AP23 - FORMULES de topographie - JLV octobre 2013 mise à jour avril 2016

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1 AP23 - FORMULES de topographie - JLV octobre 2013 mise à jour avril 2016 Plutôt que de les connaître par cœur, pour la plupart, il faudrait savoir les retrouver. Comprendre une formule est essentiel. Les principales formules sont récapitulées au début. Elles sont reprises dans la suite avec des explications. Tout ce qui est lisible sur plan après mesure du terrain peut se calculer (angle, distance). v = FSH + FSB - 2*FN FSH, FN et FSB étant en mm la tolérance va de -3 à +3 dh (en m) = (FSH - FSB) / 10 FSH et FSB étant en mm h = FNAR - FNAV = altav - altar >0 ou <0 altav = altar + h p (%) = h / dh = TANG [ angle de pente ] >0 ou <0 d12^2 = d1^2 + d2^2-2 * d1 *d2 * COS [ a ] a = gisementmax - gisementmin = azimutmax - azimutmin d12^2 = x^2 + y^2, avec x = x1 - x2 et y = y1 - y2 dans un repère quelconque : xv = xs + distance * SIN [ gisement ] yv = ys + distance * COS [ gisement ] dans un repère géographique xv = xs + distance * SIN [ gisement +azimut.0 ] yv = ys + distance * COS [ gisement + azimut.0 ] angle lu + azimut.0 = azimut de la visée lue azimut 1 -> 2 = azimut 2 -> 1 ± 200 (visées opposées, en grades) écarts : ex = xi - xf (i = initial ; f = final ; idem pour ey et ealt) x.corr = x - ex * dcum / dtot (idem avec y, et avec alt) S = racine carrée { p * (p-a) * (p-b) * (p-c) } p = (a + b + c) / 2 S = a * b /2 * SIN [ C ] = d1 * d2 /2 * SIN [ a ] S = x * my = si C = ACOS [ (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) ] résultat dans l unité de l outil (la calculatrice) a / SIN [ A ] = b / SIN [ B ] = c / SIN [ C ]

2 Calcul à faire sur le TERRAIN 1. la vérification stadimétrique quand les mesures sont faites sur une mire graduée : (indispensable avant de terminer une mesure, à chaque visée pour en vérifier la validité) : v = FSH + FSB - 2*FN (-3 v 3 mm) - pour la retrouver, se souvenir que FN est le fil du MILIEU, entre FSH et FSB - autrement écrit : FSH - FN = FN - FSB ±3 (en mm) Au bureau : calculs PRÉLIMINAIRES à partir des lectures stadimétriques : 2. le calcul des DISTANCES horizontales pour les visées : 2.1. dh = (FSH - FSB) * est la constante stadimétrique, caractéristique de la lunette ; - la distance est horizontale car la visée est horizontale, sur mire verticale ; - cela correspond au fait qu à 100 mètres de la mire graduée, on voit 1 mètre de mire entre les fils haut et bas ; - FSH - FSB est la longueur de mire vue entre les fils haut et bas ; - le résultat est dans la même unité que FSH et FSB (le mm) ; - pour trouver la distance en m, il faut diviser par 1000 le résultat en mm, ce qui fait que la formule devient : 2.2. dh (en m) = (FSH - FSB) / 10 FSH et FSB étant en mm - les lectures en mm étant des nombres entiers, la division par 10 fait que la précision sur la distance est obtenue avec 1 chiffre après la virgule (décimètre) Avec un théodolite dont la visée est oblique, la formule ci-dessus surestime la distance horizontale. Il faut la corriger en fonction de l inclinaison de la lunette (angle de pente) ou de sa position par rapport au zénith (angle zénithal = Z). dh = (FSH - FSB)/10 x sin(z)^2

3 Calculs entre 2 points visés depuis une même station 3. L écart angulaire entre 2 directions a Si 2 visées partent d une même station, l écart angulaire entre les visées est la différence de leurs gisements ( a = la différence des angles lus) Le gisement est un angle, lu dans le sens des aiguilles d une montre à partir d une direction de référence (ex : 0 de la station). L azimut est un gisement dont la direction de référence est le Nord. Le plus simple est de soustraire le plus petit au plus grand a = gisementmax - gisementmin = azimutmax - azimutmin L écart angulaire de 2 directions ne dépend pas de la direction de référence. Le résultat peut être l angle intérieur (< 200 gr) ou l angle extérieur (> 200 gr) il est souvent préférable de calculer l angle intérieur, mais pour situer correctement une direction par rapport à l autre il est essentiel de tenir compte du fait que les angles, en topographie, sont mesurés dans le sens des aiguilles d une montre angle int = angle ext 3.3. Les écarts angulaires peuvent se cumuler, en les additionnant, tout en respectant le sens des aiguilles d une montre. angle lu + azimut.0 = azimut de la visée lue. Changement de repère (cf 7.). 4. La distance entre 2 points visés (d12 en les points 1 et 2) par rayonnement La connaissance de l écart angulaire entre les 2 visées : a (cf 3.), et de la longueur de chacune des 2 visées, d1 et d2, permet de tracer le triangle formé par le point de station et les 2 points visés. La formule d Al Kashi permet de calculer la distance 4.1. d12^2 = d1^2 + d2^2-2 * d1 *d2 * COS ( a ) ^ est l opérateur puissance (du tableur) - ^2 signifie que la distance est au carré. On peut voir cette formule comme une formule de pythagore améliorée. Toutes les distances doivent être dans la même unité (a priori en m). Il faut faire la racine carrée pour trouver le résultat pour la distance Les 2 distances et l écart angulaire permettent aussi de calculer des coordonnées rectangulaires (x,y) (cf 7.1 et 7.2). à partir de là, on peut appliquer un autre mode de calcul de la distance entre 2 points : d12^2 = x^2 + y^2, avec x = x1 - x2 et y = y1 - y2 C est la formule de pythagore, qui est applicable car x et y sont 2 côtés d un triangle rectangle.

