Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

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1 Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois d analyser et de reconstruire un signal périodique. Elles décomposent le signal dans une base de fonctions sinus et cosinus. Les coefficients associés aux fonctions de base sont interprétables en terme de fréquence. Dans toute la suite on se donne un signal X périodique de période. Le cadre classique de la théorie est construit pour un X non aléatoire à valeurs complexes i.e. X est une fonction de R vers C mais tout se transpose à des fonctions aléatoires. On note L les fonctions -périodiques de carré intégrable définies sur R et à valeurs dans C. 1 Coefficients de Fourier Définition 1 Soit f L. définis par c n f = 1 Les coefficients de Fourier complexes de f sont f x exp iπn x dx, n Z Les coefficients de Fourier réels sont définis pour n N par : a f = 1 b n f = f x dx a n f = f x sin πn x dx f x cos πn x dx Remarque La périodicité implique aussi que c n f = 1 α+ f x exp iπn x dx α pour tout α réel, ce qui vaut aussi pour a n et b n. Dans certains cas il pourra être judicieux de calculer plutôt a n f = / / / f x cos iπn x dx ou b n f = / f x sin iπn x dx. Proposition 3 On peut enfin montrer les relations suivantes qui lient les trois types de coefficients attention on choisit ici n N : c n = a n ib n c n = a n + ib n a n = c n + c n b n = ic n c n 1

2 Proposition 4 i Si f est paire alors b n = pour n 1 et si f est impaire a n = pour n 1. ii c n αf + βg = αc n f + βc n g. Même propriété de linéarité pour a n et b n. iii Si la convolée f g définie par f g x = f x t g t dt existe alors c n f g = c n f c n g iv Si f est k fois dérivable alors c n f k = iπn/ k c n f Exercice 5 Montrer les quatre propriétés ci-dessus. Sommes et séries de Fourier Définition 6 La série de Fourier de f est la fonction : S f x = k= = a f + c k f exp iπk x [ a n f cos πn x + b n f sin πn x ] Les sommes partielles de Fourier à l ordre N N sont : S N f x = k= N = a f + c k f exp iπk x [ a n f cos πn x + b n f sin πn x ] Exercice 7 Retouver la formule de la somme partielle exprimée en terme de a n et b n à partir de celle impliquant les c k. Définition 8 La fonction H n : x a n f cos πn x + bn f sin πn x est appelé harmonique de rang n de f. Remarque 9 Si f est paire S N l est aussi. Si f est impaire, S N l est aussi. Quand aucune ambiguité n est possible on écrira c n f = c n, etc. Remarque 1 On peut montrer que E = { e k = exp iπk, k Z } forme un système orthonormé de l espace L R, C quand on le munit du produit scalaire normalisé f, g = 1 fg. Par conséquent S N f est la projection de f sur E N = { e k = exp iπk, k { N,..., N} }. Exercice 11 Montrer que B = { cos πn x, sin πn x, n N } constitue également un système orthonormé sur l espace L R, R pour le produit scalaire f, g.

3 Exercice 1 Soit f la fonction π périodique définie par f x = x si x [ π, π]. Montrer : S N f x = π 4 π cos n + 1 x n + 1 héorème 13 Soit f L R, C et S N la somme partielle de Fourier de f. On a : f = 1 f = c k a = a + n + b n k= S N f x f N N. La première égalité constitue l Identité de Parseval. L inégalité en dessous est appelée Inégalité de Bessel. Le héorème annnonce donc la convergence en moyenne quadratique des sommes partielles de Fourier. Mais aussi que la norme de S f est la même que celle de f. Le point iv de la Proposition 4 allié à l identité de Parseval livre plusieurs enseignements. Remarque 14 Les coefficients de Fourier d une fonction de carré sommable tendent vers assez vite. La linéarité des coefficients nous assure aussi que deux fonctions ayant les même coefficients de Fourier sont égales presque partout sur [, ]. Remarque 15 Il est très important de noter que plus une fonction est régulière, plus la convergence de ses coefficients de Fourier vers est rapide. De c n f k = iπn/ k c n f on déduit que si f k est de carré intégrable c n = o 1/n k. Mais si f k est de carré intégrable, alors f k 1 est continue et f est donc régulière elle est C k 1. On peut enfin montrer que si f est C ses coefficients de Fourier sont à décroissance rapide, i.e. pour tout p entier c n = o 1/ n p. 3 Reconstruction de fonctions par séries de Fourier. Une question a été jusqu alors évitée : S N converge-t-elle vers f? La réponse est positive dans un grand nombre de cas. Encore faut-il spécifier le mode de convergence.considéré. En fait le résultat sous jacent à ce chapitre est le suivant : les systèmes orthonormés mentionés au-dessus et notés E et B sont bel et bien des bases de Hilbert de L. Par conséquent on peut légitimement dire que S N est le projeté de f sur les N +1 premiers vecteurs de ces bases et que S f sera dans bien des cas la décomposition exacte de f dans la base de Fourier. Les résultats principaux de ce chapitre précisent le mode de convergence de S N vers f et font intervenir des hypothèses de régularité sur f. Ils légitiment surtout la reconstruction d un signal par séries de Fourier : toute fonction périodique peut se décomposer comme somme de fonctions sinusoidales. 3

