Cours 9: trous noires de Schwarzschild 1. Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschild

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1 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 1 Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschild

2 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 2 Résumé du cours d aujourd hui Résumé du cours 8 (pour lequel nous n avons pas eu le temps) sur la conservation d énergie et d impulsion Introduction à les trous noirs de Schwarzschild. Changement du genre d une coordonnée. Mouvement géodésique.

3 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 3 Conservation d énergie et d impulsion Voir (Hobson et al., 2010, Chapitre 8) et e (Schutz, 2009, chapitre 4). Comme T décrit l énergie et l impulsion d un fluide ou système de particules, il devrait être liée à les principes de conservation d énergie et d impulsion. Considérons un volume de fluide cubique de longueur l (en coordonnées pseudo-cartésiens). (Voir pp dans Schutz(2009)). On peut démontrer la conservation d énergie et d impulsion, T αβ x β = 0 La démonstration en coordonnées pseudo-cartesiens est plus

4 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 4 facile ; dans lesquels Γ µ αβ = 0 et donc, T αβ x β = βt αβ = 0 Mais le deuxième égalité est une équation tensorielle, et par conséquent elle est valide dans tous référentiels! (Si ça vous inquiète, voir aussi l explication dans 8.3 de HEL2010.) Puis T αβ = T βα, donc nous avons aussi : α T αβ = α T βα = 0

5 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 5 Les trous noirs : introduction En 1784 John Michell a remarqué que si un corps de masse donnée était assez dense la vitesse de libération serait supérieure à c. Leur gravité seraient si forte que rien, pas même la lumière, ne peut s en échapper. Dans la relativité générale nous pouvons aussi avoir un tel objet. Ils sont appelés les «trous noirs». En principe, en peut avoir un trou noir d il n importe quelle masse. C est la densité de masse qui est importante. Les trous noirs macroscopique sont caractérisés par trois paramètres, leurs (i) masse, (ii) charge électrique, (iii) moment cinétique : 1. le trou noir de Schwarzschild est statique et électriquement neutre ;

6 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 6 2. le trou noir de Kerr est en rotation et électriquement neutre ; 3. les trous noirs chargés électriquement en rotation ou statique. Dans l astrophysique c est le trou noir de Kerr le plus important parce que la plus part de corps massifs dans l univers sont cru d être électriquement neutre et en rotation. Si vous voulez pratiquer votre anglais et apprendre la vie de Roy Kerr (1934 ), il y un biographie populaire par Melia (2009). Nous avons vu la métrique de Schwarzschild qui décrit la géométrie de l espace-temps vide autour du premier trou noir. Aujourd hui nous discutons en plus détail le trou noir de Schwarzschild.

7 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 7 Coordonnées du genre temps et du genre espace Dans la relativité restreinte on parle des intervalles du genre temps ou du genre espace. Considérons deux événements par exemple dite A et B séparés temporellement de t et spatialement de l : )( ) ( l) 2 = η ij (x i (B) x i (A) x j (B) x j (A) = η ij x i x j = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 (1) Rappelez-vous de cours 1, nous avons défini l intervalle de relativité restreinte comme : ( s) 2 = c 2 ( t) 2 + ( l) 2

8 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 8 Si ( s) 2 < 0 l intervalle entre A et B est dite du genre temps parce que la partie temporelle est plus grande. Une particule massive peut en principe traverser un intervalle du genre temps. Les deux événements peut être reliés causalement. Par contre, si ( s) 2 > 0 l intervalle de A et B est dite du genre espace. Une particule massive ou même un photon ne peut pas traverser un intervalle du genre espace. Les deux événements ne peut pas être reliés causalement. Et c est claire, à cause de l invariance de la vitesse de la lumière, que les photons toujours lient les événements avec un intervalle du genre nul, ( s) 2 = c 2 ( t) 2 + ( l) 2 = 0. En relativité générale nous pouvons caractériser une coordonnée au signe de l intervalle élémentaire ds 2 comme le suivant. Nous allons voir que le genre est fixé uniquement par le signe de g αα. Si nous fixons toutes les coordonnées sauf qu un, y par exemple,

9 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 9 et nous faisons un petit pas dy, puis si ds 2 = g yy dy 2 < 0 nous disons que cette coordonnée est du genre temps. Par contre, si g yy dy 2 > 0 puis y est une coordonnée du genre espace. Clairement, puis dx α R, le genre est fixé uniquement par le signe de g αα. En relativité générale une coordonnée peut change du genre avec événement!

10 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 10 Changement du genre d une coordonnée Rappel : métrique de Schwarzschild. A partir des arguments de symétrie, nous avons décidé que le tenseur métrique doit être (ds) 2 = A(r)dt 2 + B(r)dr 2 + r 2 (dθ) 2 + r 2 sin 2 θ (dφ) 2 et quand nous résolvons les équations d Einstein du vide, R αβ = 0, nous trouvons que ( A(r) = c 2 /B(r) = 1 2µ ) r Et en exigant que puis r nous retrouvons la loi de Newton, il faut que µ G M c 2 TD : Dans la métrique de Schwarzschild, quel est le genre de r

11 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 11 quand r > 2 µ, TD : Quel est le genre de r quand r < 2 µ.

