INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE SÉMINAIRE EPIPHYMATHS. Bruno Saussereau. Laboratoire de Mathématiques de Besançon.

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1 Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon.

2 PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

3 INTRODUCTION PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

4 INTRODUCTION MOTIVATIONS Modèle de Langevin : X(t) désigne la position d une particule dans un liquide. La quantité de mouvement mẋ(t) est modifiée par deux types d actions. La première est la viscosité, opposée au déplacement et proportionnelle à la vitesse. La seconde est celle des chocs multiples et fréquents avec d autres particules. On écrira : mδẋ = αẋδt + δb.

5 INTRODUCTION HYPOTHÈSES DE MODÉLISATION SUR LE BRUIT 1. {B(t); t } est un processus homogène en temps : la loi de l accroissement B(t + δt) B(t) peut dépendre de δt mais pas de t. 2. {B(t); t } est un processus à accroissements indépendants : les chocs reçus pendant l intervalle de temps [t, t + δt] ne dépendent pas de ceux reçus avant t. 3. {B(t); t } est à trajectoires continues : la quantité de mouvement δb due aux chocs est faible si l amplitude δt de l intervalle de temps est petite. Les trois propriétés que nous venons d énoncer constituent la définition d un mouvement brownien.

6 INTRODUCTION POURQUOI LE CALCUL STOCHASTIQUE? mδẋ = αẋδt + σδb. Pour donner un sens à l équation de Langevin (surtout si σ dépend du temps) : mx t = X + αx s ds + σ(s)db s. Pour en trouver la ou les solutions Pour en étudier le comportement asymptotique Comment se comporte X lorsque α et σ/α 1?

7 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

8 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL MOUVEMENT BROWNIEN DÉFINITION 1 : On appelle mouvement brownien un processus stochastique (B t ) t à valeurs réelles satisfaisant les propriétés I) de continuité : P p.s. la fonction s B s (ω) est une fonction continue ; II) d indépendance des accroissements : si s t, B t B s est indépendant de la tribu F s = σ(b u, u s) ; III) de stationnarité des accroissements : si s t, la loi de B t B s est identique à celle de B t s.

9 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL DÉFINITION 2 : On appelle mouvement brownien (issu de ) une famille (B t ) t de variables aléatoires telle que I) B = ; II) Pour tout p 1, pour tout = t < t 1 <... < t p, les variables aléatoires B t1, B t2 B t1,..., B tp B tp 1 sont indépendantes, et pour tout j = 1,..., p, B tj B tj 1 est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance (t j t j 1 ) ; III) Pour tout ω Ω, la fonction t B t (ω) est continue. REMARQUE : La définition 1 permet de caractériser la loi de la variable aléatoire B t (ce n est pas immédiat). La définition 1 est plus historique. C est seulement en 19 qu on a démontré qu un processus vérifiant les propriétés de la définition 1 était alors gaussien.

10 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL LES TRAJECTOIRES DU MOUVEMENT BROWNIEN Par définition, les trajectoires d un mb sont continues. On peut démontrer en fait qu elles sont α höldériennes pout tout α < 1/2. Pour tout p et pour tout temps s et t, il existe une variable aléatoire ξ s,t et une constante C p telle que B t B s ξ s,t t s p, et E(ξ p s,t ) Cp (t s)2. Pour presque tout ω Ω, la trajectoire brownienne t B t (ω) est nulle part différentiable. Comment donner un sens à T f (t)db t?

11 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL MÊME LES IDÉES SIMPLES POSENT DES PROBLÈMES! Il n existe pas de points t R + tels que dbt dt ait un sens. On ne peut donc pas définir l intégrale f (s)db s par une expression du type f (s)db s = f (s) db s ds ds. La construction d une intégrale stochastique sera abstraite On fera en sorte que l intégrale pourra être vue comme un limite de somme de Riemann du type T n 1 f (s)db s = lim f (ti )(B ti+1 B ti ) δ où = t < t 1 <... < t n = T est une subdivision de [,T ] de pas δ = sup i=1,...,n (t i t i 1 ), et t i [t i,t i+1 ]. i=

