Changement de fréquence, effet Doppler

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1 N 804 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 869 Changement de fréquence, effet Doppler par Yve BAIMA, André JORANDON, Sylvie MORLEN et Marc VINCENT Lycée La Martinière Monplaiir Lyon Cedex 08 RÉSUMÉ La propagation de onde et une part importante du programme de phyique de CPGE. C et dan ce cadre que incrit l étude de l effet Doppler ou forme de travaux pratique. Dan une première partie, nou préenton de façon ommaire l effet Doppler, dan la configuration la plu imple où la ource d onde et mobile et le récepteur fixe dan le référentiel du laboratoire. A la uite de ceci, on trouvera une decription du dipoitif expérimental mi au point au lycée. Il met en jeu l utiliation d un émetteur et d un récepteur d onde ultraonore et de l ocillocope numérique utilié pour viualier le ignaux. Cependant, depui l introduction de l étude du on en clae de econde, il et fréquent de trouver dan le lycée de ource d onde ultraonore et le récepteur aocié. La difficulté de cette étude réide dan le fait que l écart N qui exite entre la ource et l émetteur et de l ordre de quelque Hertz. La troiième partie montre l impoibilité de meurer N par une obervation directe de ignaux. La quatrième partie préente donc la olution adoptée, à avoir l utiliation d un module de tranpoition de fréquence, et quelque application poible. 1. APPROCHE THÉORIQUE 1.1. Définition Quand une ource d onde inuoïdale et en mouvement par rapport à un récepteur, celui-ci attribue aux vibration qu il reçoit une fréquence différente de la fréquence émie. Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

2 870 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS Cet effet concerne le onde de nature quelconque : onde onore (par exemple le onde émie par l avertieur d un véhicule en mouvement par rapport à oi, échographie ultraonore médicale), onde électromagnétique (décalage ver le rouge du pectre de onde électromagnétique émie par le étoile en fuite) Étude de l effet Doppler longitudinal On e place dan le contexte de la mécanique newtonienne. Faion l étude dan un référentiel (E), uppoé galiléen, lié au récepteur R. La ource S étant animée d une vitee V par rapport au récepteur, l effet Doppler et dit longitudinal i l axe ( S, V ) pae par R. On néglige l atténuation éventuelle du ignal, qui n a pa d influence dan la uite du raionnement. Il et ouhaitable de faire quatre figure (bien que deux uffient au calcul) : A t = 0, pour l émiion du premier top (alia début de période du ignal) par S : A t = t 1, lor de la réception de ce premier top par R (avec c vitee de propagation dan (E) de l onde dan le milieu conidéré) : A t = T e, lor de l émiion du econd top par S (alia fin de la période du ignal) : A t = t 2, lor de la réception du econd top par R : Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

3 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 871 Par définition, t 2 = t 1 + T r,it r et la période apparente du ignal reçu par R. En conéquence : a VTe a V Tr = t t = Te + + = T e c c c donc i V << c on a la relation ur le fréquence : V Nr = N e 1. c On en déduit : N N N V r e = e c qui repréente l écart de fréquence entre l onde émie et l onde reçue, dû à l effet Doppler. 2. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL Dan le dipoitif expérimental, la ource S et fixe dan le référentiel (E) du laboratoire, émet une onde ultraonore monochromatique de fréquence N e, qui e réfléchit ur un mobile, pui et détectée par un récepteur fixe placé à côté de l émetteur. En reprenant le raionnement général, on trouve : N N N N V Doppler = r e = 2 e. c Pour toute la decription du dipoitif, il et coneillé de e reporter imultanément aux chéma donné ci-aprè et en annexe 1. Figure 1 Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

