte 1 point" ; E : "Le jeton rapporte points" ; F : "Le jeton est une consonne qui rapporte au minimum 5 points". Exercice 0 - Démographie Le tableau suivant représente la répartition, en pourcentages, de la population en France par sexe et âge au 01/01/009. En % Femmes Hommes Ensemble Moins de 15 ans 17,5 19,5 18,5 15- ans 1,1 1, 1,7 5- ans 1, 1,8 1,5 5- ans 1,8 1, 1,0 5-5 ans 1, 1,7 1, ans 1, 1, 1, 65-7 ans 8, 7,5 7,9 75 ans ou plus 10,6 6,6 8,7 Ensemble 100,0 100,0 100,0 On assimile les probabilités aux fréquences observées. a) On désigne un individu au hasard dans la population observée. Déterminer la probabilité de chacun des événements (attention à bien lire!) : A : "La personne est âgée d au moins 5 ans " ; B : "La personne est âgée de 5 ans au plus" ; C : "La personne est âgée de 65 ans ou plus" ; b) On désigne une personne au hasard parmi les femmes. Déterminer la probabilité de l événement F : "La femme est âgée d au moins 55 ans ". c) On désigne une personne au hasard parmi les hommes. Déterminer la probabilité de l événement G : "L homme est âgée de ans au plus". 7

8 Exercice 1 - Bandit manchot SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 8 Dans une salle de jeu un appareil comporte roues, chacune portant à sa périphérie images de fruits différents : Ananas, Bananes, Cerises, Fraises. Chacune des roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces quatre fruits. 1) Donner la probabilité de l événement A : «on a fruits identiques»? ) Soit B l événement : «on a fruits différents». a) A-t-on A = B? Préciser alors par une phrase ce que représente l événement A. b) Quelle est alors la probabilité de l événement B : «on a fruits différents»? Exercice - Jardin public 50 m 0 m 80 m 10 m Exercice - Jeu de cartes () Voici le plan d un jardin rectangulaire avec ses deux allées. Portée par le vent, une graine d érable tombe dans ce jardin. Soit A l événement : «la graine tombe sur une allée». Donner l arrondi au centième de p(a). On tire au hasard une carte dans un jeu de cartes. On s intéresse aux événements : N = T = V = 1) a) Quelles sont les issues qui réalisent l événement N V? l événement T V? b) Que peut-on dire des événements N et T? ) Calculer p(n), p(t), p(v), p(n V), p(t V), p(t V). 8

9 Exercice - Anagrammes R U S E SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 9 Dans un sac, on met les quatre lettres R, U, S et E. On tire au hasard successivement et sans remise les quatre lettres du sac et on les dispose au fur et à mesure de gauche à droite. On forme ainsi un mot de quatre lettres (qui n a pas forcément une signification). 1) Compléter l arbre ci-dessous, donner toutes les issues possibles. ) Quelle est la probabilité d obtenir le mot «RUES»? ) Quelle est la probabilité d obtenir un mot de la langue française? (le mot "ure" existe). ) Soit A l événement «Obtenir un mot commençant par S» et B l événement «Obtenir un mot commençant par une voyelle». Déterminer p(a) et p(b). 9

10 Exercice 5 - Jeu de dé On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On lit le numéro obtenu. On s intéresse aux événements suivants : {1} A = B = {56} C = {6}. SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 10 1) Calculer p(a), p(b), p(c). ) Déterminer par une phrase les événements A B et B C ) Calculer p(a B) et p(b C). Exercice 6 - Deux dés (1) x y Exercice 7 - Deux dés () On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L un de ces dés est rouge, l autre est bleu. On note x le chiffre obtenu avec le dé rouge et y le chiffre obtenu avec le dé bleu. Utiliser le tableau pour déterminer la probabilité de chacun des événements : A : "x < y" ; B : "x > y" ; C : "x y". On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L un de ces dés est rouge, l autre est bleu. 1) Combien y a-t-il d issues possibles? Ces issues sont-elles équiprobables? ) On considère les événements : A : "Les deux numéros sont identiques" ; B : "La somme des deux numéros est supérieure ou égale à 7". Déterminer p(a), p(b) et p(a B). ) Déterminer de deux façons différentes p(a B). 10

11 Exercice 8 - Boules () SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 11 Exercice 9 - Boules (5) 1 Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à. On tire au hasard une première boule de l urne puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On obtient alors un numéro à chiffres. a) Compléter l arbre afin de représenter tous les tirages possibles. b) Écrire à l aide d ensemble les événements : A : "Le numéro tiré en premier est " ; B : "La somme des deux numéros tirés est 5". c) Que représente l événement A B? d) Indiquer la probabilité de chacun des événements : p(a), p(b) et p(a B). e) Déterminer de deux façons différentes la probabilité de l événement A B. Une urne contient cent boules numérotées de 0 à 99. On tire une boule au hasard et on lit le numéro obtenu. On considère les événements : A : "Le chiffre 0 figure dans le numéro" ; B : "Le chiffre 9 figure dans le numéro". a) Déterminer les probabilités des événements A et B. b) Quelles sont les issues qui réalisent l événement A B? Donner sa probabilité. c) En déduire la probabilité de l événement A B. Exercice 0 - À l hôpital Quelle est la probabilité : a) que la salle S 1 soit libre? Un hôpital comporte deux salles d opération S 1 et S qui ont la même probabilité d être occupées. La probabilité que l une des salles au moins soit occupée est de 0,9 ; celle que les deux salles soient occupées vaut 0,5. b) que les deux salles soient libres? c) que l une des salles au moins soit libre? d) qu une seule salle soit libre? 11

