Bases théoriques 2 : Ondes planes, ondes sphériques Conditions aux limites Fonctions de Green et Formulations intégrales

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1 Bases théoiques : Ondes planes, ondes sphéiques Conditions aux limites Fonctions de Geen et Fomulations intégales

2 Ondes planes On cheche des solutions de l équation des ondes ne dépendant que de la vaiable spatiale x p' p' p'(x,t) x c t x La solution généale s écit : Popiétés constantes dans tout plan pependiculaie à x x p'(x,t) f (t ) g(t c x) c Patie «pogessive» de l onde Patie «étogade» de l onde

3 f et g sont des fonctions abitaies qui seont déteminées pa les conditions initiales et les conditions aux limites d un poblème paticulie Onde pogessive P A «photo» de l onde pise à l instant T P A X x «photo» de l onde pise à l instant T x p'(x,t) f (t ) c X alos f T c Donc si X X f T c T X c x T X c La fome (et l amplitude) de l onde sont inchangées

4 L onde s est simplement déplacée ves la doite à la position: X X X X c (T T ) donc à la vitesse : c T T T X Des conclusions similaies s appliquent à l onde «étogade», à la seule difféence que le motif se déplace ves les x décoissants. Remaque: on ne confonda pas vitesse de déplacement du motif paticules fluides v ; pa exemple, pou l ai : c et vitesse des c 34m /s et v' mm /s à un niveau de 94dB Vitesse paticulaie. Impédance caactéistique Il est facile de monte que : p'(x,t) v'(x,t) c x f (t ) c x f (t ) c x g(t ) c x g(t ) c c Impédance caactéistique du milieu de popagation (Z)

5 Exemples : Ai c Z ai,9 kg / m 33 m / s 3 43 kg / m / s ou ayls d apès Lod Rayleigh Eau c Z kg / m 5 m / s eau 3,5 6 3 ayls John William Stutt, 3 d Baon Rayleigh Pix Nobel 94 Theoy of sound, Remaque : pou une onde pogessive seule, pession et vitesse sont popotionnelles p' cv' de même pou une onde étogade seule, p' cv' dans le cas généal, il n y a cependant aucune elation de popotionnalité

6 Ondes planes monochomatiques p'(x, t) Re P(x) e i t Equation de Helmholtz d P dx k P ; k c Dont la solution est simplement : ikx ikx P(x) A e Be Coespond à l onde pogessive ca : P(x) A e ik x p' Re A e ik x e i t x i(t ) c p' Re (A e ) Temps «etadé» Les constantes (complexes) A et B seont déteminées pa les conditions aux limites associées à une configuation paticulièe.

7 Onde pogessive P(x ik x ) A e Fonction péiodique spatialement La péiode spatiale (ou longueu d onde) l est définie pa c c k l l ct k f (T péiode tempoelle de l onde) c l l Les plans d onde se déplacent à la vitesse c Quid d une onde (plane) se déplaçant selon une diection quelconque?

8 l n l/cos(q) q ik.x p(x) Ae Solution de l équation de Helmholtz si K k x («elation de dispesion») c K kn n vecteu d onde c La phase K.x est constante dans tout plan pependiculaie à n (plan d onde, suface équiphase) Pou une onde plane de dépendance tempoelle abitaie : x. n p'(x, t) f (t ) c Rem : un champ abitaie peut toujous ête epésenté pa une supeposition d ondes planes se popageant selon difféentes diections, et éventuellement évanescentes. Cette technique qui elève de la synthèse de Fouie est pa exemple utilisée en acoustique des salles.

9 Ondes sphéiques Il s agit d ondes «D», mais dans un système de coodonnées sphéiques p' p'(, q,, t) Ce qui coespond à une notion «d isotopie» : aucune diection n est pivilégiée; la situation physique est celle d une souce omnidiectionnelle ponctuelle à l oigine du epèe q O M En excluant les ondes convegentes (seule possibilité:éflecteu sphéique), la pession est donnée pa : p' f (t ) c On etouve la notion de temps etadé, plus une décoissance du niveau popotionnelle à la distance souce-écepteu La elation ente pession et vitesse est plus compliquée que pou une onde plane et dépend de la distance souce-écepteu :

10 v' c f (t c ) f (t c )dt p' f (t c ) p' cv' elation obtenue pou une onde plane composante «en phase» Teme «supplémentaie» impotant dans le champ poche acoustique l composante «en quadatue»

