Chapitre 2. Probabilités. Sommaire. 1. Introduction Espace fondamental et évènements. 3

Transcription

1 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Chaptre 2 robabltés Sommare 1. Introducton 3 2. Espace fondamental et évènements Défnton Evènements remarquables Opératons sur les évènements L ntersecton de deux évènements La réunon de deux évènements L ncluson d un événement Système complet d évènements Espace probablsable 9 3. robabltés Défntons Concept mathématque robabltés combnatores Lo des grands nombres Espace probablsé roprétés des probabltés ddtvté Evènement contrare Evènement mpossble. 14 1

2 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Incluson Indépendance statstque Défnton roprétés Généralsaton à n évènements robabltés condtonnelles Défnton robabltés composées robabltés totales Le théorème de ayes 20 2

3 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Introducton Les premères personnes à s être ntéressées aux problèmes des probabltés furent des mathématcens franças, lase ascal et erre de Fermat qu répondaent aux questons soulevées par un adepte des jeux de hasard, le chevaler de Méré. cette époque, la théore des probabltés se développa unquement en relaton avec les jeux de hasard. Mas avec erre Smon Laplace et Karl Fredrch Gauss, les bases de la théore furent étendues à d autres applcatons et phénomènes. Le calcul des probabltés fournt une modélsaton effcace des stuatons non détermnstes c est-à-dre des phénomènes aléatores ou stochastques. En ce qu concerne les premers, le résultat d une expérence sut une lo rgoureuse connue taux de crossance d une populaton bactérenne. On peut donc ans prévor le résultat pour un événement donné. En revanche dans le cas des phénomènes aléatores, le résultat de l expérence n est pas connu avec certtude mas fluctue autour d un résultat moyen qu est régt par une lo transmsson des caractères selon la lo de Mendel. Il exste deux manères d ntrodure la noton de probablté : La probablté a pror, «subjectve» d un événement est un nombre qu caractérse la croyance que l on a que cet événement est réalsé avec plus ou mons de certtude avant l exécuton de l expérence : l événement est réalsé probablté 1 et l événement n est pas réalsé probablté 0. La probablté emprque assmlée à une fréquence est défne à partr d expérences ndéfnment renouvelables. La probablté d un événement est alors la fréquence d apparton de cet événement. Enfn le calcul des probabltés utlse l analyse combnatore ans que la théore des ensembles. 2. Espace fondamental et évènements La théore des ensembles qu est succnctement présentée dans ce chaptre consttue un outl pussant dans pluseurs branches des mathématques, notamment en probabltés. 2.1 Défntons En face de stuatons dont l ssue est ncertane, on a ben souvent enve d attrbuer à chacune des éventualtés possbles une vrasemblance plus ou mons grande. fn de donner une rgueur mathématque à ce concept, l est nécessare tout d abord de donner quelques défntons. Une expérence ou une épreuve est qualfée d aléatore s on ne peut pas prévor son résultat et s, répétée dans des condtons dentques, elle peut donner des résultats dfférents. Le résultat d une expérence noté ω consttue une éventualté ou un événement élémentare. 3

