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1 Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan (P({ω}) > 0 pour ou ω Ω) e T N. On le muni d une filraion F elle que F 0 es la ribu riviale e F T = P(Ω). On considère un marché de change d échéance T N consiué d un unique acif risqué, relaif au aux de change enre les devises E(= euro) e D(=dollar). Ce aux de change es un processus (S ) {0,...,T } F-adapé sricemen posiif défini par E = S D. On noe (S 0,D ) e (S 0,E ) les acifs sans risque des devises D e E de valeurs respecives D e E en = 0. On suppose bien enendu que pour ou, S, S 0,D, S 0,E son > 0..a. Du poin de vue européen, quel es l acif négociable (i.e. risqué) noé S E? Quelle es la valeur au emps acualisée en 0 de ce acif? Même quesion du poin de vue des USA (où l acif risqué sera noé S D..b. On suppose que le marché de change es viable dans le pays de la devise D. Quelle es la raducion probabilise de cee propriéé? 2. Soi A une sous-ribu de P(Ω) e L : Ω + une v.a. elle que E P (L) =. On appelle Q la probabilié de densié L par rappor à P. Monrer que pour oue variable aléaoire X sur Ω, E Q [X/A] = E P[XL/A]. E P [L/A] 3.a. Soi P une probabilié équivalene à P sous laquelle S D es une maringale. Monrer que Q définie par dq es égalemen une probabilié équivalene à P. dp = S D T S D 0 3.b. En déduire que si le marché de change es viable aux USA, il l es égalemen en Europe. 3.c. La même conclusion es-elle valable pour la compléude? 3.d. On suppose les marchés comples. A quelle condiion sur (S ) les acifs risqués respecifs à ce marché de change dans chacun des deux pays seron-elles des maringales sous la même probabilié? 4. erouver le résula précéden en monran que si (M ) es F-adapé, sric. posiif e si (M ) e (/M ) son des maringales sous la même probabilié alors M = M 0 pour ou {0,..., T }. Soluion : Noons que comme Ω es fini, l inégrabilié ne sera jamais un problème : oue v.a. réelle es inégrable..a. Du poin de vue de chaque pays, l acif risqué es l argen placé dans l aure pays. Quand on es en Europe, un euro placé aux USA en 0 vau, au emps, S 0 S 0,D donc S 0 S 0,D /S euros, sa valeur acualisée es donc S E = S 0 S 0,D /(S S 0,E es aux USA, un dollar placé aux USA en 0 vau, au emps, (/S 0 )S 0,E (/S 0 )S 0,E S euros, sa valeur acualisée es donc S D = / S E. dollars ). Quand on euros, donc.b. Cela signifie qu il exise une mesure de probabilié sur Ω, donnan un poids non nul à ous les élémens, elle que ss cee mesure, S D es une maringale.

2 2. Soi X variable aléaoire sur Ω. Soi = E P [XL/A], S = E P [L/A]. Soi Z une v.a. A-mesurable. On a E Q (Z/S) = E P (LZ/S) = E P (SZ/S) = E P (Z) = E P (ZXL) = E Q (XZ), d où le résula. 3.a. Q (Ω) = E P ( S T D/ S 0 D ) = E P ( S T D)/ S 0 D = car sous P, S D es une maringale. De plus, comme dq > 0, Q es équivalene à P, dc à P. dp 3.b. C es une applicaion direce des deux quesions précédenes, avec un pei calcul. Supposons le marché de change es viable aux USA. Soi P une probabilié équivalene à P sous laquelle S D es une maringale. On sai que Q définie par dq = S D dp T S es égalemen 0 D une probabilié équivalene à P. Monrons que sous Q, SE es une maringale. Soi {0,..., T }. On a, par la quesion 2, E Q ( S E + F ) = E P ( S E + S D T / S D 0 F )/E P ( S D T / S D 0 F ), ce qui se simplifie, comme S D 0 es consane, en E P ( S E + S D T F )/E P ( S D T F ), puis, en condiionnan par rappor à F +, en E P ( S E + S D + F )/E P ( S D + F ) = E P ( F )/ S D = S E. 3.c. On a monré que pour oue mesure P sur Ω, si P es une mesure maringale pour le marché américain, alors Q := S T D S dp es une mesure maringale pour le marché 0 D européen. On peu démonrer facilemen la réciproque. Il en découle qu il exise une bijecion enre les mesures maringales pour les deux marchés, e que la compléude de l un es équivalene à la compléude de l aure. 3.d. Dans ce cas, par compléude, si P es une mesure maringale pour le marché américain, alors Q := S D T S D 0 dp, mesure maringale pour le marché européen, es égale à P. Donc S D T = S D 0, puis, par condiionnemen, SD es consane. la réciproque es immédiae. 4. Dans ce cas, on a = E( M T / M T ), E( M T 2 ) = E(M0 ) = M 0 (qui es consane) e E((/ M T ) 2 ) = E(/M 0 ) = /M 0, dc on a égalié ds l inégalié de Cauchy-Schwarz, donc il exise une consane a > 0 elle que M T = a/ M T, donc M T es consane égale à a, e par condiionnemen, il en va de même de M pour ou. 2. Caracérisaion du Mouvemen Brownien. Soi B un processus coninu issu de 0 (i.e. B 0 = 0) e F sa filraion naurelle. Monrer que B es un mouvemen Brownien si e seulemen si, pour ou λ, le processus complexe M λ défini par M λ := e iλb+ λ2 2 es une F-maringale. On rappelle que pour oue famille (X,..., X d, Y ) de v.a. réelles, Y indep de (X,..., X d ) ν d, µ, E(e i(<ν,x>+µy ) ) = E(e i<ν,x> )E(e iµy ). 2

