Physique - électricité : TC1

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1 Ministèr d l Ensignmnt Supériur, d la chrch Scintifiqu t d la Tchnologi Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs oncptur du cours: Jilani Lamloumi t Monjia Bn Braik Attntion! produit pédagogiqu numérisé st la propriété xclusiv d l'uvt. Il st strictmnt intrdit d la rproduir à ds fins commrcials. Sul l téléchargmnt ou imprssion pour un usag prsonnl ( copi par utilisatur) st prmis.

2 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs I. DEFINITIONS I.. Définition d un condnsatur On appll condnsatur, un systèm d dux conducturs n influnc total : l un ds conducturs st crux t ntour complètmnt l autr. s dux i conducturs sont applés armaturs du condnsatur (Fig.). L spac séparant ls dux armaturs put Diéléctriqu êtr vid ou rmpli d un isolant applé diélctriqu. D après ls propriétés d l influnc total, ls chargs n rgard sur ls Armatur intrn Armatur xtrn dux armaturs sont égals mais d signs opposés( i = - ). Fig. I.. Notion d capacité Si on désign par (V -V ), la différnc d potntil ntr ls armaturs du condnsatur t par la charg porté par l'un ds armaturs. La capacité d'un condnsatur st défini par : V V oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

3 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs cofficint, applé capacité du condnsatur, st un cofficint toujours positif t s xprim n Farad (F). cofficint d capacité dépnd d la géométri du systèm t du matériau qui rmplit évntullmnt l spac ntr ls armaturs. L sign ds chargs portés par ls dux armaturs dépnd du sign d la différnc d potntil qui lur st appliqué. II. EXEMPLES DE ALUL DE APAITES Pour détrminr la capacité d un condnsatur, il faut calculr l rapport V V On s donn n général t on calcul la d.d.p (V -V ), pour cla on utilis souvnt l théorèm d Gauss pour calculr E, on n déduit nsuit la d.d.p (V -V ) par la circulation du champ élctriqu l long d un lign d forc qui va d l armatur () à l armatur () puis on n déduit.. On put étudir aussi un capacité élémntair d t intégrr par la suit pour avoir sphériqu. A titr d xmpl, on va calculr ls capacités ds condnsaturs plan, cylindriqu t I.. apacité d'un condnsatur plan onsidérons dux portions d plans parallèls distants d t d surfac S, n rgard l un d l autr. systèm constitu un condnsatur plan ( Fig. ) E Fig. Si nous négligons ls ffts d bord, nous pouvons supposr qu la charg st uniformémnt réparti sur chaqu armatur avc la dnsité suprficill. S 3 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

4 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs L champ élctrostatiqu st alors uniform ntr ls armaturs t donné par l théorèm d oulomb : E n n S La rlation local E grad V, nous prmt d écrir dv E.d E d. La circulation du champ élctrostatiqu st : V V S D où l xprssion d la capacité : S Dans la pratiqu, on intrpos souvnt un diélctriqu ntr ls armaturs; dans l cas fréqunt d un diélctriqu linéair homogèn t isotrop, la capacité du condnsatur st : S S r = r : prmittivité absolu du diélctriqu, avc: r : prmittivité rlativ du diélctriqu t : prmittivité du vid. On rprésnt ls condnsaturs par l symbol suivant ( Fig.3 ) : Fig.3 as d'un ondnsatur formé par dux plaqus plans légèrmnt inclinés l un par rapport à l autr. 4 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

5 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs a b () (x) () (x) dx b x dx x dx Fig.4a x a Fig.4b Pour l élémnt d condnsatur situé à la distanc x, on put appliqur l'xprssion obtnu S pour un condnsatur plan : L xprssion d la capacité élémntair st : d dx b (x) Avc : (x) () x tg ; (x) () tg x qui donn : d a b dx x tg On pos u x tg du tg dx ( tg t car t ). D'où : Soit: Si a tg Log b a tg du ; avc : u tg u b a tg Log tg a tg t b tg a S tg a tg On rtrouv la formul du condnsatur plan. 5 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

6 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs II.. apacité d un condnsatur sphériqu On considèr un condnsatur formé par dux sphèrs concntriqus mincs d rayons t avc <. O ( Fig.5 ). Soit la charg d l armatur intrn r L xprssion du champ élctrostatiqu qui st radial à un distanc r ( < r < ) du cntr st détrminé à partir du théorèm d Gauss. - Fig.5 E.dS i c qui donn : E 4 u r² r ( V - V ) >. alculons ( V - V ) n faisant circulr E l long d un rayon, d un armatur à l autr: 6 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

