Cours Sciences de l Information Printemps 2014 Série 6 Jean-Yves Le Boudec
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1 sciences de l information exercices 1 Cours Sciences de l Information Printemps 2014 Série 6 Jean-Yves Le Boudec (Pensez à justifier toutes les réponses) Problème 6.1. Le texte clair CHOISIRCESTSEPRIVERDURESTE a été chiffré en RYWVLMDRWHKARIVUKWGUCEXWFT. La méthode de chiffrement est soit un chiffre de César, soit un chiffre de Vigenère. Déterminez quelle méthode a été employée, donnez la clé, et décrivez comment vous avez fait pour la trouver (par exemple, si vous avez écrit un programme, donnez votre code sur Moodle). Le cryptogramme ne peut pas avoir été engendré avec un chiffre de César. On peut voir facilement ceci en regardant par exemple la lettre I dans les positions 4 et 6 qui dans le cryptogramme est codée par deux symboles différents, V et M, respectivement. Nous trouvons donc qu il s agit d un chiffre de Vigenère dont la clé est PRINTEMPS. Voici un code Java qui trouve la clé: public class Vigenere { public static void main(string[] args) { if(args.length!= 2) { System.out.println("Bad input."); return; if(args[0].length()!= args[1].length()) { System.out.println("The lengths don t match!"); return; char[] key = new char[args[0].length()]; for(int i=0; i<args[0].length(); i++) { key[i] = (char) (args[1].charat(i)-args[0].charat(i)+ A ); if(key[i]< A ) key[i] += Z - A +1; System.out.println(key); Problème 6.2. Sherri et Terri sont envoyées par la mairie de Springfield à une réunion secrète de la NSA à l EPFL. Une fois rendue sur le campus, Sherri doit lire son et ses SMS pour y trouver un numéro de téléphone à composer. Le numéro de téléphone est chiffré avec un chiffrement de Vernam; le numéro chiffré est envoyé par et le masque à usage unique par SMS. Le numéro en clair est le numéro de téléphone de l agent de la NSA à l EPFL. Pour utiliser le chiffrement de Vernam, la mairie de
2 sciences de l information exercices 2 Springfield transforme d abord le numéro de téléphone décimal en une suite de bits, en utilisant le code morse, avec la convention = 1, = 0. Le numéro ainsi encodé est une suite de 50 bits. Le masque à usage unique, qui est choisi par le maire de Springfield, est aussi une suite de 50 bits, engendrée par la source Pile ou Face" 1. Le code utilisé pour encoder le numéro de téléphone est-il à décodage unique? Oui, car il est de longueur fixe. 2. Ce système de chiffrement est-il à confidentialité parfaite? Oui, le numéro de téléphone et le cryptogramme obtenu par le chiffrement de Vernam sont indépendants, par le même argument qui est donné dans la description du chiffre de Vernam dans le support de cours (puisque la clé engendrée par la source pile ou face est uniformément distribuée parmi toutes les suites binaires de 50 bits). 3. Sherri s est fait voler son smartphone dans le métro de Lausanne et ne peut pas recevoir le masque envoyé par le maire. Heureusement, Terri possède toujours un téléphone portable. Elle appelle Bart, qui est resté à Springfield, et lui demande de lui envoyer le masque. Bart ne peut pas, car le masque obtenu par le maire était à usage unique et a été détruit. Bart (qui ne peut rien refuser à Terri) se débrouille pour obtenir le numéro de téléphone secret, engendre un masque, envoie par à Terri le message qu il vient de chiffrer et le masque par SMS. Malheureusement, Bart (qui est un peu trop empressé) n a pas bien compris comment engendrer un masque à usage unique et s est contenté d obtenir une suite de 5 bits de la source Pile ou Face". Le masque utilisé par Bart, et envoyé par SMS à Terri, est constitué de la même suite de 5 bits répétée autant de fois que nécessaire pour obtenir un masque de 50 bits. Le système de Bart est-il à confidentialité parfaite? Pour la suite utilisons la notation P = (P 1,..., P 10 ) pour la source qui renvoie le texte clair (i.e., le numéro de téléphone codé avec le code Morse), C = (C 1,..., C 10 ) pour celle qui renvoie le texte crypté, et K = (K 1, K 1,..., K 1 ) pour la clé engendrée par Bart. Notons aussi par x i le mot de code Morse correspondant au chiffre i = Commençons par remarquer que chaque chiffre codé sur 5 bits P l ne peut prendre que 10 valeurs {x i 9 i=0. Le concept de confidentialité parfaite sousentend qu il y a une source qui génère le texte clair, avec une certaine densité de probabilité. Dans notre cas, il s agit de l allocation des numéros de téléphone à l EPFL. Par exemple, les premiers 5 chiffres sont deterministes: tous les numéros de téléphone à l EPFL commencent par Nous pouvons supposer qu au moins deux chiffres parmi les cinq derniers sont choisis uniformément et indépendamment des autres chiffres (c est à dire que toutes les 100 combinaisons de ces deux chiffres sont équiprobables parmi tous les numéros de téléphone al-
