CORRIGÉ. b) L hypoténuse mesure 76,32 cm et une cathète mesure 58,42 cm ; l autre cathète mesure

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1 EXERCICES DE RÉVISION PYTHAGORE ET LES SOLIDES La relation de Pythagore et sa réciproque 1. Comment se nomme : a) le côté opposé à l angle droit d un triangle rectangle? Hypoténuse. b) chacun des côtés adjacents à l angle droit d un triangle rectangle? Cathète. 2. Trouvez, au centième près, la mesure manquante des triangles rectangles suivants. a) Si les cathètes mesurent respectivement 6,3 cm et 2,4 cm, l hypoténuse mesure environ 6,74 cm. b) L hypoténuse mesure 76,32 cm et une cathète mesure 58,42 cm ; l autre cathète mesure environ 49,11 cm. c) Les cathètes du triangle rectangle isocèle mesurent 7 cm ; l hypoténuse mesure environ 9,90 cm. d) L hypoténuse mesure 64 cm ; les deux cathètes du triangle rectangle isocèle mesurent environ 45,25 cm. 3. Déterminez la valeur exacte des mesures manquantes dans la figure ci-dessous. a) Si q = cm et p = cm, alors r = cm. b) Si r = cm et p = cm, alors q = 2 cm. c) Si r = 9 cm et q = 6,2 cm, alors p = cm. 4. Pour chacun des triangles décrits ci-dessous, indiquez s il est rectangle, acutangle ou obtusangle. Justifiez votre réponse. a) Les côtés du triangle ABC mesurent respectivement 13 cm, 17 cm et 15 cm. C est un triangle acutangle, car 17 2 < , soit 189 < 394. b) Les côtés du triangle PRS mesurent respectivement 9,3 cm, 4,2 cm et 7,5 cm. C est un triangle obtusangle, car 9,3 2 > 4, ,5 2, soit 86,49 > 73,89. c) Les côtés du triangle FGK mesurent respectivement 3 cm, cm et cm. C est un triangle acutangle, car, soit 9 < 14. d) Les côtés du triangle KLM mesurent respectivement cm, cm et cm. C est un triangle rectangle, car, soit 13 = 13. 1

2 L aire des figures planes 1. Quelle est l aire des figures suivantes? a) Un carré de 2,5 cm de côté. 6,25 cm 2 CORRIGÉ b) Un parallélogramme dont la base mesure 5,2 cm et la hauteur 1,5 cm. 7,8 cm 2 c) Un triangle équilatéral de 6 unités de côté et de 5,2 unités de haut. 15,6 unités carrées. d) Un carré dont la diagonale mesure 4 cm. 8 cm 2 e) Un trapèze isocèle dont la hauteur mesure 4 unités, les côtés non parallèles 5 unités et les côtés parallèles respectivement 8 et 14 unités. 44 unités carrées. f) Un losange dont les diagonales mesurent 4 cm et 6 cm. 12 cm 2 g) Un rectangle de 7 unités sur 5 unités. 35 unités carrées. h) Un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l angle droit mesurent 7,2 cm et l hypoténuse 10,18 cm. 25,92 cm 2 2. Calculez l aire des polygones réguliers suivants. a) Un pentagone régulier de 15 cm de côté et de 10,32 cm d apothème. 387 cm 2 b) Un hexagone de 11,58 cm de côté et de 10 cm d apothème. 347,4 cm 2 c) Un octogone régulier de 18 cm de côté et de 21,73 cm d apothème. 1564,56 cm 2 d) Un décagone de 10 cm de côté de 15,39 cm d apothème. 769,5 cm 2 3. En utilisant 3,14 comme valeur approximative de!, trouvez, au centième près, l aire d un disque dont le rayon mesure : a) 7 cm ; 153,86 cm 2 b) 3,15 cm ; 31,16 cm 2 c) 5,01 m. 78,81 m 2 4. En utilisant 3,1416 comme valeur approximative de!, déterminez, au millième près, l aire d un disque dont le diamètre mesure : a) 7 cm ; 38,485 cm 2 b) 4,75 dm ; 17,721 dm 2 c) 40,1 cm. 1262,931 cm 2 2

3 L aire du cône, de la sphère et de solides décomposables 1. Déterminez, au centième près, l aire latérale et l aire totale des cônes suivants. Utilisez!! 3,1416. a) Le rayon de la base est 4,9 cm et l apothème mesure 12,4 cm. A l! 190,88 cm 2, soit! 3,1416 " 4,9 " 12,4. A b! 75,43 cm 2, soit! 3,1416 " 4,9 2. A t! 266,31 cm 2, soit! 190, ,43. b) Le diamètre de la base et l apothème mesurent tous deux 10 dm. A l! 157,08 cm 2, soit! 3,1416 " 5 " 10. A b! 78,54 cm 2, soit! 3,1416 " 5 2. A t! 235,62 cm 2, soit! ,5. c) Le rayon de la base est 5,2 cm et la hauteur est de 7 cm. L apothème mesure environ 8,72 cm, soit. A l! 142,45 cm 2, soit! 3,1416 " 5,2 " 8,72. A b! 84,95 cm 2, soit! 3,1416 " 5,2 2 A t! 227,4 cm 2, soit! 142, , Trouvez l aire latérale exacte d un cône dont l aire de la base est de 49! cm 2 et dont l apothème mesure 4,9 cm. 34,3! cm 2, soit! " 7 " 4,9, car r = 7 cm. 3. Quelle est l aire exacte d une sphère de 18 cm de diamètre? 324! cm 2, soit 4! " Quelle est l aire de la base d une demi-sphère dont l aire latérale mesure 56! unités carrées? 28 unités carrées. Démarche : L aire latérale de la demi-sphère est de 2!r 2, soit. L aire de la base est de!r 2. Elle équivaut donc à la moitié de l aire latérale de la demi-sphère, soit. 3