4 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud l ensemble des évènements élémentares possbles pour une expérence aléatore donnée consttue l espace fondamental appelé unvers ou unvers des possbles noté Ω. Lors d un contrôle sangun, l ensemble des résultats possbles s l on s ntéresse 1 au groupe sangun et au facteur rhésus d un ndvdu est Ω = +, -, +, -, +, -, O+, O- 2 au nombre de globules blancs Ω = N * = 1,2,..n, 3 au taux de glycéme Ω = [0 ;15] au-delà de 15, l ndvdu n est plus en état de subr une prse de sang. ns pour une même épreuve, l unvers Ω peut être fn toutes les éventualtés sont connues : cas 1 ou nfn toutes les éventualtés ne sont pas connues : cas 2 et 3. Dans ces deux derners cas, l unvers peut être dénombrable s on peut numéroter les éventualtés connues cas 2 ou ben contnu comme dans le cas du taux de glycéme cas 3. Un événement quelconque est un ensemble d évènements élémentares et consttue une parte de l unvers des possbles Ω dont on sat dre à l ssue de l épreuve s l est réalsé ou non. S ω, alors est réalsé. Mas s ω alors n est pas réalsé et c est, l événement contrare qu est réalsé. Un événement est donc une asserton relatve aux résultats d une expérence. Il est possble qu un événement ne sot consttué que d un seul événement élémentare. Les évènements sont représentés par des lettres majuscules,,, C, 1, 2, etc. Dans l exemple concernant les groupes sanguns, - l événement «l ndvdu est de rhésus postf» est représenté par : = +, +, +, O+ avec Ω - l événement «l ndvdu est donneur unversel» est représenté par : = {O-} un seul événement élémentare Dans le cadre de cet exemple, l événement est réalsé s le résultat du typage donne l un des 4 groupes sanguns +,+,+,O+. Remarque : our ce même exemple, le résultat «la glycéme vaut 2» ne consttue pas un événement car l est mpossble de savor s l est réalsé ou non. Toute parte de Ω n est pas forcément un événement. ns l faut toujours défnr après avor détermné l unvers Ω, l ensemble des évènements εω. 4

5 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud S Ω est fn, chaque parte de l unvers Ω Ω est consttuée d un nombre fn d éventualtés et dans ce cas l ensemble des évènements est tel que : εω = Ω l unvers des possbles Dans le cadre de ce cours, nous nous placerons dans le cas où l ensemble des évènements de l unvers Ω est clarement défn Evènements remarquables L événement mpossble noté ø est l événement qu ne peut être réalsé quelle que sot l ssue de l épreuve. en que consttué d aucune éventualté, ø est consdéré comme un événement : ø εω L événement certan, noté Ω est toujours réalsé quelle que sot l ssue de l épreuve. Il est consttué de toutes les éventualtés et l on mpose que ce sot un événement : Ω εω L événement contrare ou complémentare d un événement, noté C ou est l événement qu est réalsé s et seulement s ne l est pas. Il est donc consttué des évènements élémentares ω qu ne sont pas dans. ω ω Le complémentare C ou correspond à la négaton logque non. Dans l exemple concernant les groupes sanguns, l événement contrare de «l ndvdu est de rhésus postf» est consttué des évènements élémentares suvant : = -, -, -, O- ar défnton, on obtent les relatons suvantes : = =Ω Ω = 5

6 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Opératons sur les évènements S l on consdère smultanément la réalsaton de deux évènements et, l est possble d effectuer des opératons sur ces ensembles L ntersecton de deux évènements On appelle ntersecton de deux évènements et, l événement qu est réalsé s et seulement s et le sont. Il est donc consttué des éventualtés appartenant à la fos à et. C est un événement noté tel que :, εω, εω avec ω ω etω L ntersecton correspond à la conjoncton logque «et». L ntersecton des deux évènements et fgure en vert sur le graphe c-contre. Remarque : L unvers des possbles Ω n étant pas lmté unquement aux évènements partes rouge et verte et partes bleu et verte, l événement complémentare, est formé des partes bleu et blanche. Dans l exemple concernant les groupes sanguns, s à l événement «l ndvdu est de rhésus postf», on ajoute l événement «l ndvdu possède l allèle», l ntersecton de ces deux évènements donne : = +, + Deux évènements et sont ncompatbles ou dsjonts, s ls ne peuvent être réalsés smultanément. On a alors : = 6

