Polynômes de Bernstein

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1 Polyômes de Berstei Sergei Nataovic Berstei est é e 1880 et est mort e ) Défiitio. Soit f ue foctio défiie et cotiue sur [0, 1] à valeurs das. Pour etier aturel o ul doé, le -ième polyôme de Berstei associé à f est : ) B f) f X 1 X). 2) L idetité X) 2 X 1 X) X1 X). a) O suppose das ce paragraphe que : x [0, 1], fx) 1. Si, pour tout x de [0, 1], fx) 1, alors pour etier aturel o ul doé : B f) X 1 X) X + 1 X)) 1. N, X 1 X) 1. b) O suppose das ce paragraphe que : x [0, 1], fx) x. Si, pour tout x de [0, 1], fx) x, alors pour etier aturel o ul doé : 1er calcul. Pour 1, Doc B f) X 1 X).!! )! 1)! 1)! 1) 1))! 1 1. B f) X X 1 X) 1 1 X 1 X) X 1 X) X 1 1 X) 1) 1) X 1 Xl 1 X) 1) l) XX + 1 X)) 1 X. l0 N, X 1 X) X. 2 ème calcul. Pour N, X 1 Y) X X 1 1 Y) 1 X ) d dx X 1 Y) X d dx X + 1 Y) ) XX + 1 Y) 1. http ://www.maths-frace.fr 1 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

2 Doc N, E particulier, quad Y X, o retrouve le résultat précédet. X 1 Y) XX + 1 Y) 1. c) O suppose das ce paragraphe que : x [0, 1], fx) xx 1). Si, pour tout x de [0, 1], fx) xx 1), alors pour etier aturel supérieur ou égal à 2 doé : B f) 1er calcul. Pour 1 1, Doc ) B f) 1 ) 1 X 1 X) )X 1 X).! 1)! 1)! 1) 2)! 1) 1 1 1)! 2) 1))! X 1 X) X1 X) X 1 1 X) 2) 1) 1 2 X1 X) 2 X 1 X) 2 1 X1 X)X + 1 X) 2 1 X1 X). L égalité précédete restat vraie pour 1 : 2 ème calcul. Doc N, ) 1 X 1 X) 1 X1 X). ) 1 X 1 Y) )X 1 Y) 1 1 )) 2X1 Y) X Y X 1 Y) 1 ) 2X1 Y) X Y X + 1 Y) ) 1)) 1 X1 Y)X + 1 Y) X1 Y)X + 1 Y) 2. N, E particulier, quad Y X, o retrouve le résultat précédet. d) alcul de X) 2 X 1 X). X) 2 X 1 X) ) 1 X 1 Y) 1 X1 Y)X + 1 Y) 2. 2 X 1 X) 2X X 1 X) + 2 X 2 X 1 X) )X 1 X) 2X 1) X 1 X) + 2 X 2 2 ) 1 X 1 X) 2 2X 1) X 1 X) + 2 X 2 http ://www.maths-frace.fr 2 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

3 et doc les résultats de a), b) et c) X)2 X 1 X) 2 1 ) X1 X) 2X 1)X + X2 Fialemet 2 1 X2 + 1 X) X1 X). N, X)2 X 1 X) X1 X). 3) overgece uiforme de la suite des polyômes de Berstei Soit f ue foctio cotiue sur [0, 1] à valeurs das R ou. O va motrer que la suite B f)) N coverge uiformémet vers f sur [0, 1]. a) Ue majoratio de fx) B f)x). Soit x u réel de [0, 1] et u etier aturel o ul. fx) B f)x) fx) ) f x 1 x) fx) ) x 1 x) f x 1 x) d après 1)a)) )) fx) f x 1 x) ) fx) f x 1 x). b) Pourquoi l expressio précédete est-elle petite? Tout d abord, x 1 x) 1 est ue expressio borée uiformémet e x. Esuite, pour x doé et pour des tels que x ) est petit, fx) f est petit. Pour les tels que est assez éloigé de x et décrivat doc u sous-esemble J de 0,, ) fx) f est borée uiformémet e x et il y a qu à espérer que J x 1 x) soit petit. Mais là, o dispose de J ) 2 x x 1 x) ) 2 x x 1 x) x1 x) c) Soit ε u réel strictemet positif. f est cotiue sur le segmet [0, 1] et est doc d ue part borée sur ce segmet, et d autre part uiformémet cotiue sur ce segmet d après le théorème de Heie. Par suite, il existe u réel M tel que pour tout x de [0, 1], fx) M et il existe u réel α > 0 tel que x, y) [0, 1] 2, x y < α fy) fx) < ε 2. d) Soiet u etier aturel o ul et x u réel de [0, 1]. et doc fx) B f)x) x <α ) fx) f x 1 x) ) fx) f x 1 x) + x α ) fx) f x 1 x) http ://www.maths-frace.fr 3 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

