Statistique inférentielle I - Estimation

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1 Statistique iféretielle I - Estimatio Nathalie Cheze July 9, 2007 Itroductio. Notio d échatillo Soit u esemble de taille N, appelé populatio. O veut étudier la populatio relativemet à u caractère statistique X. S il est possible d iterroger tous les élémets de la populatio, les propriétés de X sot parfaitemet coues. Ue telle situatio est rare et l étude de X sera réalisée, e gééral, à partir de doées partielles de X. La otio d échatillo va formaliser le choix de ces doées partielles. U échatillo de la populatio est dit de taille s il est costitué de uités distictes ou o, tirées parmi les N élémets de la populatio. O lui associe alors l échatillo des réalisatios de X que l o ote (x, x 2,..., x ). C est sur cet échatillo que serot effectués les calculs. Il est pas à propos das ce chapitre d étudier commet a été établi le pla de sodage fourissat l échatillo. Ceci fait l objet de la théorie des sodages. Le tirage le plus usité est le tirage aléatoire avec remise. Il cosiste à tirer au hasard l échatillo, uité par uité. Lorsqu u élémet est tiré, il est pas élimié et participe au tirage suivat. Das la suite, o suppose que l échatillo a été obteu de cette maière..2 Caractéristiques d u échatillo Supposos que l o ait tiré u échatillo de taille. O peut calculer pour la variable quatitative X, certaies caractéristiques, à partir de l observatio (x, x 2,..., x ). O ote: - la moyee de l échatillo des doées : x = x i - la variace biaisée de l échatillo des doées: s 2 = (x i x ) 2 - la variace sas biais de l échatillo des doées: ŝ 2 = s 2. La valeur de ces paramètres déped évidemmet de l échatillo étudié. A chaque échatillo de doées, correspod ue valeur de x, s 2 et ŝ 2. L étude de variabilité des ces valeurs, Uiversité Paris 0, MODALX, 200 av. de la République, Naterre, Nathalie.Cheze@u-paris0.fr

2 suivat l échatillo choisi, est u problème importat que ous abordos maiteat..3 Fluctuatios d échatilloage O cosidère ue populatio de taille N, pour laquelle o veut étudier u caractère X. O peut prélever plusieurs échatillos différets de taille produisat aisi des caractéristiques d échatilloage (par exemple, la moyee ou la variace), différetes selo l échatillo et qui e correspodet e gééral pas aux valeurs des paramètres de la populatio. Toute la modélisatio statistique repose sur l aléatoire das le choix de l échatillo. Pour cela, ous allos cosidérer u cadre probabiliste gééral, dit modèle d échatilloage..3. Modèle d échatilloage Défiitio. O appelle statistique toute variable aléatoire (e abrégé v.a.). Défiitio 2. U -échatillo est ue suite (X, X 2,..., X ) de v.a. idépedates et de même loi, à valeurs das l espace E (e gééral E = Z, E = IR, ou E = IR d ). Remarque: o obtiet u -échatillo e répétat fois la même expériece das les mêmes coditios et de maière idépedate les ues des autres. Cela correspod au tirage avec remise. Exemples de statistiques. Soit u -échatillo (X, X 2,..., X ), X = X i est ue statistique. Si o pose E(X i ) = θ, alors X θ est pas ue statistique (car elle est pas calculable à partir des observatios)..3.2 Exemples fodametaux Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) et otos - X = X i, la statistique qui, à chaque échatillo (x, x 2,..., x ) associe sa moyee x, - S 2 = (X i X ) 2 = Xi 2 X, 2 la statistique qui, à chaque échatillo (x, x 2,..., x ) associe sa variace biaisée s 2, - Ŝ2 = S2, la statistique qui, à chaque échatillo (x, x 2,..., x ) associe sa variace sas biais ŝ 2. 2

3 Résumos sous forme de tableau les symboles utilisés pour désiger les paramètres de la populatio et les caractéristiques de l échatillo. paramètres de la populatio caractéristiques de l échatillo taille N moyee µ x variace σ 2 s 2 Propriétés de la moyee empirique. E posat E(X i ) = µ et V ar(x i ) = σ 2, i =,...,, o motre que la moyee X vérifie: a) E ( X ) = µ b) V ar ( X ) = σ 2. Preuve a) E ( ( ) ) X = E X i = E (X i ) = µ, d après les propriétés de l espérace mathématique. b) V ar ( ) X = V ar (X 2 i ) = σ2, d après les propriétés de la variace et le fait que les v.a. (X i ) sot idépedates etre elles. L iterprétatio statistique de ces propriétés, qui permet d illustrer la otio de fluctuatios d échatilloage, est la suivate: si o fait la moyee sur tous les échatillos possibles de taille das la populatio de taille N, obteus par u échatilloage avec remise, des x associées à chaque échatillo, o retrouve la vraie valeur µ. Illustros cette propriété sur u exemple trivial. Cosidéros ue populatio composée de N = 3 efats (E, E 2, E 3 ) âgés respectivemet de 6, 2 et 0 as. O s itéresse à la variable X=âge. O a doc µ = 6 et σ 2 = Supposos maiteat que l o e peut pas avoir l iformatio X = âge, sur toute la populatio des trois efats, mais seulemet sur u échatillo de deux efats. Si o fait u échatilloage avec remise, o obtiet euf échatillos qui sot les suivats: (E, E ), (E, E 2 ), (E, E 3 ), (E 2, E ), (E 2, E 2 ), (E 2, E 3 ), (E 3, E ), (E 3, E 2 ) et (E 3, E 3 ). O peut calculer x pour chacu des échatillos et o obtiet respectivemet: 6, 4, 8, 4, 2, 6, 8, 6 et 0. Evidemmet, o obtiet des résultats différets pour chaque échatillo, illustrat les fluctuatios d échatilloage, des différeces d autat plus importates que la taille de l échatillo est petite. Pour compredre la propriété a), il suffit de faire le moyee de ces euf valeurs. O obtiet 6 qui est effectivemet la valeur de µ, o retrouve aisi le résultat éocé. Pour vérifier la propriété b), il suffit de calculer la variace de ces euf valeurs et le résultat obteu est égal à σ 2 /. 3

