LE MIROIR D EINSTEIN

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1 LE MIROIR D EINSTEIN Énoné du poblème Dans ses souvenis, A. Einstein appelle une idée qui lui était venue alos qu il avait seize ans (!) : «Si je pousuivais un faiseau lumineux se popageant à une vitesse, je veai un tel faiseau de lumièe sous la fome d une onde immobile d un hamp életomagnétique». Autement dit nous auions affaie à deux hamps statiques othogonaux 1 : un hamp életique et un hamp magnétique. D une manièe plus imagée si A. Einstein se déplaçait dans un éféentiel à la vitesse de la lumièe en tenant devant lui un mioi il ne veait plus son image dans le as où l on aisonne en méanique lassique. Qu en estil si on analyse ette situation à pati des lois de la physique lassique puis elativiste? Analyse de la situation en physique lassique Appelons (R) le éféentiel attahé à l éthe. Pou modélise onvenablement note expéiene de pensée il faut tout d abod défini un éféentiel (R ) dans lequel note expéimentateu se déplae à une vitesse v pa appot à (R). Il émet un flash lumineux en dietion d un mioi au epos dans (R ). Se pose alos la question suivante : l impulsion lumineuse émise peut-elle atteinde le mioi? Une éponse positive est en ontadition ave la théoie de l életomagnétisme de Maxwell pou laquelle la lumièe est une onde qui se déplae à une vitesse qui est indépendante du mouvement de la soue. O elle a ii, à l alle, une vitesse de -0 dans (R ). Une éponse négative est en ontadition ave le pinipe de elativité de la méanique galiléenne a on peut alos mette ii en évidene un mouvement absolu de l obsevateu à la vitesse. Repenons note exemple et supposons, omme l indique le shéma i dessus, qu Einstein et son mioi soient au epos dans un éféentiel (R ), lui même étant en mouvement etiligne unifome à la vitesse dans le éféentiel (R) de l éthe. La loi lassique de omposition des vitesses nous pemet d éie : ' + ( L : vitesse de la lumièe) A l alle L/R et au etou L/R -. On a don pou L/R : 1 oi figue en annexe En physique lassique on onsidèe que la lumièe est une onde életomagnétique qui a besoin d un suppot pou se popage : l éthe életomagnétique. 1

2 ' ' 0 à l' alle au etou En méanique lassique ette loi onduit don à une situation dans laquelle l image dans le mioi ne se fome pas puisque la lumièe n y pavient pas! On a don un paadoxe qui va péoupe A. Einstein jusqu en A ette date il publie son pemièe atile su la elativité esteinte. Que dit ette théoie à popos du sujet qui nous péoupe ii? On s appuiea pa la suite su les deux postulats de base d Albet Einstein qui s appliquent aux phénomènes physiques étudiés dans des éféentiels inetiels ou galiléens. Un éféentiel inetiel est un éféentiel dans lequel tout objet su lequel ne s exee auune foe est en mouvement de tanslation etiligne unifome. Ces deux postulats sont : (P 1 ) : Les lois de la physique ont la même fome dans tous les éféentiels inetiels (pinipe de elativité). (P ) : La vitesse de popagation de la lumièe dans le vide est la même dans tout éféentiel inetiel. Elle est don indépendante du mouvement de la soue. Si on ompae es pinipes de dépat ave les éponses ontaditoies à la question d Einstein on onstate que la pemièe d ente elles est en aod ave P et la seonde ave P 1. A seize ans il avait déjà mis le doigt su les points faibles de la théoie lassique! Examinons ses deux pinipes à la lumièe des deux gandes théoies qui s étaient imposées à la fin du XIX sièle : la méanique et l életomagnétisme. La pemièe s appuie, losqu on passe d un éféentiel (R) à un éféentiel (R ), su les tansfomations de Galilée 3 selon lesquelles les elations existant ente les deux systèmes de oodonnées, dans le as patiulie où les axes Ox et O x sont onfondus et la vitesse v de l un pa appot à l aute est paallèle à Ox : x' x v.t y' y z' z t' t O l équation de popagation des ondes életomagnétiques n obéit pas à ette tansfomation et sa fome dans (R) ne se etouve pas dans (R ). Le pinipe de elativité galiléenne ne s applique don qu à la méanique. A. Einstein a don omme objetif de touve de nouvelles tansfomations pou lesquelles le pinipe de elativité s applique à l ensemble des domaines de la physique. 3 La loi lassique de omposition des vitesses est dietement déduite de es tansfomations.

3 Le seond pinipe, posant la onstane de la vitesse de la lumièe quel que soit le éféentiel dans lequel elle est mesuée, est onfome à la théoie de Maxwell mais s oppose à la loi de omposition des vitesses déduite des tansfomations de Galilée. En ésumé, en physique lassique, P 1 ne s applique qu à la méanique en aod ave les tansfomations de Galilée et P est en ontadition ave es mêmes tansfomations pou l életomagnétisme. Les deux pinipes ne sont don pas ompatibles ente eux en physique lassique. Rappelons que les ehehes théoiques onduites ente 1886 et 1905 pa H.A. Loentz puis pa H. Poinaé l ont été essentiellement pou explique les ésultats de l expéiene de Mihelson & Moley. A. Einstein n a pas le même objetif : dans son atile fondateu de 1905 il pésente en péambule l expéiene bien onnue de la bobine et de l aimant en mouvement elatif.. E R' / R B E m A t Si on attahe un éféentiel (R) à la bobine et un éféentiel (R ) à l aimant, la loi lassique expliquant l appaition d un ouant dans la bobine est difféente selon que l obsevateu est au epos dans (R) ou dans (R ). Dans le epèe de l aimant les életons libes de la bobine en mouvement onstituent des hages q se déplaçant à la vitesse v R/R qui sont soumises à la foe de Loentz d expession F q.v B. On peut don onsidée que tout se passe omme si les hages étaient soumises à un hamp életique E v B. 3