7 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Quelques proprétés de l ntersecton : = évènements ncompatbles Ω = élément neutre Ω = élément absorbant = commutatvté C = C assocatvté C = C dstrbutvté avec la réunon La réunon de deux évènements On appelle réunon de deux évènements et, l événement qu est réalsé s et seulement s ou est réalsé. Il est donc consttué des éventualtés appartenant à ou. C est un événement noté tel que :, εω, εω avec ω ω ouω La réunon correspond à la dsjoncton logque «ou». La réunon des deux évènements et fgure en vert sur le graphe c-contre. Remarque : La réunon de deux évènements n est pas la somme algébrque des évènements dans la mesure où la zone de recouvrement n est pas comptablsée deux fos. Dans l exemple concernant les groupes sanguns, s à l événement «l ndvdu est de rhésus postf», on ajoute l événement «l ndvdu possède l allèle», la réunon de ces deux évènements donne : = +, +, -, +, -, O+ 7

8 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Quelques proprétés de la réunon : = Ω = Ω = Ω = C = C C = C évènements complémentares élément neutre élément absorbant Ω commutatvté assocatvté dstrbutvté avec l ntersecton Selon les los de Morgan, nous avons : = ce qu correspond à la parte hachurée sur ce graphe. = ce qu correspond à l ensemble vde lorsque l unvers des possbles Ω n est consttué que des évènements et graphe L ncluson d un événement Un événement entraîne un événement s la réalsaton de mplque celle de. On dt que l événement est nclus dans l événement. L mplcaton logque se tradut par l ncluson. Exemple de l ncluson de l événement en rouge dans l événement en bleu. Sot une urne contenant des blles rouges unes et des blles vertes unes et strées. S l on note l événement «obtenton d une blle strée» et l événement «obtenton d une blle verte», la réalsaton de mplque la réalsaton de car est nclus dans. 8

9 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Système complet d évènements 1, 2,..., n forment un système complet d évènements s les partes 1, 2,..., n de Ω consttuent une partton de Ω telle que : j j = = Ω U Un système complet d évènements est formé de toutes les partes de Ω, c est-à-dre des famlles d évènements 2 à 2 ncompatbles dont la réunon consttue l événement certan Ω. Le nombre de parttons possbles dans un ensemble fn de n évènements est : s Card Ω = n alors Card Ω = 2 n Illustraton 2.5. Espace probablsable Supposons que l ensemble des évènements consttue une classe C de Ω, telle que : C Ω On appelle espace probablsable Ω, C, un objet formé de deux éléments : - un espace d éventualtés Ω 3.. un espace d évènements C Ω avec : 1 C C 2 C N * U C 3 Ω C Ces tros axomes ou proprétés suffsent à défnr un espace probablsable et on pourrat montrer qu l mplque que C et I C 3. robabltés Le passage d une descrpton de type ensemblste des phénomènes aléatores à l élaboraton d un vértable modèle mathématque se fat en ntrodusant les mesures de probablté. 9

10 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Défntons Concept mathématque On appelle probablté toute applcaton de l ensemble des évènements Ω dans l ntervalle [0,1], tel que : : ε Ω [0,1] a satsfasant les proprétés ou axomes suvantes 1 εω 0 2 Ω = 1 3, εω s = alors = + Remarque : Le concept mathématque de probablté modélse les notons ntutves de proporton et de fréquence. S l on avance que la probablté d être mmunsé contre la tuberculose est de 0,8, on modélse le fat qu envron 80 % de la populaton est mmunsé contre la tuberculose robabltés combnatores Sot Ω un espace fondamental fn consttué de N évènements élémentares sur lequel on fat l hypothèse d équprobablté de réalsaton des N évènements élémentares. On suppose ans que tous les évènements élémentares ont «la même chance» de se réalser. Dans ce cas la probablté p d un événement élémentare quelconque ω I est telle que : p = 1 N avec p = ω I satsfasant 1 avec I p 0 2 p = 1 Sot un événement quelconque consttué de k évènements élémentares de Ω, on en dédut : = k N avec = p ω Cette formule s énonce souvent comme : = card card Ω = nombre de cas favorables nombre de cas possbles 10