4 Ce chapitre est volotairemet détaillé car il est idispesable de bie compredre la différece etre populatio et échatillos, paramètres et caractéristiques pour pouvoir aborder la statistique iféretielle développée das le quatrième chapitre. 2 Lois de probabilités classiques e statistique L objectif de ce chapitre est de décrire les lois des variables aléatoires réelles itroduites das la suite de cet article. Les variables aléatoires X, présetées ci-dessous, sot toutes à valeurs réelles, et ot ue loi de desité f e présetat pas de primitive simple. Pour obteir les quatités de la forme P (a X b), il existe des tables statistiques qui doet u certai ombre de valeurs de cette foctio. Pour chacu des exemples, ous doos la table statistique associée et quelques exemples de calculs de probabilité. 2. Loi ormale uidimesioelle La loi ormale est ue des lois fodametales e statistique. Défiitio. La variable aléatoire X suit ue loi ormale cetrée réduite, otée N(0, ), si sa desité f est doée par: f(x) = 2π e x2 2, x IR. Défiitio. La variable aléatoire X suit ue loi ormale d espérace m et de variace σ 2, otée N(m, σ 2 ), si sa desité f est doée par: Remarques f(x) = σ (x m) 2 2π e 2σ 2, x IR. La représetatio graphique de la loi ormale N(m, σ 2 ) doe la courbe de Gauss (e cloche), symétrique par rapport à m. Soit la variable aléatoire X qui suit ue loi ormale N(m, σ 2 ), alors la v.a. U = X m σ suit ue loi ormale N(0, ), pour laquelle il existe ue table statistique qui permet d obteir facilemet les quatiles. Grâce à ces propriétés de stabilité par trasformatio affie, o peut obteir la probabilité P (X a) e écrivat P (X a) = P (U a m ) et lire la σ probabilité associée au quatile a m das la table de loi ormale cetrée réduite. Nous σ doeros ci-après quelques exemples de lecture de la table statistique de la loi N(0, ). Soiet X et Y deux v.a. idépedates suivat respectivemet les lois N(m X, σx 2 ) et N(m Y, σy 2 ). La v.a. X +Y suit ue loi ormale N(m X +m Y, σx 2 +σ2 Y ). O peut gééraliser ce résultat à u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ) et obtiet aisi que 4

5 la v.a. X suit ue loi ormale N(m, σ 2 /). Exemples de calculs de quatiles Cosidéros ue variable aléatoire U de loi N(0, ). O cherche à calculer, soit la probabilité P (U u), u quatile doé, soit le quatile u, la probabilité état doée. La table doe les valeurs de F (u) = P (U u), u 0. Que vaut P (U, 9)? O décompose, 9 e, 9 et 0, 0, o se place à l itersectio de la lige u =, 9 et la coloe u = 0, 0 et o lit la probabilité associée 0, 979. Que vaut P (U, 9)? La table e doe pas les quatiles égatifs. Mais, du fait que la desité est symétrique, o peut écrire P (U, 9) = P (U, 9). La table doe les probabilités associées à l évèemet U u et o U u. De plus, o a P (U, 9) = P (U <, 9) et aisi, P (U, 9) = 0, 979 = 0, 028. Que vaut P (0, 5 < U, 0)? O voit facilemet que l évèemet (0, 5 < U, 0) peut se décomposer e (U, 0) /(U 0, 5) et aisi, P (0, 5 < U, 0) = P (U, 0) P (U 0, 5) = 0, , 695 = 0, 523. Que vaut u tel que P (U u) = 0, 835? Il faut chercher la valeur 0, 835 à l itérieur de la table et lire le quatile associé e additioat les valeurs de u associées à la lige et à la coloe de 0, 835, c est-à-dire u = 0, 9 + 0, 06 = 0, 96. Que vaut u tel que P (U u) = 0, 2358? Cette valeur e se trouve pas à l itérieur de la table. La probabilité 0, 2358 état iférieure à 0, 5, cela sigifie que le quatile est écessairemet égatif. O peut écrire P (U u) = 0, 2358 = P (U u) et u tel que P (U u) = 0, 2358 = 0, 7642, c est-à-dire u = 0, 72 et u = 0, 72. Cosidéros maiteat ue variable aléatoire X de loi N(20, 36). Que vaut P (X 22, 4)? D après les remarques précédetes, o peut écrire P (X 22, , 4) = P (U ) où U est ue variable de loi N(0, ). Aisi, P (X 22, 4) = 6 P (U 0, 4) = 0, Loi du Khi-deux Défiitio. O cosidère u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(0, ). O dit que la variable aléatoire Z = Xi 2 suit ue loi du khi-deux à degrés de liberté, otée χ 2 (). So espérace est doée par E(Z) =, sa variace par V ar(z) = 2 et sa desité f par: Remarques f(x) = 2 /2 Γ(/2) e x/2 x /2, x IR + où Γ(p) = + 0 e x x p dx. 5

6 Il existe ue table statistique pour obteir facilemet les quatiles de cette loi. Nous doeros ci-après quelques exemples de lecture de la table statistique de la loi χ 2 (). Soiet X et Y deux v.a. idépedates suivat respectivemet les lois χ 2 () et χ 2 (m). La v.a. X +Y suit ue loi χ 2 (+m). La preuve est immédiate si l o reviet à la défiitio. Cosidèros maiteat u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ). La v.a. σ 2 (X i m) 2 suit ue loi χ 2 (). Le résultat suivat est importat. Théorème: La variable aléatoire σ 2 Ŝ2 = σ 2 Exemples de calculs de quatiles (X i X ) 2 suit ue loi du χ 2 ( ). Cosidéros ue variable aléatoire X de loi χ 2 (0). O cherche à calculer, soit la probabilité P (X χ 2 ), χ 2 quatile positif doé, soit le quatile χ 2, la probabilité état doée. La table doe les valeurs de P = P (X > χ 2 ). Que vaut χ 2 tel que P (X > χ 2 ) = 0, 0? O se place à l itersectio de la lige degré de liberté ν = 0 et P = 0, 0 et o obtiet χ 2 = 5, 987. Que vaut χ 2 tel que P (X χ 2 ) = 0, 0? La table doe la probabilité P (X > χ 2 ) et o P (X χ 2 ), il suffit doc d écrire P (X χ 2 ) = P (X > χ 2 ) et trouver χ 2 tel que P (X > χ 2 ) = 0, 9, c est-à-dire que χ 2 = 4, 865. Que vaut P (X > 2, 558)? Il faut trouver χ 2 = 2, 558 à l itérieur du tableau sur la lige ν = 0 et o obtiet P (X > 2, 558) = 0, Loi de Studet Défiitio: Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet ue loi ormale N(0, ) et ue loi du khi-deux χ 2 (), IN. O dit que la variable aléatoire T défiie par T = X suit ue loi de Studet à degrés Y/ de liberté, otée St(). So espérace est doée par E(T ) = 0, sa variace est défiie que pour > 2, par V ar(t ) = et sa desité f par: 2 Remarques f(x) = ( + x2 B(/2, /2) où B(p, q) = + 0 ) + 2, x IR x p ( x) q dx. Il existe ue table statistique pour obteir facilemet les quatiles de cette loi symétrique. Nous doeros ci-après quelques exemples de lecture de la table statistique de la loi St(). 6

