( ) PROBLEME 1 : ASSOCIATION DE CIRCUITS RC. 6 septembre I Réponse indicielle d un circuit RC PC*1 / PC*2 / PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N 1

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1 P* / P* / P DEVOI SUVEILLE DE PHYSIQUE N 6 sptmbr 4 POBLEME : ASSOIATION DE IUITS On analys, à laid dun oscilloscop, l circuit ci-contr comportant un génératur d tnsion E,r ( ), rprésnté dans l cadr pointillé, n séri avc un résistanc connu, un condnsatur t un intrruptur K. Lintrruptur st frmé à t = alors qu l condnsatur st déchargé. Ls vois A t B d loscilloscop sont rliés aux dux borns d la résistanc. On not u( t ) la tnsion aux borns du condnsatur t i( t ) l intnsité circulant dans l circuit. r E K voi A voi B Lnrgistrmnt ds signaux d loscilloscop donn loscillogramm suivant, avc ls snsibilités V/carrau n vrtical t, ms/carrau n horizontal. Ls dux cursurs (ligns horizontals n pointillés) sont réglés pour corrspondr rspctivmnt à t 9 d lamplitud maximal du signal (). P () () I épons indicill d un circuit ) Idntifir, n l justifiant, ls nrgistrmnts () t () aux vois A t B ) Etablir ls lois d u( t ), tnsion aux borns du condnsatur, t i( t ) courant dans l circuit. On précisra la constant d tmps τ t on détrminra lxprssion d t pour lqul : u( t ) =,9E. 3) Précisr l xprssion d la tnsion au point P. Sachant qu = Ω, détrminr ls caractéristiqus E,r du génératur d tnsion, puis n déduir la valur d la capacité. 4) On vut appliqur un échlon d tnsion au dipôl : sur qul paramètr du montag doit-on agir, t commnt? L signal d sorti s appll alors répons indicill. Pourquoi put-on dir qu l étud d la répons indicill rnsign sur la réactivité d un circuit? ( ) P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

2 II épons harmoniqu d un circuit On considèr maintnant l circuit soumis à un xcitation sinusoïdal ( t ) = E cos( t ) 5) Détrminr la fonction d transfrt H ( j ) n sorti ouvrt (rin n st rlié à la sorti) d c circuit, t précisr l xprssion d la pulsation d coupur à 3 db, qu l on notra. 6) En épruv d travaux pratiqus, on dmand d fabriqur un filtr d fréqunc d coupur (à 3 db) f = 5 khz, t d gain (n db) nul dans la band passant. La tnsion d sorti st obsrvé sur un oscilloscop dont l ntré put êtr modélisé par l association n parallèl d un résistanc = MΩ t d un condnsatur d capacité = 3 pf On dispos pour fabriqur c filtr d dux résistancs, rspctivmnt d 4,7 kω t 68 kω, t d dux condnsaturs d capacité 6,8 nf t 47 pf. hoisir ls composants prmttant d réalisr c filtr t d obsrvr au miux à l oscilloscop l signal d sorti. Un répons argumnté t quantifié st attndu. On pourra n particulir comparr ls valurs du gain n band passant t d la fréqunc d coupur avc ou sans l oscilloscop branché. s III Dux circuits n cascad 7) On associ maintnant dux moduls n cascad. Détrminr la fonction d transfrt H ( j ) n sorti ouvrt d c circuit, t précisr l xprssion d, la pulsation d coupur à 3 db, n fonction d. s 8) Montrr qu H ( j ) put s mttr sous la form H ( j ) =, + j & ( " + j & ( ) t xprimr " t " n fonction d H 9) Ls dux moduls sont maintnant associés par l intrmédiair d un amplificatur opérationnl (AO) idéal. fonctionnant n régim linéair. On précis qu dans c cas, ls potntils aux borns d ntré + (non invrsus) t (invrsus) sont égaux, t qu aucun courant n rntr dans l AO par ls borns + t - A + AO B s a) Justifir l appllation d suivur donné à l AO dans c montag. b) Détrminr la fonction d transfrt n sorti ouvrt H 3 ( j ) d c circuit, t précisr l xprssion d 3, la pulsation d coupur à 3 db, n fonction d. c) Qul st l intérêt d utilisr ds AO n suivur dans ls associations d clluls? ) présntr sur un mêm graph ls diagramms d Bod n amplitud associés aux fonctions d transfrt H t H 3. ommntr. ) Proposr un montag pour fabriqur un filtr pass bas présntant un atténuation d 8 db / décad pour ds pulsations grands dvant. P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