4 872 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 2.1. L émetteur et le récepteur Le tranducteur émetteur et récepteur ont monté ur de upport permettant de le localier avec facilité ur le plan de travail. Pour cela l émetteur et introduit à l extrémité d un tube PVC, pui fixé ur un upport à une certaine hauteur du plan. Le liaion électrique entre le tranducteur et le appareil de meure ont aurée par du fil blindé. Le tranducteur émetteur et alimenté par un ocillateur électronique calé ur la fréquence de Hz environ (que l on peut régler). On peut viualier directement à l ocillocope «l image électrique» du ignal onore émi, c et-à-dire un ignal de même fréquence que celle du ignal ultraonore émi. La réception du ignal par le récepteur et viualiée à l ocillocope. Avantage de onde ultraonore ur le onde onore : la fréquence élevée de l onde émie Ne = Hz, et par conéquent la faible longueur d onde aociée λ= = = 86, cm àt = 293 K, permettent de négliger c 343 Ne le phénomène de diffraction par le objet environnant, qui perturbent beaucoup certaine expérience avec le onde onore ; la directivité partielle du faiceau émi permet un meilleur confort d utiliation expérimental La cible mobile Il agit de réalier un mobile, pouvant réfléchir le onde ultraonore, de vitee rectiligne facilement réglable. Pour cela, on utilie un moteur à courant continu, alimenté par une ource de puiance de [12 V/2A]réglable au moyen d un rhéotat de [23W/7A].Celui-ci fait tourner autour de on axe une tige filetée de pa p = 1,25 mm en rotation et provoque le déplacement linéaire du mobile atreint à e déplacer dan une gouttière en U. De interrupteur de bout de coure arrêtent le mobile aux extrémité de la tige filetée, et de commutateur permettent le déplacement aller ou retour. Accouplé au moteur, un capteur de vitee contitué d un dique troué et d un phototranitor alimenté par une ource de tenion claique ± 15 V, permet la lecture immédiate de la fréquence de rotation f de la tige au moyen d un fréquencemètre (multimètre) ou de l ocillocope. La connaiance de cette fréquence f permet de déterminer la vitee de déplacement de la plaque. En effet, i le pa de la tige et connu, on a v = f.p. Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

5 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 873 En meurant N grâce à l obervation du ignal du capteur ur l ocillocope, on a donc accè à v. Cette meure devra être comparée à celle obtenue en exploitant l effet Doppler par meure de N = 2 N V e. c 3. OBSERVATION DU SIGNAL RÉFLÉCHI SUR LA CIBLE MOBILE 3.1. Obervation directe Cette première manipulation a pour but de montrer aux élève, la difficulté et l impréciion d une meure directe de N. En effet, N e et de l ordre de 40 khz et 1 c = 340 m.. En conidérant de vitee de déplacement de la plaque de quelque cm. 1, on aboutit pour N à de valeur de quelque Hertz. Cela va nou conduire à utilier le module de tranpoition de fréquence préenté par la uite. On poitionne donc le tranducteur émetteur et récepteur côte à côte au bout du banc et on alimente le différent dipoitif de façon appropriée. On viualie alor directement ur l ocillocope le ignaux de l émetteur et du récepteur. De meure ont été réaliée d une part avec la plaque immobile et d autre part avec la plaque en mouvement (voir le tableaux de meure en annexe 2, érie 1 et 2 ). Le meure avec la plaque immobile mettent en évidence de fluctuation importante de N e et N r. Aprè vérification, ce fluctuation ont pu être attribuée à la technique de meure de la fréquence par l ocillocope et non à une dérive en fréquence de l émetteur. Afin de limiter ce fluctuation, il et coneiller de faire fonctionner l ocillocope en mode moyenné. Le meure avec la plaque immobile permettent aini de contater que l écart de fréquence que l on peut oberver lorque la plaque et en mouvement et du même ordre de grandeur que celui meuré lorque la plaque et fixe et ne peut donc pa être attribué à l effet Doppler. Une autre poibilité et propoée à l élève : l utiliation de battement. En effet, puique l on a : avec : ψ = A co ( ω t) et ψ = A co ( ω t) Ψ= ψ1+ ψ2 = 2A co ( ωmodt) co ( ωmt) avec : ωmod = ( ωr ωe)/ 2. Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

6 874 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS La meure de ω mod permet a priori de déterminer N. Cependant, là encore, l obervation directe et impoible ; un imple calcul d ordre de grandeur permet de le vérifier ; N =10 Hz. Une telle fréquence et difficilement obervable ur l ocillocope. D un point de vue pratique, la omme de deux ignaux et réaliée directement par la fonction +/- de l ocillocope. La propagation le long de câble introduit une erreur négligeable, car la valeur numérique de la célérité de onde électromagnétique et trè grande devant celle de onde onore Utiliation d un module tranpoition de fréquence Schéma de principe Il agit de «fabriquer» un ignal v à partir de v e et v r, périodique, de fréquence proportionnelle à N. Pour cela il et intéreant de recourir au montage «tranpoition de fréquence», dit encore «comparateur de phae» de chéma bloc uivant (voir figure 2). Figure 2 Il comprend un multiplieur de contante k et un filtre pae-ba de fréquence de coupure inférieure à celle de ignaux d entrée. On note ve( t) = Ee co ( ωet) et v' r ( t) = E' r co ( ωrt ϕ) ignal de réception amplifiée et remi en forme, avec le retard de phae du ignal de réception par rapport à celui d émiion. Aprè le multiplieur on a : vx( t) = k Ee E' r co ( ωet)co ( ωrt ϕ) = k E e E ' r [ co (( ωe ωr) t + ϕ) +co (( ω e +ωr) t ϕ) ]. 2 Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