3 Soluion : Si B es un mv Br, alors pour λ,, s 0, E(M λ +s F ) = E(M λ e iλ(b +s B )+ λ2 s 2 F ) = M λ E(e iλ(b +s B )+ λ2 s 2 ) = M λ. éciproquemen, supposons que pour ou λ, le processus complexe M λ défini par M λ := e iλb+ λ2 2 es une F-maringale. Alors pour ou 0 s,, pour ou λ, E(e iλ(b +s B ) ) = E(M λ +s/m λ )e λ2 s 2 = E(E(M λ +s F )/M λ )e λ2 s 2 = e λ2 s 2, donc B +s B a bien la loi N(0, s). Soi 0 s,. Monrons que B s+ B es indep. de σ(b r, 0 r ). Il suffi de monrer que pour ous d, 0 r <... < r d, B s+ B es indep. de (B r,..., B rd ). Soi d, 0 r <... < r d. Soi ν d, µ. On a E(e i( i ν ib ri +µ(b +s B )) ) = E(( i M ν i r i )M µ +s/m µ )e i ν2 i r i/2 µ 2 s/2. Comme i M ν i r i F, on obien es F -mesurable e E(M µ +s/m µ F ) =, en condiionnan par rappor à E(e i( i ν ib ri +µ(b +s B )) ) = E( i M ν i r i )e i ν2 i r i/2 µ 2 s/2, ce qui es égal à E(e i i ν ib ri)e(e µ(b +s B )) ). Ceci nous assure l indépendance de B +s B avec σ(b r, 0 r ). 3. Loi des grands nombres pour le mouvemen Brownien. On admera l inégalié de Doob pour les maringales coninues (qui peu facilemen se déduire de l inégalié vue en cours pour les inégrales discrèes) : si M es une maringale coninue, alors pour ou > 0, E( sup Ms 2 ) 4E(M 2 ). 0 s Soi B un mouvemen Brownien réel. On cherche à monrer que presque sûremen, B lim. En uilisan l inégalié de Doob e l inégalié de Markov, monrer, pour ou n 0 e ε > 0, ( ) B P max 2 n 2 n+ 2 > ε 8ε 2 2 n. n 2. En déduire que presque sûremen, il exise n 0 el que pour ou n n 0, l événemen { } B max ε 2 n 2 n+ = 0. 3

4 es réalisé, puis conclure que presque sûremen, B lim = On resrein l espace des possibles à l événemen de probabilié { } B lim = 0. En déduire que la foncion aléaoire nulle en zéro e de valeur B / en ou > 0 es bien un mouvemen Brownien. Soluion :. On a 2. On a B P ( max > ε) 2 n 2 n+ 2n = P ( max 2 n 2 n+ > ε 2 2 2n ) P ( max 0 2 n+ > ε 2 2 2n ) ( B P max 2 n 2 n+ ε 2 2 2n E(B2 2 n+) = 8ε 2 2 n. ) ( > ε P B max 2 n 2 n+ 2 > ε n donc par Borel-Canelli, presque sûremen, il exise n 0 el que pour ou n n 0, l événemen { } B max ε 2 n 2 n+ es réalisé. Ceci éan vrai pour ou ε > 0, on en dédui que presque sûremen, pour ou ε Q +, pour assez grand, B ε. 3. On sai que cee foncion es coninue. If suffi de monrer que sa covariance es la même que celle du mouvemen Brownien. 4. Loi du zéro-un de Blumenhal. I. appels. Soi (Ω, F, P ) un espace de probabiliés. On rappelle qu une sous-ribu de F es une parie de F conenan l ensemble vide e sable par passage au complémenaire e par union dénombrable, alors qu une sous-algèbre de F es une parie de F conenan l ensemble vide e sable par passage au complémenaire e par union finie. On rappelle que deux paries X, Y de F son dies indépendanes si pour ous A X, B Y, P (A B) = P (A)P (B). On rappelle aussi que si A, B son deux une sous-algèbres de F, alors A, B son indépendanes si e seulemen si les ribus qu elles engendren son indépendanes. a) Monrer qu une inersecion quelconque de sous-ribus es une sous-ribu. 4 )