3 POBLEME : MODELISATION ET ANALYSE D UN FILTAGE 3 Un quadripôl st constitué d dux dipôls D t D, disposés comm l indiqu la figur. Suls ls borns d ntré t d sorti sont accssibls à l xpérimntatur. drnir alimnt l filtr par un génératur d tnsion sinusoïdal parfait ( t ) = E cost, t ffctu un étud n fréqunc d la répons du systèm. Il rlèv l tracé xpérimntal suivant qui a été modélisé avc un tablur à l aid d la fonction d transfrt H( j ) = + jq " & ( D D G db,6 khz f - 3,34 khz ) Détrminr ls valurs numériqus d ω t Q. ) Efft du filtr sur un signal non sinusoïdal. On put décomposr ls signaux périodiqus d périod T = " ( t ) = " E n cos( nt + n ) t s( t ) = " S n cos( nt + n ). n= n=, d ntré t d sorti sous la form : On définit l taux d distorsion harmoniqu par = a) lir S n à E n grâc à la fonction d transfrt. " n= S n S. b) On appliqu un signal périodiqu avc T = ms t E = V d la form suivant : La décomposition d Fourir d c signal st donné par l xprssion : t avc. P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

4 Montrr qu l signal d sorti pour T = ms t E = V st, n bonn approximation, sinusoïdal. 4 c) On s intérss maintnant au signal suivant, toujours d périod T = ms, t avc t E = V: t n ms La décomposition d Fourir d c signal st ctt fois-ci donné par : Put-on ncor considérr l signal d sorti comm sinusoïdal? 3) ésolution d problèm : détrmination ds composants du filtr. On sait qu l constructur a utilisé pour construir l filtr un sul résistor d résistanc, un sul condnsatur d capacité t un sul bobin d inductanc L. s trois dipôls ont été associés n séri ou n parallèl d façon à formr ls dipôls D t D. Pour avoir ds informations supplémntairs sur l filtr, l xpérimntatur rli l ntré du filtr à un génératur d tnsion continu d f..m U = 5 V, la sorti étant ouvrt. Il msur alors n régim établi un courant d ntré d intnsité I = 5 ma. a) Détrminr la disposition ds composants dans l quadripôl. b) Détrminr la valur numériqu ds composants. POBLEME 3 : ETUDE D UN DISPOSITIF TMD (TUNED MASS DAMPE) Exploitr l documnt joint n annx pour répondr aux qustions suivants. On modélisra un construction par un systèm mass-rssort subissant un amortissmnt. ) En xprimant la fréqunc d oscillation du systèm, justifir qualitativmnt la rlation donné dans l documnt ntr la taill ds bâtimnts t lur fréqunc d oscillation. ) Donnr l xprssion d l amplitud d vibration du systèm rlaxant au cours du tmps. Justifir alors quantitativmnt l affirmation rlativ à la tour iticorp : «avc un périod d 6,5 s t un diminution d amplitud d par cycl, il faut un bonn dizain d minuts pour qu la vibration s étign d ll mêm». 3) Tracr l allur d la courb d la répons du systèm à un xcitation sinusoïdal. Vérifir qu : «lorsqu ls vibrations d la tour sont rapids, la mass tnd à rstr immobil par rapport au sol.» n donnant un sns physiqu xplicit à l xprssion «vibrations rapids». 4) L documnt dit qu «La tour Taipi oscill avc un périod d 6,8 s t un amplitud maximal d qulqus dizains d cntimètrs». alculr la valur numériqu d l amplitud d son accélération t vérifir qu ll st d l ordr «d qulqus cntièms d l accélération d la psantur». omparr cs valurs avc cll d un batau pour vérifir qu l oscillation d ctt tour put «donnr la nausé.» 5) A qul typ d oscillatur st comparé l dispositif avc la boul d acir installé pour limité ls oscillations d la tour Tapi? Vérifir qu la fréqunc propr d ct oscillatur st comparabl à clls ds gratts cils donnés par l documnt. P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

