Algorithmes d approximation. Module IAD/M2/RP/RO Philippe Chrétienne

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1 Algorithmes d approximation Module IAD/M2/RP/RO Philippe Chrétienne

2 Plan du chapitre Problème de recherche Algorithme d approximation Garanties Exemples (bin-packing, TSP) Approximation et complexité

3 Problème de recherche Un problème Π est dit «de recherche» si: à tout énoncé I de Π est associé un ensemble S * (I) (éventuellement vide) de solutions. Un algorithme qui résout Π doit, pour tout énoncé I : - écrire une solution de S * (I) si S * (I) n est pas vide, - sinon écrire «pas de solution». Un problème d optimisation (minimisation ou maximisation) est un problème de recherche pour lequel S * (I) est défini à partir: - d un ensemble de solutions candidates S(I), - d une fonction objectif f I : S(I) ℵ. S*(I) = {s S(I) f I (s) est optimal}

4 Cas d'une minimisation. Si Inf{f I (s) s S(I)} existe, il est noté f I *. Si f I * est atteint, alors S*(I) = {s S(I) f I (s)= f I *}. S*(I) est l'ensemble des solutions optimales de l'énoncé I ; f I * est la valeur d'une solution optimale de l'énoncé I, ou encore la valeur optimale d'une solution de S(I). Pour une maximisation, on remplace Inf par Sup. Le plus souvent S(I) est fini mais de taille exponentielle en la longueur de I. Dans ce cas : - Inf{f I (s) s S(I)} existe ; - S*(I) est non vide.

5 Exemples de problèmes d optimisation : TSP (voyageur de commerce) I défini à partir d une matrice D des distances entre n villes. Une solution candidate est un tour. Une solution est un tour de longueur totale minimale. SAC à DOS I défini à partir - d un ensemble d articles A, - d une fonction poids p: A ℵ, - d une fonction valeur v : A ℵ, - d un poids maximum P. Une solution candidate est un sous-ensemble d articles de poids P Une solution est une solution candidate de valeur maximale.

6 Algorithme d approximation Soit Π un problème d optimisation (minimisation). On suppose que pour tout énoncé I: S(I) est non vide et fini. On note alors f I * la valeur optimale d une solution de I. Un algorithme d approximation  pour Π doit fournir, - pour tout énoncé I de Π, - en temps polynomial en la longueur l Π (I), une solution candidate de valeur «assez proche» de f I *. Notation: Â(I) est la solution "approchée" fournie par  pour la donnée I.

7 Garanties relatives On suppose (pour simplifier la présentation) que pour tout énoncé I: f I * > 0. Un algorithme d approximation  pour le problème de minimisation (Π,f I ) offre la garantie relative ε si: Pour tout énoncé I de Π: f I (Â(I)) (1+ε)f I *. Un algorithme d approximation  pour le problème de maximisation (Π,f I ) offre la garantie relative ε si: Pour tout énoncé I de Π: f I (Â(I)) (1-ε)f I *. Remarque : ε peut être une constante (par exemple 10-2 ) ou dépendre des paramètres du problème.

8 Garanties absolues Un algorithme d approximation  pour le problème de minimisation (Π,f I ) offre la garantie absolue ε si: Pour tout énoncé I de Π: f I (Â(I)) - f I * ε. Un algorithme d approximation  pour le problème de maximisation (Π,f I ) offre la garantie absolue ε si: Pour tout énoncé I de Π : f I * - f I (Â(I)) ε. Remarque : ε peut être une constante (par exemple 10-2 ) ou dépendre des paramètres du problème.

9 Taux de performance de  (minimisation) Le taux de performance ρ(â) de  est défini par : ρ(â) = Sup {f I (Â(I))/f I * I D Π } Si ε est une garantie relative offerte par Â, alors 1+ ε est un majorant de ρ(â). Souvent, on ne sait pas calculer ρ(â). Par contre, si ε est une garantie relative offerte par  et si on détermine un énoncé J de Π tel que: f J (Â(J)) = (1+ε) f J * alors on a : ρ(â) = (1 + ε). L énoncé J représente alors un plus mauvais cas pour Â.

