Les Variable Annuities sous la directive Solvabilité II

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1 Les Variable Annuities sous la directive Solvabilité II Mémoire présenté le vendredi 10 juin 2011 par Clément Schmitt

2 Introduction Solvabilité II impose des fonds propres réglementaires tenant compte de tous les risques encourus par l assureur, y compris financier. L objectif de ce mémoire est d étudier de manière simplifier un contrat Variable Annuities pour mesurer l effet d une stratégie de couverture des risques financiers sur le besoin en fonds propres réglementaires. Le 10 juin / 31

3 Sommaire 1. Qu est ce qu un produit Variable Annuities? 2. L évaluation du coût de la garantie 3. Le risque financier et sa couverture 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB Le 10 juin / 31

4 1. Qu est ce qu un produit Variable Annuities? 1.1. Définition Les Variable Annuities sont des contrats en unité de compte auxquels sont ajoutées des garanties de retour de capital Les contrats en unité de compte Dans ce type de contrat, l assureur garantit un nombre de part d unité de compte. Le risque de placement est supporté par l assuré. Le 10 juin / 31

5 1. Qu est ce qu un produit Variable Annuities? 1.3. Les Variable Annuities ou les produits GMxB Les différents types de produits Variables Annuities : - les GMAB («Guaranteed Minimum Accumulation Benefit») ; - les GMDB («Guaranteed Minimum Death Benefit») ; - les GMIB («Guaranteed Minimum Income Benefit») ; - Les GMWB («Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit»). Le 10 juin / 31

6 1. Qu est ce qu un produit Variable Annuities? 1.4. Les différents mécanismes de réévaluation de la garantie Plusieurs mécanismes existent : «roll up» ou Taux Minimum Garanti : le niveau de garantie est revalorisé à taux fixe chaque année ; «ratchet» ou effet cliquet : à chaque date d anniversaire du contrat, le niveau de garantie est rehaussé au niveau de la valeur de l épargne de l assuré si celui-ci est supérieur au précédent niveau de garantie. Le 10 juin / 31

7 1. Qu est ce qu un produit Variable Annuities? 1.4. Les différents mécanismes de réévaluation de la garantie Exemple : évolution de la garantie d un produit GMAB Le 10 juin / 31

8 1. Qu est ce qu un produit Variable Annuities? 1.5. Les options financières associées Les garanties proposées dans les produits Variable Annuities sont des options financières. Exemple : l option financière associée au produit GMAB Dans un GMAB (sans roll-up ni ratchet), la garantie est : Garantie = Max(UC 0 -UC T ;0) Il s agit du pay-off d une option de vente européenne. Le 10 juin / 31

9 2. L évaluation du coût de la garantie Le modèle de Black & Scholes Le modèle de Black & Scholes suppose le modèle de diffusion du cours d un sous-jacent suivant : Avec : r le taux sans risque σ la volatilité de l actif W t un mouvement brownien Il existe une formule explicite pour les prix des options européennes. Le 10 juin / 31

10 2. L évaluation du coût de la garantie Le modèle de Black & Scholes Prix d une option de vente européenne en date 0 de prix d exercice K et de maturité T : Avec : Le 10 juin / 31

11 3. Le risque financier et sa couverture 3.1. La couverture sur le delta Dans le cadre théorique du modèle de Black & Scholes, il existe pour chaque option une stratégie autofinancée qui permet de répliquer son prix. La stratégie théorique de réplication de Black & Scholes consiste à détenir à tout instant une quantité delta de sous-jacent. Le 10 juin / 31

12 3. Le risque financier et sa couverture 3.1. La couverture sur le delta Le delta d une option est la dérivée de son prix par rapport au cours du sous-jacent : La valeur du delta évolue en continue, le portefeuille de réplication doit alors être réajusté en continu. En pratique : - passer un ordre prend un certain temps ; - un réajustement trop fréquent est très coûteux en frais de transaction. Le 10 juin / 31

13 3. Le risque financier et sa couverture 3.1. La couverture sur le delta Défaut de la couverture sur le delta entre deux instants de réajustement de la couverture Perte de couverture entre deux instants de réajustement Prix de l option de vente sous Black & Scholes S t+dt S t Pente = Perte de valeur du sous-jacent valeur du portefeuille de couverture Le 10 juin / 31