11 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Cette formule permet de ramener les calculs de probabltés à des décomptes d évènements élémentares effectués par des technques d analyse combnatore qu ne sont pas des probabltés. Exemples : 1 En tapant 5 lettres au hasard sur une machne à écrre possblté de taper pluseurs fos sur la même touche, la probablté d obtenr le mot «lutte» est d une chance sur 12 mllons. En effet l y a exactement mots de 5 lettres possbles Vor rrangement avec répétton. 2 La probablté d obtenr un multple de tros lors du lancé d un dé à 6 faces, non ppé est : = {3,6} d où = 26 = 13 avec k =2 et p = Lo des grands nombres S l on répète N fos une expérence dans laquelle la probablté d apparton d un événement est, la fréquence de cet événement au cours des N expérences, k N tend vers lorsque N tend vers l nfn. N k N Lorsque le nombre d épreuves augmente ndéfnment, les fréquences observées tendent vers les probabltés et les dstrbutons observées vers les los de probablté. Lors d un crosement entre plantes hétérozygotes a pour un caractère à domnance strcte allèle, forme sauvage et allèle a, forme mutée, on examne successvement deux échantllons de plantes résultant de ce crosement. N=40 fleurs N=1000 fleurs Effectfs Fréquences Effectfs Fréquences robabltés attendues hénotype sauvage 29 0, ,754 0,750 hénotype mutant 11 0, ,246 0,25 11

12 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Il est asé de vérfer que les fréquences pour les deux phénotypes possbles sont plus proches des probabltés attendues sous le modèle de crosement mendélen pour l échantllon de très grande talle. L écart entre les fréquences observées et les probabltés attendues peut être tester à l ade du test du kh-deux Espace probablsé Nous défnrons un espace probablsé en utlsant l axomatque de Kolmogorov, Défnton 1 : On appelle probablté sur Ω,C une applcaton de C dans l ntervalle [0,1] telle que : Défnton 2 : Ω=1 pour tout ensemble dénombrable d évènements ncompatbles 2 à 2, on a : U = On appelle espace probablsé, le trplet Ω,C, n =1 ns un espace probablsé désgne un espace fondamental et ses évènements, mun d une mesure de probabltés. 3.2 roprétés des probabltés Des axomes précédents découlent les proprétés addtves des probabltés, d usage permanent ddtvté Cas d évènements ncompatbles S 1, 2,,,.., n sont n évènements ncompatbles deux à deux j = s j alors : n = n La probablté de la réunon d un ensemble fn ou dénombrable d évènements 2 à 2 ncompatbles est égale à la somme de leur probablté d où : U = =1 n 12

13 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud vor Démonstraton Cas de deux évènements quelconques S et sont deux évènements quelconques, alors : = + Voc pourquo : et étant deux évènements quelconques,, ces évènements peuvent se décomposer comme la réunon de deux évènements ncompatbles : lors : - = avec = alors = + et = 2. = avec = d où = 3. = + + d où = + Dans l exemple du lancer d un dé à 6 faces, non ppé, on consdère l événement «le résultat est par» et l événement «le résultat est un multple de tros». On a alors : = {2,4,6} et = {3,6} donc = {2,3,4,6} et = {6} avec = 36 = 26 = 46 = 16 on vérfe alors que : = + = = Evènement contrare S est un événement quelconque, alors = 1 13

14 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Voc pourquo : Nous avons vu précédemment que = Ω et = roprétés de la réunon et de l ntersecton = + roprétés d addtvté des probabltés d où Ω = 1 = + ans = 1 La probablté lors du lancer d un dé non ppé d obtenr «plus de 2» se tradut par = {3,4,5,6} et = {1,2} d où = 1 = 1 26 = 46 = 23 Remarque : L applcaton de cette proprété est très utle lorsque le nombre d évènements élémentares de, k, est mportant et que le calcul des probabltés p est fastdeux cas de la lo de osson Evènement mpossble = 0 Voc pourquo : Nous avons vu précédemment que Ω = Ω élément neutre Ω = + Ω roprétés d addtvté des probabltés d où Ω = + Ω ans = Incluson S alors Voc pourquo : s = avec = alors = = + d où avec = lorsque = 0 14