4 héorème 16 Convergence en moyenne quadratique Soit f L R, C et S N la somme partielle de Fourier de f. Alors S N converge vers f dans L R, C soit encore S N f f = S N f f On peut revisiter l identité de Parseval et l inégalité de Bessel avec ces faits en tête puisque formellement S N f = P N f où P N est par exemple la projection sur B N = { cos } πn x, sin πn x, n N. La convergence en moyenne quadratique s obtient sous des hypothèses très générales. En rajoutant une hypothèse de continuité sur f on obtient un résultat de convergence ponctuelle. Le héorème suivant est plus général car il ne nécessite que la continuité par morceau du signal. Il est connu sous le nom de héorème de convergence de Dirichlet. Si f est continue par morceaux sur [, ] on note : f x = lim h s f x + h + lim f x s + + la version moyennée de f. Si f est continue f = f et sinon f ne diffère de f qu aux points de discontinuité faire un schéma. En particulier f et f ont les mêmes coefficients de Fourier. On note Cm 1 l espace des fonctions C 1 par morceaux.. héorème 17 Convergence simple Soit f Cm 1 [, ] et S N la somme partielle de Fourier de f. Alors la série de Fourier S N converge simplement vers f sur R i.e : / lim S N f x f x x R et si f C [, ] C 1 m [, ] alors en particulier lim S N f x = f x pour tout x. Le héorème de convergence simple de Dirichlet nous dit bien qu il y a en quelque sorte un problème de convergence de la série de Fourier. Celle-ci est en effet pour tout N une fonction C même aux points de discontinuité de f. La série de Fourier finit par choisir la moyenne de f. Mais la convergence s accompagne alors d un phénomène problématique connu sous le nom de phénomène de Gibbs. C est un effet de bord au voisinage des discontinuités du signal : la fonctions S N connaît alors une oscillation d amplitude non négligeable environ 15% de l amplitude du saut. Cette oscillation empêche la convergence uniforme de S N vers f. Une question naturelle est alors : l hypothèse de continuité suffit-elle à assurer une convergence uniforme? Le héorème suivant de convergence uniforme de Dirichlet répond à la question. 4

5 Figure 1: Le phénomène de Gibbs l entier N représente la longueur de la série de Fourier. 5

6 héorème 18 Convergence simple Soit f C 1 m [, ] C [, ] alors la série de Fourier S N converge uniformément vers f sur R sup S N f x f x x R On peut raffiner le résultat précédent et s affranchir de l hypothèse f Cm 1 [, ] mais il faut pour cela modifier S N f. Le théorème de Fejer assure la convergence uniforme des moyennes de Césaro des S N sous la seule hypothèse de continuité de f. En posant SN f x = 1 N N S n on aboutit alors à sup x R SN f x f x. Ce résultat n a pas à être retenu. 4 Implémentation numérique par la transformée de Fourier discrète En pratique la fonction f est échantillonnée, c est à dire que l on observe uniquement les valeurs f t 1 = f 1,...f t N = f N. On peut alors définir la FD. Définition 19 La FD du signal discret f 1,...f N est un vecteur complexe s 1,..., s N défini par s n = f j e iπjn/n. j=1 On a donc la relation matricielle suivante : s = Ωf où : ω ω... ω N 1 Ω = 1 ω ω 4... ω N ω N 1 ω N 1... ω N 1 Ce calcul matriciel peut-être effectué rapidement via un algorithme spécial appelé ransformée de Fourier rapide FF. La description de cet algorithme sort du cadre de ce cours. Le lien entre transformée de Fourier discrète et coefficients de Fourier peutêtre explicité. En effet l intégrale définissant c n par exemple peut être approximée par une méthode des rectangles. Ainsi en suuposant que t i = i/n pour simplifier les calculs il vient : c N N 1 j= N f j e iπjn/n = N s n Dans le package stats de R vous trouverez la fonction fft. Le package fftw est dédié à la transformée de Fourier discrète. Matlab est actuellement plus complet que R pour l analyse de Fourier. 6

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