12 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 12 Singularités d espace et des coordonnées C est bien claire qu il y a un singularité au r = r s, le rayon de Schwarzschild : r s 2 µ. Mais, ce n est pas très évident si cette singularité était due au choix de coordonnées ou est due au singularité vrai d espace-temps là. Qu est-ce-que c est «une singularité due au choix de coordonnées»? TD : Est-ce-qu il y a quelque chose spécial de la géométrie d espace au pole nord? On peut montrer le scalaire de Ricci est, à un événement donné,

13 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 13 est R R α α = 48µ2 r 6 Donc, la courbure est fini à r = r s.

14 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 14 Le rayon de Schwarzschild du Soleil Rappel : Notre argument pour le tenseur métrique de Schwarzschild n était valable que dans le vide autour la sphère massive avec centre à r = 0. Si le rayon de la sphère est plus grande que r s, notre solution n y sera pas valable. TD : Qu est-ce-que c est r s pour notre Soleil? Le rayon de notre Soleil est environ R = km, sa masse est M kg, est la constante de la gravitation G = 6, m 3 kg 1 s 2, et c m s 1. TD : Est-ce-qu il y a un trou noir dedans le Soleil?

15 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 15 Le rayon de Schwarzschild du Soleil TD : Solution : Le rayon de Schwarzschild r s pour notre Soleil est r s 3km et donc le Soleil n est pas un trou noir!

16 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 16 Les particules autours un trou noir de Schwarzschild Nous comprenons plus un trou noir par étudier les trajectoires des particules en chute libre autours le trou noir. Les particules massives et même les photons, en chute libre, suivent les géodésiques. Les particules massives en chute libre suivent les géodésiques du genre temps, ds 2 = g αβ dx α dx β < 0 Mais les photons suivent les géodésiques du genre nul, ds 2 = g αβ dx α dx β = 0

17 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 17 Mouvement géodésique et la conservation d énergie-impulsion Rappelez-vous que pendant cours 5 nous avons dit que le principe d équivalence tiens que : La trajectoire d une particule dans un champ de gravitation et aucune force (pas de champ électrique, nucléaire, etc. ), ce sera celle d une particule libre c est-a-dire la trajectoire d une particule en chute-libre dans un champ de gravitation est une géodésique de l espace-temps. La équation de mouvement de ce particule est dp dτ = 0 Il est possible montrer que les équations d Einstein, et la conservation d énergie-impulsion, α T αβ = 0, conduisent à ce résultat, 8.8 de HEL2010.

18 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 18 Géodésiques : paramètre affine Un géodésique est une généralisation de la notion de ligne droite. Voir 3.17 HEL2010. Il est plus facile d écrire l équation de géodésiques utilisant un paramètre affine c est-a-dire il un change pas la magnitude du vecteur tangente t : t = d dλ (xα e α ) Si t(λ) est constante le longe de la ligne, puis λ est dite «affine». Le temps-propre τ est toujours un paramètre affine parce que, et toujours t = d dτ (xα e α ) u, u u = u 2 = c 2 la quadri-vitesse

19 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 19 Donc τ est un paramètre affine!

20 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 20 Équation des géodésiques Sur un géodésique la direction de vecteur tangente ne change pas le longe de la ligne (autrement dit le vecteur tangent est transporté parallèlement). L équation de géodésiques utilisant un paramètre affine λ est donc Mais, si λ = τ dt dλ = 0, définition d un géodésique (2) t = d dτ (xα e α ) u, la quadri-vitesse et nous obtenons une équation pour les géodésiques utilisant la

21 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 21 dérivée covariante : dt dτ = du dτ = 0 0 = dxβ dτ x β (u αe α ) = u β β u α = u β [ β u α Γ σ αβ u σ ] (3) TD : Plutôt que utilisant u = u α e α, utilisez les composantes covariant u = u α e α et dérivez l équation de géodésiques : d 2 x α dτ 2 + Γα βγ dx β dτ dx γ dτ = 0

22 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 22 Équation des géodésiques TD : Solution : (Hobson et al., 2010, Eq. (3.47)) du dτ = 0 = dxβ dτ = u β β u α x β (uα e α ) = u β [ β u α + Γ α σβ u σ ] = duα dτ + Γα σβ u σ u β = d ( ) dx α + Γ α σβ dτ dτ ( dx σ dτ ) ( dx β dτ ) 0 = d2 x α dτ 2 + Γα σβ dx σ dτ dx β dτ (4)

23 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 23 Paramètre affine pour les géodésiques nulle TD : Un photon en mouvement dans la direction x. Qu est-ce-que c est sa quadrivitesse? TD : Rappelez-vous la définition de la quadrivitesse est : u α dxα dτ Pourquoi nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le paramètre affine d une géodésiques nulle? TD : Qu est-ce-qu on peut faire? Indice : Quel vecteur est toujours tangent de la trajectoire ou «ligne d Univers» d un photon?