12 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL UN CALCUL EXPLICITE En gardant en tête cette idée simple, un problème de taille surgit même pour une intégrale a-priori élémentaire comme B sdb s. On s attend à trouver (penser à une intégrale de Stieltjes) Bt 2/2. t k = t k/n une subdivision de l intervalle [,t]. On considère les deux sommes de Riemann suivantes obtenues par différents choix de t k : n 1 In(t) 1 = B tk (B tk+1 B tk ) k= n 1 In(t) 2 = B tk+1 (B tk+1 B tk ). k=

13 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL UN CALCUL EXPLICITE (SUITE) ( ) n 1 In(t) 2 In(t) 1 = (B tk+1 B tk ) 2 = t n 1 2 B tk+1 B tk t/n = t 1 n 1 Z k, n n k= k= k= On a : Z k = ( ) 2 B tk+1 B tk t/n définit une suite de v.a.i.i.d d espérance commune 1. D après la loi des grands nombres, De plus il est facile de voir que I 2 n(t) I 1 n(t) n t E(Z ) = t. I 1 n(t) + I 2 n(t) = B 2 t.

14 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL Finalement on obtient que I 1 n(t) n I 2 n(t) n B 2 t 2 t 2 Bt t 2. Un autre calcul montre que si on choisit le milieu des intervalles [t i,t i+1 ] on obtient n 1 In(t) 3 Bt 2 = B t k +t k+1 (B tk+1 B tk ) 2 n 2. k= Ainsi les limites de somme de Riemann dépendent du choix de t k, contrairement au cas déterministe! On a donc différents choix pour définir une intégrale stochastique!

15 MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRALES STOCHASTIQUES Les trois choix précédent conduisent à trois notions d intégrales différentes : B s db s = B2 t 2 t 2 B s db s = B2 t 2 B s d Bs = B2 t 2 + t 2 Intégrale d Itô Intégrale de Stratonovitch Intégrale d Itô rétrograde (ou backward). Ces trois intégrales ont leurs avantages et inconvénients. L intégrale de Stratonovitch permet de retrouver une forme de "calcul différentiel" standard. L intégrale d Itô jouit d une propriété importante et très chère aux probabilistes : l intégrale obtenue sera une martingale (tout comme le mouvement Brownien) (M t ) t est une martingale si E(M t F s) = M s pour s t

16 INTÉGRATION STOCHASTIQUE PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

17 INTÉGRATION STOCHASTIQUE INTÉGRATION DES PROCESSUS SIMPLES PROCESSUS ÉLÉMENTAIRES On appelle processus élémentaire (H t ) t T un processus de la forme H t (ω) = p φ i (ω)1 ]ti 1,t i ](t), i=1 où = t < t 1 <... < t p = T et φ i est une variable aléatoire F ti 1 mesurable et bornée. INTÉGRALE D UN PROCESSUS SIMPLE L intégrale stochastique d un processus élémentaire H = (H t ) t T est définie par le processus continu ( I(H) t défini par : ) t T I(H) t = k φ i (B ti B ti 1 ) + φ k+1 (B t B tk ), pour t ]t k, t k+1 ], k =,..., p 1. i=1

18 INTÉGRATION STOCHASTIQUE PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE D UN PROCESSUS SIMPLE On note H s db s = I(H) t. Continuité de t H sdb s, ( H sdb s est une F t martingale, ) t T ( ) t 2 ( ) Isométrie d Itô : E H t sdb s = E H2 s ds, CAS DÉTERMINISTE : INTÉGRALE DE WIENER Si (H t ) t T n est pas aléatoire, H sdb s est une v.a. gaussienne de loi ( N ; ) t H2 s ds.

19 INTÉGRATION STOCHASTIQUE EXTENSION PROCESSUS ADAPTÉS DE CARRÉ INTÉGRABLE On définit la classe H des processus adaptés de carré intégrable par { ( ) } T H = (H t ) t T, adapté à (F t ) t T, E Hs 2 ds < +. INTÉGRALE DES PROCESSUS DE H Il existe une unique application linéaire J de H dans l espace des F t martingales continues définies sur [, T ], telle que 1. SI (H t ) t T est un processus élémentaire, pour tour t T on a J(H) t = I(H)t P p.s.. 2. Si t T, E ( ) ( J(H) 2 t t = E H2 s ds). Cette propriété est appelée isométrie d Itô. Pour H H, on note H sdb s = J(H) t.