15 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Indépendance statstque Défnton L hypothèse d ndépendance entre évènements et plus généralement entre épreuves successves est un préalable lors de l établssement des los de probabltés On dt que deux évènements et sont ndépendants s l on a : = ns s et sont deux évènements statstquement ndépendants, la probablté de la réalsaton conjonte de ces deux évènements est le produt de leur probablté respectve. Remarque : Il ne faut pas confondre évènements ndépendants et évènements ncompatbles. Supposons et à la fos ndépendants et ncompatbles. On a alors : = ndépendants = = 0 ncompatbles d où nécessarement = 0 ou = 0 Exemples : 1 Dans l exemple du lancer d un dé à 6 faces, non ppé, les deux évènements : «le résultat est par» et «le résultat est un multple de tros» sont statstquement ndépendants. En effet, sot = {2,4,6} = {3,6} ={6} ans = 36 = 26 = 16 on vérfe alors que : = = 36 X 26 = 636 = 16 2 S l on consdère une famlle de deux enfants, les deux évènements : «enfants de sexe dfférent» et «au plus une flle» ne sont pas statstquement ndépendants. En effet, l espace probablsé Ω, content 4 évènements élémentares s l on consdère une famlle ordonnée, Ω = = {GG, GF, FG, FF} avec = {GF, FG}, = {GG, GF, FG} et = {GF, FG} d où sous l hypothèse d équprobablté : = 12, = 34 et = 12 On vérfe alors que : = 12 X 34 =

16 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud roprétés Les proprétés assocées à l ndépendance sont : 1 s est un évènement quelconque, et Ω sont ndépendants : Ω = élément neutre Ω = Ω = car Ω = 1 et ø sont ndépendants : = élément absorbant = = car = 0 2 s et sont deux évènements quelconques, et sont ndépendants s et seulement s et et ou sont ndépendants démonstraton. et sont ndépendants s et seulement s et le sont Généralsaton à n évènements n évènements n 2, 1, 2,,,.., n sont dt ndépendants dans leur ensemble ou mutuellement ndépendants s on a : 1 2 n = 1 x 2 x x x.x n n I = =1 Remarque : n évènements peuvent être ndépendants deux à deux, [ j = x j ] avec j sans être ndépendants au sens de la défnton c-dessus. On jette deux dés non ppés et on consdère les évènements suvants : 1 «le premer dé donne un nombre par» 2 «le deuxème dé donne un nombre par» 3 «la somme des deux lancers est pare» Le nombre d événements élémentares est : card Ω = 36 vor arrangements avec répéttons avec p = 2 et n = 6 Les 3 évènements 1, 2 et 3 sont 2 à 2 ndépendants mas ne sont pas ndépendants dans leur ensemble. En effet : 16

17 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Les probabltés assocées aux 3 évènements sont : 1 = 12 ; 2 =12 ; 3 = = 936 = 14 = = 936 = 14 = = 936 = 14 = = 936 = = 18 Les cases grsées représentent les évènements élémentares réalsés dans le cadre sot 1 2 ou 1 3 ou 2 3 ou robabltés condtonnelles 4.1. Défnton Sot deux évènements et d un espace probablsé Ω avec 0, on appelle probablté condtonnelle de l évènement «s» ou «sachant», le quotent = notée On défnt ans une probablté sur Ω au sens de la défnton donnée précédemment. Théorème : Sot un évènement de probablté non nulle, alors : : ε Ω [0,1] a = est une probablté sur Ω 17