4 L aire du cône, de la sphère et de solides décomposables (suite) 5. Quelle est l aire totale des solides suivants? Au besoin, utilisez!! 3,1416. a) d) 37,5 cm 2, soit 6 " 2,5 2. Environ 207,3456 cm 2, soit 2 " 3,1416 " " 3,1416 " 3 " 8. b) e) 521,6 cm 2, soit " 5 " ,0288 cm 2. Démarche : a = 12,5 cm, soit. A t = 999,0288 cm 2, soit! 3,1416 " 7, ,1416 " 15 " 11,2 + 3,1416 " 7,5 " 12,5. g) c) c) 659 cm 2. Démarche : L hypoténuse du triangle rectangle mesure 10 cm, soit. Aire de la face de gauche : 104 cm 2, soit 6,5! (10 + 6). Aire de la base : 84,5 cm 2, soit 13! 6,5. Aire de la face de devant : 154 cm 2, soit 13! Aire de la face de droite : 65 cm 2, soit 6,5! 10. Aire du dessus : 97,5 cm 2, soit 5! 6,5 + 10! 6,5. Aire totale : 659 cm 2, soit ,5 + 2! ,

5 Les unités de volume et de capacité 1. Exprimez ,74 cm 3 selon les unités suivantes. a) 0, m 3 b) mm 3 c) 87, dm 3 2. Exprimez 132,675 L selon les unités suivantes. a) 1, hl b) ml c) 13,2675 dal 3. Quelle est, en litres, la capacité des espaces suivants? a) 8 cm 3 0,008 L b) 76 m L c) 7,54 dm 3 7,54 L 4. Combien de centimètres cubes y a-t-il dans : a) 5,3 ml? 5,3 cm 3 b) 0,35 cl? 3,5 cm 3 c) 2,78 kl? cm 3 Le volume d un prisme et d un cylindre 1. Calculez le volume des prismes décrits ci-dessous. Ils ont tous une hauteur de 10,5 cm. a) Un prisme à base rectangulaire de 5,2 cm sur 3,4 cm. 185,64 cm 3, soit 5,2! 3,4! 10,5. b) Un prisme dont la base est un pentagone régulier de 6 cm de côté et l apothème mesure 2,43 cm. 382,725 cm 3, soit! 10,5. c) Un cube. 1157,625 cm 3, soit 10,5 3. d) Un prisme ayant pour base un losange dont les diagonales mesurent 7 cm et 5,2 cm. 191,1 cm 3, soit! 10,5. 2. Quelle est, en millilitres, la capacité des cylindres correspondant aux mesures ci-dessous, si "! 3,14? Arrondissez vos réponses au centième. a) Rayon de 4,2 cm et hauteur de 4,9 cm. Environ 271,41 ml, car V! 271,41 cm 3, soit 3,14! 4,2 2! 4,9. b) Diamètre et hauteur de 10 mm. Environ 0,79 ml, car V! 0,79 cm 3, soit 3,14! 5 2! 10. 5

6 Le volume d une pyramide, d un cône et d une boule 1. Calculez le volume des pyramides décrites ci-dessous. Arrondissez vos réponses au centième. a) La base carrée mesure 7,8 cm de côté et la hauteur 17 cm. 344,76 cm 3, soit. b) La base est un triangle rectangle de 2,8 cm, 9,6 cm et 10 cm de côtés et la hauteur est de 13 cm. 58,24 cm 3, soit. c) La base carrée mesure 12 cm de côté et l apothème 10 cm. 384 cm 3, soit, car la hauteur de la pyramide est de 8 cm. d) La hauteur est de 17 cm, la base est un hexagone régulier de 7 cm de côté et dont l apothème mesure 6,06 cm. 721,14 cm 3, soit. 2. Quel est le volume des solides suivants, sachant que!! 3,14 et qu ils ont tous un rayon de 4,3 cm? Arrondissez vos réponses au centième. a) Un cône de 30 cm de hauteur. Environ 580,59 cm3, soit. b) Une boule. Environ 332,87 cm3, soit. c) Un cône de 10 cm de hauteur placé à l extrémité d une demi-boule. Environ 359,96, soit. 3. Quelle est, en centilitres, la capacité des solides suivants? Utilisez!! 3,14. a) Une boule de 54 cm de diamètre ,616 cl, soit V! ,16 cm 3, car V!. b) Une pyramide de base carrée de 8 dm de côté et dont la hauteur mesure 81 dm cl, soit V! 1728 dm 3, car V!. 4. Quel est, en centimètres, le rayon d une boule ayant une capacité de 288 litres? 60 cm, soit = 288!, car une boule de 288! L occupe un espace de 288! dm 3, d où r = 6 dm. 6

