APPLICATIONS LINÉAIRES

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1 EPFL APPLICATIONS LINÉAIRES Algèbre Linéaire Génie Civil, Environnement

2 DÉFINITION Une fonction est une application linéaire s il existe une matrice A de taille m x n telle que : pour tout vecteur,.

3 c est-à-dire, pour tout vecteur u, on a : si et.

4 Si f est une application linéaire, on note [f] la matrice qui définit f et on l appelle la matrice standard de f. Inversement, si A est une matrice de taille m x n, elle définit une application linéaire donnée par :

5 Si f est une application linéaire, on note [f] la matrice qui définit f et on l appelle la matrice standard de f. Inversement, si A est une matrice de taille m x n, elle définit une application linéaire donnée par :

6 On a donc une correspondance :

7 On a donc une correspondance :

8 On a donc une correspondance :

9 PROPRIÉTÉ Propriété. Une fonction application linéaire si et seulement si : est une pour tous vecteurs et tout réel, i). ii).

10 La condition i) implique :

11 Soit une application linéaire. Les colonnes de la matrice standard de f sont les images des vecteurs ei : avec ième position

12 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport à l axe (Ox) : La rotation de centre O et d angle : La projection orthogonale sur l axe (Ox) :

13 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport à l axe (Oy) : La rotation de centre O et d angle : La projection orthogonale sur l axe (Ox) :

14 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport à l axe (Ox) : La rotation de centre O et d angle : La projection orthogonale sur l axe (Ox) :

15 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport à l axe (Ox) : La rotation de centre O et d angle : La projection orthogonale sur l axe (Ox) :

16 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport à l axe (Ox) : La rotation de centre O et d angle : La projection orthogonale sur l axe (Oy) :

17 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport au plan z=0, ou y=0, ou x=0. La rotation d angle autour de l axe (Ox), ou (Oy) ou (Oz). La projection orthogonale sur le plan z=0, ou y=0, ou x=0.

18 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport au plan z=0, ou y=0, ou x=0. La rotation d angle autour de l axe (Ox), ou (Oy) ou (Oz). La projection orthogonale sur le plan z=0, ou y=0, ou x=0.

19 EXEMPLES D APPLICATIONS LINÉAIRES La réflexion par rapport au plan z=0, ou y=0, ou x=0. La rotation d angle autour de l axe (Ox), ou (Oy) ou (Oz). La projection orthogonale sur le plan z=0, ou y=0, ou x=0.

20 SOMME D APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si et sont deux applications linéaires, alors l application f+g est aussi linéaire et on a : En effet, pour tout vecteur u :

21 SOMME D APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si et sont deux applications linéaires, alors l application f+g est aussi linéaire et on a : En effet, pour tout vecteur u :

22 SOMME D APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si et sont deux applications linéaires, alors l application f+g est aussi linéaire et on a : En effet, pour tout vecteur u :

23 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE Propriété. Si est une application linéaire et si est un nombre réel, alors l application est aussi linéaire et on a : En effet, pour tout vecteur u :

24 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE Propriété. Si est une application linéaire et si est un nombre réel, alors l application est aussi linéaire et on a : En effet, pour tout vecteur u :

25 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE Propriété. Si est une application linéaire et si est un nombre réel, alors l application est aussi linéaire et on a : En effet, pour tout vecteur u :

26 COMPOSITION D APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si et sont deux applications linéaires, alors l application composée est aussi linéaire et on a En effet, pour tout vecteur u :

27 COMPOSITION D APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si et sont deux applications linéaires, alors l application composée est aussi linéaire et on a En effet, pour tout vecteur u :

28 COMPOSITION D APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si et sont deux applications linéaires, alors l application composée est aussi linéaire et on a En effet, pour tout vecteur u :

29 APPLICATIONS LINÉAIRES Propriété. Si est une application linéaire, alors f est bijective si et seulement si sa matrice standard [f] est inversible. Si c est le cas, l application réciproque de f est aussi linéaire et on a :

30 Preuve : Si la matrice [f] est inversible, soit linéaire dont la matrice est. l application Alors, pour tout vecteur u on a : et C est-à-dire : Donc f est bijective et sa fonction réciproque est h.

31 Preuve : Réciproquement, si f est bijective, alors f est injective et comme f(0)=0 on a : Cela signifie que le système linéaire unique solution. Donc la matrice [f] est inversible. admet une Une matrice carrée A est inversible si et seulement si le système linéaire AX=0 admet une unique solution.

32 Preuve : Réciproquement, si f est bijective, alors f est injective et comme f(0)=0 on a : Cela signifie que le système linéaire unique solution. Donc la matrice [f] est inversible. admet une Une matrice carrée A est inversible si et seulement si le système linéaire AX=0 admet une unique solution.

33 APPLICATIONS LINÉAIRES Théorème A. Soit A une matrice carrée de taille n. Les propositions suivantes sont équivalentes : i) A est inversible. ii) Pour tout vecteur B de taille n, le système linéaire AX=B admet une unique solution. iii) Pour tout vecteur B de taille n, le système linéaire AX=B admet au moins une solution.