7 La v.a. T coverge e loi vers ue variable aléatoire de loi N(0, ) lorsque ted vers l ifii. O cosidère u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ). Par défiitio, la variable aléatoire ( X m) suit ue loi de Studet St( ). Exemples de calculs de quatiles S Cosidéros ue variable aléatoire X de loi St(0). O cherche à calculer, soit la probabilité P (X t), t quatile positif doé, soit le quatile t, la probabilité état doée. La table doe les valeurs de P = P ( X t). Que vaut t tel que P ( t < X t) = 0, 0? O se place à l itersectio de la lige degré de liberté ν = 0 et P = P ( X t) = 0, 90 et o obtiet t = 0, 289. Que vaut t tel que P (X > t) = 0, 0? O e peut pas lire directemet das la table, mais du fait de la symétrie de la desité, o peut écrire P ( X t) = 2P (X > t) = 0, 20 et aisi, o cherche t tel que P = 0, 20, c est-à-dire t =, Que vaut P (X > 0, 545)? A l itérieur de la table, à la lige degré de liberté ν = 0, o voit que P ( X 0, 545) = 0, 60, o e déduit que P (X > 0, 545) = 2 (P ( X 0, 545)) = 0, Loi de Fisher-Sedecor Défiitio: Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet ue loi du khi-deux χ 2 () et ue loi du khi-deux χ 2 (m). O dit que la variable aléatoire U défiie par U = X/ suit ue loi de Fisher-Sedecor à et m degrés de liberté, otée Y/m F (, m). So espérace est défiie pour m > 2 et est doée par E(U) = est défiie pour m > 4 et est doée par V ar(u) = 2m2 (+m 2 ) m(m 4)(m 2) 2 m m 2. Sa variace et sa desité f par: f(x) = B(/2, m/2) /2 m m/2 x /2 (m + x) +m 2, x IR + Remarques Par défiitio, la v.a. V = U suit ue loi de Fisher F (m, ). Nous doeros ci-après quelques exemples de lecture de la table statistique de la loi F (m, ). O cosidère deux échatillos de taille et m respectivemet, idépedats etre eux et otés (X,..., X ) et (Y,..., Y m ), de lois N(m X, σx 2 ) et N(m Y, σ Y 2 ). m (Y i Par défiitio, la variable aléatoire Ȳm) 2 /(m ) σy 2 (X i X ) 2 /( ) σx 2 suit ue loi de Fisher F (m, ). Exemples de calculs de quatiles Cosidéros ue variable aléatoire X de loi F (3, 2). Les tables présetées ici permettet de calculer le quatile F, pour la probabilité P (X F ) = 0, 05 et P (X F ) = 0, 0 d ue loi de Fisher F (ν, ν 2 ). Il existe évidemmet des tables associées à d autres probabilités. 7

8 Que vaut F tel que P (X F ) = 0, 95? Cela reviet à chercher P (X > F ) = 0, 05.Il suffit de se placer à l itersectio de la lige degré de liberté du déomiateur égale à 2 et de la coloe degré de liberté du umérateur égale à 3 das la première table et, o obtiet F = 9, 64. Que vaut F tel que P (X F ) = 0, 99? Il suffit de se placer à l itersectio de la lige degré de liberté du déomiateur égale à 2 et de la coloe degré de liberté du umérateur égale à 3 das la deuxième table et, o obtiet 99, 64. Que vaut F tel que P (X F ) = 0, 95? La table doe seulemet les probabilité P (X > F ) = 0, 95. O a vu, das les remarques précédetes que la v.a. X suit ue loi F (2, 3). Aisi, o a P (X F ) = P ( X F ) = 0, 95 et F = 9, 552, F = 9,552 = 0,

9 3 Estimatio 3. Itroductio Le problème de la statistique est le suivat; o observe ue variable aléatoire, dot la loi est - complètemet ou partiellemet - icoue. Il s agit, à partir de l échatillo des observatios, d obteir le plus d iformatios possibles sur cette loi. Par exemple, supposos que l o fabrique des pièces sur ue machie. Toutes les pièces fabriquées ot la même probabilité θ icoue d être défectueuses. Ce ombre θ déped du réglage de la machie, le réglage est d autat meilleur que θ est proche de 0; mais comme le réglage e peut être parfait, o a jamais θ = 0. Avat de lacer le cycle de fabricatio, o veut vérifier si la machie est bie réglée, c est-à-dire si θ est suffisammet petit. Pour cela, o fabrique u certai ombre de pièces qui servet à tester le réglage. L observatio cosiste à compter le ombre X de pièces défectueuses parmi ces pièces. O peut alors se poser deux types de problèmes. ) Trouver la valeur de θ: cela s appelle estimer le paramètre θ. Das otre exemple, il est aturel de predre pour estimateur de θ la proportio θ = X/ de pièces défectueuses. 2) S assurer que la vraie valeur de θ e dépasse pas u seuil critique θ 0 fixé à l avace (sio, il faut refaire le réglage de la machie): cela s appelle tester le fait que θ θ 0. Ces deux problèmes sot de atures mathématiques assez différetes. Ils ot cepedat e commu le fait qu o e peut pas arriver à ue coclusio certaie. Das le cas ), il est vraisemblable que la valeur exacte de θ soit proche de l estimatio θ (au mois si est assez grad), mais tout-à-fait ivraisemblable qu elle lui soit exactemet égale (voir le paragraphe 2.3.). Das le cas 2), o peut décider que θ θ 0 si la proportio X/ est suffisammet petite, mais o e sera jamais sûr que la vraie valeur de θ soit effectivemet plus petite que le seuil θ 0. Das tous les cas, o cherche, à partir de la coaissace d u -échatillo d observatios, à obteir des reseigemets sur la valeur icoue (mais o aléatoire) du paramètre θ: ) Soit o veut détermier la valeur de θ, ou d ue foctio g(θ), g coue; il s agit alors d estimatio.. 2) Soit o veut savoir si θ se trouve das ue partie Θ 0 de l esemble Θ, ou das so complémetaire: il s agit alors d u test statistique. 3.2 Estimatio d u paramètre uidimesioel Das la suite, o cosidère u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi P θ. O cherche à estimer la quatité icoue θ à partir de l échatillo (X, X 2,..., X ) Estimatio poctuelle A- Estimateurs sas biais, efficacité 9