7 Les solides semblables et le rapport de similitude 1. Les énoncés ci-dessous sont-ils vrais ou faux? Dans chaque cas, justifiez votre réponse. a) Toutes les pyramides sont semblables. Faux, car elles n ont pas nécessairement des bases de même forme. b) Tous les cônes sont semblables. Faux, car le rapport des rayons n est pas nécessairement le même que celui des hauteurs. c) Toutes les boules sont semblables. Vrai, car tous les cercles sont semblables. d) Toutes les pyramides dont la base est un rectangle sont semblables. Faux, car les rectangles des bases ne sont pas nécessairement semblables. e) Deux pyramides dont la base est un carré et dont les hauteurs sont 4 cm et 8 cm sont semblables. Faux, car le rapport des côtés des bases n est pas nécessairement. f) Deux pyramides dont les bases sont des pentagones réguliers de 5 cm et 7,5 cm et dont les hauteurs sont de 3 cm et 5 cm sont semblables. Faux, car les mesures de leurs segments homologues ne sont pas proportionnelles :. g) Tous les cubes sont semblables. Vrai, car tous les carrés sont semblables. h) Deux prismes droits dont les bases sont des triangles équilatéraux de 14 cm et 16 cm de côté et dont les hauteurs sont de 18 cm et 32 cm sont semblables. Faux, car les mesures de leurs segments homologues ne sont pas proportionnelles :. i) Tous les cylindres sont semblables. Faux, car le rapport des rayons n est pas nécessairement le même que celui des hauteurs. j) Deux cylindres sont semblables si leurs rayons mesurent 5 cm et 8 cm, et leurs hauteurs 22,5 cm et 36 cm. Vrai, car les mesures de leurs segments homologues sont proportionnelles :. k) Dans une homothétie, les éléments homologues de l image et de la figure initiale sont parallèles. Vrai, par définition des homothéties. 7

8 Les solides semblables et le rapport de similitude (suite) 2. Si le rapport de similitude entre deux cylindres semblables est, déterminez le rapport entre : a) leurs rayons ; b) leurs aires latérales ; c) leurs volumes., soit le rapport de similitude., soit le carré du rapport de similitude., soit le cube du rapport de similitude. 3. Si le rapport entre les volumes de deux cônes est, déterminez le rapport entre : a) leurs apothèmes ; b) leurs aires latérales ; c) leurs hauteurs., soit la racine cubique du rapport des volumes., soit le carré du rapport de similitude., soit la racine cubique du rapport des volumes. 4. Si le rapport entre les aires latérales de deux prismes droits rectangulaires est, déterminez le rapport entre : a) leurs volumes ; b) leurs aires totales ; c) les largeurs de leurs bases., soit le cube du rapport de similitude., soit le rapport des aires latérales., soit la racine carrée du rapport des aires. 5. Trois cylindres (rouge, bleu et vert) sont semblables. L aire du cylindre rouge est le quadruple de celle du cylindre bleu. Le volume du cylindre vert est huit fois celui du cylindre bleu. Le rayon du cylindre rouge est-il supérieur, inférieur ou égal à celui du cylindre vert? Expliquez pourquoi. Il est égal, car le rayon du cylindre rouge et celui du cylindre vert valent tous les deux le double du rayon du cylindre bleu. Démarche : On a, alors. On a, alors. 8

9 Les solides semblables et le rapport de similitude (suite) 6. Les aires totales de deux prismes rectangulaires semblables sont de 23,35 cm 2 et 2335 cm 2. a) Quel est le rapport de similitude entre ces solides?, soit. b) Quelles sont les dimensions de la base du petit prisme si celle du grand mesure 45,2 cm sur 7 cm? 4,52 cm sur 0,7 cm. c) Quel est le volume du grand prisme si celui du petit est de 32,7 cm 3? cm 3, car le rapport des volumes est, soit. 7. Les volumes de deux cylindres semblables sont de 1913,625 cm 3 et 567 cm 3. a) Quel est le rapport de similitude entre ces solides?, soit. b) Quelle est l aire latérale du petit cylindre si celle du grand est de 135 cm 2? 60 cm 2, car le rapport des aires est de, soit. c) Quelle est la hauteur du grand cylindre si celle du petit est de 4,32 cm? 6,48 cm, soit 4,32!, car le rapport des hauteurs est égal au rapport de similitude. 8. L aire latérale d un cône jaune est le quadruple de celle d un cône vert. a) Quel est le volume du cône vert si celui du cône jaune est de 56,9 dm 3? Le rapport de similitude est 2, soit. 7,1125 dm 3, soit, car. b) Quelle est l aire totale du cône jaune si celle du cône vert est de 36 dm 2? 144 dm 2, soit 4! 36, car. c) Quel est l apothème du cône vert si celui du cône jaune est de 3,12 dm? 1,56 dm, soit, car. 9