20 INTÉGRATION STOCHASTIQUE INTÉGRALE DE WIENER Pour tout f L 2 (, T ), f (s)db s est bien définie. C est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance f 2 (s)ds. t f (s)db s est continue. Si f est continue et dérivable, s On ne sait toujours pas pourquoi f (r)db r = f (r)b r dr + f (t)b t f (s)b s. s B s db s = B2 t 2 t 2?

21 CALCUL D ITÔ PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

22 CALCUL D ITÔ QUELQUES GÉNÉRALITÉS But : introduire un calcul "différentiel" sur des intégrales stochastiques. Formule d Itô : analogue du développement de Taylor d une fonction à l ordre 1 avec un reste intégral Ici on développe des processus et le reste intégral se présente sous forme d intégrale stochastique. UN EXEMPLE Le prolongement naïf du calcul différentiel est voué à l échec. Supposons que l on veuille "différencier" t Bt 2 et l exprimer en fonction de "db t ". Pour une fonction t f (t) différentiable et nulle en on a f (t) 2 = 2 f (s)f (s)ds = 2 f (s)df (s).

23 CALCUL D ITÔ Dans le cas du mouvement brownien et de l intégrale stochastique, on ne peut avoir une formule du même type : Bt 2 = 2 B s db s. En effet : ( B ) sdb s t T est une martingale (car E( B2 s ds ) < ) nulle en. Si elle était égale à Bt 2, elle serait positive, et une martingale nulle en ne peut être positive que si elle est nulle L espérance d une martingale est constante. Ici on aurait E(B 2 t ) = E(B2 ) = et donc B t = ce qui est faux.

24 CALCUL D ITÔ FORMULE D ITÔ Soit (X t ) t T un processus d Itô : X t = X + K s ds + H s db s, f est une fonction deux fois continûment différentiable, on a : où par définition et : f (X t ) = f (X ) + f (X s )dx s + 1 f (X s )d < X, X > s 2 f (X s )dx s = < X, X > t = H 2 s ds, f (X s )K s ds + f (X s )H s dw s.

25 CALCUL D ITÔ UN EXEMPLE Si f (x) = x 2 et X t = B t, on a K s = et H s = 1, donc : On obtient : Bt 2 = 2 B s db s ds. 2 Bt 2 t = 2 B s db s. Comme E ( B2 s ds ) <, c est en fait le processus ( Bt 2 t ) qui est t une martingale.

26 CALCUL D ITÔ REMARQUE : FORMULE D ITÔ SOUS FORME STRATONOVITCH Si on écrit l intégrale sous sa forme de Stratonovitch, on retrouve un calcul différentiel "standard" : X t = X + K s ds + H s db s, Pour f est une fonction trois fois continûment différentiable on a : f (X t ) = f (X ) + f (X s ) dx s. LIEN INTÉGRALE D ITÔ ET INTÉGRALE DE STRATONOVITCH Sous réserve d existence des intégrales : H s db s = H s db s H 2 s ds.

27 RAPPELS PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

28 RAPPELS QUELQUES FORMULES UTILES INTÉGRALE DE WIENER Pour tout f L 2 (, T ), f (s)db s est bien définie. C est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance f 2 (s)ds. t f (s)db s est continue. Si f est continue et dérivable, s f (r)db r = f (r)b r dr + f (t)b t f (s)b s. s

29 RAPPELS Si f et g sont deux fonctions régulières : FORMULE D INTÉGRATION PAR PARTIES d(fg)(t) = f (t)dg(t) + g(t)df (t). CAS DES PROCESSUS D ITÔ Pour deux processus du type : on a la formule d IPP : df (t) = b(t)dt + σ(t)db t dg(t) = b(t)dt + σ(t)db t, d(fg)(t) = f (t)dg(t) + g(t)df (t) + σ(t) σ(t)dt avec f (t)dg(t) = f (t)b(t)dt + f (t)σ(t)db t g(t)df (t) = g(t) b(t)dt + g(t) σ(t)db t.