34 Preuve : Il suffit de montrer que iii) implique i). Pour tout i, soit un vecteur tel que. Alors : Donc la matrice A est inversible.

35 APPLICATIONS LINÉAIRES Théorème B. Soit une application linéaire. Les propositions suivantes sont équivalentes : i) La matrice [f] est inversible. ii) La fonction f est bijective. iii) La fonction f est surjective. iv) La fonction f est injective.

36 Preuve : Il suffit de que montrer que iv) implique i). Si f est injective et comme f(0)=0, alors on a : C est-à-dire, le système linéaire unique solution. Donc la matrice [f] est inversible. admet une

37 CRITÈRE D INJECTIVITÉ Soit appelle noyau de f l ensemble : une application linéaire. On Remarque :

38 CRITÈRE D INJECTIVITÉ On a toujours : Proposition. Soit une application linéaire. Les propositions suivantes sont équivalentes : i) f est injective. ii) Ker(f)={0}.

39 Preuve : Clairement, i) implique ii) puisque f(0)=0. Réciproquement, si Ker(f)=0, alors on a : Soient donc u et u deux vecteurs tels que f(u)=f(u ). Comme f est linéaire, cela implique : f(u-u )=0. D où u-u =0, c est-à-dire u=u. Donc f est injective.

40 Preuve : Clairement, i) implique ii) puisque f(0)=0. Réciproquement, si Ker(f)=0, alors on a : Soient donc u et u deux vecteurs tels que f(u)=f(u ). Comme f est linéaire, cela implique : f(u-u )=0. D où u-u =0, c est-à-dire u=u. Donc f est injective.

41 Preuve : Clairement, i) implique ii) puisque f(0)=0. Réciproquement, si Ker(f)=0, alors on a : Soient donc u et u deux vecteurs tels que f(u)=f(u ). Comme f est linéaire, cela implique : f(u-u )=0. D où u-u =0, c est-à-dire u=u. Donc f est injective.

42 EN RÉSUMÉ Soit une application linéaire. Alors : - f est injective si Ker(f)={0}. - f est surjective si le système linéaire [f]x=b admet une solution pour tout vecteur B de taille m. Si n=m, alors f est bijective si et seulement si f est injective si et seulement si f est surjective.

43 EN RÉSUMÉ Soit une application linéaire. Alors : - f est injective si Ker(f)={0}. - f est surjective si le système linéaire [f]x=b admet une solution pour tout vecteur B de taille m. Si n=m, alors f est bijective si et seulement si f est injective si et seulement si f est surjective.

44 Et aussi : Si n = m, une application linéaire est : - injective mais non surjective ; ou - surjective mais non injective ; ou - ni injective ni surjective. Si n = m, une application linéaire est : - bijective ; ou - ni injective ni surjective.

45 Et aussi : Si n = m, une application linéaire est : - injective mais non surjective ; ou - surjective mais non injective ; ou - ni injective ni surjective. Si n = m, une application linéaire est : - bijective ; ou - ni injective ni surjective.

46 EXEMPLE Soit une fonction donnée par : 1. Montrer que l application f est linéaire. 2. Est-elle injective? 3. Est-elle surjective?

47 L application f est linéaire car f(x)=[f]x pour tout vecteur x, où [f] est la matrice :.

48 Etude de l injectivité de f. Déterminons le noyau de f. Pour tout vecteur, on a :

49 Etude de l injectivité de f. Déterminons le noyau de f. Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 Donc En particulier, il y a une infinité de vecteurs dont l image par f est le vecteur nul. Donc f n est pas injective.

50 Etude de l injectivité de f. Déterminons le noyau de f. Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 Donc En particulier, il y a une infinité de vecteurs dont l image par f est le vecteur nul. Donc f n est pas injective.

51 Etude de l injectivité de f. Déterminons le noyau de f. Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 Donc En particulier, il y a une infinité de vecteurs dont l image par f est le vecteur nul. Donc f n est pas injective.

52 Etude de la surjectivité de f. Pour tout vecteur, on résout : Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 matrice augmentée z est variable libre et les solutions du système sont : Donc f est surjective, car le système a une solution pour tous réels a et b.

53 Etude de la surjectivité de f. Pour tout vecteur, on résout : Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 matrice augmentée z est variable libre et les solutions du système sont : Donc f est surjective, car le système a une solution pour tous réels a et b.

54 Etude de la surjectivité de f. Pour tout vecteur, on résout : Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 matrice augmentée z est variable libre et les solutions du système sont : pour tout réel t. Donc f est surjective, car le système a une solution pour tous réels a et b.

55 Etude de la surjectivité de f. Pour tout vecteur, on résout : Algorithme de Gauss : L1 L1+L2 matrice augmentée z est variable libre et les solutions du système sont : pour tout réel t. Donc f est surjective, car le système a une solution pour tous réels a et b.