Équations différentielles du premier ordre

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1 Équaions différenielles du premier ordre Vous rouverez ici de brefs résumés e exemples sur les applicaions concrèes des équaions différenielles du premier ordre : variaion de empéraure désinégraion radioacive mouvemen reciligne circuis élecriques; circuis -C, circuis -L problèmes de mélanges. Variaion de empéraure La variaion de la empéraure d'un corps, ou d un liquide, laissé dans un environnemen à une empéraure ambiane consane, sui la loi de Newon : dt k( T T ) = T es la empéraure ambiane consane. k es une consane de proporionnalié qui dépend des condiions expérimenales. Cee consane es négaive. es le emps, habiuellemen donné en minues. T es la empéraure du corps. Cee empéraure varie; on pourrai la noer T(). On suppose que la empéraure es mainenue homogène dans le liquide, ou le corps. On résou cee équaion différenielle en uilisan la séparaion des variables : dt T T = k ln T T = k+ C T T = C e k k 1 T T = Ce, avec C = C si T T > 0 (refroidissemen) T = T + Ce Exemple 1 : k C = C si T T < 0 (réchauffemen) Un liquide, chauffé iniialemen à 90º C, es laissé dans une pièce à 1º C. u bou de 4 minues, la empéraure de ce liquide es à 8º C. Trouver une formule qui donne la empéraure de ce liquide en foncion du emps. Gilles Picard e Chanal Troier,

2 dt D'après Newon, k( T 1 ) avec T( 0) 90 e T( 4) 8 = = =. k Donc T = 1+ Ce Uilisons la condiion iniiale T ( 0) = 90 pour déerminer la valeur de C : 90= 1+ C C = 69 e T = 1+ 69e k Uilisons mainenan la deuxième condiion, T ( 4) = 8, pour rouver ce que vau k : 4k 4k = 1+ 69e e = k = ln = 0, ,0308 Nous avons donc rouvé ou ce qu il fallai pour écrire T( ) 1 69e = +. 4k 61 k 61 Une aure façon d'écrire cee équaion vien du fai que e = e = k 61 On a donc T( ) = 1+ 69e = Exemple : Un verre d eau, à 10º C, es sori du réfrigéraeur e déposé sur une able dans une pièce où il fai 31º C. près 10 minues, l eau dans le verre es à 17º C. Combien de emps après la sorie du réfrigéraeur l eau sera--elle à 5º C? dt = ; ce qui donne 31 k T = + Ce. T 0 = 10, on rouve 10= 31+ C C = 1 e T = 31 1e k D après Newon, k( T 31) vec T 10 = 17, donc 17= 31 1e e = = k = ln = 0, k 10k 14 1 Nous avons donc 0,0405 T = 31 1 e Il rese à rouver pour que T = 5. 0,0405 5= 31 1e = 30,9 Ça prendra donc environ 31 minues après la sorie du réfrigéraeur pour que l eau du verre soi à 5º C. 1 4 lise des sujes Gilles Picard e Chanal Troier,

3 Désinégraion radioacive La plupar des élémens radioacifs se décomposen en d aures élémens, radioacifs ou pas, à une viesse qui es proporionnelle à la quanié resane de ce élémen iniial. Soi Q() la quanié d un cerain élémen radioacif au emps. lors cee quanié sui la relaion suivane : dq = kq, avec Q( 0) = Q0 où k es une consane posiive ( k es négaive) e Q 0 es la quanié iniiale de ce élémen. On résou cee équaion soi en séparan les variables, soi comme une équaion linéaire. 1º En séparan les variables º Équaion linéaire dq k Q = dq kq 0 + = ln ( Q) = k+ C1 Q= Ce k k Q= e 0 Q= Ce k = 0 = 0 = 0 vec la condiion iniiale Q 0 Q, on rouve C Q. Donc Q Qe k. Exemple : La demi-vie du polonium-18 es presque exacemen 3 minues. a) Quelle proporion de la quanié iniiale resera--il après 5 minues? b) Combien de emps es-il nécessaire pour que 99% du polonium-18 soi décomposé? dq On pose d'abord l'équaion de la décomposiion radioacive = kq. On résou e on obien Q = Qe 0 k. Pour rouver la valeur de k, on uilise la condiion iniiale sur la demi-vie : 1 1 3k 1 Q( 3) = Q0 Q0 = Qe 0 k = ln( ) 3 ln( ) 3 1 Donc 3 Q = Qe 0 ou Q = Q0 = Q0 a) Q 5 = 5 ln Q e ln 5 Qe 3 ln( ) 0 En proporion, = e 3 0,315 Q0 près 5 minues, il rese environ 31,5% de la quanié iniiale. 3 Gilles Picard e Chanal Troier,