10 Estimer θ veut dire qu au vu des observatios (x, x 2,..., x ), o décide que la valeur de θ vaut u certai ombre T (x, x 2,..., x ). Défiitio 4. O appelle estimateur de θ ue statistique T (X,..., X ). La valeur de T e l échatillo observé (x, x 2,..., x ) est l estimatio du paramètre. Le problème de l estimatio cosiste à optimiser le choix de l estimateur et pour cela, il faut itroduire u critère de qualité. Pour mesurer l erreur commise e remplaçat θ par T, o utilise e gééral le risque quadratique défii par Défiitio 5. Le risque quadratique de l estimateur T de θ est défii par R T (θ) = E θ [(T θ) 2 ], Si S et T sot deux estimateurs de θ, o dit que S est meilleur que T au ses du risque quadratique si R S (θ) R T (θ) pour tout θ Θ. La détermiatio d u meilleur estimateur est u problème mathématique extrêmemet difficile, car la classe de tous les estimateurs est très vaste. Das la plupart des cas, o se restreit à ue classe particulière d estimateurs, et otammet à la classe suivate. Défiitio 6. a) L estimateur T de θ est dit sas biais (ou o-biaisé) si E θ (T ) = θ, θ Θ Das ce cas, le risque quadratique R T (θ) est égal à la variace de T sous P θ. b) L estimateur T = T (X,..., X ) de θ est dit asymptotiquemet sas biais si lim + E θ (T ) = θ, θ Θ c) O dit que T est u meilleur estimateur sas biais de g(θ) s il est sas biais et s il est meilleur que tout autre estimateur sas biais au ses de la variace. d) O dit que T est u estimateur coverget de g(θ) s il coverge e probabilité vers θ quad +. Remarques. Compredre l utilité d u estimateur sas biais: l idée est simple: si o prélève u grad ombre d échatillos de même taille, la moyee des estimatios obteues doera ue valeur assez exacte du paramètre de la populatio. Ue coditio écessaire et suffisate pour que T coverge e probabilité vers θ est qu il soit sas biais, ou asymptotiquemet sas biais et tel que lim + V ar(t ) = 0. O peut compredre facilemet l itérêt d u estimateur coverget : il faut o seulemet que la moyee des estimatios soit proche de θ, mais aussi que chaque estimatio 0

11 soit le plus proche possible de θ, doc que la variablité de l estimateur soit faible, pour suffisammet grad. U estimateur biaisé peut être itéressat si so risque quadratique est iférieur à la variace d u estimateur sas biais. Exemples. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de moyee µ et de variace σ 2. O a les résultats suivats: (a) E( X ) = µ et V ar( X ) = σ2. L estimateur X est doc u estimateur sas biais et coverget de µ. (b) E(Ŝ2 ) = σ 2. La variace empirique modifiée est u estimateur sas biais de la variace théorique. Preuve O peut écrire E(Ŝ2 ) = ( E ((σ2 + µ 2 ) ( σ2 + µ2 )) = σ 2. (X i X ) 2 ) = ( ) E(Xi 2 ) E( X ) 2 = (c) E(S) 2 = σ2 (car S 2 = Ŝ2 ). La variace empirique est u estimateur biaisé mais asymptotiquemet sas biais de la variace théorique. O peut dire que la variace empirique modifiée est u estimateur coverget de la variace théorique. Comparer deux estimateurs sas biais de θ au ses du risque quadratique reviet à comparer leur variace. Il est doc logique de se poser la questio de l existece d ue bore iférieure à l esemble des variaces des estimateurs sas biais de θ. Pour cela, o doit défiir la foctio de vraisemblace. Défiitio 7. O se place das le cadre d hypothèses suivat : o appelle vraisemblace du paramètre θ, l applicatio L : Θ IR + défiie par: - cas (a): si E est fii ou déombrable, L(x, x 2,..., x, θ) = P θ (x i ) - cas (b): si E = IR ou IR d et P θ admet ue desité f θ, L(x, x 2,..., x, θ) = f θ (x i ). O doe maiteat u résultat sur l existece d ue bore iférieure à l esemble des variaces des estimateurs sas biais de θ. Théorème Supposos les hypothèses dites de Cramer-Rao vérifiées (drivabilit de L(x, x 2,..., x, θ) par rapport θ,...). Soit T u estimateur sas biais de θ, de variace fiie.

12 θ Θ, V ar(t ) I (θ) où I (θ) l iformatio de Fisher de θ doée par l échatillo, est défiie par : I (θ) = E θ [ ( θ LogL(X, θ) ) 2 ] = E θ [ 2 LogL(X, θ) θ2 ] L iformatio de Fisher mesure la quatité d iformatio sur θ coteue das l échatillo X. Défiitio La quatité g 2 (θ) I (θ) s appelle la bore de Fréchet-Cramer-Rao (e abrégé FCR). Remarques. Lorqu o veut estimer le paramètre θ, c est à dire g(θ) = θ, o a V ar θ (T ) I (θ). O e peut pas affirmer qu il existe u estimateur sas biais dot la variace atteit la bore FCR mais, par cotre, o peut affirmer qu il existe pas d estimateurs sas biais meilleurs, au ses du risque quadratique, que celui qui atteit la bore FCR. Si la valeur de la bore de FCR est grade, cela sigifie que l o e peut pas estimer correctemet g(θ). O peut démotrer facilemet que I (θ) = I (θ). Défiitio O dit qu u estimateur sas biais de g(θ) est efficace si sa variace atteit la bore FCR. Exemples. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi Beroulli de paramètre p. L estimateur X est u estimateur sas biais et efficace de p. E effet, des calculs simples doet : et aisi V ar( X ) = I (p). E p ( X ) = p, V ar( X ) = p( p), I (p) = p( p) Preuve La foctio de vraisemblace est doée par: x i x i L(x,..., x ; p) = p ( p) xi ={0,} E dérivat deux-fois par rapport à p la log-vraisemblace Log(L(x,..., x ; p)), o obtiet: x i 2 p 2 Log(L(x,..., x ; p)] = p 2 2 x i ( p) 2