7 Univrsité Virtull d Tunis V V Edr 4 Soit 4 D où l'xprssion d la capacité : V V dr r² 4 Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs 4 marqu Si = + ( <<, ) 4 avc t 4 S On obtint : S II. 3. apacité d un condnsatur cylindriqu ds 7 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI S b r ds

8 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs On considèr dux cylindrs «infinis» coaxiaux, d rayon t avc <, on vut calculr la capacité d un tranch d longuur h d c systèm; on désign par la charg porté par l armatur intrn sur la longuur h. L calcul d E (qui st radial) à un distanc r ( < r < ) d l ax, s fait par application immédiat du théorèm d Gauss à un cylindr d rayon r frmé à ss dux xtrémités ( Fig.6 ). ( SL Sb Sb ) E.dS S E.dS S E.dS S E.dS b b L car E ds E// ds E.dS ES L avc S L rh qui donn : E u r h r La rlation E grad V(M) prmt d détrminr ( V - V ) avc ( V - V ) >. V V dr h r Log h V V h Log marqu Si = +. 8 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

9 Univrsité Virtull d Tunis comm h Log t Log h Log Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs L'xprssion d dvint : S III. GOUPEMENT DES ONDENSATEUS III.. ondnsaturs n séri L nsmbl ds condnsaturs n séri d la Fig.7a rprésnt un nsmbl d conducturs n influnc total, initialmnt nutrs. On appliqu un différnc d potntil V A -V B. A F D 3 B A B Fig.7a Fig.7b S il apparaît la charg sur l armatur intrn du condnsatur, à caus d l influnc total il apparaît la charg - sur l armatur xtrn. A caus d la consrvation d la charg il apparaîtra un charg + sur l armatur intrn d t donc - sur son armatur xtrn, tc... on écrira alors: V A V F ; V F V D ; V D V B 3 L condnsatur équivalnt au systèm ayant un capacité ( Fig.7b ), maintnu sous la d.d.p. V A -V B, a mêm charg : 9 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

10 Univrsité Virtull d Tunis VA VB 3 Soit 3 Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs Pour n condnsaturs n séri : n i i III.. ondnsaturs n parallèl L nsmbl ds trois condnsaturs d capacité, t 3 ( Fig.8a ) st alimnté sous la mêm d.d.p. ( V A -V B ). La charg total n A st la mêm qu n B t s compos ds chargs partills, t A - - B A B Fig.8a Fig.8b En rmplaçant c systèm par un condnsatur uniqu d capacité ( Fig.8b ), d charg t maintnu au potntil V A -V B, on obtint: V A V B 3 3 La charg total : V V V. 3 A B 3 A VB qui donn : 3 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

11 Univrsité Virtull d Tunis Pour n condnsaturs n parallèl : Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs n i i marqus. Influnc du diélctriqu : Prmittivité rlativ r - Expérinc d Faraday. Faraday a chargé un condnsatur plan à air sous un tnsion U t a msuré la charg qu il a mmagasiné. Soit = U ctt charg. Il a rmplacé nsuit l air par un diélctriqu d prmittivité diélctriqu absolu. En chargant l condnsatur sous un d.d.p. U, il a constaté qu la nouvll charg = U st supériur à t qu l rapport st constant pour un diélctriqu donné t indépndant d la d.d.p. D autr part pour un condnsatur isolé t chargé, la d.d.p. diminu quand on insèr un diélctriqu ntr ls armaturs du condnsatur. Dans ls dux cas la capacité a augmnté. Par définition : r : Prmittivité rlativ du diélctriqu. igidité diélctriqu En augmntant la tnsion aux borns d un condnsatur, sa charg augmnt ( = U). Mais il xist un limit U d dit d.d.p. xplosiv (Tnsion d ruptur) pour laqull un étincll jaillit ntr ls armaturs du condnsatur. Il y a décharg du condnsatur à travrs l diélctriqu. U d dépnd d la natur t d l épaissur du diélctriqu. On définit alors la rigidité diélctriqu E d : c st la différnc d potntil xplosiv pour un épaissur d cm, donné n kv/cm. E d n dépnd qu d la natur du diélctriqu t constitu la limit supériur du champ élctrostatiqu à partir d laqull il y a claquag du condnsatur. oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI

12 Univrsité Virtull d Tunis Physiqu - élctricité : T Ls condnsaturs st un constant du diélctriqu. L tablau suivant donn qulqus caractéristiqus d crtains diélctriqus Diélctriqu onstant diélctriqu rlativ r igidité diélctriqu n kilovolts / cm Air. 6 3 Papir sc.5 5 Ebonit 3 5 Alumin 4.5 à Mica 6 à 9 35 uartz 3.5 à 4. 5 Vrr 5 à 6 éramiqu (Titanat d baryum). 3 à 4 4 Téflon 8 oncptur du cours: M. BEN BAÏEK & J. LAMLOUMI