Fiche de révision sur les lois continues

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1 Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la «loi de durée de vie sans vieillissement» (ou encore loi exponentielle de paramètre λ avec λ>. Toutes les probabilités seront données à 1 3 près. 1. Sachant que p(x > 1)=,286, montrer qu une valeur approchée à 1 3 près de λ est,125. On prendra,125 pour valeur de λ dans la suite de l exercice. 2. Calculer la probabilité qu un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 3. Sachant qu un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu il ait une durée de vie supérieure dix ans? 4. On considère que la durée de vie d un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 1 ans? 5. Combien l établissement devrait-il acheter d oscilloscopes pour que la probabilité qu au moins l un d entre eux fonctionne plus de 1 ans soit supérieure Ã,999? Exercice 2 Voir la correction On modélise le temps d attente entre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ. La probabilité pour un client d attendre moins de t min est définie par : Le temps moyen d attente est donné par : p(x t )= λe λx dx. lim t + λxe λx dx. 1. (a) On suppose qu une primitive F de la fonction f définie par : s écrit sous la forme : f (x)=λxe λx Déterminer les valeurs de a et b. F (x)=(ax+ b)e λx (b) Déterminer alors le temps moyen d attente en fonction de λ. 2. Le temps moyen d attente étant de 5 min, quelle est la probabilité d attendre plus de 1 min? plus de 5 min? 3. Quelle est la probabilité d attendre encore au moins 5 min, sachant qu on a déjà attendu 1 min? Comment expliquez-vous ce résultat? Exercice 3 Voir la correction Les parties A et B sont indépendantes Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à,2. Partie A On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l achat de 5 composants soit assimilé à 5 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 5 composants. 1. Quelle est la probabilité qu exactement deux des composants achetés soient défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 1 1 près.

2 2. Quelle est la probabilité qu au moins un des composants achetés soit défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 1 2 près. 3. Quel est, par lot de 5 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux? On suppose que la durée de vie T 1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre λ 1 = et que la durée de vie T 2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre λ 2 = Calculer la probabilité que la durée de vie d un composant soit supérieure à 1 heures : (a) si ce composant est défectueux ; (b) si ce composant n est pas défectueux. Donner une valeur approchée de ces probabilités 1 2 près. 2. Soit T la durée de vie (en heures) d un composant acheté au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est : P(T t )=,2e 5 1 4t +,98e 1 4t. (on rappelle que la probabilité qu un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à,2). 3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 1 2 près. Exercice 4 Voir la correction Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm. Partie A 1. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d espérance 1 et d écart-type,4. Montrer qu une valeur approchée à, 1 près de la probabilité qu une bille soit hors norme est, On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note N l événement : «la bille choisie est aux normes», A l événement : «la bille choisie est acceptée à l issue du contrôle». (a) Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l énoncé. (b) Calculer la probabilité de l événement A. (c) Quelle est la probabilité pour qu une bille acceptée soit hors norme? Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 1 billes. On considère que la probabilité qu une bille soit hors norme est de,12 4. On admettra que prendre au hasard un sac de 1 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 1 billes dans l ensemble des billes fabriquées. On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 1 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac. 1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y? 2. Quels sont l espérance et l écart-type de la variable aléatoire Y? 3. Quelle est la probabilité pour qu un sac de 1 billes contienne exactement deux billes hors norme? 4. Quelle est la probabilité pour qu un sac de 1 billes contienne au plus une bille hors norme?

3 Exercice 5 Voir la correction Deux amis se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12h et 14h. Noah décide d arriver à 12h3 alors que Mathieu arrive au hasard entre 12h et 13h.On appelle la variable aléatoire donnant l heure d arrivée de Mathieu. 1. Justifier que T suit une loi uniforme sur l intervalle [12;13]. 2. Calculer la probabilité que Mathieu arrive avant Noah. 3. Mathieu n arrivera pas avant 12h15.Calculer alors la probabilité que Mathieu arrive avant Noah. 4. Calculer la probabilité que Noah attende plus de 1 minutes. Exercice 6 Voir la correction Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 4 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance µ=4 et d écart-type σ=11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche Partie A On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x P(X x),35,86,182,325,5,675,818,914, Calculer P(39 X 41). 2. Calculer la probabilité p qu un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ. Pour quelle valeur de σ la probabilité qu un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 %? On arrondira le résultat au dixième. On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance et d écart-type 1, on a P(Z 1,751),4. Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 3 pains fabriqués. 1. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille Parmi les 3 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables. Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l objectif a été atteint? Partie C Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

4 1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 3 jours est de,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième. Dans toute la suite on prendra λ=,3. 2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 9 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 6 jours? 3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai?