14 3. Le risque financier et sa couverture 3.1. La couverture sur le delta Le 10 juin / 31

15 3. Le risque financier et sa couverture 3.2. La couverture sur le gamma et le delta Le gamma d une option est la dérivée à l ordre 2 de son prix par rapport au cours du sous-jacent : Cette stratégie de couverture consiste à construire un portefeuille de couverture qui prend en compte la convexité du prix de l option. Le 10 juin / 31

16 3. Le risque financier et sa couverture 3.2. La couverture sur le gamma et le delta Défaut de la couverture sur le delta et le gamma entre deux instants de réajustement de la couverture Perte de couverture Prix de l option de vente sous Black & Scholes S t+dt S t Pente = Perte de valeur du sous-jacent valeur du portefeuille de couverture (delta-neutre) Convexité = valeur du portefeuille de couverture (gamma-neutre) Le 10 juin / 31

17 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II Dans le modèle standard, le SCR actions est la variation de la «Net Asset Value» (valeur de marché de l actif diminué de la «fair value» du passif) suite à un choc instantané sur la valeur des actions. Ce choc instantané est fixé dans les spécifications techniques du QIS5 à 39% 1 de perte de valeur des actions : 1 Il s agit du choc sans ajustement symétrique de -9% Le 10 juin / 31

18 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.1. L évaluation en «Fair Value» du passif La provision Best Estimate est la moyenne des valeurs actuelles des flux de passifs futurs sur un ensemble de scénarios générés par un modèle stochastique. Il s agit d une valeur actuelle probable qui prend en compte tous les engagements y compris financier. Le QIS5 précise qu il faut adopter une approche «risque neutre» et «market consistent». Le 10 juin / 31

19 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.1. L évaluation en «Fair Value» du passif Posons le contrat GMAB suivant : Le support de l unité de compte est une action Maturité : 8 ans Capital garanti à maturité : valeur initialement investie Le coût de la garantie est facturé à l assuré en date initiale Condition d acquisition du produit : Investissement initial sur le support de l unité de compte : 100 Hypothèses : Aucun chargement ni frais ne sont prélevés tout au long de la durée de vie du contrat Aucun rachat anticipé Le 10 juin / 31

20 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.1. L évaluation en «Fair Value» du passif Sous ces hypothèses, le Best Estimate du contrat GMAB est : Valeur de rachat du contrat en unité de compte + Valeur de l option de vente européenne associée La valeur de cette option peut-être estimée par la formule explicite de Black & Scholes. Hypothèse sur l évaluation de l option de vente : Volatilité annuelle du sous-jacent : 22% Taux sans risque annuel : 2% La valeur de l option de vente est de 14. Le 10 juin / 31

21 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Le bilan prudentiel en Full Fair Value (FFV) est alors : ACTIF PASSIF Valeur du support UC en date 0 Coût de la garantie payé par l assuré en date 0 Valeur du contrat UC en date 0 Valeur de la garantie en date Montant payé par l assuré à l assureur en date 0 = provision Best Estimate en date 0 Le 10 juin / 31

22 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Dans le cas où l assureur choisit de ne pas se couvrir sur les variations du cours de l action sous-jacente (le coût de la garantie payé initialement par l assuré est investi au taux sans risque) Le choc de la formule standard modifie ainsi le bilan en FFV : ACTIF Valeur du support UC en 0 #(1-39%) Coût de la garantie payé initialement par l assuré investi au taux sans risque = 14 Perte en FFV due au choc = 15,6 PASSIF Valeur du contrat UC en 0 #(1-39%) Valeur de la garantie suite au choc de -39% sur la valeur des actions en date 0 = 29,6 Valeur de la provision Best Estimate du produit GMAB en date 0 après un choc instantané sur la valeur des actions de -39% Le 10 juin / 31