13 pour x i {0, }, i =,...,. L iformatio de Fisher est doée par: X i I (p) = E p ( p 2 X i ( p) 2 ) = p( p) Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), où σ 2 coue. L estimateur X est u estimateur sas biais et efficace de m. O peut facilemet motrer que: E( X ) = m, V ar( X ) = σ2 = I (m). Preuve E dérivat deux-fois par rapport à m la log-vraisemblace (x i m) 2 LogL(x,..., x ; m) = Log(σ (2π) /2 ) 2σ 2, x i IR, i =,...,, o obtiet: L iformatio de Fisher est doée par: 2 m 2 Log(L(x,..., x ; m)) = σ 2 I (m) = E( σ 2 ) = σ 2 Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), m coue. L estimateur est u estimateur sas biais, o efficace de σ 2. O peut motrer que: S 2 E(Ŝ2 ) = σ 2, V ar(ŝ2 ) = 2σ4 I (σ 2 ) = 2σ4. Preuve E dérivat deux-fois par rapport à σ 2 la log-vraisemblace (x i m) 2 LogL(x,..., x ; σ 2 ) = Log(σ (2π) /2 ) obtiet: 2σ 2, x i IR, i =,...,, o 2 (σ 2 ) 2 Log(L(x,..., x ; σ 2 )) = L iformatio de Fisher est doée par: I (σ 2 ) = E( 2σ 4 σ 6 2σ 4 σ 6 (x i m) 2 (X i m) 2 ) = 2σ 4 3

14 Remarque Il y a pas de résultat sur les propriétés de Ŝ comme estimateur de l écart-type σ. Exemple pratique O souhaite estimer la proportio p des électeurs satisfaits du travail du premier miistre. Pour cela, o procède à u sodage d opiio e prélèvat deux échatillos idépedats etre eux et o demade, à chaque idividu, s il est satisfait du travail du premier miistre. = 200 électeurs ot été choisis au hasard et avec remise, das ue circoscriptio rurale et m = 300 électeurs ot été choisis au hasard et avec remise, das ue circoscriptio urbaie. 50 ot répodu oui das le premier échatillo et 200 das le secod. O appelle X i la v.a. qui pred la valeur si le i-ème idividu du premier échatillo a répodu oui avec la probabilité p et 0 sio avec la probabilité p. O appelle Y i la v.a. qui pred la valeur si le i-ème idividu du secod échatillo a répodu oui avec la probabilité p et 0 sio avec la probabilité p. O dispose doc d u ( + m)-échatillo (X,..., X, Y,..., Y m ) de loi de Beroulli p. O cherche le meilleur estimateur de p à partir de ces doées. D après ce qui précède, E( X ) = p (et resp. E(Ȳm) = p), o cherche doc u estimateur sas biais de p, foctio de X et Ȳm. Cosidéros l estimateur Ū = a X + bȳm, a, b > 0. Cherchos les costates positives a et b telles que Ū soit u estimateur sas biais de p et de variace miimale. Comme E(Ū) = (a + b)p, il suffit de ( choisir a ) + b = pour que Ū soit u estimateur sas biais de p. De plus, V ar(ū) = a 2 + b2 m (p( p)). Trouver a et b telles que Ū soit u estimateur ( ) sas biais de p et de variace miimale reviet à miimiser la foctio f(a, b) = a 2 + b2 m sous la cotraite a+b =. C est u problème mathématique classique et la solutio est doée par a = +m et b = m +m. Aisi, le meilleur estimateur sas biais X de p est Ū = +mȳm +m de variace p( p) +m. D après l exemple précédet, l iformatio de Fisher de p doée par l échatillo (X,..., X, Y,..., Y m ) est I (p) = +m p( p), qui est égale à V ar(ū). L estimateur Ū est doc efficace et o e peut pas e trouver u meilleur au ses du risque quadratique. L estimatio de p est, doc 200 x ȳ avec x 200 = = 0, 75 et ȳ 300 = = 0, 67, c est-à-dire 0, 7. B- Exhaustivité Les résultats précédets doet des directios pour choisir u bo estimateur, mais l o doit vérifier si ce choix est correct. La otio d exhaustivité va ous permettre de répodre partiellemet à cette questio. Défiitio 8. Ue statistique T est dite exhaustive pour le paramètre θ si la loi coditioelle du - échatillo (X,..., X ) sous P θ sachat T (X,..., X ) est idépedate du paramètre θ. E gééral, les calculs sur les lois coditioelles sot assez compliqués et par coséquet, motrer qu ue statistique est exhaustive, peut être u problème délicat à résoudre. Ce problème peut être facilité grâce à u théorème d utilisatio très simple. Théorème de factorisatio 4

15 Ue statistique T à valeurs das IR p est exhaustive pour le paramètre θ, dès qu il existe ue foctio h de Ω das IR + et des foctios q θ mesurables de IR p das ]0, [ telles que das le cas (a) (de la défiitio 7), o ait P θ ({x, x 2,..., x }) = q θ (T (x, x 2,..., x ))h(x, x 2,..., x ), das le cas (b) (de la défiitio 7), pour chaque θ, la probabilité P θ admette la desité suivate sur IR d : f θ (x, x 2,..., x ) = q θ (T (x, x 2,..., x ))h(x, x 2,..., x ). Remarque. Il y a aucue raiso pour que la statistique exhaustive soit uique. Du poit de vue statistique, la otio d exhaustivité présete u itérêt grâce au résultat suivat, que ous admettros égalemet sas démostratio. Propositio. Soit T ue statistique exhaustive de g(θ). Soit S u estimateur (resp. u estimateur sas biais) de g(θ). Il existe alors u estimateur S foctio de T qui est meilleur que S (resp. et de plus, sas biais). Ce résultat motre qu u bo estimateur g(θ) est écessairemet ue foctio de T. Cela justifie la sigificatio du terme exhaustif. Exemples. Repreos les exemples précédets. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi de Beroulli de paramètre p. O peut factoriser P p ({x, x 2,..., x }) = p x i ( p) x i h(x, x 2,..., x ) = xi {0,} q p (T ) = p T ( p) T T (x, x 2,..., x ) = x i xi {0,}, e posat O obtiet doc que T = X i est ue statistique exhaustive de p. L estimateur X sas biais et efficace de p, étudié précédemmet, est bie foctio de cette statistique. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ). O peut factoriser f m,σ 2(x, x 2,..., x ) = exp( (x σ (2π) /2 2σ 2 i m) 2 ) e posat h(x, x 2,..., x ) = 5 (2π) /2