18 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Voc pourquo : 1 εω 0 quotent de deux réels postfs Ω 2 Ω = = =1 car Ω = car Ω élément neutre 3 s 1 2 =, 1 2 = [ 1 2 ] [ ] = addtvté = [ 1 2 ] = Remarque : La probablté est appelée la probablté a pror et ou la probablté a posteror car sa réalsaton dépend de la réalsaton de. On observe les relatons suvantes : =1 S, alors = et donc = Sot un crosement entre hétérozygotes a pour un caractère à domnance strcte, quelle est la probablté d obtenr à la génératon suvante parm les ndvdus de phénotype, un ndvdu homozygote? L ensemble des évènements élémentares est : Ω = {,a,a,aa} S h = homozygote et h = hétérozygote h 1 4 h = = = 13 probablté a posteror 3 4 La probablté a pror d obtenr un homozygote est robabltés composées Théorème : Sot deux évènements et d un espace probablsé Ω. lors, = = Formule des probabltés composées 18

19 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Voc pourquo : ar défnton, = d où = ar symétre, = = S et sont deux évènements ndépendants et que 0 alors cec équvaut à affrmer que = =. Lorsque deux évènements sont ndépendants, le fat que l un des évènements sot réalsé, n apporte aucune nformaton sur la réalsaton de l autre. Dans ce cas la probablté condtonnelle a posteror est égale à la probablté a pror. Voc pourquo : La formule des probabltés composées donne =. L ndépendance statstque entre et équvaut à = d où la relaton = S et sont deux évènements ndépendants alors cec équvaut à affrmer que = =. Lorsque deux évènements sont ndépendants, la probablté condtonnelle de est la même que ce sot ou qu est réalsé vor démonstraton. Dans l exemple du lancer d un dé à 6 faces, non ppé, les deux évènements : «le résultat est par» et «le résultat est un multple de tros» sont ndépendants vor exemple. ns la probablté que la face sot pare sachant que c est un multple de 3 est : s = {2,4,6} ={3,6} ={6} et =36 =26 = = = = 12 = d où la relaton =

20 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud robabltés totales Théorème : S { 1, 2,.,,.., n } est un système complet d évènements, quel que sot l évènement, alors : = n n n = Formule des probabltés totales = 1 Voc pourquo : S j, alors j = j = Grâce à la dstrbutvté, on a : 1 2 n = 1 2. n = Ω = Grâce à l addtvté, on a : = n Grâce à la formule des probabltés composées, on a : 1 = 1 1 d où = n n Une populaton anmale comporte 13 de mâles et 23 de femelles. L albnsme frappe 6 % des mâles et 0,36 % des femelles. La probablté pour qu un ndvdu prs au hasard dont on gnore le sexe sot albnos est : S = {mâle} et = {femelle} consttue un système complet d évènements = {albnos} et = {non albnos} sachant que = + alors = 0,06 X ,0036 X 23 = 0,0224 sot 2,24% d albnos dans cette populaton Le théorème de ayes Un corollare au théorème des probabltés totales est connu sous le nom de formule de ayes. 20

21 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud Théorème : S { 1, 2,.,,.., n } est un système complet d évènements, et quel que sot l évènement tel que 0, alors : n n = = = n 1 Formule de ayes Voc pourquo : D après la formule des probabltés composées, = = D après la formule des probabltés totales, 1 n = = D après la formule des probabltés condtonnelles = d où = = n 1 Remarque : La formule de ayes est utlsée de façon classque pour calculer des probabltés de causes dans des dagnostcs malades, pannes, etc.. L applcaton du théorème de ayes est à la base de toute une branche de la statstque appelée statstque bayesenne. Dans une populaton pour laquelle 1 habtant sur 100 est attent d une malade génétque, on a ms au pont un test de dépstage. Le résultat du test est sot postf T sot négatf T. On sat que : 8 0, = T et 9 0, = T On soumet un patent au test. Celu-c est postf. Quelle est la probablté que ce patent sot attent de la malade sot T ou T? D après la formule de ayes : T T T T T T = = + d où 0, 01 0,8 0,8 0, 01 0,1 0, 99 T = = + 0,075 ns avant le test, la probablté d être malade état de = 0,01 probablté a pror

22 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud et après le test la probablté d être malade est de T = 0,075 probablté a posteror. ns le test apporte un supplément d nformaton. 22