5 Correction exercice n 1 1. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ ; donc ou encore λ= ln, La calculatrice donne λ=,125 à 1 3 près. p(x > 1)=e 1λ =,286 1λ=ln, mois =,5 année. On a donc p(x,5)= 1 e,125,5 = 1 e,62 5, L appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu il ait une durée de vie supérieure dix ans est égale à p[(x > 1) (X > 8)] p(x > 1) p (X>8 (X > 1)= = p(x > 8) p(x > 8) = e,125 1 e,125 8 = e,125 2,779. On peut aussi se rappeler du modèle que X désigne, à savoir une durée de vie sans vieillissement. Ainsi : p (X>8 (X > 1)=p (X>8 (X > 8+2)=p(X > 2)=e.125 2, On a ici un schéma de Bernoulli, avec comme succès le fait pour un oscilloscope d avoir une durée de vie supérieure à 1 ans, dont la probabilité est égale à,286 et un nombre d appareils égal à 15. La probabilité de n avoir aucun oscilloscope en état de marche au bout de 1 ans est donc : (1,286) 15 =, Donc inversement la probabilité d avoir au moins un oscilloscope en état de marche au bout de 1 ans est égale à : 1,714 15, On reprend la question précédente avec non plus 15, mais n oscilloscopes. La probabilité qu au moins 1 sur les n oscilloscopes fonctionne après 1 ans est donc : 1,714 n. Il faut chercher le plus petit naturel n tel que 1,714 n,999,1,714 n ln,1 nln,714 (par croissance de la fonction ln), soit finalement ln,1 ln,714 n (car ln,714<). La calculatrice donne 2,5 n. Le premier naturel convenant est donc 21. Correction exercice n 2 1. (a) F est une primitive de f donc quelque soit le réel x, F (x)= f (x) soit (a λ(ax+ b))e λx = λxe λx. Relation qui donne : λa = λ et a λb= soit a= 1 et b= 1 λ. Donc : (b) Comme lim t + e λt =, on en déduit que lim t + F (x)=(x+ 1 λ )e λx 2. Si le temps moyen d attente est égal à 5 minutes, alors 1 λ = 5 λ= 1 5 =,2. La probabilité d attendre plus de 1 minutes est : 1 p(x 1) = 1,135 au millième près) De même la probabilité d attendre plus de 5 minutes est : 1 p(x 5)=1,368 au millième près) λxe λx dx= lim t + [(x+ 1 λ )e λx ] t = (t+ 1 λ )e λt (+ 1 λ )e λ = 1 λ. 1 λe λx dx = 1 5 [ e λx] 1 = e 2. (soit λe λx dx= 1 [ e λx] 5 = e 1. (soit

6 Fiche de révision sur les lois continues 3. Il faut calculer p(x 15) sachant que X 1. Or p(x 15 et X 1) p(x 15) 1 p(x 15) p X 1 (X 15)= = = = 1 15,2e,2x dx = e 3 p(x 1) p(x 1) p(x 1) p(x 1) e 2 = e 1,368. On a p X 1 (X 15)= p(x 5). Donc la probabilité est celle du temps supplémentaire d attente. La loi exponentielle est une loi sans vieillissement. Correction exercice n 3 1. On a une loi binomiale de paramètres n= 5 et p =,2. On a donc p(x = 2)= ( 5) 2,2 2,98 48,1858, La probabilité cherchée est p(x > )=1 p(x = )= 1,98 5,635, On a E(X )=n p = 5,2= (a) On a P([1 ; + ])=1 2., e 5 1 4t dt = 1+ [e ] t (b) Même calcul avec λ 2 : P([1 ; + ])= e 1 4t dt = 1+ [e ] t = e = e,1,94,9.,2 P(T t )= e 5 1 4t dt =,2e t = e = e,5 = 1 e,66,98 P(T t )=1 1 4 e 1 4t dt =,98e 1 4 t D où en faisant la somme, le résultat demandé. P [(T 1) (défectueux)] 3. On a P (T 1 ) (défectueux)= = P(T 1),2 e,5,2 e,5 +,98 e,13, Correction exercice n 4 1. Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm ; donc la probabilité qu une bille soit dans la norme est P(9 X 11)=P(X 11) P(X 9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 1 (P(X 11) P(X 9))=1 (, ,62967) = 1, =, ; donc une valeur approchée à, 1 de la probabilité qu une bille soit hors norme est, (a) On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l énoncé :,987 6,12 4 N N,99,1,2,98 A A A A