16 q m,σ 2(u, v) = σ exp( 2σ 2 (v 2mu + m2 )) T (x, x 2,..., x ) = (u(x, x 2,..., x ), v(x, x 2,..., x )) avec u(x, x 2,..., x ) = x et v(x, x 2,..., x ) = x 2 i O obtiet aisi, que T = ( X, Xi 2 ) est ue statistique exhaustive de (m, σ 2 ). Les estimateurs X et S 2 sas biais de m et σ 2, étudiés précédemmet sot bie foctios de cette statistique. C- Estimatio par maximum de vraisemblace La méthode du maximum de vraisemblace est l ue des plus usitées. simple à mettre e place. La méthode est Défiitio 9. U estimateur T est appelé estimateur du maximum de vraisemblace de θ si L(x, x 2,..., x ; T (x, x 2,..., x )) = sup L(x, x 2,..., x ; θ) θ Θ x Ω (la foctio L est la foctio de vraisemblace défiie das la défiitio 7 ). Remarques. Pour compredre le pricipe de l estimateur du maximum de vraisemblace, plaços ous das le cas discret, c est-à-dire que L(x, x 2,..., x ; θ) = P θ (x, x 2,..., x ). Cette foctio représete la probabilité que l o observe (x, x 2,..., x ) quad la vraie valeur du paramètre est θ. Pour certaies valeurs de θ, cette probabilité sera petite, c est-à-dire qu il y a peu de chaces d observer (x, x 2,..., x ). Pour d autres valeurs de θ, cette probabilité sera grade c est-à-dire qu il y a de fortes chaces d observer (x, x 2,..., x ). Par coséquet, la valeur vraisemblable pour θ est la valeur pour laquelle la probabilité d observer (x, x 2,..., x ) est la plus grade. U tel estimateur existe pas toujours (la foctio θ L(x, x 2,..., x ; θ) pouvat e pas atteidre so supremum), et il peut aussi être multiple (pire: il peut e pas exister pour certaies valeurs de x, x 2,..., x, et être multiple pour d autres!). Cepedat, das la plupart des cas cocrets, cet estimateur existe, est uique, et facile à calculer. Il y a pas vraimet de justificatio théorique à cette méthode, si ce est asymptotiquemet: sous des hypothèses très géérales, l estimateur du maximum de vraisemblace T de θ vérifie: (a) T coverge e probabilité vers θ, quad ted vers l ifii. (b) h(t ) est l estimateur du maximum de vraisemblace de h(θ), où h est ue foctio quelcoque. De plus, si h est dérivable, o a : I (θ) h (θ) 2 (h(t ) h(θ)) coverge e loi vers N(0, ). Il y a aucue raiso pour que cet estimateur soit sas biais ou efficace. Par cotre, d après la remarque (b) précédete, cet estimateur est asymptotiquemet sas biais et 6

17 asymptotiquemet efficace. S il existe ue statistique exhaustive das le modèle, alors l estimateur du maximum de vraisemblace est foctio de cette statistique. Exemples. Repreos les exemples précédets pour lesquels la foctio de vraisemblace L(x; θ) est deux fois dérivable e θ IR. Alors, u estimateur du maximum de vraisemblace T qui maximise la foctio θ L(x; θ) > 0 maximise aussi la foctio θ Log(L(x; θ)). Il est doc à chercher parmi les estimateurs qui aulet la dérivée e θ de Log(L(x; θ)), et de dérivée secode égative e ce poit. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi Beroulli Be(p). L uique estimateur du maximum de vraisemblace de p est doé par X. Preuve E repreat les calculs du paragraphe 4.2.A), la foctio de vraisemblace s écrit x i x i L(x,..., x ; p) = p ( p) xi ={0,} E dérivat ue fois par rapport à p la log-vraisemblace Log(L(x,..., x ; p)), o obtiet: p Log(L(x,..., x ; p)] = x i p x i ( p) pour x i {0, }, i =,...,. La valeur de p qui aule cette dérivée est x = x i, qui peut être l abcisse d u extremum de la foctio. Vérifios que l o obtiet u maximum e calculat la dérivée secode. E dérivat deux fois par rapport à p la log-vraisemblace Log(L(x,..., x ; p)), o obtiet: x i 2 p 2 Log(L(x,..., x ; p)] = p 2 x i ( p) 2 pour x i {0, }, i =,...,. Calculos la valeur de cette dérivée secode au poit x : 2 p 2 Log(L(x 3,..., x ; p)] = ( x i )( x i ) Elle pred ue valeur égative, x est doc l abcisse d u maximum et, aisi, l uique estimateur du maximum de vraisemblace de p est doé par X. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), σ cou. L uique estimateur X est l estimateur du maximum de vraisemblace de m. (Pour démotrer ce 7

18 résultat, o procède de la même maière que précédemmet). Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), m coue. L uique estimateur ˆσ 2 = (X i m) 2 est l estimateur du maximum de vraisemblace de σ 2. Doos u exemple pour lequel la foctio de vraisemblace L(x; θ) est pas dérivable e θ IR. Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi uiforme sur [0, θ], θ > 0, c est-à-dire de desité θ [0,θ](x). La foctio de vraisemblace est doée par: L(x,..., x ; θ) = θ [0,θ] (x i ) Cette foctio de vraisemblace est doc pas dérivable e θ. C est ue foctio décroissate de θ. Elle pred doc sa valeur maximale pour θ le plus petit possible. Comme θ x i, i =,..., c est-à-dire θ sup,..., x i, l estimateur du maximum de vraisemblace est doé par ˆΘ = sup,..., X i. Exemple pratique L autoomie d ue batterie d u téléphoe portable peut être représetée par ue variable aléatoire X de desité f a (x) = ae ax si x 0, 0 sio, où a est u paramètre positif dot o cherche à estimer la valeur. O dit que X suit ue loi expoetielle de paramètre a. O suppose, que pour = 00 batteries, o a observé x i = 328 heures. N ayat pas d idée a priori sur l estimateur à utiliser, o va chercher l estimateur du maximum de vraisemblace de a et étudier ses propriétés. La foctio de vraisemblace s écrit, pour tout x i 0, i =..., a L(x,..., x ; a) = a e x i E dérivat ue fois par rapport à a la log-vraisemblace Log(L(x,..., x ; a)), o obtiet: a Log(L(x,..., x ; a)) = a x i pour x i 0, i =,...,. La valeur de a qui aule cette dérivée est x = x, abscisse d u extremum de la i foctio. Vérifios que l o obtiet u maximum e calculat la dérivée secode. E dérivat deux fois par rapport à a la log-vraisemblace Log(L(x,..., x ; a)), o obtiet: pour x i 0, i =,...,. 2 a 2 Log(L(x,..., x, a)) = a 2 8