5 P* / P* / P OETION DU DEVOI SUVEILLE DE PHYSIQUE N 6 sptmbr 4 5 POBLEME : ASSOIATION DE IUITS I épons indicill d un circuit ) La tnsion aux borns d un condnsatur st continu. La courb (), imag d u( t ) st rlvé sur la voi B. La courb () st l imag d la tnsion aux borns du génératur. ) On a l équation d maill E = ( + r)i( t )+ u( t ) avc i( t ) = du du soit dt dt + u = E avc = ( + r) d solution général u( t ) = Axp t & " ( + E Par continuité d u( t ), = A + E c qui conduit à u( t ) = E xp t && " ( ( On déduit i( t ) = du dt soit i( t ) = E xp " t & ( = E + r xp " t & ( On a u( t ) = E xp t && " (( =,9E soit xp t & " ( =, t t = Ln ( ) t =,3 3) L point P corrspond à la tnsion ( t ) = E ri( t ) aux borns du génératur à l instant t = + : soit ( t ) = E r + r xp t & " ( t ( + ) = + r E Pour t ", u E : on lit 6 carraux soit 6 V E = 6 V L point P st situé à 4 carraux : E = 4V. Avc = Ω, on trouv r = 5 Ω + r L intrsction d la courb () avc l nivau 9 a liu à t = 4, =,4 ms On n déduit = t =,7 ms puis = soit =, µf,3 + r 4) Un échlon d tnsion st un signal du typ ( t ) = pour t <, t ( t ) = E pour t. Il faut idéalmnt un génératur d résistanc intrn null, ou n pratiqu, négligabl dvant. La répons indicill donn accès à la constant d tmps = du circuit sul, qui st un ordr d grandur du tmps nécssair à l établissmnt du régim prmannt. II épons harmoniqu d un circuit 5) Qustion d cours : on st n présnc d un pont divisur, on a immédiatmnt H ( j ) = S E = Z Z + = j =. On rconnaît un pass bas d ordr d la form j + + j H ( j ) == + j d pulsation d coupur ( à 3 db) = 6) Avc f = " = " = 5.3 Hz, on trouv = 3 µs P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

6 6 On vérifi facilmnt qu ls associations ( = 4,7 kω, = 6,8 nf) t ( = 68 kω, = 47 pf) conduisnt touts ls dux à = 3,96 µs. Ells sont équivalnts pour un obsrvation n sorti ouvrt. En prnant n compt l ntré d l oscilloscop, l circuit st équivalnt à : s oscillo La fonction d transfrt H = S E = Z qu Z qu + avc Z qu = // // soit Z qu = + j + j H = + Z qu = " + + j( + ) & = + + j( + ) + = + j + ( + ) + On rtrouv l xprssion d un pass bas d ordr d pulsation d coupur = + ( ) t d gain n bass fréqunc H = +. On a H si >> t dans c cas " si d plus >>. Il faut donc choisir = 4,7 kω t = 6,8 nf. III Dux circuits n cascad 7) En notant V A l potntil n A, l pont divisur n sorti S donn : = V A + j soit V A = ( + j )S t la loi ds nœuds appliqué n A : E V A = V A S + V A Z A s soit E V A = V A S + j"v A puis : E = S + ( + j )V A = S + ( + j )( + j )S = ( + 3 j " )S t finalmnt : H ( j ) = + 3 j " En posant x =, H ( jx ) = + 3 jx x G ( ) = G max soit avc G max = t G ( x ) = st donné par ( x ) + 9x = ou n posant X = x, X + 7X = d solution X = La pulsation d coupur st =,37, la pulsation réduit d coupur à 3dB ( x ) + 9x (sul la solution positiv st accptabl) soit x = =,37 P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