4 5. le calcul de DÉNIVELÉ, entre 2 points visés (le 1er (AR=arrière) sert de référence) (impossible à faire s il n y a qu une seule visée faite depuis le point de station) - h = FNAR - FNAV - important : les 2 points visés sont visés depuis une même station - la lunette de la station fait toutes ses visées dans un même plan horizontal - quand la lunette vise le haut d une mire (FN élevé), c est que le point est bas - quand la lunette vise le bas d une mire (FN faible), c est que le point est haut - h < 0 si ça descend du 1er point (AR) au 2ème (AV). h > 0 si ça monte. 6. Pente et angle de pente - vue de profil. La pente est le rapport entre le dénivelé h et la distance dh horizontale, Ce rapport, comme le dénivelé est positif ou négatif p (%) = h / dh - 0,01 = 1% ; 0,001 = 0,1% ; 1 = 100% - 100% de pente correspond à un angle de pente de 50 gr (45 ). - la pente est la tangente de l angle de pente, 6.2. La distance oblique est la distance mesurée selon la pente, c est-à-dire au sol. Cette distance est plus grande que la distance horizontale. Elle a une inclinaison. h et dh sont respectivement les côtés opposé et adjacent à l angle de pente. L hypoténuse est la distance oblique du triangle rectangle qui correspond à une vue de profil.

5 7. Le calcul des COORDONNÉES rectangulaires d un pt visé depuis un pt de station : il faut : - un point de référence - le plus simple est de prendre le point de station - une direction de référence - le plus simple est de prendre celle de la 1ère visée (mise à 0) - soient xv et yv les coordonnées du point visé et xs,ys celles du point de station : xv = xs + distance * SIN (gisement) yv = ys + distance * COS (gisement) - la distance est la longueur (horizontale) de la visée - le gisement est l angle, lu dans le sens des aiguilles d une montre à partir de la direction de référence - pour faire le calcul, l unité du gisement et celle de la calculatrice doivent correspondre (grade, degré ou radian) - pour convertir un angle du grade au degré, il faut le multiplier par 0,9 - pour convertir sur le tableur (ordinateur) du grade au radian : /200 * pi() Quand on connaît l azimut.0 de la première visée, pour calculer des coordonnées géographiques, on l ajoute à l angle lu (changement de repère et passage à un repère géographique, ou un autre repère, commun à plusieurs stations) : - angle lu + azimut.0 donne l azimut de la visée (cf 3.3.), et : xv = xs + distance * SIN (angle lu +azimut.0) yv = ys + distance * COS (angle lu + azimut.0) - gisement + azimut.0 donne l azimut de la visée - le calcul est correct même si gisement + azimut0 dépasse 400 gr... - mais pour indiquer l azimut de la visée enlever ces 400 gr est préférable. distance * SIN (angle) correspond à la VARIATION d abscisse ( x = xv - xs) et distance * COS (angle) correspond à la VARIATION d ordonnée ( y = yv - ys) que l angle soit un gisement ou qu il soit un azimut. selon la direction de référence choisie, soit généralement le Nord ou la mise à 0 d angle horizontal d une station.