7 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 875 Aprè le filtre pae-ba de fréquence de coupure inférieure à 80 khz, on a : v t k E e E ' r () = [ co (( ωe ωr) t + ϕ )]. 2 Le chéma du filtre du econd ordre de type Butterworth et donné ci-aprè (voir figure 3). Figure 3 : Avec R= 100 k ;C 1 =22nF-C 2 =44nF. La fonction de tranfert harmonique et : 1 H( jω) = + j RC R C1 C2 ( jω) 2. Si C = 2C on calcule la fréquence de coupure à 3dB: 2 1 Nc = 1 1 Hz 2 2RC = 51. π 1 On aboutit alor au réultat : N me = N. doppler De exemple de courbe viualiée ur l ocillocope ont fournie en annexe 3. Remarque : Étant donnée que la vitee de la plaque et toujour inférieure à 1 50 cm. (limite trè large) ceci implique que N me < 120 Hz. Dan ce condition, une fréquence de coupure de l ordre de 100 Hz pour le filtre et enviageable. Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

8 876 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 4. EXPLOITATION 4.1. Détermination de la vitee d un mobile : principe du radar On câble maintenant la chaîne complète (voir le branchement en annexe 1). Le meure effectuée ont fournie en annexe 2, érie 3. On contate que le réultat pour la vitee calculée à partir de la fréquence de rotation de la tige ont en bon accord avec ceux obtenu en exploitant l effet Doppler. L incertitude relative et toujour inférieur à5%. Remarque : Certain phénomène extérieur peuvent paraiter le meure et ont ource d erreur. Le principaux rencontré ont : le vibration mécanique de la plaque lor de on déplacement entraînent une ditorion du ignal qui n et plu rigoureuement inuoïdal, la fréquence de rotation du moteur n et pa rigoureuement contante, une amplification uffiante et néceaire en entrée du montage pour éliminer le bruit Célérité du on dan l air : traitement tatitique d une érie de meure Cette étude peut-être l occaion de faire réalier une étude tatitique par le élève à partir de leur réultat de meure. Un calcul direct d incertitude et impoible, le ource d erreur étant nombreue et non quantifiable, donc une étude tatitique impoe. Soit une grandeur phyique dont la valeur vraie et x o et dont la meure a donné la valeur x, uniquement entachée d erreur accidentelle ou aléatoire. En abence d erreur ytématique, untrè grand nombre de meure e répartient uivant une courbe dite de Gau repréentant donc le nombre de meure y ayant une valeur une valeur donnée x, pour différente valeur dex:il agit d une loi de probabilité. Pour plu de préciion y e référer à la courbe en fonction de x avec x y o = 0 pour cette illutration. max Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

9 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 877 Figure 4 On définit aini la valeur moyenne qui tend ver x o pour un nombre infini de meure et l écart-type. Si on fait une meure dont le réultat et x et i on peut dire qu on a une probabilité p pour que la vraie valeur oit dan l intervalle x bet x+ b,oùbet un coefficient numérique, on dira que l intervalle de confiance et [ x b, x+ b] avec le niveau de confiance p ; on utilie ouvent le niveau de confiance 0,95 ce qui ignifie qu il y a quatre-vingt-quinze chance ur cent pour que la vraie valeur oit dan l intervalle ci-deu. Intervalle de confiance Niveau de confiance x= m ± 68 % x= m ± 196, 95 % x= m ± 2 95,4 % x= m ± 257, 99 % x= m ± 3 99,7 % On n effectue bien ûr jamai un nombre infini de meure, mai un nombre fini n, il faut donc trouver de etimateur m et 2 de valeur x o et 2 de la ditribution théorique de Gau. Aprè élimination éventuelle de réultat manifetement aberrant, le meilleur etimateur ont : m = i n x i Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

