INTRODUCTION AUX ELEMENTS FINIS

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1 INTRODUCTION AUX ELEMENTS FINIS R. Fortunier Ecole des Mines de Saint-Etienne Centre SMS, UMR CNRS 5146 INTRODUCTION Modélisation physique et couplages Exemples d utilisation LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Équilibre, comportement et conditions aux limites Formulation faible Discrétisation, assemblage, résolution Analyse de la solution Exemple COMPLEMENTS Éléments finis isoparamétriques Non linéarités (matériau, géométrie, contact, ) Cinématiques particulières (poutres, plaques, ) Poutre sous son poids - analytique - traité au tableau en parallèle fil rouge!

2 INTRODUCTION Modélisation physique et couplages OBJECTIF GLOBAL optimiser le procédé de mise en œuvre d un produit (analyse du rôle des grandeurs physiques qui le caractérisent) analyser le comportement en service d un produit (principaux paramètres, conditions optimales d utilisation) METHODE : MODELISATION PHYSIQUE phénomènes physique essentiels équations mathématiques qui gouvernent ces phénomènes résolution et validation expérimentale LA TECHNIQUE DES ELEMENTS FINIS EST UN SUPPORT A LA MODELISATION PHYSIQUE

3 INTRODUCTION Modélisation physique et couplages TRANSPORT DE? mécanique Energie Masse Charges Quantité de mv t VARIABLE UTILISEE? Température T Concentration c i Potentiel V Déplacement u LOI DE COMPORTEMENT (PREMIER GRADIENT)? Fourier Fick 1 (diffusion) Ohm Hooke φ -λ.grad(t) φ i -D.grad(c i ) j -S.grad(V) σ L:grad(u) Flux de chaleur Flux d élément densité de courant Contrainte σ EQUATIONS DE CONSERVATION? Eq. chaleur Fick 2 Maxwell-Gauss Equilibre div(φ)+q 0 div(φ i )+R i 0 div(j)+ρ 0 div(σ)+f 0 CONDITIONS AUX LIMITES? T ou φ.n c i ou φ i.n V ou j.n u ou σ.n COUPLAGES MULTI-PHYSIQUES

4 INTRODUCTION Modélisation physique et couplages NON-LINEARITES λ, D, S ou L non constantes (changements de phase, élasticité non linéaire, plasticité, ) conditions aux limites (rayonnement, contacts) géométrie (en mécanique) précipitation, réactions chimiques, diode, COUPLAGES MULTI-PHYSIQUES λ, D, S ou L quantités fonctions d inconnues d une autre physique couplage par le terme volumique (mise en forme, ) EFFET DU TEMPS loi de comportement avec effet du temps (fluage, ) thermique ou diffusion non stationnaire dynamique en mécanique LES ELEMENTS FINIS EN MECANIQUE : Statique, Linéaire, Petits déplacements, Petites déformations

5 INTRODUCTION Exemples d utilisation TRANSPORT boitier de direction (PSA, ESI) Roue de moto (ESI)

6 INTRODUCTION Exemples d utilisation TRANSPORT train à grande vitesse italien (ESI)

7 INTRODUCTION Exemples d utilisation AGRO-ALIMENTAIRE fermeture d une capsule (Danone, ESI)

8 INTRODUCTION Exemples d utilisation AGRO-ALIMENTAIRE fabrication d une bouteille en verre (ESI)

9 INTRODUCTION Exemples d utilisation SCIENCE DES MATERIAUX croissance cristalline (Cl. Maurice) nitruration (P. Duranton et al., ESI)

10 INTRODUCTION Exemples d utilisation SCIENCE DES MATERIAUX GB movement croissance cristalline (B. Serre, Zset) Zener pinning (G. Couturier)

11 INTRODUCTION Exemples d utilisation SCIENCE DES MATERIAUX flexion 4P d une éprouvette en cuivre (S. Villert) Injection de résine dans un renfort (G. Pacquaut, Zset) Frittage (J. Bruchon, CIMLIB)

12 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS EQUATIONS D EQUILIBRE LOI DE COMPORTEMENT ET CONDITIONS AUX LIMITES FORMULATION FAIBLE DISCRETISATION ASSEMBLAGE RESOLUTION ANALYSE DE LA SOLUTION EXEMPLE : ACTIONNEMENT D UN MICRO INTERRUPTEUR