4 = 0 b) On cherche pour que Q 0,01 Q. 0,01Q = Q e 0 0 ln 3 ln( 0,01) = ln( ) 3 ln( 0,01) = 3 19,93 ln Ça prend donc près de 0 minues pour que 99% du polonium-18 se décompose. lise des sujes Gilles Picard e Chanal Troier,

5 Mouvemen reciligne L éude du mouvemen reciligne comprend ou mouvemen qui se passe le long d une droie, que cee droie soi horizonale, vericale ou oblique. Dans ous les cas, la e loi de Newon s applique : La somme de oues les forces qui s appliquen à un obje es proporionnelle à l accéléraion de son mouvemen. De plus, la consane de proporionnalié es égale à la masse de l obje. F = ma où F es la somme des forces dv d x e a = = es l'accéléraion subie par l'obje. dv On obien donc l'équaion différenielle m = forces Selon l expression des forces en présence, cee équaion différenielle pourra êre linéaire, à variables séparables, Bernoulli, ou aure. dx près avoir rouvé la viesse v, il faudra résoudre l'équaion différenielle = v( ). Cee équaion es direcemen inégrable. Il convien de racer un diagramme des forces ainsi que l axe oriené du mouvemen pour bien indiquer les forces qui inerviennen dans le mouvemen, ainsi que leur sens. emarque : Si le mouvemen es horizonal, la force poids n inervien pas. Si le mouvemen es oblique, il fau calculer la composane de cee force poids dans la direcion du mouvemen. Exemple : On lance un obje don la masse es 8 kg vers le hau, avec une viesse de 5 m/s, à parir d une haueur de 300 m. (Ça correspond à peu près à la haueur de la Tour Eiffel à Paris.) L air oppose une résisance à son mouvemen, qui vau 4 fois la viesse. a) Trouvez la viesse de ce obje au emps. b) Combien de emps l obje prendra--il pour aeindre le sol e quelle sera sa viesse au momen de l impac? Les seules forces qui s appliquen sur l obje son son poids e la résisance de l air. emarquons que la résisance de l air es nécessairemen dans le sens conraire de la viesse; ceci explique la présence du signe. Gilles Picard e Chanal Troier,

6 m w = 8 kg* 9,8 s F = F = 4v F F 1 1 Diagramme des forces : ( v ) ( v ) < 0 pendan que l'obje mone > 0 > 0 pendan que l'obje ombe < 0 + x F w F 1 0 sol dv Donc w+ F = ma 8*9,8 4v= 8 Nous avons les condiions iniiales v 0 = 5 e x 0 = 300 dv v L'équaion 9,8 es linéaire. = a) Sa soluion es v = 4,6e 19,6 b) On inègre pour obenir x= 349, 19,6 49, e. Cee expression représene la haueur de l obje. Pour rouver la viesse de l obje au momen de l impac, il fau commencer par rouver le emps nécessaire pour qu il arrive au sol. Il fau donc résoudre l'équaion 349, 19,6 49,e = 0. Cee équaion ne possède pas de soluion algébrique. Nous devons la résoudre numériquemen, ou bien uiliser un ruc qui consise à remarquer que l exponenielle devien négligeable avan d arriver au sol. En effe, on peu évaluer x() quand vau disons 15, puis évaluer x() sans l exponenielle pour la même valeur de. 15 e 349, 19,6*15 49, 55,17 e 349, 19,6*15 = 55, Donc au bou de 15 secondes, l obje es rendu à peu près à 55 mères, e la parie exponenielle es négligeable. La viesse acquise sera donc rès proche de la viesselimie : 19,6 m/s, puisque l exponenielle es la même pour la viesse e pour la posiion, c'es-à-dire négligeable pour > 15s. Vérifions ce fai en évaluan le momen d impac à parir de l équaion simplifiée : , 19,6 = 0 = 17,8 s 49 17,8 e v 17,8 = 4,6 19,6 = 19,6 Nore obje arrive donc au sol à une viesse consane de 19,6 m/s, el que prévu. lise des sujes Gilles Picard e Chanal Troier,