10 878 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS et : 2 ( xi m) i = n 1 2 alor l intervalle de confiance auquel appartient x o et etimé par : m t xo m+ t n n où t et une variable aléatoire dépendant de n et du niveau de confiance uivant la loi de Student ci-deou : n t 095, 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,20 t 099, 63,7 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,25 2,25 3,11 n t 095, 2,16 2,13 2,11 2,09 2,06 2,04 2,02 2,01 1,96 t 099, 3,01 2,95 2,90 2,86 2,80 2,76 2,70 2,68 2,58 Alor x = t et une etimation de l incertitude de la meure de x n o. Le réultat obtenu à partir de no meure ont fourni en annexe 2. L encadrement fourni par cette étude pour la vitee de propagation de ultraon dan l air et atifaiant puique pour T = 293 K la valeur théorique donne c = = 343 m. avec γrt 1 M 1 1 γ=14, ; R = 8, 314 J. K ; M = 29 g. mol = mae molaire de l air. CONCLUSION Cette étude préente l intérêt d aborder de nombreux point à la foi théorique et expérimentaux. Au point de vue théorique, on étudie bien ûr l effet Doppler mai aui la notion d étude tatitique (approche métrologique). Au niveau de la pratique expérimentale, l utiliation de l ocillocope numérique et un de objectif de l étude mai c et aui l occaion de mettre en œuvre de dipoitif électronique adapté pour la mie en forme de ignaux et la réaliation de fonction précie. Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

11 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 879 Annexe 1 Schéma de la maquette Figure 5 Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

12 880 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS Annexe 2 Réultat expérimentaux SÉRIE N 1 : PLAQUE IMMOBILE L ocillocope fonctionne en mode AVERAGE. Ne (khz) Nr (khz) 40,40 40,44 40,40 40,49 40,40 40,40 40,44 40,36 SÉRIE N 2 : PLAQUE MOBILE ; OBSERVATION DIRECTE SÉRIE N 2 : (SANS LE MODULE TRANSPOSITION DE FRÉQUENCE) L ocillocope fonctionne en mode NORMAL. Ne (khz) Nr (khz) 40,32 40,40 40,44 40,40 L ocillocope fonctionne en mode AVERAGE. Ne (khz) Nr (khz) 40,32 40,57 40,36 39,45 40,32 40,32 40,28 40,40 Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

13 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 881 SÉRIE N 3 : PLAQUE MOBILE ; UTILISATION DU MODULE TRANSPOSITION SÉRIE N 3 : DE FRÉQUENCE f : fréquence de rotation du moteur (Hz) V : vitee de la plaque (capteur) (mm/) N (Hz) Vitee de la plaque (doppler) (mm/) Incertitude relative ,9 2,8 12,1 1,7 11,4 14,3 3,3 14,2 0,7 17,8 22,25 4,95 21,4 3, ,3 5,9 25,5 3 21,7 27,2 6,3 27,2 0 26,8 33,5 7,5 32,4 3 30,3 37,9 8,7 37,6 0, ,7 9,6 41,5 5 35,7 44,6 10,1 43,7 2 46,9 58,6 13,9 60,1 2,5 SÉRIE N 4 : ÉTUDE STATISTIQUE f (ignal capteur) N (Hz) f / N C on (m/) 9,5 1,4 6, ,4 1,65 6, ,2 2, ,7 3,15 6, ,8 3,75 7, ,3 4,35 6, On en déduit : m= 347 m. 1 et = 61, On a donc : 1 1 on pour un niveau de confiance de 95 % : 341 m. < C < 354 m., 1 1 on pour un niveau de confiance de 99 % : 337 m. < C < 357 m.. Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

14 882 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS Annexe 3 Signal 1 (capteur) N1 = 37, 9 Hz v = N p = 47, 3 mm/ Signal 2 N2 C N2 = 10, 5 Hz v = 2 Ne on 10, = = 45, 4 mm / Figure 6 : Exemple de ignaux obervé ur l ocillocope lorque la plaque e déplace relativement rapidement. Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

15 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS 883 Signal 1 N1 = 11, 5 Hz V = 14, 4 mm/ Signal 2 N2 = 3, 3 Hz V = 14, 3 mm/ Figure 7 : Exemple de ignaux obervé avec un déplacement lent de la plaque. Vol Mai 1998 Y. BAIMA...

16 884 BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS Signal 1 N1 = 21 Hz V = 26, 3 mm/ Signal 2 N2 = 6 Hz V = 259, mm/ Figure 8 Changement de fréquence, effet Doppler B.U.P. n 804

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