Ne PAS retourner ces feuilles avant d en être autorisé!

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1 I MT & EL Test N 2 vendredi 20 novembre 2015 Ne PS retourner ces feuilles avant d en être autorisé! Merci de poser votre carte MIPRO en évidence sur la table. Vous pouvez déjà compléter et lire les informations ci-dessous: NOM Prénom Numéro SIPER Signature ROUILLON : Ecrivez aussi votre NOM-Prénom sur la feuille de brouillon fournie. Toutes vos réponses doivent être sur cette copie d examen. Les feuilles de brouillon sont ramassées pour être immédiatement détruites. Le test écrit commence à: Retourner les feuilles avec la page 8 face à vous à : 14h15 15h30 les contrôles écrits I sont SNS document autorisé, ni appareil électronique Total sur 20 points = 12 points pour la partie Quizz et 8 points pour les questions ouvertes Vous pouvez utiliser un crayon à papier et une gomme La partie Quizz (QM) comporte 12 questions : chaque question n a qu une seule réponse correcte parmi les 4 réponses proposées. haque réponse correcte donne 1 point. ucun point n est donné en cas de réponses multiples, de rature, ou de réponse incorrecte. Indiquez vos réponses à la partie Quizz dans le tableau en bas de cette page. La partie «question ouverte» comporte 2 questions = 4 points + 4 points. Questions du Quizz

2 Formules de trigonométrie 2sin(u)sin(v) = cos(u - v) - cos(u + v) 2cos(u)sin(v) = sin(u + v) - sin(u - v) Une précision du centième est parfois nécessaire pour vos calculs ; souvent le dixième suffit. 2

3 QUIZZ Question 1 : la sinusoïde X(t) apparaissant dans le dessin ci-dessus est échantillonnée aux instants indiqués par une petite barre verticale sur l axe temporel (unité en secondes). On reconstruit le signal à l aide de la formule d interpolation. Indiquer dans quel intervalle (en Hz) se situe la fréquence fi de la sinusoïde reconstruite : 0.7 < fi < 0.95 fi est supérieure à < fi < < fi < Question 2 : laquelle des affirmations suivantes est fausse? Remarque : un symbole Si est différent d un symbole Sj pour tout i j L entropie de la séquence de symboles S1 S2 S3... Sn est égale à l entropie de la séquence S2 S1 S3... Sn L entropie de la séquence de symboles est égale à l entropie de la séquence S1 S2 S3... Sn S1 S1 S2 S2... Sn Sn L entropie de la séquence de symboles S1 S1 S2 S2... Sn Sn est égale à l entropie de la séquence S1 S2 S S2n L entropie de la séquence de symboles S1 S2 S3... Sn est égale à l entropie de la séquence Sn Sn-1 Sn-2... S Question 3 : Soit le signal X(t) = sin(8πf 1t) + sin(2π(f 1+ f 2)t - π/2) Quelle proposition est correcte concernant la fréquence d échantillonnage fe qui est nécessaire pour reconstruire parfaitement le signal X(t) : Si f2 > f1 alors il suffit que fe soit strictement supérieur à 2(f1 + f2) Si f2 >3 f1 alors il suffit que fe soit strictement supérieur à 2(f1 + f2) Si f2 >3 f1 alors il suffit que fe soit strictement supérieur à 2(f1 + f2) - π/2 Si f1 = f2 alors il suffit que fe soit strictement supérieur à 4 f1 3