10 Exemples BIN PACKING Donnée: n articles A 1, A 2,., A n ; pour chaque A i, sa hauteur h i (0 < h i < 1). Une solution candidate est une partition B 1, B 2,, B K des n articles telle que pour toute «boîte», la somme des hauteurs des articles ne dépasse pas 1. Une solution est une solution candidate pour laquelle le nombre de boîtes est minimum. Remarque: BIN PACKING est un problème difficile (NP-complet au sens fort)

11 L algorithme d approximation FIRST FIT (FF) Etape courante (r(b i ) est la hauteur résiduelle de la boîte B i ): Soit P = (A 1, A 2,., A p-1 ) la liste des articles déjà placés; Soit B = (B 1, B 2,., B k-1 ) la liste des boîtes déjà utilisées; Si, pour toute boîte B i de B: r(b i ) < h p, alors B := B. (B k ) ; %créer une nouvelle boîte% r(b k ):= 1- h p ; k:=k+1 sinon %placer l article dans la première boîte possible% soit B j la première boîte de B telle que r(b j ) h p ; r(b j ):= r(b j )-h p Finsi

12 Notons N FF (I) le nombre de boîtes de FF(I). Propriété : FF est un algorithme d approximation de BIN PACKING fournissant la garantie relative 2 : pour tout I : N FF (I) 2 f I *. Notation : H = Σ i=1..n h i Lemme 1: f I * H Preuve: Si l on pouvait «couper» les articles, le nombre minimum de boîtes serait égal à H. Lemme 2: Soit B = (B 1, B 2,., B K ) la liste des boîtes de FF(I). Au plus une boîte B j satisfait r(b j ) 1/2. Preuve (récurrence sur le nombre d articles placés): La propriété est vraie pour le 1 er article. Supposons qu elle reste vraie après le placement des p-1 premiers articles.

13 Si pour toute boîte B j, on a r(b j ) < 1/2, alors la propriété reste vraie, que l on crée une boîte ou pas pour placer l article A p. S il existe une boîte B j telle que r(b j ) 1/2, alors si h p 1/2, la propriété reste vraie car on peut placer A p dans B j ; si h p > 1/2, la propriété reste encore vraie, car si FF crée une nouvelle boîte B k pour A p, on a: r(b k ) < 1/2. Preuve de la propriété: Soit B = (B 1, B 2,., B K ) la liste des boîtes de FF(I). On a Σ j=1..k (1-r(B j )) = H. d après le lemme 2, on a 1- r(b j ) > 1/2 pour au moins K-1 indices, on a donc Σ j=1..k (1-r(B j )) > (K-1)/2. Il en résulte que K-1 < 2H. On a donc (lemme 1) : K = N FF (I) 2 H 2f I *.

14 Remarques: 1) Le taux de performance de FF est inférieur à 2. On a pu montrer que: pour tout I: N FF (I) (17/10) f I * + 2 De plus, il existe des énoncés pour lesquels on a l égalité. Remarque intuitive : on aurait intérêt à placer en priorité les articles les plus hauts. L algorithme associé FFD (FIRST FIT DECREASING) est identique à FF sauf qu il commence par trier articles par hauteur décroissante au sens large. On a pu montrer (preuve très difficile!) que: pour tout I: N FFD (I) (11/9) f I * + 4 De plus, il existe des énoncés pour lesquels on a l égalité.

