Systèmes du Monde. licence sciences et humanités. LA MESURE cours et énnoncés de travaux pratiques

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1 Université d Aix-Marseille - Faculté des sciences Site St Charles Systèmes du Monde licence sciences et humanités LA MESURE cours et énnoncés de travaux pratiques Année universitaire Enseignante : Julie Patris Courriel : julie.patris@univ-amu.fr

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3 Table des matières 1 Dimensions et unités Introduction Analyse dimensionnelle Définition Exercices Unités Présentation - Historique Quelques définitions Exercices de conversions Exercices d application Dimensions et unités de constantes physiques Introduction au calcul d incertitude Introduction Qu est-ce que l erreur associée à un résultat? Pourquoi est-ce important? Définitions et conventions Incertitude absolue et incertitude relative Nombre de chiffres significatifs : Comment évaluer l incertitude Sur une mesure directe Sur le résultat d une théorie Pour faire plus vite, une fois qu on a bien compris Somme ou différence de variables Produits et divisions de variables Puissances Problèmes d application Réduction de l incertitude relative; incertitude de modèle Mesures et incertitudes Introduction Manipulation sur une bille - Résultat pour le modèle sphérique Evaluation de la masse de la bille Evaluation du volume de la bille - Modèle sphérique Estimation de la masse volumique Approche statistique Unités du système international et quelques ordres de grandeur Unités du Système International Constantes fondamentales Quelques ordres de grandeur Ordres de grandeur des structures de notre univers Rappels de quelques relations physiques importantes

4 TABLE DES MATIÈRES 4 2 Formulaire mathématique usuel Règles et dérivation des fonctions usuelles Fonctions trigonométriques Fonctions exponentielles et logarithmes Différentielle logarithmique Nombres complexes Module et argument Notation exponentielle Relations entre les fonctions trigonométriques et exponentielles Produits utilisant les vecteurs Le produit scalaire Corollaire Le produit vectoriel Corollaire

5 Cours 1 Dimensions et unités 1.1 Introduction Lorsque l on donne un résultat de mesure ou de calcul il est impératif d indiquer la nature du résultat obtenu. C est ce que l on appelle la dimension de la quantité considérée. Pour obtenir une mesure quantitative, on fera référence à un étalon reconnu qui lui donne une unité. Si l on mesure la distance entre deux villes, la dimension du résultat est une longueur. Cette dernière peut s exprimer numériquement sous la forme de plusieurs unités différentes : mètres, pieds, pouces, toises, lieues, etc.. Quelle que soit l unité de représentation choisie, la distance sera la même et sa dimension sera toujours une longueur. En indiquant l unité, on spécifie à la fois la dimension et le système de référence qui a été choisi comme unité. Il est donc impératif de donner systématiquement une unité à tout résultat numérique. Exemple : Si l on mesure la distance L, entre deux villes, on présentera le résultat numérique sous la forme : L= 35 km Quantité Qualité ou Nature Le nombre 35, donné tout seul, n aurait absolument aucun sens. C est bien parce que ce résultat numérique est donné avec une unité qu il a un sens. Cette unité permet d une part de donner la référence de la mesure (en l occurence le kilomètre) et d autre part de spécifier la nature du résultat - une distance. Pour fixer les idées, disons pour le moment qu un résultat numérique impliquera nécessairement l utilisation d une unité, tandis qu un résultat littéral va nécessairement mettre en jeu des dimensions. Ce chapitre se compose de deux parties. La première rappelle la définition d une dimension et propose quelques exercices d analyse dimensionnelle. La seconde partie est consacrée plus explicitement aux unités et à leur utilisation en Sciences Physiques. 1.2 Analyse dimensionnelle Définition Dimension En physique expérimentale, toute grandeur mesurée doit être décrite avant tout de façon qualitative : longueur, temps, masse, etc. Cette qualité est la dimension de la grandeur mesurée. 5

6 1.2. ANALYSE DIMENSIONNELLE 6 Analyse dimensionnelle Une dimension peut s exprimer en fonction d autres dimensions en appliquant simplement sa définition. Par exemple les dimensions dim[v ] et dim[a] de la vitesse V et de l accélération a d un mobile, repéré par le vecteur position OM, s obtiennent en fonction des dimensions de temps et de longueur par simple application de leur définition respective : V = d OM dt soit dim[v ] = L T et a = d V dt soit dim[a] = dim [V ] dim [T] = L T 2 L analyse dimensionnelle consiste à mettre en relation différentes dimensions entre elles par le biais de lois physiques ou de relations connues. Règles fondamentales d analyse dimensionnelle De part et d autre d une égalité littérale, les quantités à droite et à gauche du signe égal doivent nécessairement avoir la même dimension. Il est impossible d additionner ou soustraire des quantités de dimensions différentes. Le quotient (respectivement produit) de deux quantités a pour dimension le quotient (respectivement produit) des dimensions. Le rapport de deux quantités de même dimension est donc sans dimension. On dit qu il est adimensionné. L argument des fonctions mathématiques usuelles (exp, cos, sin,...) n a pas de dimension. En Sciences Physiques, en particulier, lorsque l on utilise ces fonctions, il faut donc veiller à ce que l argument invoqué soit bien adimensionné. La dimension d une dérivée est le quotient des dimensions de la fonction dérivée et de l argument de dérivation. La dimension d une intégrale est le produit des dimensions de la fonction intégrée et de l argument d intégration. Dimensions du système international d unités Dans le domaine des Sciences Physiques, il existe 7 dimensions, basiques et indépendantes, à partir desquelles on définit toutes les autres. Ces dimensions sont : Dimension Symbole de dimension usuel Le temps [T] La masse [M] La longueur [L] Le courant électrique [I] La température thermodynamique [Θ] La quantité de matière [n] L intensité lumineuse [I L ] Les définitions légales des unités du système international sont données dans l annexe. Remarque importante : Il ne faut pas confondre unité et dimension. Lorsque l on donne une unité, on donne implicitement une dimension. La réciproque n est pas vrai. Ainsi reprenant l exemple de l introduction de ce chapitre, la distance L qui sépare les deux villes peut s écrire : L = 35 km = m = cm = mm = µm = 21, 9 mi(mileaméricain) Entre ces différentes égalités, le seul changement est un changement d unité. Ce changement implique une modification de la valeur numérique présentée mais pas de la nature de la quantité mesurée L qui reste une distance. Exemple Cherchons à exprimer la dimension de force en fonction des dimensions de masse, temps et longueur (dimensions de base en mécanique). Pour cela, considérons une masse ponctuelle m, soumise à une force totale