19 Calculos la valeur de cette dérivée secode au poit x : ( x i ) 2 2 a 2 Log(L(x,..., x ; a)) = Elle pred ue valeur égative, x est doc l abcisse d u maximum et, aisi, l uique estimateur du maximum de vraisemblace de a est doé par. De plus, l iformatio de X Fisher de a vaut I (a) =. a 2 Etudios les propriétés de cet estimateur. ( ) Vérifios tout d abord si c est u estimateur sas biais de a. Pour cela, calculos E X. Notos Y = X, cela reviet à calculer E ( ) i Y. Il est facile de motrer que, pour u échatillo (X,..., X ) de loi expoetielle de paramètre a, la v.a. Y = X i suit ue loi Gamma de paramètre (, a), et de desité f(y) = a Γ() e ay y si y 0, 0 sio, où Γ() = + 0 e x x dx. ( ) O a doc E Y = + a 0 Γ() e ay y 2 dy. Par ue itégratio par parties et le fait que ( ) ( ) f(y)dy =, o obtiet que E Y = a et E X = a. L estimateur du maximum de vraisemblace X de a est doc u estimateur biaisé de a. O peut u déduire u estimateur sas biais de a, oté â = X i Vérifios que cet estimateur est coverget. Pour cela, il suffit de vérifier que V ar(â ) ted vers 0 qua +. ) Par des calculs d itégrales, o peut motrer que V ar(( a = 2 Y 2 ( ) 2 ( 2) et aisi, V ar(â ) = a 2 ( 2). O peut doc dire que â est u estimateur coverget de a. Il est pas efficace car V ar(â ) I. (a) E coclusio, ue boe estimatio de a est doée par x i. = 0, Estimatio par itervalle de cofiace Le risque quadratique R T (θ) = E θ [(T g(θ)) 2 ], qui mesure l erreur commise e remplaçat g(θ) par T, déped ecore de la valeur icoue θ. Pour pallier ce problème, o préfère souvet utiliser la otio d estimatio par itervalle de cofiace, qui cosiste à détermier u itervalle recouvrat vraisemblablemet la vraie valeur icoue θ. Il faut, bie sûr, doer ue sigificatio au terme vraisemblablemet. Défiitio 0. O appelle itervalle de cofiace pour le paramètre g(θ) de iveau de cofiace α, α ]0, [,u itervalle aléatoire I(X, X 2,..., X ) das lequel g(θ) se trouve avec ue 9

20 probabilité au mois égale à α, ce qui veut dire mathématiquemet que P θ (g(θ) I(X, X 2,..., X )) α, θ Θ. Remarques Le ombre α est la probabilité que le paramètre g(θ) appartiee pas à l itervalle I, c est-à-dire la probabilité que l o se trompe e affirmat θ I. C est doc ue probabilité d erreur, que l o fixe proche de 0: typiquemet 0, ou 0, 05 ou 0, 0. O s est placé das le cas θ IR, ce qui ous permet de parler d itervalle de cofiace. Das le cas θ IR d, d >, o parle de régio de cofiace. Détaillos maiteat, sur u exemple, la démarche à suivre pour obteir u itervalle de cofiace : Itervalle de cofiace du paramètre p d ue loi de Beroulli Be(p), pour u échatillo de grade taille, > 30 et p( p) > 5. O cosidère u échatillo (X, X 2,..., X ) de loi de Beroulli Be(p). La démarche à suivre pour obteir u itervalle de cofiace pour p est la suivate. a)- Chercher u estimateur de p ayat de boes propriétés. Das le paragraphe 4.2., o a vu que X = X i est u estimateur sas biais et efficace de p. b)- Doer la loi de l estimateur et itroduire ue ouvelle v.a. dite pivotale T dépedat de l estimateur et du paramètre p, de loi idépedate du paramètre p. D après le théorème de la limite cetrale, la variable aléatoire T = X p p( p) coverge vers ue v.a. de loi ormale cetrée, réduite N(0, ). Das la pratique, o cosidère, que T suit approximativemet ue loi N(0, ) dès que > 30 et p( p) > 5. c)- Costruire l itervalle de cofiace à partir de T. Soit α ]0, [ doé, u α désige le fractile d ordre α de la loi N(0, ), c est-à-dire que P (T u α ) = α. O peut écrire: P ( u α X p p( p) u α2 ) = α où α = α + α 2. La loi ormale état ue loi symétrique, uimodale, o choisit u α = u α/2 et u α2 = u α/2 et o a, pour α ]0, [ doé: ( P u α/2 X ) p u α/2 = α p( p) et, aisi, l itervalle de cofiace pour p, est doé par 20

21 p( p) P X u α/2 p X + u α/2 p( p) = α E substituat, de part et d autre de l iégalité, le paramètre p par so estimatio x, ce qui peut être totalemet justifié asymptotiquemet de faço théorique, o obtiet fialemet ue fourchette d estimatio asymptotique pour p, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x ) : x ( x ) x ( x ) x t α/2 p x + t α/2. Exemple pratique O veut évaluer la proportio p de foyers d u départemet disposat d u téléviseur et désireux de recevoir les émissios par câble. Ne voulat pas procéder à u recesemet complet, o se propose d estimer cette proportio à partir d u échatillo de taille = 00, prélevé au hasard et avec remise das la populatio du départemet. Sur les 00 foyers iterrogés, 64 foyers sot désireux de recevoir les émissios par câble. O appelle X i la v.a. qui pred la valeur si le i-ème foyer est désireux de recevoir les émissios par câble et 0 sio. O veut détermier u itervalle de cofiace pour p de iveau de cofiace 0, 95. O est das les coditios d applicatio de l exemple précédet, que l o vérifie sur x vu que p est icou: 30 et x ( x ) > 5 avec x = = 0, 64. L itervalle de cofiace pour p au iveau de cofiace 0, 95, est doé par p( p) P X u 0,975 p X + u 0,975 p( p) = 0, 95 avec u 0,975 =, 96, quatile lu das la table de N(0, ). O obtiet fialemet ue fourchette d estimatio asymptotique pour p, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x 00 ), au iveau de cofiace 0.95 : 0, 546 p 0, 734. Iterprétatio La meilleure estimatio possible de la proportio est x = 0, 64. De plus, o a ue cofiace de 95% das le fait que la proportio soit comprise etre 0,546 et 0,734. Remarque importate Les itervalles de cofiace suscitet souvet des erreurs d iterprétatio et des abus de lagage. Repreos l exemple pratique précédet pour illustrer ce problème. Il est correct de dire que p a 95% de chaces d être compris etre X u p( p) 0,975 et X + u p( p) 0,975, car les bores sot aléatoires. Mais, il est icorrect de dire que p a 95% de chaces d être comprise etre 0, 546 et 0, 734. Effectivemet, das cette écriture, il y a rie d aléatoire. La proportio p est ou est pas das l itervalle [0, 546; 0, 734]. La probabilité que p soit comprise etre 0, 546 et 0, 734 est 0 ou, mais pas 0, 95. E fait, si o recommece 00 fois le sodage précédet sur des échatillos différets, o aura 00 2