7 8) Il suffit d factorisr l dénominatur D d H ( jx ) : D = x + 3 jx + = a pour racins x / = 3 j ± j 5 D = ( x x) ( x x) = ( ju x) ju x = 3± 5 ( ) = ( u + jx) ( u + jx) t nfin D = + j x " u & + j x " u & = + j " u & + j " u & n rmarquant qu l produit u u = 3+ 5 & 3 5 & = " " j d la form ju t ju soit 7 On a bin la form dmandé avc " = 3+ 5 =,6 t " = 3 5 =,38 9) a) V B = V E t V E = V E+ = V A par hypothès : n trm d potntil, tout s pass comm si ls borns A t B étaint rliés : l montag à AO n modifi pas l potntil appliqué. b) omm aucun courant n rntr dans l AO, on a un pont divisur n sorti t n ntré : S = V B + j t V A E = + j soit avc V A = V B : H 3 = + j " & La pulsation d coupur à 3dB st donné par ( + jx) = soit ( + x ) = t ( + x ) = puis : + x = t x = ",64 3 =,64 c) ontrairmnt au montag dirct (sans AO), la fonction d transfrt ds dux clluls n cascad st l produit ds fonctions d transfrt d chacun ds clluls. ) On constat qu ls dux courbs évolunt n haut fréqunc vrs un asymptot obliqu d pnt 4 db par décad, mais qu l montag avc suivur présnt un cassur plus ntt. L montag dirct présnt dux cassurs, avc un tronçon intrmédiair d pnt - db/ décad. ) Il suffit d associr n cascad 4 clluls séparés par ds AO montés n suivur : l diagramm asymptotiqu st la suprposition d 4 pass bas d ordr d pulsation d coupur P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

8 POBLEME : MODELISATION ET ANALYSE D UN FILTAGE 8 ) Pour xploitr la band passant du graph, on put introduir la pulsation réduit x = H( jx ) = + jq x t G( x ) = " x& " + Q x x& L gain maximum st obtnu pour x = soit pour =. Numériqumnt, = "f =7,9. 3 rad.s - La band passant à -3 db st défini par G( x ) = G max = soit par " Q x x& = ou x x = Q On rmarqu qu si x st solution, x l st égalmnt. En notant x t x = x cs dux solutions, x = x " x = x " x = Q avc x > x On n déduit : " = f = " f Q donc Q = " = f "f Q = 3,4 On dispos ds dux rlations : L == t = f "f On n déduit = "f t L = 4 f "f = "f f AN : = 468 nf L = 4 mh ) a) En régim sinusoïdal forcé, S n = H ( jn ) = E n n + Q " & n ( b) Un périod T = ms corrspond à un fondamntal d fréqunc f = T = 3 Hz, t à ds harmoniqus (impairs) d fréquncs 3 khz, 5kHz,. En calculant x = n = nf f, Pour f = khz, x =,86 t G =,77 t l amplitud d sorti vaut 8,77 =,57 V 8 Pour f = 3 khz, x =,58 t G =,3 t l amplitud d sorti vaut,3 =,4 V 9 8 Pour f = 5 khz, x = 4,3 t G =,7 t l amplitud d sorti vaut :,7 =, V 5 L fondamntal st transmis avc un amplitud 4 fois plus important qu la prmièr harmoniqu : on put admttr qu pratiqumnt sul l fondamntal st transmis, t l signal d sorti st sinusoïdal d fréqunc khz t d amplitud,57 V. L signal d sorti produit par l triangl st quasisinusoidal. Son taux d distortion st très faibl : δ = -. c) L spctr du signal carré décroit moins rapidmnt (n /n ) : ls harmoniqus d rang 3, 5,.. sront partillmnt transmiss. On obsrvra un signal sinusoïdal mais déformé. Pour f = khz, S = 4,77 =,9 V Pour f = 3 khz, S = 4,3 3 =,54 V Son taux d distortion st plus important : δ -. P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

