Cinématique. Description «mathématique» du mouvement des corps (ici de points matériels) sans en évoquer les causes.

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1 Cinématique Description «mathématique» du mouvement des corps (ici de points matériels) sans en évoquer les causes. Cette discipline de la mécanique fait appel à la géométrie analytique et au calcul infinitésimal. Introduite en 1700 par Pierre Varignon [ ]

2 Un point matériel - de masse m - sans dimension appréciable, dans un espace «absolu», euclidien, à trois dimensions homogène et isotrope : notre Univers «vide» et «infini», évolue selon un temps t «absolu» qui s'écoule en tout point de la même manière, en décrivant une trajectoire et une accélération, t m V t avec une vitesse,

3 Référentiels, repères, vecteurs De nombreuses grandeurs mécaniques sont modélisées par des vecteurs référentiel : une partie de l'espace, le laboratoire u U U x U y U z U = U u 3 coordonnées pour les 3 dimensions spatiales repère fixe /réf. Un module : U une direction et un sens : u où u est un vecteur unitaire u =u=1

4 vecteurs variables, différentielles et dérivées différentielle == accroissement infinitésimal d'une grandeur lié à l'évolution infinitésimale de variables U t=u t d U laps de temps infinitésimal mais d U =U t U t non nul est la différentielle de U t t,ut = 1 U t U t d U U t d ut d U t ut d U = d U t ut = d U t ut U t d ut d ut 2 = d 1 = 0 = d ut t = ut d ut d t ut 2 ut d t = 0 d t est orthogonale à ut (vecteur unitaire) d U est la dérivée par rapport au temps (derivative)

5 différentielle d'un vecteur unitaire dans un plan d v t vt vt rotation d'un vecteur sur un cercle de rayon unité ut d ut d v t = d t d ut d t où t = d d v t = d vt = d [] = rad s 1 = tut v t = t v t est la vitesse angulaire ou de rotation (angular velocity)

6 différentielle d'un vecteur unitaire dans l'espace C'est une rotation d'un vecteur unitaire Soit t le vecteur rotation porté par l'axe de la rotation, dont le module est la vitesse angulaire et dont le sens représente le sens de rotation (règle du tire-bouchon) ut t d d ut ut Rappel : C = A B C = sin A B d ut = sin u t d =sin d d ut d t = t t = sin d = sin C orthogonal à A et B, sens défini par règle du tire-bouchon

7 Position, vitesse, accélération t OM t M V t V t = d OM t t = d V t = d 2 OM t 2 d OM t = V t O d V t = t [V ] = m s 1 [] = m s 2

8 Coordonnées cartésiennes M OM t =x t i y t j z t k Les vecteurs de base ne varient pas! d i = d j = d k = 0 d OM t =dx t i dyt j dz t k z y dx t dy t dz t V t = i j k = V x t i V y t j V z t k k i j O fixe/référentiel x t = dv xt i dv yt j dv z t = x t i y t j z t k = d 2 x t 2 i d 2 yt 2 j d 2 zt 2 k k

9 Coordonnées cylindriques Utilisées si rotation autour d'un axe ici (o,z) x z o k M M' oxyz fixe / référentiel OM t =t z t k tourne autour de (o,z) avec le vecteur de rotation : y d d t = t k = d t = t = d t = d t k distance à l'axe [ 0, [ azimut [0, 2] z hauteur ], [ k = d t

10 Coordonnées cylindriques suite... V t = d OM = d t z o = d t z t k t t d z t k M M' oxyz fixe / référentiel = d t t d d z t k k = V V V z k vitesse orthoradiale vitesse radiale t = d 2 t 2 t d t t = d 2 t 2 t d t d t d t t d d t d t d 2 z t 2 t d t t t t t d 2 z t 2 k t k

11 Coordonnées cylindriques suite... t = [ d 2 t t t 2 ] u 2 [2 d t t t d t ] u d 2 z t k 2 accélération centripète accélération de Coriolis Coordonnées polaires Mouvement plan z = cte dz = d 2 z 2 = 0 Si de plus =cte= 0 et =cte= 0 mvt circulaire uniforme V t = 0 0 t = 0 0 2

12 Coordonnées sphériques Corps en rotation autour d'un point x k o z M r M' oxyz fixe / référentiel u r y r rayon, distance à l'origine [ 0, [ angle polaire [0, ] angle azimutal OM t = r t u r à u r et k [0,2] à u r et