6 7. L enchaînement de mesures entre 2 stations consécutives Pour associer dans le plan les relevés de 2 stations dans un même plan, il faut : - soit 2 points communs - soit 1 point commun et une direction commune (ce qui assure un repère commun) Le plus simple est de terminer les relevés de la 1ère station par une visée AV vers la suivante, ce qui permet de situer la nouvelle station (point commun) ; puis une visée AR de la nouvelle station vers la précédente (direction commune), (mise à 0 du limbe au moment de la visée AR) ce qui permettra d orienter les visées de la nouvelle station. L azimut de deux visées OPPOSÉES est égal à 200 gr près : azimut (Sn+1 -> Sn) = azimut (Sn -> Sn+1) ± 200 (on trouve ainsi l azimut de la visée AR de la nouvelle station car cette visée est la première et sert de référence : mise à 0) Sn est une station qui fait une visée AV vers la suivante, Sn+1 Sn+1 est une station qui fait une visée AR vers la précédente, Sn les relevés de la station Sn et ceux de la station Sn+1 peuvent ainsi être orientées dans un même repère, l azimut de la visée arrière étant l azimut.0 (cf 3.). 8. L écart de fermeture et sa correction Cette notion sous-entend un enchaînement de mesure, c est-à-dire un cheminement Définition de l écart de fermeture C est l écart entre le point d arrivée et la position qu il devrait avoir. Il peut être défini, - soit par un dénivelé (écart altimétrique - eh) - soit par une distance (écart planimétrique - ed) - soit, plus précisément par une distance (ed) et une direction (azimut ou gisement) soit, dans un repère donné, par deux écarts, l un en abscisse et l autre en ordonnée (ex et ey). Cet écart doit être nul quand le cheminement est un cheminement fermé. e = valeur finale - valeur normale (soit la valeur initiale pour un cheminement fermé) 8.2. Distances cumulées et distances partielles La distance cumulée est celle parcourue depuis le début du cheminement. Elle commence à 0, et augmente de point en point jusqu à atteindre la longueur totale du cheminement. D un point au suivant on parle de distance partielle Correction : x.corr = x - ex * dcum / dtot (idem avec y, ou avec alt) On enlève l écart à la valeur calculée initialement pour chaque point intermédiaire : valeur corrigée = valeur calculée - écart * distance cumulée / longueur totale

7 9. Calculs de surface Pour un triangle, 8.1. et 8.2. ci-dessous : 9.1. a et b sont les 2 côtés adjacents à l angle C. S = a * b /2 * SIN (C) = d1 * d2 /2 * SIN( a) L angle C est opposé au 3ème côté, c, dont on peut calculer la longueur (cf 5.). La formule est applicable pour une station qui vise 2 points (1 et 2) : les lectures stadimétriques permettent de trouver les 2 distances (d1 et d2), les lectures angulaires permettent de trouver l écart angulaire, a (cf 4.) Formule de Héron soit p le 1/2 périmètre : p = (a + b + c) / 2 S = racine carrée [ p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ] exemple : a = 3, b = 4, c = 5 (triangle rectangle) ; p=(3+4+5)/2 = 6 p-a = 3 ; p-b = 2 ; p-c = 1 S = racine carrée ( 6 * 3 * 2 * 1 ) = racine carrée (36) = 6 m Pour un polygone à n côtés dont on connaît les coordonnées x,y des sommets. Pour chaque côté, i de 1 à n, calculer x * my = si ( x = x2 - x1 = variation d abscisse, my = (y1 + y2) /2 = moyenne des ordonnées). Garder toujours le signe (+/-). Autrement exprimé : si = (xi - xi-1 ) * (yi + yi-1 )/2 ces résultats pourront être négatifs La valeur absolue de la somme des n si, en conservant leur signe, donnera la surface, soit : S = x * my = si 9.4. Pour une figure non géométrique, La surface sera approchée avec un niveau de précision qui sera variable et qui dépendra du nombre de point de mesure sur le terrain et de leur précision. (cf 12.)

8 10. Autres formules dans le triangle : soient a, b, et c, les 3 côtés (cf 8), A l angle opposé au côté a, B l angle opposé au côté b, C l angle opposé au côté c Formule des sinus : a / SIN(A) = b / SIN(B) = c / SIN(C) Formule d Al Kashi pour trouver les angles quand on connaît les côtés. C = acos [ (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) ] résultat dans l unité de la calculatrice 11. Calculs d altitude : il faut un point d altitude connue (référence ; visée arrière) altav = altar + h (cf 5.) altav = altar + FNAR - FNAV Attention aux unités (tout en m ou en mm) le résultat d un calcul d altitude doit être donné en m, avec 2 chiffres après la virgule. 12. Autres méthodes de calcul de surfaces à partir de mesures sur plan, un préalable consiste à toujours commencer par convertir les mesures faites en cm en distances-terrain (en m), selon l échelle trouver un rectangle dont la surface s approche de l aire à mesurer vérifier sur les marges et ajuster L et l pour que ce qu on compte en trop compense ce qu on ne compte pas. S = L * l décomposer un polygone à n côtés en (n-2) triangles et faire base * hauteur /2 S = b * h / 2 (cf 8., pour un angle de 100 gr - sin(100) = 1) utiliser une grille de points (ou un quadrillage, ce qui est moins pratique) S = nb de points * s s = surface occupée par 1 point (ou 1 carreau), qui dépend de l échelle et de l espacement des points (généralement 5mm pour des raisons pratiques et d efficacité) 13. Calculs de volumes V = S * h S : surface plane h : hauteur moyenne, en déblai ou en remblai V = s * L s : section de déblai ou de remblai sur un profil L : longueur applicable d une section sur un linéaire (ex : tranchée)

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