11 Caactéistiques énegétiques : intensité acoustique L intensité acoustique moyenne est donnée pa : I t I m Im limt T T I(t) dt Pou une onde plane comme pou une onde sphéique : T p' I m m où p' m limt p' (t)dt c T Cette intensité vaie comme / pou une onde sphéique Pou une onde plane (ou une onde sphéique en champ acoustique lointain) la densité d énegie est donnée pa : p' e p' m ie I e c c (et il y a équipatition ente énegie cinétique et énegie potentielle)

12 Ondes sphéiques monochomatiques i t p'(, t) Re P()e Pa analogie avec les fomules «ondes planes» ik e P() A La vitesse paticulaie est obtenue pa l éq. d Eule ik e i V() A c k Si k on etouve la popotionnalité avec la pession, géée pa l impédance spécifique du milieu On peut en déduie les quantités énegétiques moyennes et en paticulie l intensité (adiale) I * pp Et ceci en champ poche ou lointain c (estimation de la vitesse non nécessaie!)

13 Fonctions de Geen (en espace libe) Définition : éponse «impulsionnelle» du milieu à une souce ponctuelle, en l absence de toute suface éfléchissante G c t G (x y) (t ) La solution est simplement : G(x, t y, ) x y (t 4 ) c ie epoduction du signal souce avec un décalage coespondant au temps de tajet souce-écepteu, et une décoissance du niveau popotionnelle à la distance souce-écepteu (cf. onde sphéique) Remaque impotante : la fonction de Geen est symétique pa appot aux positions de la souce et du écepteu. On peut énonce un pincipe de écipocité, qui pemet d échange les positions de la souce et du écepteu sans modifie le ésultat d une mesue. Ce «pincipe» este valable en pésence d obstacles et en milieu non homogène (mais il doit ête modifié en pésence d écoulement)

14 Fonction de Geen pou l équation de Helmholtz Gk k Gk (x y) La fonction de Geen en espace libe est : Gk ik e 4 (peut ête obtenue pa TF de la fonction de Geen de l équation des ondes, ou simplement pa éféence aux ondes sphéiques monochomatiques) Remaque : ces fonctions de Geen coespondent à la popagation acoustique dans un espace tidimensionnel; pou cetaines modélisations on est amené à considée des fonctions de Geen D et D, qu on peut déduie des pécédentes pa intégation su ou coodonnées. Pa exemple pou le calcul d efficacité d un écan long au voisinage d une voie de ciculation

15 Souces étendues (en espace illimité) A pati de la fonction de Geen (qui coespond à la notion de solution élémentaie) il est facile de calcule la fluctuation de pession povoquée pa une distibution continue de souces dans un cetain volume x R p' c t p' f (y, ) O y S x y La éponse s obtient pa convolution de G avec la fonction souce. p'(x, t) f (y, )G(x, t y, )dy d ou p'(x, t) f (y, )G(x y, t )dy d qui s explicite selon : f (t x y p'(x, t) D 4 x y c) dy Fomule dite des potentiels etadés

16 La vesion monochomatique de cette fomule s écit : p(x) ik e D 4 f (y)dy x y Remaque : on peut aussi défini des fonctions de Geen «adaptées» qui pennent en compte toutes ou cetaines conditions aux limites su des obstacles (intégale de Rayleigh pou le ayonnement de stuctues planes pa exemple) et qui peuvent pemette une simplification des fomulations. L utilisation des fonctions de Geen est paticulièement intéessante pou les fomulations intégales des poblèmes de ayonnement pa les stuctues et de diffaction pa des obstacles (écans pa exemple) qui sont à la base de codes de calcul commeciaux tels que LMS Vitual Lab/ Sysnoise pa exemple.