13 θ Coordonnées sphériques est modifié par une rotation autour de Φ est modifié par une rotation autour de Le vecteur rotation total est donné par : d u r d d t = d t = t u r = d t = d t u d t = t = d t = t = d t d t k d t sin t u r d t k = d t k k u r = d t cost x k o z d t cos t d t k =cos u r sin r u r M' oxyz fixe / référentiel k u r sin u r M y

14 V t = d r t 2 d r t = d r t = d r t = d r t Coordonnées sphériques u r r t t u r u r r t t r t sint t x t = d t t = d t t = d 2 r t r t t 2 r t sin 2 t t 2 u 2 r 2 d r t u r r t [ d t u r r t d t t r t d t d t k ] u r r t sint d t r t sint cost t 2 sint t 2r t cost t tr tsin t d t k o z r u r M' oxyz fixe / référentiel M y

15 Coordonnées curvilignes : repère de Frénet st B d T ds R t N st 0 À un instant t, la trajectoire (qui n'est pas plane) est contenue dans un plan, ici celui de la feuille. Un cercle tangente la trajectoire. T d T unitaire et tangent à la trajectoire dirigé dans le sens du mouvement, donc dans le plan de la feuille = d abscisse curviligne le long de la trajectoire N unitaire et normal à T dirigé vers le centre du cercle tangent N B = T N vecteur unitaire binormal d st = Rt d t

16 Coordonnées curvilignes : repère de Frénet B d T ds N R t st 0 d T = d N = d s R t N d T ds = V = ds T t = d V t V t = ds st = V t t 0 N Rt T V d T = dv V = ds T = V T = dv T V 2 Rt N T V d T ds vrai dans tous les systèmes de coordonnées ds

17 Trajectoires O u st équation paramétrique en fonction de t droite, mouvement rectiligne avec x t = u x st x 0 yt = u y st y 0 z t = u z st z 0 u 2 x u 2 y u 2 z = 1 st fonction arbitraire de t mvt uniforme si st = a t mouvement circulaire de rayon r x t = r cos st r 0 x 0 yt = r sin st r 0 y 0 z t = z 0 st fonction arbitraire de t mvt uniforme si st = r t

18 Trajectoires mouvement hélicoïdal de rayon r o et de pas p r t = r 0 st t = 2 2r 0 2 p 2 0 st z t = p 2r 0 2 p 2z 0 st fonction arbitraire de t p 2r 0

19 repère A absolu O Mouvement absolu et Mouvement relatif décrits dans des repères absolu et relatif. repère R R / O' V M / A relatif M O' OM =OO ' O ' M V M / A = d OO ' d O ' M M / A = d V M / A V O ' / A = O ' / A d V M /R = V O ' / A V M / R R / O ' O ' M À un instant t, R peut avoir un mouvement de translation par rapport à A et tourner sur lui-même, c-à-d autour de O' d R/O' O ' M R /O ' d O ' M = O ' / A M /R R/O' V M / R d R/O' O ' M R/O' V M / R R /O ' R/O' O' M = O ' / A M /R d R/O' O ' M 2 R/O' V M / R R/O' R/O ' O' M si R / O' = 0(pas de rotation de R) V M / A = V O ' / A V M / R et M / A = O ' / A M / R

20 Récapitulatif Vecteur : U U x, U y,u z ou U = U u avec u =1 Différentielle d'un vecteur : d U = U t U t Dérivée d'un vecteur : d U = U t U t Dérivée et différentielle d'un vecteur unitaire : ut =1 d ut ut d t vecteurs position, vitesse, accélération : OM t V t = d OM t = t t t = d t t = d V t = d 2 OM t 2

21 coordonnées cartésiennes : OM t =x t i yt jz t k Récapitulatif V t = d x t i d y t t = d V t x j d z t i d V t y j d V t z d 2 x t k= 2 coordonnées cylindriques : (savoir retrouver) OM t =t t z t k V t = d t t = d 2 t 2 k d t t d z t = d t t t 2 2 d t k i d 2 yt 2 d t t d t j d 2 z t 2 = d t k d 2 z t 2 k

22 Récapitulatif coordonnées polaires : (dans un plan) OM t =t t coordonnées cylindriques avec : z=cte dz = d 2 z =0 2 repère de Frénet : V t =V t T t = dst T t t = dv t T t V 2 t Rt N t t st = V t t 0