22 ( réalisatios du couples X u 0,975 p( p), X ) + u p( p) 0,975, et aisi, des itervalles de cofiace différets (dus aux fluctuatios d échatilloage, voir paragraphe 2.3.). E moyee, p sera das 95 de ces itervalles et, c est e ce ses que l o doit compredre qu o a ue cofiace de 95% das le fait que la proportio soit comprise etre 0,546 et 0,734. Remarque Pour dimiuer la largeur de l itervalle d estimatio, o a deux possibilités: soit augmeter α, doc augmeter la probabilté de se tromper ou bie d augmeter, le ombre de persoes iterrogées, les bores de l itervalle dépedat de. C est pour cela qu il est idispesable de doer la valeur de α et le ombre de persoes itérrogées pour iterpréter les résultats d ue fourchette d estimatio. Itervalles de cofiace classiques Repreos, de ouveau, les exemples précédets et développos la recherche d itervalles de cofiace. Itervalle de cofiace de l espérace m d ue loi ormale N(m, σ 2 ). a- Cas où σ est cou Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), σ cou. Das le paragraphe 4.2., o a vu que X = X i est u estimateur sas biais et efficace de m. De plus, d après le paragraphe 3.., la variable aléatoire X m σ suit ue loi N(0, ). Soit α ]0, [ doé, u α/2 désigat le fractile d ordre ( α/2) de la loi N(0, ), o a : P ( u α/2 X m σ u α/2 ) = α et, aisi, l itervalle de cofiace pour m, est doé par : ( ) σ P X u α/2 m X σ + u α/2 = α O obtiet fialemet ue fourchette d estimatio pour m, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x ) : b- Cas où σ est icou x u α/2 σ m x + u α/2 σ Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), σ icou. Comme σ 2 est icou, o le remplace par so estimateur sas biais Ŝ2 défii das le paragraphe et d après le paragraphe 3.3, o sait que la variable aléatoire X m Ŝ 22

23 suit ue loi de Studet St( ). Soit α ]0, [ doé, t désigat le fractile d ordre ( α/2) de la loi de Studet St( ), o obtiet, aisi u itervalle de cofiace pour l espérace m: P ( X t α/2 Ŝ m X + t α/2 Ŝ ) = α O obtiet fialemet ue fourchette d estimatio pour m, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x ) : x t α/2 ŝ m x + t α/2 ŝ Itervalle de cofiace de la variace σ 2 d ue loi ormale N(m, σ 2 ). a- Cas où m est coue Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), m coue. Das le paragraphe 4.2.C), o a vu que ˆΣ 2 = (X i m) 2 est l estimateur du maximum de vraisemblace de σ 2. De plus, d après le paragraphe 3.2, la variable aléatoire Σ ˆ σ 2 2 suit ue loi du χ 2 (). Soit α = α + α 2 ]0, [ doé, u et u 2 désigat respectivemet, le fractile d ordre (α ) et le fractile d ordre ( α 2 ) de la loi χ 2 (). Il y a ue ifiité de choix pour α et α 2. E gééral, o choisit α = α 2 = α/2 pour symétriser le risque. o a : P (u ˆΣ 2 σ 2 u 2) = α et, o obtiet, aisi u itervalle de cofiace pour la variace σ 2 : P ( ˆΣ2 u 2 σ 2 ˆΣ ) 2 u O obtiet fialemet ue fourchette d estimatio pour σ 2, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x ) : b- Cas où m est icoue ˆσ 2 u 2 σ 2 ˆσ 2 u Cosidéros u -échatillo (X, X 2,..., X ) de loi ormale N(m, σ 2 ), m icoue. Comme m est icoue, o estime σ 2 par u estimateur sas biais Ŝ2. D après le paragraphe 3.2, 23

24 la v.a. ( ) Ŝ2 σ 2 suit ue loi du χ 2 ( ). Soit α ]0, [ doé, u et u 2 désigat respectivemet, le fractile d ordre (α ) et le fractile d ordre ( α 2 ) de la loi χ 2 ( ), o obtiet P (u ( )Ŝ2 σ 2 u 2) = α et, o obtiet, aisi u itervalle de cofiace pour la variace σ 2 : P ( ( ) Ŝ 2 u 2 σ 2 ( )Ŝ2 u ) O obtiet fialemet ue fourchette d estimatio pour σ 2, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x ) : ( )Ŝ2 u 2 σ 2 ( )Ŝ2 u Exemple pratique O mesure la compressio d u cimet e moulat des petits cylidres et e mesurat la pressio X, mesurée e kg/cm 2, à partir de laquelle ils se casset. Pour 0 cylidres testés, o observe les pressios suivates : 9, 6 9, 9 20, 4 9, 8 20, 5 2 8, 5 9, 7 8, 4 9, 4. O suppose que la variable aléatoire X suit ue loi ormale N(m, σ 2 ). O cherche u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0, 90 pour m, la valeur moyee de la pressio à partir de laquelle les cylidres se casset, puis pour σ 2. E appliquat les résultats précédets, o obtiet u itervalle de cofiace pour l espérace m: P ( X t 0,95 Ŝ m X + t 0,95 Ŝ ) = α avec t 0,95 =, 833, quatile lu das la table de St(9). O obtiet ue fourchette d estimatio pour m, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x 0 ) : x 0, 833 ŝ0 0 m x 0 +, 833 ŝ0 0 avec x 0 = 97,2 0 = 9, 72 et ŝ 0 = 09 moyee et la variace empirique. Fialemet, 9, 245 m 20, L itervalle de cofiace pour la variace σ 2 est doée par ( ( ) Ŝ 2 P σ 2 ( ) )Ŝ2 u 2 u 0 (9, 72) 2 = 0, 82. Pour les calculs de la 24

25 avec u = 3, 33 quatile d ordre 0, 05 et u 2 = 6, 92 quatile d ordre 0, 95 lus das la table χ 2 (9). O obtiet fialemet ue fourchette d estimatio pour σ 2, à partir de l échatillo des observatios (x, x 2,..., x 0 ) : 0, 36 σ

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