12 SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 1 Exercice 1 - Deux dés () ) On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L issue de l expérience aléatoire est la distance entre les deux numéros obtenus. Par exemple, lorsque les numéros et 5 sortent, l issue est. Quelle est la loi de probabilité de chacun des événements suivants : A : "La distance est strictement supérieure à "? B : "La distance est comprise entre et 5"? ) Le joueur peut au choix : lancer un dé cubique équilibré ; lancer deux dés cubiques équilibrés et calculer la distance entre les deux numéros sortis. Quel est le protocole le plus avantageux sachant que, pour gagner, le joueur doit obtenir? Exercice - Cristallerie Une verrerie fabrique des verres à pied en cristal, en grande série. Ces verres peuvent présenter deux types de défauts : Un défaut de type visuel noté V Un défaut de dimension noté D Dans un lot de 000 verres, 160 présentent le défaut V, 10 présentent le défaut D et 80 présentent les deux défauts V et D. 1) Compléter le tableau suivant : D D V V Total Total 000 ) Écrire à l aide des événements V et D les événements suivants, puis calculer leurs probabilités : «le verre ne présente aucun des deux défauts» «le verre présente au moins un des deux défauts» ; «le verre présente un seul des deux défauts» 1

13 Exercice - Les poissons SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 1 Un grossiste livre 80 poissons à un restaurateur. Or, 15 d entre eux sont trop petits et 5 ne sont pas frais (dont qui sont à la fois trop petits et pas frais). Hélas, le restaurateur ne se gêne pas pour tous les faire griller et les proposer à ses clients. Ne vous doutant de rien, vous entrez dans le restaurant et vous commandez un poisson grillé. On considère les événements suivants : G : «Le poisson est suffisamment grand» ; F : «Le poisson est suffisamment frais» ; 1) Décrire par une phrase (adaptée au contexte de l exercice) chacun des événements notés G F et G F. ) Comment note t-on les événements «Le poisson est trop petit», «Le poisson est trop petit et il n est pas frais». ) Compléter le tableau suivant : ) Calculer P(G F) et p(g F) F F G G Total Total 80 5) Calculer la probabilité que vous tombiez malade (en supposant que votre estomac ne supporte pas le poisson qui n est pas frais). 6) Paul a conçu un petit algorithme pour simuler un repas - avec poisson - dans ce restaurant. Il considère que de 1 à 15 les poissons sont trop petits et que de 1 à 18 ils ne sont pas frais. Voici le script de son programme écrit en langage naturel ou avec le logiciel Algobox : Variables n : nombre entier Initialisation n prend une valeur aléatoire entre 1 et 80 Traitement Si n 18 Alors afficher «Je ne vais pas être satisfait!» Sinon afficher «Je vais être satisfait!» Fin Si Expliquer le test "Si n <= 18 Alors...Sinon" et l affichage correspondant. 7) Que faut-il changer à cet algorithme pour qu il indique à la fin "Je vais être malade!" ou "Je ne vais pas être malade!" après avoir effectué le test correspondant? 1

14 Exercice - Le faisan Un chasseur tire sur un faisan, posé sur une barque, au bord de l étang du Romeläere. La probabilité que le chasseur atteigne le faisan (événement F) est de 0, et celle qu il cause une avarie au bateau (événement B) est 0,. De plus, le faisan et la barque peuvent être touchés en même temps avec une probabilité de 0,1. 1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : SECONDE - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS FICHE 1 B B F F Total Total 1 ) Écrire les événements suivants comme une réunion ou intersection de B, B, F ou F, puis déterminer leurs probabilités. a) La barque est abîmée et le faisan est indemne ; b) Le faisan est touché mais pas la barque ; c) La barque et le faisan sont indemnes. ) a) Donner la signification de l événement B F. b) Calculer sa probabilité à l aide du tableau. c) Retrouver ce résultat à l aide d une formule du cours que l on énoncera. ) Quelle est la probabilité que le faisan ou la barque soit indemne? Exercice 5 - Paradoxe de Condorcet On dispose de dés dont les faces sont numérotées comme suit : 9 9 dé A dé C dé B On prend deux dés, on les lance. Le dé qui indique le plus grand nombre gagne. Calculer - en utilisant tableaux à double entrée - la probabilité de gagner : 1) Avec le dé A contre le dé B? ) Avec le dé B contre le dé C? ) Avec le dé C contre le dé A? Où est le paradoxe? 1