4 Question 4 : Le signal de gauche passe à travers un filtre pour obtenir celui de droite. e filtre est constitué de : Seulement un filtre passe-bas idéal Un filtre passe-haut idéal, suivi par un filtre à moyenne mobile Un filtre passe-bas idéal, suivi par un filtre à moyenne mobile Un filtre à moyenne mobile, suivi par un filtre passe-haut idéal Question 5 : soit les 3 signaux avec f 1 > 0 et f 2 > 0 X 1 : sin(2πf 2t + 4πf 1t) X 2 : sin(2πf 2t) + 2sin(2πf 1t) X 3 : sin(2πf 2t)sin(4πf 1t) Que peut-on dire sur les fréquences d échantillonnage minimum f e(x 1), f e(x 2) et f e(x 3) auxquelles on doit respectivement échantillonner les signaux X 1, X 2 et X 3 de manière à garantir une reconstruction parfaite au moyen de la formule d interpolation. fe(x1) = fe(x2) = fe(x3) On ne peut rien dire ; il faudrait avoir plus d information sur la relation entre f1 et f2 fe(x1) = fe(x2) < fe(x3) fe(x1) = fe(x3) > fe(x2) Question 6 : On applique un filtre à moyenne mobile de durée d intégration Tc, avec Tc > 0, sur un signal donné par la fonction sinus cardinal sinc(t) = sin(πt)/ πt. Quelle proposition est vraie? Si Tc = 2 alors le signal filtré est nul pour toute valeur de t Quelle que soit la valeur de Tc > 0, le signal filtré n est pas nul pour toute valeur de t Si 0 < Tc < 2 alors le signal filtré est exactement le même que le signal initial pour toute valeur de t Si Tc est un nombre pair > 2 alors le signal filtré est nul pour toute valeur de t Question 7 : pour un message, noté X et contenant au moins une lettre, on note LSF(X) le nombre moyen de bits par lettre obtenu avec l algorithme de Shannon-Fano, LH(X) le nombre moyen de bits par lettre obtenu avec l algorithme de Huffman, et H(X) l entropie. Quelle affirmation est correcte? ans le cas général, H(X) LSF(X) = LH(X) ans le cas général, H(X) LH(X) LSF(X) H(X)+1 ans le cas général, H(X) LSF(X) LH(X) H(X)+1 Si X contient seulement 3 lettres distinctes alors LSF(X) = LH(X) = H(X) 4

5 Question 8 : soit les séquences S1= ZIGZGGY, S2= FRIZZILY, S3= SWIZZLES Quelle proposition est vraie concernant leur entropie H? H(S3) > H(S2) > H(S1) H(S1) > H(S3) > H(S2) H(S3) = H(S2) > H(S1) H(S2) > H(S3) > H(S1) Question 9 : Un signal de bande passante f est filtré par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure fc, il est ensuite échantillonné à la fréquence fe, puis reconstruit à l aide de la formule d interpolation. La bande passante du signal reconstruit vaut : fc /2 si 2f < fe et fc = f /2 f si fc < 2fe et fc = f /2 fc si fe < 2fc et fc = f f /2 si fc < fe/2 et fc = f / Question 10 : le signal périodique suivant est le résultat de l application d un filtre à moyenne mobile de durée d intégration Tc, sur l un des 4 signaux proposés. Indiquer quel est le signal initial : 5

6 Question 11 : soit la phrase: I LOVE OMPRESSION On construit un code sans perte et sans préfixe pour cette phrase (sans tenir compte des espaces). Quelle proposition est vraie? La performance du code obtenu avec l algorithme de Shannon-Fano est égale à la performance du code obtenu avec l algorithme de Huffman plus une unité. L algorithme de Shannon-Fano permet de construire un seul code valide Le code construit avec l algorithme de Shannon-Fano a la même performance que le code construit avec l algorithme de Huffman Les algorithmes de Huffman et Shannon-Fano produisent des codes valides mais n ayant pas la même performance pour cette phrase Question 12 : le nombre total de bits pour coder la phrase avec l algorithme de Shannon-Fano est de :

7 Questions Ouvertes Question 1 : écodage d un message codé( 4 points) James ond vient de recevoir un message codé : e message désigne une destination où il doit se rendre. Petit problème: James a retrouvé deux dictionnaires dans son téléphone portable et ne sait pas lequel il doit utiliser. ictionnaire 1 11 H 101 I 0111 L 100 M 0100 Y 00 ictionnaire 2 H 101 L 00 N 010 O 0111 U 11 a) [2 pt] es dictionnaires peuvent-ils coder et décoder un message sans perte? Pour justifier votre réponse, dessinez un arbre des codes binaires associés aux lettres (pour chaque dictionnaire). essin dictionnaire 1 essin dictionnaire 2 Réponse (pourquoi): Réponse (pourquoi): 7

8 b) [2 pts] James se dit qu il doit choisir la destination indiquée par le dictionnaire le plus proche de l optimum. Justifiez votre réponse à l aide du message décodé. 8

9 Question 2 : odage Optimal ( 4 points) a) (2 pts) onstruire l arbre permettant d obtenir le code de Huffman pour la séquence : FIZZLE MIZZLE (on ignore l espace). b) (2 pts) indiquer le nombre total de bits pour coder la séquence et le nombre moyen de bits par lettre. e codage optimal permet-il d atteindre la borne théorique inférieure pour le nombre de bits par lettre? Justifier en indiquant cette limite inférieure en cas de réponse négative. 9

10 Ne rien écrire sur cette page, Rappel : avez-vous complété le tableau en p1? Présenter cette page sur le dessus dans les 2 cas suivants : 1) vous avez fini avant 15h30 2) les copies sont ramassées 10