15 TSP euclidien Donnée: une matrice D des distances (euclidiennes) entre n villes. Pour tout triplet de villes {i,j,k}: D(i,j) D(i,k)+D(k,j). Une solution candidate est un tour, c est-à-dire une liste (i 1, i 2,., i n, i 1 ) où (i 1, i 2,., i n ) est une liste des n villes. Une solution est un tour (i 1, i 2,., i n ) dont la longueur D(i 1,i 2 )+ D(i 2,i 3 )+.+ D(i n-1,i n ) + D(i n,i 1 ) est minimum. Remarque: TSP euclidien est un problème difficile (NP-complet au sens fort)

16 Un algorithme d approximation  pour TSP euclidien. 1. Déterminer un arbre couvrant H= (V,E) de coût minimum sur le graphe complet des n villes valué par les distances D(i,j). 2. Construire le graphe K= (V, F) obtenu à partir de H en remplaçant chaque arête {u,v} de E par un arc (u,v) et un arc (v,u) valués chacun par D(u,v). 3. Déterminer un circuit eulérien C de K à partir d un parcours en profondeur de K. 4. Déterminer le tour obtenu à partir de C en utilisant les arêtes du co-arbre de H pour ne pas repasser 2 fois par un même sommet intermédiaire.

17 1. Déterminer un arbre couvrant H= (V,E) de coût minimum sur le graphe complet des n villes valué par les distances D(i,j).

18 2. Construire le graphe K= (V, F) obtenu à partir de H en remplaçant chaque arête {u,v} de E par 2 arcs (u,v) et (v,u) valués par D(u,v).

19 3. Déterminer un circuit eulérien C de K à partir d un parcours en profondeur de K

20 4. Déterminer le tour obtenu à partir de C en utilisant les arêtes du co-arbre de H pour ne pas repasser 2 fois par un même sommet intermédiaire

21 Notons l(h) la longueur de l arbre H. Soit T* un tour optimal. En supprimant une arête de T*, on obtient un arbre couvrant H du graphe complet des n villes. Comme H est de longueur minimum, on a : l(h) l(h ) f* Par définition du circuit eulérien C, on a: l(c)= 2 l(h). Par construction du tour Â(I) et en utilisant l inégalité triangulaire, on a: l(â(i)) l(c). Il en résulte que: l(â(i)) 2 f*.

22 Complexité et Approximation Question: Etant donné: un problème d optimisation (Π,f I ), une garantie relative ε (ε > 0), Existence d'un algorithme d approximation pour (Π,f I ) fournissant la garantie ε? Soit B un entier naturel strictement positif. On note Π(B) le problème de décision associé à (Π,f I ) : Existe t il une solution candidate s telle que f I (s) B? Propriété: Si Π(B) est NP-complet, l existence d un algorithme d approximation fournissant une garantie relative inférieure à (1/B) implique P=NP.

23 Preuve de la propriété. Supposons que l algorithme  fournisse la garantie relative ε strictement inférieure à 1/B. Soit I un énoncé de Π(B). Si I est un énoncé à réponse «oui», on a: 1) f I * B, 2) f I (Â(I)) (1+ ε) f I * < (1+1/B)B B. Si I est un énoncé à réponse «non», on a: 1) f I * > B, 2) f I (Â(I)) > B. Il en résulte que la valeur f I (Â(I)) permet de décider si I est à réponse «oui» ou «non». Comme f(â(i)) est calculable en temps polynomial, on a P=NP.

24 Les garanties absolues sont plutôt rares. Pour certains problèmes NP-complets, l existence d une garantie absolue numérique implique P=NP. Exemple: SAC à DOS. Propriété: Si un algorithme d approximation  fournit une garantie absolue constante pour le problème SAC à DOS, alors P=NP Preuve: Supposons que  fournisse la garantie absolue ε pour SAC à DOS. (on peut supposer ε entier strictement positif)

25 Soit I=(A, p, P, v) un énoncé de SAC à DOS. Considérons maintenant l énoncé I = (A, p, P, (1+ ε)v) Par définition, I et I ont les mêmes solutions candidates. Si s est une solution candidate, on a: f I (s)=(1+ ε ) f I (s). I et I ont donc la même solution optimale. On a donc : f I * = (1+ ε ) f I *. En appliquant  à I, on a: f I * - f I (Â(I )) ε. Soit encore: (1+ ε ) (f I * - f I (Â(I )) ε. Il en résulte que: f I * = f I (Â(I )) Â(I ) est donc une solution optimale de I. On a donc P=NP.