30 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN PLAN DE L EXPOSÉ INTRODUCTION MOUVEMENT BROWNIEN ET APPROCHE HEURISTIQUE D UN CALCUL INTÉGRAL INTÉGRATION STOCHASTIQUE CALCUL D ITÔ RAPPELS APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN

31 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN ÉQUATIONS DE LANGEVIN LES DONNÉES t x(t) : position d une particule brownienne au temps t sa vitesse v = dx/dt satisfait l équation de Langevin : dv(t) = βv(t)dt + σdb t β est une constante ayant la dimension d une fréquence σ sera déterminée plus tard si m est la masse de la particule, formellement on a : m d 2 x dt 2 = mβv + mσ db t dt Loi de Newton F = ma avec une force de friction F = mβv (mβ coefficient de friction) une force de fluctuation F1 = mσdb t/dt

32 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN SOLUTION DE L ÉQUATION DE LANGEVIN dv(t) = βv(t)dt + σdb t AVEC x() = x ET v() = v : v(t) = e βt v + σe βt e βs db s x(t) = x + v(s)ds VÉRIFICATION : On utilise la formule d intégration par parties.

33 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN LOI DE v(t) v(t) = e βt v + σe βt e βs db s eβs db s est une variable aléatoire de loi gaussienne de moyenne (ou d espérance) nulle et de variance v(t) sera aussi une gaussienne avec ( e βs) 2 ds = e 2βt 1 2β une espérance vérifiant E(v(t)) = e βt v et une variance de σ 2 2β (1 e 2βt )

34 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE v(t) v(t) = e βt v + σe ) βt t eβs db s est de loi N (e βt v ; σ2 2β (1 e 2βt ) Pour toute vitesse initiale v, la loi limite est une gaussienne de moyenne nulle et de variance σ 2 /2β. D après les lois de la mécanique statistique, l énergie moyenne de la particule (en équilibre) doit être 1 2kT (k est la constante de Boltzmann et T est la temperature absolue) 1 2 m σ2 2β = 1 2 kt On choisit σ 2 = 2 βkt m = 2β2 D avec D = kt /mβ est le coefficient de diffusion dans les équations d Einstein.

35 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN PROCESSUS D ORNSTEIN-UHLENBECK DÉFINITIONS Le processus v(t) = e βt v + β 2De βt e βs db s est le processus de vitesse d Ornstein-Uhlenbeck de diffusion de coefficient D et temps de relaxation β 1. Le processus de position correspondant (x(t)) t est appelé processus d Ornstein-Uhlenbeck : x(t) = x + v(s)ds est une variable aléatoire gaussienne de moyenne x + 1 e βt v β et de variance 2Dt + D ( 3 + β 4e βt e 2βt ).

36 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN COMPARAISON AVEC LA THÉORIE D EINSTEIN D après Einstein, la variance de la position est 2Dt. Pour le processus d O-U, la variance de la position est 2Dt + D β ( 3 + 4e βt e 2βt ) Si β = 1 8 s. et t =, 5 s. on fait une erreur sur la variance de l ordre de La théorie d Einstein est une bonne approximation de celle d O-U pour une particule libre.

37 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN POURQUOI LA TRAJECTOIRE EST "BROWNIENNE"? On rappelle que la position de la particule au temps t est x(t), variable aléatoire gaussienne de moyenne x + 1 e βt β v et de variance 2Dt + D β ( 3 + 4e βt e 2βt ). β ET D CONSTANT β et σ varient de telle sorte que β et D = σ 2 /2β 2 reste constant. la moyenne de la position tend vers x la variance de la position tend vers 2Dt On obtient un processus gaussien ayant même moyenne et variance que x(t) = x + 2DB t. x(t) x(t) quand β avec σ 2 /2β 2 constant.

38 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN On remarque que le processus de position qui permet d obtenir un Wiener quand β provient du processus de vitesse d O-U satisfaisant l équation de Langevin suivante : dv(t) = βv(t)dt + βdb t Il en sera de même en présence d un champs de force extérieur mais les équations deviennent plus difficiles à manipuler. RÉFÉRENCES Principalement le livre de Nelson disponible gratuitement sur sa page web.

39 APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DE LANGEVIN Merci de votre attention