Si k > 1, il s agit d un agrandissement à l échelle k. Si 0 < k < 1, il s agit d une réduction à l échelle k. Si k = 1, on parle de reproduction.
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- Francis Ledoux
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1 1 THALES : THEOREME, RECIPROQUE CONTRAPOSEE I- AGRANDISSEMENT REDUCTION Définition : On appelle agrandissement ou réduction d une figure, la figure obtenue en multipliant toutes les longueurs de la figure initiale par un nombre strictement positif k. Le nombre k est appelé rapport d agrandissement ou de réduction. Remarque : Le rapport d agrandissement ou de réduction est aussi appelé coefficient d agrandissement ou de réduction ou même facteur d agrandissement ou de réduction. Propriété : Si k > 1, il s agit d un agrandissement à l échelle k. Si 0 < k < 1, il s agit d une réduction à l échelle k. Si k = 1, on parle de reproduction. Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, la figure obtenue est une figure à l échelle k de la figure de départ. Ainsi les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs correspondantes de la figure de départ. Le coefficient de proportionnalité est k (les longueurs sont donc multipliées par k)
2 2 Propriété: Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. Remarque : F et F sont deux figures de l espace. Si F est un agrandissement ou une réduction de F alors k = # #$%&%'!! #$%&%' ##$%&"'()'*$!.
3 3 Exemple : On considère les deux triangles ABC et DEF. Agrandissement Réduction Triangle ABC est un agrandissement de rapport k = 5 de DEF. DEF est un réduction de rapport k =! de ABC.! Longueurs Par exemple : AC = 5 DE donc = 5 AB = 5 DF donc = 5 BC = 5 FE donc = 5 Par exemple : DE =!! EF =!! DF =!! AC donc =!! CB donc =!! AB donc =!! Angles Par exemple, ABC = DFE, BCA = FED et CAB = EDF.
4 4 Exercice : Enoncé: 1. Construire le triangle ABC tel que AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. 2. Construire le triangle MNP tel que MN = 4,5 cm, NP = 7,5 cm et PM = 6 cm. 3. Montrer que MNP est un agrandissement de ABC.
5 5 Solution : Montrons que MNP est un agrandissement de ABC : =!,! = 1,5! =!,! = 1,5! =!! = 1,5 MNP est donc un agrandissement de ABC de rapport 1,5.
6 6 Propriété: Soit un agrandissement ou une réduction de coefficient k > 0. Alors : Les aires sont multipliées par k!. Les volumes sont multipliés par k!. Exemple : 1. Si un triangle a une aire de 16 cm! alors l aire du triangle obtenu après une reduction au quart est égale à 16!!! = 1 cm!. 2. Si un cône de revolution a une aire de 4 m! alors le volume du cône de revolution obtenu après un agrandissement de rapport 2 est égal à 4 2! = 32 m!.
7 7 II- LE THEOREME DE THALES Théorème : Soit d et (d! ) deux droites sécantes en A. Soit B et M deux points de d distincts de A. Soit C et N deux points de d! distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors AB AM = AC AN = BC MN. Remarque : Cela signifie que les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des cotes du triangle ABC. Remarque : Le théorème de THALES permet de calculer des longueurs.
8 8 Exemple 1: On considère le triangle DCH ci- dessous. On sait que D, I et G sont alignés et D, J, H sont alignés. De plus, (IJ) // (GH). De plus, DG = 3 cm, DI = 1 cm, DJ = 2,7 cm et GH = 3,6 cm. Déterminons les longueurs DJ et IJ : On sait que D, I et G sont alignés et les points D, J et H sont alignés. De plus les (IJ) // (GH). D après le théorème de THALES, on a : = = et donc! =!,! =.!!,! En utilisant le produit en croix on trouve : DH = 3 2,7 = 8,1 cm et IJ =!,! 1,2 cm arrondi au dixième près!
9 9 Exemple 2: On considère la figure ci- dessous sur laquelle I AP et O PU. Les droites AU et (OI) sont parallèles. Déterminons la longueur PA : Les droites (OU) et (IA) sont sécantes en P. De plus les (OI) // (AU). D après le théorème de THALES, on a : = = et donc! =!,! =.! En utilisant le produit en croix on trouve : PA = 5 1,6 2 = 4 cm
10 10 III- CONTRAPOSEE DU THEOREME DE THALES Théorème : Conséquence du théorème de THALES Soit d et (d! ) deux droites sécantes en A. Soit B et M deux points de d distincts de A. Soit C et N deux points de d! distincts de A. Si AM AN alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. AB AC Remarque : Ce résultat qui est la contraposée du théorème de THALES permet de démontrer que des droites ne sont pas parallèles. Exemple 1: Activité 1 fiche de TD3.
11 11 Exemple 2: On considère la figure ci- dessous pour laquelle AB = 3 cm, AM = 9 cm, AN = 7 cm et AC = 2 cm. Les droites (BC) et (MN) sont sécantes en A. Démontrons que les droites (AB) et (NM) ne sont pas parallèles : Les droites (AN) et (AM) sont sécantes en A. Les points A, C et N sont alignés dans le même ordre que les points A, B et M. On a : =!! =!! =!! Puisque alors d après la contraposée du théorème de THALES, les droites (AB) et (NM) ne sont pas parallèles
12 12 IV- RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES Théorème : Conséquence du théorème de THALES Soit d et (d! ) deux droites sécantes en A. Les points, B et M sont alignés dans le même ordre que les points A, C et N. Si AM = AN alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. AB AC Remarque : Ce résultat qui est la réciproque du théorème de THALES permet de démontrer que des droites sont parallèles. Exemple 1: Activité 1 fiche de TD4.
13 13 Exemple 2: On considère la figure ci- dessous pour laquelle AN = AN = 2 cm, AM = 3 cm, AB = 9 cm et AC = ^ cm. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et N [AC]. Démontrons que les droites (BM) et (CM) sont parallèles : Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A. Les points N, A et C sont alignés dans le même ordre que les points M, A et B. On a : =!! =!! =!! =!! Puisque = alors d après la réciproque du théorème de THALES, les droites (BC) et (NM) ne sont pas parallèles
14 14 Remarque : Constater que les rapports sont égaux ne suffit pas, il faut aussi vérifier que les points sont dans le même ordre! Exemple 3: Dans la configuration de l exemple 3, on a =! =!! mais les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles! En effet, les points M, A et B ne sont pas alignés dans le même ordre que A, N et C
15 15 IV- BILAN Données : C, A et D sont alignés dans le même ordre que B, A et E. D APRES L ENONCE, QUE DOIS- JE FAIRE? DE QUOI AI- JE BESOIN? QUE DOIS- JE UTILISER? Calculer une longueur. Droites parallèles. Théorème de THALES. Montrer que des droites ne sont pas parallèles. Montrer que des droites sont parallèles. Au moins trois longueurs. 4 longueurs correspondantes. Contraposée du théorème de THALES. Ordre des points. Réciproque du théorème Rapport égaux. de THALES.
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