13 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS n EQUATIONS D EQUILIBRE ΩA Ω, t ds+ f dv Ω A Ω A σ.n t 0 (. σ + ) dv 0 ΩA Ω, f Ω A 3 σij x Ω,. σ + f 0 ou x Ω, + f j x i 1 i 0 (j 1,2,3)

14 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS LOI DE COMPORTEMENT ET CONDITIONS AUX LIMITES σ L:ε ε ( u+ t ) 1 2 u x σ L: u ( L : u) + f 0 x Ω,. ( L : u). u U t + f 0 pour pour x Ω ( L : u). n T pour x ΩT U x Ω

15 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS FORMULATION FAIBLE fonctions test v(x) ( L : u) + f 0,. E E u v ( L: u) dv + v. fdv 0 v E v, v.. Ω { u H ( ) } 1 Ω / u U sur ΩU v H 1( Ω) / v 0 sur Ω { } U Ω Conditions aux limites «essentielles» Conditions aux limites «naturelles» Trouver u Eu tel que pour tout v Ev: v. T ds + v. f dv t v: L: u dv 0 Ω T Ω Ω

16 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS DISCRETISATION N ie (x,y) 1 y 0 nœud i x nœud k nœud j x Ω u( x) n e n e v( x) e, Ne e I ( x) ue I et N J ( x) ve J I 1 J 1 n I 1 e n e x Ωe, u( x) N ( x) u et t v( x) t N ( x) v e I e I J 1 e J e J

17 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS numéro absolu (global) numéro introduit (global) DISCRETISATION nœud n 1 / n 1 x y z 2 / n 2 x y z n / n n x y z elements m 1 / imat n e i 1 i 2 i ne 2 / imat n e i 1 i 2 i ne m / imat n e i 1 i 2 i ne numéro introduit du nœud numéro 2 de l élément 1 (local) MATRICES DE LOCALISATION A e

18 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ASSEMBLAGE numérotation locale de l élément numérotation locale de l élément 6 1 u e I n K 1 A e IK u K et v e J n L 1 A e JL v L

19 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS RESOLUTION Ω v. T ds + T n K 1 Ω v. f dv m e 1 I 1 v. T ds + ne m ve e I. N I T ds + e 1 I 1 Ω Ωe Ω e 1 Ω Ωe Ω m n e T v e I. F e I T Trouver u Eu tel que pour tout v Ev: v. T ds + v. f dv t v: L: u dv 0 Ω v. f dv e T e m N e I Ω Ω Ω t v: L: u dv f dv n e m e 1 Ω tenseur des contraintes t v: L: u dv ne ne m ve J. e 1 I 1 J 1 Ω m n e e n e e 1 I 1 J 1 e J v. K e e IJ t. u N e I e. L. N v < > {} e e K. FK v. F avec F K A IK FI < > [ ] {} m v v. K. u avec K KL e 1 I 1 vecteur des sollicitations matrice de rigidité e dv. u n e e 1 I,J 1 A e I e IK K e IJ A e JL

20 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Trouver E E n u n v { u} E < v>. n u tel que pour tout ({}[ F - K ]{} u ) 0 < v> { u} / u U si le noeud I est sur Ω } I U { < v> / v 0 si le noeud J est sur Ω } J RESOLUTION U E n v : +P +PU nœud I K IJ u J F I u I U (pénalisation)

21 LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ANALYSE DE LA SOLUTION VALEURS NODALES vecteur {u} contenant le «vecteur déplacement» u I de chaque nœud I. réactions concentrées aux nœuds : {R} {F} [K].{u} (résidu) valeurs relativement précises tracé d isovaleurs sur la structure VALEURS DANS LES ELEMENTS (aux points d intégration) Tenseur des contraintes et des déformations (gradient de déplacement) Interpolation aux nœuds (moyennation) valeurs moins précises aux noeuds tracé d isovaleurs sur la structure

22 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Numerical simulations (Zset) e Parameters : Cantilever thickness e Contact thickness ec Cantilever Constant initial gap depth g01,7µm Without stopper (Hole position) Influence of the mesh Actuation voltage : 30V, 50V, 80V Electrostatic force : The current actuation gap g is updated locally (initial value g0) to evaluate the loading force g0 1,7µm Subtrate 1 ε 0SV F 2 2 g 2 contact ec 22

23 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Mechanical model Optimization Initial gap (µm) Actuated voltage (V) Cantilever thickness e (µm) Contact thickness ec (µm) z y Notations : example : e2 ec1 30V x Results : Cantilever final shape (along X axis) Mean contact pressure 23