3 sciences de l information exercices 3 loués à l EPFL). Si c est le cas, alors l entropie de P est au moins H(P) log bits. L entropie de K est égale à H(K 1 ) = 5bits. Par la contraposée du Théorème 6.2, puisque H(K) < H(P), le système de Bart n est pas à confidentialité parfaite. Remarque. Dans cet exercice nous mettons en évidence l importance du modèle de la source quand on parle de confidentialité parfaite. Notre hypothèse sur la distribution des numéros de téléphone à l EPFL n est probablement pas très loin de la vérité. Par contre, si on suppose que les seuls numéros de téléphone possibles sont { , ,..., , alors le système de Bart est à confidentialité parfaite! Le choix uniforme des premiers 5 bits de la clé protège le chiffre répété de la même manière que le système original protégeait le numéro en entier. Tout dépend donc du modèle de la source Dolph, qui a eu vent de l affaire, a suivi Sherri et Terri sur le campus de l EPFL et cherche à obtenir le numéro. Le campus de l EPFL est très bien surveillé, et il est impossible de composer plus de 10 numéros par heure depuis le même téléphone. Donc Dolph renonce à l attaque par recherche exhaustive (de plus, une telle attaque, qui consiste à appeler tous les numéros possibles, ferait naître des soupçons). Il réussit à obtenir le numéro chiffré par Bart en pénétrant le compte mail de Terri; cependant, il ne réussit pas à obtenir le SMS contenant le masque à usage unique car Terri, méfiante, garde son portable bien en sécurité. Le numéro chiffré, obtenu par Dolph est Dolph peut-il deviner le numéro de téléphone secret? Justifiez votre réponse; si c est oui, donnez le numéro de téléphone; si c est non, prouvez l impossibilité. Pour commencer, regardons dans le cryptogramme C le premier groupe de 5 bits C 1 qui correspond au premier chiffre P 1 (codé avec le code Morse). P 1 ne peut prendre que 10 valeurs possibles {x i 9 i=0 = {00000, 10000, 11000, 11100, 11110, 11111, 01111, 00111, 00011, Donc, ayant observé C 1, il y a 10 valeurs possibles pour le masque: K 1 {C 1 x i 9 i=0 = {10010, 00010, 01010, 01110, 01100, 01101, 11101, 10101, 10001, Maintenant ayant observé C en entier, nous avons toujours 10 possibilités pour P, car le masque K 1 est répété, et donc pour chaque choix possible de K 1 {C 1 x i 9 i=0, P est entièrement déterminé sachant C: P 2 = C 2 K 1,..., P 10 = C 10 K 1. Puisqu un numéro de téléphone commence par un zéro, K 1 ne peut être en fait que C 1 0 = C 1. En appliquant le masque K 1 = C 1 = à tous les chiffres cryptés, et en décodant par la suite le code de Morse, nous trouvons le numéro de téléphone
4 sciences de l information exercices 4 5. La porte du lieu de réunion est protégée par un système de contrôle d accès. Chaque personne qui se présente doit connaître le code d entrée. Un système de contrôle d accès autorise chaque personne à au maximum 3 essais. Si une personne essaie d entrer un code faux 3 fois ou plus, le système de contrôle (qui utilise des méthodes biométriques) n autorise pas cette personne à essayer de nouveau. Terri demande à Bart de lui envoyer, toujours en utilisant le même système de chiffrement, le code d entrée. Ce code est une suite de 7 chiffres décimaux, qui, une fois chiffrée, donne donc une suite de 35 bits. Bart, qui est parfois consciencieux, prend la précaution d engendrer un nouveau masque; le masque de Bart est construit de la même façon (à savoir, constitué de la même suite de 5 bits obtenus de la source Pile ou Face", répétés autant de fois que nécessaire pour obtenir un masque de 35 bits). Bart envoie le numéro chiffré par à Terri et le masque par SMS. Dolph a accès au numéro chiffré mais pas au masque. Le numéro chiffré, obtenu par Dolph est Dolph pourra-t- il entrer dans la salle? Justifiez votre réponse; si c est oui, donnez le ou les codes d accès utilisés par Dolph; si c est non, prouvez l impossibilité. Solution 1 Pour chacun des 7 chiffres du texte chiffré, on obtient un ensemble de 10 masques possibles (car il n y a que 10 valeurs possibles pour un chiffre du texte clair). Le masque est dans l intersection de ces 7 ensembles. Ces sept ensembles peuvent être calculés et sont donnés en marge (les masques sont converties en décimal) Leur intersection contient seulement 2 masques: (13 en décimal) et (18 en décimal). Les deux valeurs possibles pour le code d entrée sont donc et L un des deux doit être le bon code. Comme Dolph a droit à 3 essais, il pourra entrer (s il ne fait pas de faute de frappe). Solution 2 Nous pouvons explorer les 10 choix possibles pour le masque K 1 {C 1 x i 9 i=0 pour déterminer les 10 possibilités pour la suite de 35 bits avant le chiffrage. Nous cherchons ensuite à décoder ces suites de 35 bits avec le code Morse. Nous trouvons que ce décodage échoue pour 8 parmi les 10 possibilités. Voici les 10 suites possibles ci-contre, où nous indiquons par un caractère * l échec du décodage Morse. Nous retrouvons les deux mêmes possibilités et pour le code d entrée. Problème Décomposez en facteurs premiers: a = 52, b = 143 et c = masque-> code d entrée > 05*** > 16**81* > 27*8*2* > > 493**4* > 50*** > 61**36* > 72*3*7* > > 948**9*
5 sciences de l information exercices 5 a = b = c = Trouvez pgcd(a, b), pgcd(a, c) et pgcd(b, c). pgcd(a, b) = 13 pgcd(a, c) = 2 2 pgcd(b, c) = a, b sont-ils premiers entre eux? Même question pour b, c et a, c. Non, tous les pgcd sont strictement plus grands que Donnez le reste de modulo On note N le nombre pour lequel on doit calculer le reste. Remarquons qu on peut l écrire comme suit: N = Puisque (mod ) nous trouvons que etc. Donc = ( 10 6) (mod ) N (mod ), et donc que le reste cherché est = 90/2 = 45.
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