4 Dans le epèe de la bobine les hages életiques au epos «voient» un hamp magnétique vaiable qui engende un hamp életique dit hamp életomoteu magnétique. E m A t, A étant le potentiel veteu 4 du hamp On a don un même phénomène qui eçoit deux expliations distintes s expimant pa des fomulations totalement difféentes selon le éféentiel dans lequel on plae note obsevateu. Une telle appohe ne peut pas satisfaie A. Einstein qui va hehe à founi pou ette expéiene une seule et même intepétation, épondant en ela à son pemièe pinipe de base. Le mioi d Einstein et la elativité esteinte En onstuisant de nouvelles tansfomations - appelées aujoud hui tansfomations de Loentz A. Einstein va ééie les lois de la inématique et de la dynamique. Rappelons les expessions de es tansfomations 5 : x' γ ( x βt ) y' y z' z t' γ ( t [ β ] x ) ave β γ Une onséquene immédiate de es nouvelles tansfomations est que la loi de omposition des vitesses n est plus la même. Dans la théoie elativiste la loi de omposition des vitesses pend une fome plus ompliquée et s éit à l alle : v 1 1 β ' ' L / 1 0 fome indéte min ée R Cei est dû au fait que, dans les tansfomations de Loentz, le teme γ, dit fateu de Loentz, tend ves l infini losque R /R tend ves, vitesse de la lumièe 6 onstante dans la théoie elativiste einsteinienne. Il n est don pas possible à un objet quelonque de masse non nulle d atteinde la vitesse. Pou ontoune ette diffiulté nous allons onsidée que R /R tend ves sans l atteinde et peut alos s éie R /R - ε, ε étant aussi petit que l'on veut. La loi elativiste de omposition des vitesses devient : L existene du potentiel veteu du hamp magnétique est le fuit de la théoie de l életomagnétisme de Maxwell. On monte dans ette denièe que la divegene du hamp magnétique B est nulle. En onséquene B peut ête expimé omme étant le otationnel d un veteu A appelé potentiel veteu magnétique. Ce denie et le potentiel salaie életique sont des onepts plus fondamentaux que les hamps oespondants. (Pou en savoi plus voi un ous d életomagnétisme). Les tansfomations de Loentz ont été poposées également pa H. A. Loentz et H. Poinaé. Aujoud hui on péfèe die que est une onstante univeselle de stutue de l espae temps. De e fait, même si la lumièe n avait pas ette vitesse dans le vide pa exemple s il s avéait que le photon n avait pas une masse nulle la elativité esteinte ne seait pas emise en ause. 4

5 ( ε ) 1 ( ε ) ε ε à l' alle Nous etouvons ii la onstane de la vitesse de la lumièe quelque soit le éféentiel dans lequel on la mesue. Dans le éféentiel d Einstein les ayons lumineux en povenane de son visage paviennent au mioi et peuvent se éfléhi. Au etou nous pouvons éie : ' ' L / 1 R On a don, bien sû, un ésultat qui espete les deux pinipes de base hoisis pa A. Einstein. La dynamique elativiste et le mioi d Einstein En éalité, dans n impote quel éféentiel, Einstein et son mioi ne peuvent pas atteinde la vitesse de la lumièe. En effet l inetie d un ops augmente ave sa vitesse, et s aoît infiniment losque sa vitesse appohe la limite. De e fait il est de plus en plus diffiile d aélée un ops a au fu et à mesue que sa vitesse augmente il en est de même de son inetie 7. L expession de l inetie I(v) d un objet ayant une vitesse v dans un éféentiel (R) est donnée pa : I( v ) m 0 1 β ave m 0, masse inete au epos Le photon, patiule assoiée à l onde életomagnétique, peut se déplae à la vitesse a il possède une masse au epos nulle. Pou lui le temps est «figé» et il ne «vieillit pas»! Piee MAGNIEN 7 Aujoud hui on péfèe onseve le teme de masse pou désigne la masse dans le éféentiel de epos. La quantité m est don, omme en méanique newtonienne, un invaiant elativiste. On passe ensuite pa l expession de la quantité de mouvement p mγ ( v ). v pou monte qu auun ops ayant une masse au epos non nulle ne peut atteinde la vitesse. 5

6 ANNEXE : DETECTEUR DE LUMIERE SE DEPLACANT A LA ITESS Dans son live «Einstein : sa vie, son temps» (Champs / Flammaion) Philippe Fank illuste la question du jeune adolesent de 16 ans pa le diagamme suivant. On y voit une onde lumineuse à plusieus instants onséutifs de sa popagation et un déteteu optique point ouge - qui avane à la même vitesse pa appot au éféentiel de l éthe. On onstate alos que le déteteu n enegiste auune osillation et oupe à haque instant un lieu pou lequel la phase de l onde lumineuse est onstante. Il ne peçoit qu un hamp életique statique pou lequel il n est pas onçu. 6