24 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Influence of the mesh (case e4 ec0.7 50V) Case number Nb elts (thickness) Nodes Nb Elements Nb (quadratic) (quadratic) (quadratic)

25 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Influence of the mesh case 1 case 3 case 4 25

26 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Influence of the mesh - maximum deflection (U3). At this point, end of the actuated area Cases 1 to 4 (linear elements) Cases 5, 6, 7 (quadratic elements)

27 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Cantilever final shape for thickness of 2 µm 0,00E+00 Cantilever length (mm) 0,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01-1,00E-04 Displacement following U3 (mm) -2,00E-04-3,00E-04-4,00E-04-5,00E-04-6,00E-04-7,00E-04-8,00E-04 e2ec1 30V e2ec1 50V e2ec1 80V e2ec1,2 30V e2ec1,2 50V e2ec1,2 80V e2ec1,4 30V e2ec1,4 50V e2ec1,4 80V Actuation zone Contact zone 27

28 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Cantilever final shape for thickness of 3 µm Cantilever length (mm) 0,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01 0,00E+00-1,00E-04 Displacement following U3 (mm) -2,00E-04-3,00E-04-4,00E-04-5,00E-04-6,00E-04-7,00E-04 e3ec1 30V e3ec1 50V e3ec1 80V e3ec1,2 30V e3ec1,2 50V e3ec1,2 80V e3ec1,4 30V e3ec1,4 50V -8,00E-04 e3ec1,4 80V Actuation zone Contact zone 28

29 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Cantilever final shape for thickness of 4 µm Cantilever length (mm) 0,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01 0,00E+00-1,00E-04 Displacement following U3 (mm) -2,00E-04-3,00E-04-4,00E-04-5,00E-04-6,00E-04-7,00E-04 e4ec1 30V e4ec1 50V e4ec1 80V e4ec1,2 30V e4ec1,2 50V e4ec1,2 80V e4ec1,4 30V e4ec1,4 50V e4ec1,4 80V -8,00E-04 Actuation zone Contact zone 29

30 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Cantilever final shape for 50V actuation 0,00E+00 Cantilever length (mm) 0,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01-1,00E-04 Displacement following U3 (mm) -2,00E-04-3,00E-04-4,00E-04-5,00E-04-6,00E-04-7,00E-04-8,00E-04 e2ec1 50V e2ec1,2 50V e2ec1,4 50V e3ec1 50V e3ec1,2 50V e3ec1,4 50V e4ec1 50V e4ec1,2 50V e4ec1,4 50V Actuation zone Contact zone 30

31 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Mean contact pressure (MPa) Contact area : S 100 µm 2 Contact pressure (MPa) 0,4 0,38 0,36 0,34 0,32 0,3 0,28 0,26 0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Shortcut!! No contact No contact No contact 80 V 50 V 30 V No contact e2 ec1 e2 ec1,2 e2 ec1,4 e3 ec1 e3 ec1,2 e3 ec1,4 e4 ec1 e4 ec1,2 e4 ec1,4 For different designs 31

32 EXEMPLE MICRO-INTERRUPTEUR Main design parameter : g0-ec / e^ shortcut V contact 20 Contact YES no contact 10 Contact NO Contact but possible shortcut 0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 (g-ec) / e^3 32

33 COMPLEMENTS Elements isoparamétriques ELEMENTS ISOPARAMETRIQUES UTILISATION D ELEMENTS DE REFERENCE MEME FONCTIONS DE FORME POUR LA TRANSFORMATION GEOMETRIQUE ET L INTERPOLATION DES INCONNUES NODALES

34 COMPLEMENTS Elements isoparamétriques DIFFERENTS TYPES D ELEMENTS ELEMENTS 2D ELEMENTS 1D CAS PARTICULIER ELEMENTS 3D

35 COMPLEMENTS Cinématiques particulières POUTRES ET MEMBRANES POUTRES MEMBRANES UTILISATION D UNE CINETIQUE DE DEPLACEMENTS PARTICULIERE

36 COMPLEMENTS Cinématiques particulières CAS DES POUTRES u M u G + r G GM POUTRES degrés de liberté par nœud

37 COMPLEMENTS Cinématiques particulières CAS DES POUTRES POUTRES σ11 R t ds σ12 ds M GM t ds S s σ13 S efforts concentrés aux noeuds