17 Conditions aux limites Rappels : contact fluide/solide igide V(P S) P n Solide V(P F) Fluide L impeméabilité de la fontièe impose que V el.n Cette condition «cinématique» est la seule à considée pou un fluide pafait (continuité de la composante nomale de la vitesse; la composante tangentielle peut ête discontinue) Contact fluide/fluide n P Même condition d impeméabilité + Continuité de la containte à l inteface () ij n j () ij n j Pou un fluide pafait, ij n pn j i (pas de containte tangentielle) D où simplement p =p, continuité de la pession à l inteface

18 Spécificité des conditions limites pou l acoustique Une difficulté majeue povient de ce que les «solides» considéés ne sont pas infiniment igides; les solides élastiques (pa exemple des métaux) sont le siège d ondes qui peuvent ête excitées pa une onde acoustique incidente : I R Fluide Solide T L T T Ondes Tansmises Longitudinale (compession) et Tansvese (cisaillement) Les conditions limites à écie sont : la continuité de la vitesse nomale et de la containte, dans lesquelles les dives types d ondes doivent ête pises en compte. Dans la patique de l Acoustique, on a souvent à considée des matéiaux plus compliqués : Laine de vee, mousses, tous les matéiaux absobants qui sont poeux et de stuctue complexe (phase solide plus ou moins igide, cavités emplies d ai, effets dissipatifs visqueux-themiques); il y a aussi tous les matéiaux «natuels», de caactéistiques tès vaiables, comme le sol los de la popagation du son dans l atmosphèe. Nécessité de décie ces situations pa une condition aux limites simple

19 Impédance acoustique Idée : ne plus s intéesse à ce qui se passe à l intéieu du matéiau (donc on n aua pas accès aux ondes tansmises). Pa conte on poua calcule facilement les ondes éfléchies. Le compotement du matéiau est epésenté pa une caactéistique locale, fonction de la féquence, mais indépendante de la fome de l onde incidente, l impédance (de suface) : Z(x,f ) Matéiau p v n n int Fluide p et v n : amplitudes complexes au niveau de l inteface vn v n int L impédance est souvent déteminée expéimentalement (méthode du tube à impédance - tube de Kundt); ou à pati d une modélisation fine du matéiau (poosité, ésistance au passage de l ai, totuosité, voi cous su les matéiaux absobants)

20 Fomulation intégale des poblèmes de diffaction Intoduction Récepteu Souce (monochomatique) Fomulation «locale» Équation de Helmholtz + conditions aux limites + condition «de ayonnement», ie à gande distance des obstacles, les ondes sont divegentes et essemblent à des ondes sphéiques (3D) ou cylindiques (D) Pas tès adaptée à la ésolution numéique, ca cela oblige à maille finement tout un volume où il ne se passe ien d intéessant (popagation «en ligne doite») et ceci jusqu à une distance «suffisante» (comment la défini?) pou pouvoi applique des conditions aux limites simples. Note cependant l utilisation coissante des méthodes éléments finis / infinis (TP Actan)

21 Fomulation intégale Récepteu Champ «diffacté» Champ «diect» Souce (monochomatique) p(x) f (y)g(x y)dy V G p(y) n y G p(y) dy n y G(x y) ik e 4 ; x y éventuellement une combinaison de telles f. de Geen Le champ «diect» ne pose pas de poblème, la souce étant supposée connue C est le champ qui seait elevé en l absence d obstacle. Le champ diffacté méite plus de commentaies

22 Champ diffacté G pd (x) p(y) n y Potentiel de double couche (dipôles) p(y) G dy n y Potentiel de simple couche (monopôles) L intégale pote uniquement su les fontièes «physiques» du poblème. Il n y a pas à considée une fontièe «numéique» pou feme un domaine de calcul comme c est le cas en fomulation locale. C est un avantage impotant de ce type d appoches. Remaque: cette fomule peut aussi ête appliquée pou toute suface entouant la souce et les objets diffactant; fomule de Kichhoff ou de Kichhoff - Helmholtz. L obstacle peut ainsi ête emplacé pa une double épatition sufacique de monopôles et de dipôles Mais qui estent à détemine!

23 Equation intégale de suface Pou détemine les «potentiels» de couche, il suffit de faie tende le point d écoute x ves la suface (il y a une petite difficulté technique à cause de la singulaité de la f. de Geen en /). On obtient : pd (x ) G p(y) n y G p(y) dy n y y x Attention : il s agit d une équation intégale (et non d une simple fomule), l inconnue p (et son gadient) appaaissant à l intéieu et à l extéieu de l intégale. Cette équation sea ésolue pa une méthode de discétisation type collocation ou éléments finis de fontièe. C est la patie délicate de l appoche qui se fait donc en temps (et avec types de maillage) e temps : ésolution de l équation intégale donnant les potentiels su les obstacles. ème temps : calcul du champ sonoe dans le volume pa intégation sufacique d une fonction connue (et ajout du champ diect).

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