9 3) a) Un courant continu put travrsr l association d D t D n séri : l condnsatur qui s comport comm un coup circuit n régim continu st forcémnt n parallèl avc un autr composant. Il y a quatr cas possibls pour D + D : a) // + L ; b) L// + ; c) + L// ; d) L + // L tracé xpérimntal montr qu l circuit st un pass band : s st nul n très bass t très haut fréqunc. En xploitant ls comportmnts asymptotiqus, soit condnsatur équivalnt à un coup circuit n HF, t à un circuit ouvrt n BF, t l contrair pour la bobin, on a pour a), b) t d) : s = ; t pour c) : s = n BF t HF. On rtint l montag ci contr : jl Z b) H( j ) = Z + avc Z = j jl jl + = " L soit j L H( j ) = jl " L = jl " L + jl ( ) = jl + " L + = jl + j + j " j t H( j ) = + j soit la form dmandé avc Q = & L t = L L " L L ( En ssai continu, l courant travrs la résistanc t la bobin s comportant comm un fil ; on n déduit = U I AN : = k On dispos ds dux rlations : L == t = f "f On n déduit = "f t L = 4 f "f = "f f L AN : = 46 nf L = 4 mh 9 POBLEME 3 : ETUDE D UN DISPOSITIF TMD (TUNED MASS DAMPE) ) Ls bâtimnts ls plus grands, donc ls plus lourd vibrnt à ds fréquncs plus basss : ctt rlation st général pour tous ls systèms oscillants : on put l établir l plus simplmnt dans l cas d un systèm mass rssort où la fréqunc propr st donné par f = k m ) En modélisant la tour comm un oscillatur harmoniqu amorti linéair, l oscillation u( t ) st solution, n régim libr, d l équation différntill d u dt + du dt + " u = " d solution psudopériodiqu u( t ) = Axp t & cos ((t + )) L ssntil st d constatr un décroissanc xponntill d l amplitud u( t ) u( t + T ) Ainsi = xp T & u( t ) " ( t pour un décroissanc d par cycl, xp T & " ( =, soit T T = "Ln(,99 ) t = " Ln(,99 ) Avc T = 6,5 s, on trouv = 647 s,7 min : l ordr d grandur proposé st corrct. P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

10 3) La courb ci contr rprésnt l allur typiqu d la répons d un oscillatur amorti à un xcitation sinusoïdal. Pour un xcitation rapid, i d fréqunc bin supériur à la fréqunc propr d la tour (d Hz à, Hz slon la taill du bâtimnt), la répons st négligabl. u 4) L accélération d un oscillatur d pulsation ω t d amplitud A st d l ordr f d a = f A Avc A = cm t = " T =,9 s, on trouv a, g m.s- =,98 m.s- On a bin un accélération d l ordr d un cntièm d g pour cm d amplitud. L affirmation st validé. Par aillurs, ctt amplitud t ctt périod sont plausibls pour l roulis d un navir, t donc suscptibl d provoqur un mal d mr t ds nausés. 5) En assimilant l dispositif à un pndul psant, la fréqunc d oscillation st d l =,7 Hz g tt valur st cohérnt avc ls fréquncs proprs d gratt cils donnés par l documnt, d l ordr d, Hz. Par aillurs, la mass important prmt au pndul d prndr un parti d l énrgi d oscillation. P* / P* / P 4 / 5 Dvoir survillé n 6 / 9 /4

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