7 (b) D après la formule des probabilités totales : P(A)=P(N A)+P(N A)=P(N ) P N (A)+P(N ) P N (A) =,9876,99+,124,2 =, ,248=,977972,978 La probabilité de A est,978 (arrondie au dix-millième). (c) On cherche : P A (N)= P(A N ) =,248 P(A),977972,3 La probabilité qu une bille acceptée soit hors norme est, 3 (arrondie au dix-millième). 1. La probabilité qu une bille soit hors norme est,12 4 : on admet que prendre au hasard un sac de 1 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 1 billes dans l ensemble des billes fabriquées. Donc la variable aléatoire Y qui,à tout sac de 1 billes, associe le nombre de billes hors norme, suit une loi binomiale de paramètres n= 1 et p =, L espérance mathématique et l écart type d une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont respectivement np et np(1 p). Donc E(Y )=np= 1,124= 1,24 et σ(y )= np(1 p)= 1,124,9876 1, La probabilité pour qu un sac de 1 billes contienne exactement deux billes hors norme est P(Y = 2). ( ) ( ) n P(Y = 2)= p 2 (1 p) n 2 1 =,124 2, , Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l événement (Y 1). ( ) ( ) 1 P(Y 1)=P(Y = )+P(Y = 1)=,124, ,124 1, ,2871+,365, Correction exercice n 5 Deux amis se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12h et 14h. Noah décide d arriver à 12h3 alors que Mathieu arrive au hasard entre 12h et 13h.On appelle la variable aléatoire donnant l heure d arrivée de Mathieu. 1. T est un nombre aléatoire de l intervalle [12;13]. Donc T suit la loi uniforme sur cet intervalle. 2. On cherche p(12 T 12,5)= =.5 soit une chance sur deux p((t 12,25) (T 12,5)) T On cherche p (T 12,25) (T 12,5)= = = T 12,25 T 12, = = h 12h4 4. On cherche p(12h4 T 13h)= 13h 12h = 2min 6min = 1 3 Correction exercice n 6 Partie A On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x P(X x),35,86,182,325,5,675,818,914, P(39 X 41)=P(X 41) P(X < 39)=,818,182=, Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si «X 385». «X 385»est l événement contraire de «X < 385». On a donc p(x 385)=1 p(x < 385)=1,86=,914.

8 3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ. Soit Y la variable aléatoire de paramètres µ=4 et σ, on a : p(x 385)=.96 1 p(y < 385)=,96 p(y < 385)=,4 Si Y suit une loi normale de paramètres µ=4 et σ, on sait que Z = X 4 suit une loi normale centrée réduite ( σ et p(y < 385)=,4 P Z ) =,4. σ Or P(Z 1,751),4.On a donc : = σ= σ = 8,6. Pour σ=8,6, au dixième près ; la probabilité qu un pain soit commercialisable est de 96% 1. L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 3 est de la forme. [ I 3 = p 1,96 p(1 p) n ; p 1,96 p(1 p) n ] avec p =,96 et n= 3. On a donc : I 3 = [,93 ;,99] 2. Parmi les 3 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables. Ce qui représente 94 % de la production. Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question 1,on accepte que l objectif a été atteint. Partie C Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 3 jours est de p(t 3)=,913. On a par ailleurs : p(t 3)= 3 λe λx d x= [ e λx ] 3 = 1 e 3λ. On en déduit : p(t 3)=1 p(t 3)=e 3λ et finalement : e 3λ =,913 3λ= ln(.913) λ=,3. Dans toute la suite on prendra λ=,3. 2. Calculons p T 6 (T 9). p((t 6) (T 9)) p(t 9) 1 p(t 9) On a p T 6 (T 9)= = )= p(t 6) p(t 6 1 p(t 9) = e 9λ e 6λ = e 3λ. Avec λ=,3., on a donc p T 6 (T 9)= p(t 3)=,913 La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 9 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 6 jours est,913 (loi à durée de vie sans vieillissement!) 3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons la durée maximale t max pour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à,5. p(t t max ),5 = max λe λx d x,5 [ e λx ] t max,5 1 e λt max,5 1 e λt max,5 e λt max,5 λt max ln.5 Avec λ=,3, on trouve t max = 231. Le vendeur avait donc tort.

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