7 Circuis élecriques Dans un circui élecrique fermé, la somme des chues de ension, de ous les élémens du circui, es égale à la ension fournie par la source. Cee loi pore le nom de loi de Kirchhoff, qui éai un physicien allemand du XIXe siècle. V = la force élecromorice (en vols) = la résisance (en ohms) L = l inducance (en henrys) C = la capaciance (en farads) v C = chue de ension aux bornes du condensaeur v = chue de ension aux bornes de la résisance v = chue de ension aux bornes de la bobine L q( ) = charge sur le condensaeur (en coulombs) i( ) = couran élecrique dans le circui (en ampères) q( ) dq dvc v ( ) = i( ) = = C C C Dans un circui -C (résisance e capaciance, pas d inducance), la loi de Kirchhoff amène l équaion linéaire suivane : v + vc = V dvc donc C + vc = V alors que dans un circui -L (résisance e inducance, pas de capaciance), on aura pluô l équaion suivane, qui es aussi une équaion linéaire : v + v = V L c'es-à-dire di L i V + = Exemple de circui -C : Une résisance =8MΩ es branchée en série avec un condensaeur de capaciance C=µF e une baerie don la force élecromorice es 0V. À =0, le condensaeur es déchargé. a) Quelle es la ension aux bornes du copndensaeur après secondes? Gilles Picard e Chanal Troier,

8 b) Quelle es la valeur limie de cee ension? a) ésolvons d abord l équaion différenielle de ce circui : 6 6 dvc vc = 0 avec vc ( 0) = 0 On obien v = C e 1 e 8 E on calcule v = 0 0 =,35 vols C b) La valeur limie de la ension es obenue quand es rès grand : 0 vols. Exemple de circui -L : Une résisance de 100Ω es branchée en série avec une bobine de 0,04H e une source 10 variable de 10 e vols. On considère que i(0)=0. Quel couran élecrique circule--il dans ce circui après 1ms? Posons l équaion différenielle correspondan à ce circui e résolvons-la. di 10 0, i= 10 e, avec i( 0) = i( ) e = e E mainenan i 0,001 = 0,091= 91,m lise des sujes Gilles Picard e Chanal Troier,

9 Problèmes de mélanges On s inéresse à la quanié q( ) d une subsance (sel, polluan, drogue, ec.) présene dans un environnemen (réservoir, lac, paien, ec.) en supposan que cee subsance peu êre inroduie dans l environnemen à un cerain aux régulier (inpu) e qu elle peu s échapper de ce environnemen à un aure aux (oupu). dq Comme représene le aux de variaion de cee quanié, il es raisonnable de supposer qu on aura cee loi d équilibre : dq inpu oupu = Considérons l exemple classique suivan : Un réservoir conien iniialemen 500 lires d eau pure. Ce réservoir es alimené par un condui qui fourni de l eau à un débi de 4 lires/minue, avec une concenraion de sel de 100 gr/lire. Un aure condui, au bas du réservoir, laisse l eau salée s échapper du réservoir, à un ryhme de 4 lires/minue. Déerminez la quanié de sel présene dans le réservoir en foncion du emps. Donnez la quanié de sel dans l eau après 10 minues, e après une heure. Soi q( ) : la quanié de sel (en kilogrammes) dans le réservoir au emps (en minues) q ( 0) = 0 puisque l eau es pure iniialemen dq inpu oupu = inpu = le aux de variaion de la quanié enrane = le débi la concenraion = lires grammes gr 0,4 kg minue lire = min = min On remarque que l inpu es consan. Nous supposerons que la soluion es mainenue uniforme par brassage. q( ) À un insan donné, la concenraion dans le réservoir es donnée par kg. 500 lire Comme l eau du réservoir ayan cee concenraion de sel quie à un aux de 4 lires/minue, on peu déduire que Gilles Picard e Chanal Troier,

10 q( ) q kg lires oupu = 4 = kg. 500 lire minue 15 min Nous pouvons donc écrire l équaion différenielle de la quanié de sel dans l eau : dq q 0,4 =, avec q ( 0) = C es une équaion différenielle linéaire; nous en rouvons la soluion générale : dq q = q = + Ce Puis uilisons la condiion iniiale pour rouver q = 50 50e15 près 10 minues, il y aura q près une heure, il y aura q 10 e = = 3,844 kg de sel dans ce réservoir. 60 e = = 19,061 kg de sel dans le réservoir. EMQUE : Considérons le cas où le débi à la sorie es différen de celui à l enrée; disons par exemple qu il sor 3 lires/minue e qu il enre 4 lires/minue. La q( ) concenraion dans le réservoir, au emps, sera 500 +, e non pas q( ) puisque, à 500 débi à l'enrée débi à la sorie. chaque minue, le volume augmenera de 1 lire dq 4q L équaion différenielle à résoudre es = 0, ,5 10 e sa soluion donne q( ) = lise des sujes Gilles Picard e Chanal Troier,

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