24 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 24 Paramètre affine pour les géodésiques nulle... TD : Solution : Un photon en mouvement dans la direction x a une quadrivitesse u = lim v c γ(v)(c, v, 0, 0) = (,, 0, 0) TD : Solution : Rappelez-vous la définition de la quadrivitesse est : dτ = dx0 u 0 = dx0 = 0 Nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le paramètre affine d une géodésique nulle parce qu il est toujours zéro. TD : Solution : Le quadri-impulsion est toujours tangent de la trajectoire ou «ligne d Univers» d un photon! Et dans la

25 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 25 mécanique quantique l énergie et l impulsion d un photon sont E = hν p = h λ où h désigne la constante de Planck, ν désigne la fréquence, et λ désigne la longueur d onde. Donc, la quadri-impulsion d un photon en mouvement dans la direction x est ( E p = c, h ) ( hν λ, 0, 0 = c, h ) λ, 0, 0 Donc nous paramétrons le ligne d Univers d un photon avec un paramètre σ tel que, dx α dσ = pα

26 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 26 Géodésiques définies à partir de l aspect extrémal d intervalle Nous avons vu l équation de géodésiques à partir d idée que le vecteur tangent ne change pas de direction le longe de la géodésique. Mais une géodésique est aussi la trajectoire la plus courte. Donc nous pouvons les trouver en cherchant la trajectoire avec «la plus courte» ds 2 = L dσ 2 où L désigne L g αβ ẋ α ẋ β, ẋ α dxα dσ On peut aussi penser de L comme le lagrangien L = T V dans

27 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 27 lequel T est comme un «énergie cinétique» T = g αβ dx α dσ dx β dσ et notre paramètre affine est comme le temps, et l énergie potentielle V = 0 parce que la particule qui suive une géodésique est libre il n subit aucune force (rappelez-vous que dans la RG la gravité n est pas une force. Elle s agit la courbure d espace-temps!) Je n aime trop ce argument parce que le paramètre affine σ n est toujours pas le temps-propre. Je pense que c est plus générale de penser d une géodésique comme un ligne ou une trajectoire dans une variété courbure qui minimise l intervalle.

28 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 28 Géodésiques de la métrique de Schwarzschild À minimiser ds 2 on résout les équations de Euler-Lagrange (très bref en français voir (Hobson et al., 2010, Appendice 3C) ; beaucoup plus de détail mais en anglais voir (Boas, 1983, Chapitre 9)) Équations de Euler-Lagrange sont ( ) d L dσ ẋ α L x α = 0 (5) Ici, pour la métrique de Schwarzschild ( L = g αβ ẋ α ẋ β = 1 2µ ) ( c 2 ṫ 2 1 2µ r r TD : Trouvez l équations de Euler-Lagrange pour les ) 1 ṙ 2 r 2 [ θ 2 +sin 2 θ φ 2 ]

29 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 29 composantes t et φ. La composante θ n est pas nécessaire, parce que nous pouvons toujours, sans perdre de généralité, choisir le système des coordonnées tel que la motion est dans le plan équatorial θ = π/2. La composante r = 0 est un peu difficile. C est plus facile de prendre au d abord une intégrale première de l équations de Euler-Lagrange (voir HEL2010).

30 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 30 Interpretations des equations pour t et φ Nous faisons notre interprétation pour le cas d une particule de masse m 0 et où notre paramètre affine σ = τ (Hobson et al., 2010, voir Chapitre 9.5) La première équation dans (5) (i.e. α = 0, celle de t) décrit la

31 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 31 conservation d énergie : ( 1 2µ r ) ṫ = k g tt c ṫ = c k g tt (m 0 c ṫ) = m 0 c k g tt p t = m 0 c k p t = m 0 c k k = p t m 0 c =, et donc E m 0 c 2 (6) La φ équation décrit la conservation de quantité de mouvement

32 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 32 angulaire : r 2 sin 2 θ φ = h h a aucune relation avec la constante de Planck g φφ φ = h g φφ (m 0 φ) = m0 h p φ = m 0 h, et donc h = p φ m 0 (7)

33 Cours 9: trous noires de Schwarzschild 33 Références Boas, M. L. (1983), Mathematical methods in the physical sciences, 793 pp., John Wiley and Sons, New York, xiv pp. Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité Générale, de boeck, Bruxelles. Melia, F. (2009), Cracking the Einstein Code : Relativity and the Birth of Black Hole Physics, University of Chicago Press. Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK.

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