5 b) Soi I un inervalle non vide de el que, ou ou I, G es une sous ribu de F elle que G G. Monrer que G := I G es une sous-algèbre de F. II. Loi du zéro-un de Blumenhal. Soi B un mouvemen Brownien e, pour ou 0, F = σ({b s ; 0 s }) e F = σ({b s ; 0 s}). On défini F 0 + := >0 F. a) Monrer que F 0 + es une sous-ribu de F e que pour ou ε > 0, b) Soi, pour ε > 0, Monrer que F 0 + = 0<<ε F. F ε := σ({b B ε ; ε }). A := ε>0 F ε es une sous-algèbre de F don la ribu engendrée es F. c) En déduire que F 0 + es indépendane de F, puis que pour ou A F 0 +, P (A) {0, }. Soluion : I. a) Bien connu. b) Chaque G conien, es sable par passage au complémenaire. Donc G aussi. De plus, pour ou A,..., A n G, il exise,..., n I el que pour ou i, A i G i. Comme pour = min i i, G es sable par union finie, on a bien A A n G. II. a) Clair par I. a) e la croissance de F. b) A es une sous-ribu de F par I. b). Soi X sa ribu engendrée. On a X F car A F. De plus, pour ou > 0, B = lim ε 0 B B ε es mesurable par rappor à X. B 0 = 0 donc es mesurable par rappor à X, donc F X. c) Pour ou ε > 0, F 0 + = 0<<ε F donc es indépendane de F ε par indépendance des accroissemens de B. On en dédui que F 0 + es indépendane de F, puis que pour ou A F 0 +, P (A) {0, } (en effe, A es indépendan de lui même, donc P (A) = P (A A) = P (A) 2 ). 5. Non dérivabilié du mouvemen brownien. Soi B un mouvemen Brownien. Monrer que p.s., B B = + e lim inf =

6 En déduire que pour ou s 0, la foncion B n es p.s. pas dérivable à droie en s. Indicaion : On pourra considérer les événemens A k = {B εk / ε k > M} pour M > 0 e une suie (ε k ) k 0 décroissan vers 0. emarque : on peu monrer que p.s., la foncion B n es dérivable en aucun poin. Soluion : On pose A k = {B εk / ε k > M}. Pour ou k, on a, par la propriéé du scaling du mouvemen brownien, P(A k ) = P(B > M) > 0. De plus, P( A k ) = lim P( A k ) P(A k ) = P(B > M). n k k n On en dédui par la loi du 0- que P( A k ) =. Cela implique que, p.s., Puis, p.s., pour ou M IN, ce qui implique puis k k k 0 B εk εk > M. B εk εk > M B εk εk = B =. En appliquan ce résula au mouvemen brownien ( B, 0), on obien la limie inférieure. On en dédui en pariculier que 0 B = + e lim inf 0 B =. En uilisan la propriéé de Markov simple en s 0 (i.e. le fai que (B s+ B s ) 0 ) es un mv Brownien), on obien 0 B s+ B s = + e lim inf 0 B s+ B s = ce qui signifie que B n es p.s. pas dérivable en s. 6. Loi de l arcsinus. Soi B un mouvemen Brownien. On défini d = inf{ : B = 0} e g = sup{ : B = 0}.. En calculan P(d ) pour >, rouver la densié de la loi de d (on rappelle que pour ou, la loi de S := sup s [0,] B s es la loi de B ). 2. On admera que le processus (X, 0) défini par X 0 = 0 e X = B / pour > 0 es un mouvemen brownien réel sandard paran de 0. Monrer que g = (d ) en loi. En déduire la densié de la loi de g (la loi de g s appelle la loi de l arcsinus). 6

7 Soluion :. Pour ou >, on a, P(d ) = P( s [, ] : B s = 0) = P( s [0, ] : B +s B = B ) = P( s [0, ] : B s = x)dµ(x), où µ es la loi de B. Noons I = inf s [0, ] B s e S = sup s [0, ] B s. Pour x 0, on a P( s [0, ] : B s = x) = P(I x) = P(S x), e pour ou x 0, Ainsi, pour ou x, P( s [0, ] : B s = x) = P(S x). P( s [0, ] : B s = x) = P(S x ). On en dédui que P(d ) = = = = P(S x )dµ(x) P( B x )dµ(x) P( B x)dµ(x) ) P ( + x2 dµ(x) B 2 = P ( + (N/N ) 2 ), où N e N son deux gaussiennes cenrées réduies indépendanes. Cela monre que d a la loi de + (N/N ) 2. Cee loi a pour densié par rappor à la mesure de Lebesgue 2. On a, p.s., πx x {x>}. g = sup{ : B = 0} = sup{/ : B / = 0} = ( inf{ : B / = 0} ) = ( inf{ : B / = 0} ) Cela implique que g a la même loi que (d ). La loi de g a donc pour densié par rappor à la mesure de Lebesgue π x( x) {0<x<}. 7

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