4 fx) B f)x) ε 2 ε 2 x <α x 1 x) + 2M x 1 x) + 2M α 2 ε 2 + 2M α 2 x ε 2 + 2M x1 x) α 2 d après 1)), das la deuxième somme, l iégalité x α s écrit ecore 1 x α x α ) 2 x 1 x) x 1 x) x ) 2 x 1 x) x ) 2 α 2 ) et doc : fx) B f)x) ε 2 + 2M 1/4 α 2 ε 2 + M 2α 2, si x [0, 1], x1 x) 1 4 x 1 ) 2 1 ). E résumé, ε > 0 strictemet positif ayat été doé, o a motré que : 2 4 x [0, 1], N, fx) B f)x) ε 2 + M 2α 2. Or, ε 2 + M 2α 2 ted vers ε 2 quad ted vers +. Par suite, il existe u etier aturel o ul 0 tel que tout etier aturel 0, ε 2 + M 2α 2 < ε 2 + ε 2 ε et doc pour tout réel x [0, 1], fx) B f)x) < ε. O a motré que et doc que ε > 0, 0 N / x [0, 1], N, 0 fx) B f)x) < ε, La suite B f)) N des polyômes de Berstei coverge uiformémet vers f sur [0, 1]. 4) Le théorème de Weirstrass. D après 2), toute foctio cotiue de [0, 1] das R ou est limite uiforme sur [0, 1] d ue suite de polyômes. Plus gééralemet, soit f ue foctio cotiue sur u segmet [a, b] et soit g la foctio défiie sur [0, 1] par : x [0, 1], gx) fb a)x + a). omme la foctio x b a)x + a est u homéomorphisme de [0, 1] sur [a, b] de réciproque la foctio x x a b a ) et que f est cotiue sur [a, b], g est cotiue sur [0, 1]. Il existe alors ue suite de polyômes Q ) N covergeat uiformémet vers g sur [0, 1]. Pour das N et x das [a, b], posos ) x a P x) Q. b a Soit ε > 0. Il existe 0 N tel que pour x das [0, 1] et 0, gx) Q x) < ε. Mais alors, pour 0 et x das [a, b], ) ) fx) P x) x a x a g Q < ε. b a b a car x a est das [0, 1]. b a O a motré que : http ://www.maths-frace.fr 4 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

5 ε > 0, 0 N / x [a, b], N, 0 fx) P x) < ε, et doc la suite de polyômes P ) N coverge uiformémet vers la foctio f sur l itervalle [a, b]. D où le : Théorème de Weirstrass. Toute foctio cotiue sur u segmet [a, b] de R à valeurs das R ou est limite uiforme sur ce segmet d ue suite de polyômes. 5) Peut-o gééraliser à R? Soit P ) N ue suite de polyômes covergeat uiformémet sur R vers ue foctio f. Nous allos motrer que f est écessairemet u polyôme. D après le critère de auchy uiforme, il existe u etier 0 tel que pour 0, p 0 et x réel, et e particulier pour 0 et x réel, P x) P p x) 1, P x) P 0 x) 1. Pour 0, le polyôme P P 0 est boré sur R et doc costat. Par suite, Quad ted vers + à x fixé, o obtiet : O a motré que : 0, x R, P x) P 0 x) + P 0) P 0 0). x R, fx) P 0 x) P 0 0) + f0). Si P ) N est ue suite de polyômes covergeat uiformémet sur R vers ue foctio f, f est écessairemet u polyôme. e résultat motre que les séries etières usuelles de rayos ifii de somme e x ou cosx...) e sot pas uiformémet covergetes sur R. http ://www.maths-frace.fr 5 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

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