23 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Dans le cas d une couverture sur le delta Le bilan prudentiel de l assureur en FFV en date 0 est alors : ACTIF Valeur du support UC en 0 Coût de la garantie payé initialement par l assuré + produit de la vente à découvert investi au taux sans risque = 40,3 PASSIF Valeur du contrat UC en 0 Valeur de la garantie en date 0 = 14 Montant payé par l assuré à l assureur en date 0 = valeur de la provision Best Estimate en date 0 Delta unité du support de l unité de compte = -26,3 Le 10 juin / 31

24 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Le choc de la formule standard modifie ainsi le bilan en FFV : ACTIF Valeur du support UC en 0 #(1-39%) Coût de la garantie payé initialement par l assuré + produit de la vente à découvert investi au taux sans risque = 40,3 Delta unité du support de l unité de compte = -16 PASSIF Valeur du contrat UC en 0 #(1-39%) Valeur de la garantie suite au choc de -39% sur la valeur des actions en date 0 = 29,6 Valeur de la provision Best Estimate du produit GMAB en date 0 après un choc instantané sur la valeur des actions de -39% Perte en FFV due au choc = 5,3 Le 10 juin / 31

25 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Illustration : SCR actions = 5,3 Prix de l option de vente sous Black & Scholes = valeur de la garantie S 0 =61 S 0 =100 Choc instantané de -39% de la valeur des actions Pente = valeur du portefeuille de couverture Le 10 juin / 31

26 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Dans le cas d une couverture sur le delta et le gamma : Pour se couvrir sur le gamma, nous devons ajouter au portefeuille de couverture un actif ayant un gamma non nul. La valeur d une option financière est convexe par rapport au sousjacent : elle présente un gamma non nul. Dans cet exemple, nous utilisons une option de vente à la monnaie de maturité 1 an sur le support de l unité de compte pour la couverture. Le 10 juin / 31

27 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Pour se couvrir sur le gamma et le delta, nous devons composer le portefeuille de couverture Ω d une quantité Q SJ de sous-jacent et une quantité Q O d option de couverture : Pour obtenir Q SJ et Q O, nous devons résoudre le système suivant : Le 10 juin / 31

28 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Le bilan prudentiel de l assureur en FFV en date 0 est alors : ACTIF PASSIF Valeur du support UC en 0 Valeur du contrat UC en 0 Coût de la garantie payé initialement par l assuré + produit de la vente à découvert investi au taux sans risque = 26 Q SJ unité du support de l unité de compte = -14,1 Valeur de la garantie en date 0 = 14 Valeur de la provision Best Estimate du produit GMAB en date 0 Q O option de vente de couverture = 2,1 Le 10 juin / 31

29 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Le choc de la formule standard modifie ainsi le bilan en FFV : ACTIF Valeur du support UC en 0 #(1-39%) Coût de la garantie payé initialement par l assuré + produit de la vente à découvert investi au taux sans risque = 26 Q SJ unité du support de l unité de compte = - 8,6 Q O option de vente de couverture = 10,8 Perte en FFV due au choc = 1,4 PASSIF Valeur du contrat UC en 0 #(1-39%) Valeur de la garantie suite au choc de 39% sur la valeur des actions en date 0 = 29,6 Valeur de la provision Best Estimate du produit GMAB en date 0 après un choc instantané sur la valeur des actions de -39% Le 10 juin / 31

30 4. L exigence de capital pour le risque actions d un produit GMAB sous Solvabilité II 4.2. Le SCR actions calculé à partir de la formule standard Dans le cas où l assureur choisit de se couvrir sur le delta et le gamma, nous avons : SCR actions = 1,4 Prix de l option de vente sous Black & Scholes = valeur de la garantie S 0 =61 S 0 =100 Pente = valeur Choc instantané de -39% de la valeur des du portefeuille de couverture (delta-neutre) Convexité = valeur du portefeuille de couverture (gamma-neutre) actions Le 10 juin / 31

31 Conclusion En se couvrant sur les variations du cours de l action sous-jacente, l assureur réduit sa perte évaluée en FFV dans le cas du choc sur les actions de la formule standard, ce qui diminue le SCR actions. Notre étude montre que la couverture en delta-neutre est relativement peu efficace et qu il est souhaitable de se couvrir à l ordre 2 (couverture gamma-neutre). Le 10 juin / 31

32 Questions? Le 10 juin / 31

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