7 COURS 1. DIMENSIONS ET UNITÉS 7 f. L accélération a de la masse m est reliée à la force f par l application de la relation fondamentale de la dynamique : f = m a Notant dim[f] la dimension de la force, on obtient ainsi la relation aux dimensions (ou équation aux dimensions) : dim[f] = dim[m] dim[a] = M L 2 = MLT T 2 En résumé L analyse dimensionnelle permet : De vérifier l homogénéité de calculs théoriques en regardant si la relation finalement trouvée est possible d un point de vue dimensionnel (il faut que les quantités de chaque côté du signe d égalité soient de même dimension). D exprimer la dimension de nombres utiles en physique (en particulier les constantes fondamentales) et donc d en trouver l unité dans le système choisi Exercices On pourra s aider des relations physiques rappelées dans l annexe. I. Quelques dimensions fondamentales 1. En appliquant les lois physiques que vous connaissez, exprimer : a ) En fonction des dimensions de longueur [L], de temps [T], de masse [M], les dimensions de : volume [τ], surface [S], angle [φ], vitesse [V ], accélération [A], force [F], pression [Pr], masse volumique [ρ], énergie [E], puissance [Pu]. b ) En fonction des dimensions de courant électrique [I], de temps [T], de tension électrique [U], les dimensions de : charge électrique [Q], résistance électrique [R], capacité [C], inductance [Li], énergie [E], puissance [Pu]. 2 En utilisant les questions précédentes montrer que le produit d une résistance R avec une capacité C a la dimension d un temps. 3 En utilisant les deux expressions précédentes différentes pour l énergie, trouver l expression de la dimension de la tension électrique [U] en fonction des dimensions de longueur [L], de temps [T], de masse [M] et de courant électrique [I]. 1.3 Unités Présentation - Historique Depuis fort longtemps, l humanité a utilisé - sans forcément d ailleurs s en rendre compte - des unités associés à des dimensions. Historiquement, les dimensions fondamentales utilisées étaient les dimensions de masse (échanges commerciaux), de temps et de distance (voyageurs). Au cours du XVIIIème siècle, l avancée rapide des technologies, leur spécialisation ainsi que leur diffusion au travers l europe occidentale a poussé les scientifiques à réfléchir à un système universel d unités utilisable partout et par tous. En effet, rien que sur le territoire français - par exemple - on comptait plusieurs dizaines d unités étalons portant le même nom mais n ayant pas la même valeur. Ainsi la livre bretonne était différente de la livre parisienne, elle même différente de la livre provençale, sans aucune règle évidente de conversion. On considère que la génèse du système international d unités date de la Révolution Française, date à laquelle la nécessité scientifique et technique d un système cohérent d unité, appuyée par la notion d universalité portée par les philosophes trouve écho dans la volonté politique de faire rayonner la raison et la science à travers le monde. Il est décidé que la première unité que l on définira universellement sera une unité de longueur. On choisit de définir celle-ci à partir de la longueur d un méridien terrestre. En effet, partout où il y a des hommes, un méridien passe.

8 1.3. UNITÉS 8 Puisque la Terre est pratiquement sphérique, un méridien a presque la même longueur partout sur la planète. Question : Sachant que la Terre est approximativement une sphère de rayon R T = 6370 km, calculer la longueur d un méridien terrestre. En déduire une définition du mètre. Le mètre ainsi défini, il est possible de définir un système d unité de volume : le m 3, ses multiples et sous-multiples. Pour définir une unité de masse, il suffit alors de remplir un volume donné par un matériau simple, facile à trouver et peu onéreux. La notion d universalité vient encore trancher une question scientifique : partout où il y a des hommes, il y a de l eau. Un décimètre cube rempli d eau sera l étalon de masse. Ce n est pas une coïncidence si la masse volumique de l eau est de 1000 kg/m 3. Durant le XIXème siècle, les définitions ont évolué et d autres unités fondamentales sont apparues, en particulier les unités électriques. Le système international d unités est en perpétuel changement. Celui en vigueur actuellement date des années Il est d ailleurs assez évident que les définitions actuelles sont loin des définitions historiques. En particulier, la définition actuelle du mètre est directement liée à la vitesse de la lumière Quelques définitions Le système d unités en vigueur de façon légale est le système d unités appelé M.K.S.A (pour Mètre, Kilogramme, Seconde, Ampère). Ce système est internationalement reconnu. Il définit la norme d utilisation des unités. On l appelle aussi U.S.I (Unités du Système International). Il existe deux grandes sortes d unités : les unités fondamentales et les unités dérivées. Les unités fondamentales du système international sont définies dans l annexe 1; quelques unités importantes et dérivées y sont aussi définies. Il est important de noter que dans le système international d unités, les 7 dimensions choisies comme dimensions fondamentales sont indépendantes les unes des autres. Ce n est pas le cas pour la définition de toutes les unités associées. Ainsi la définition de l ampère fait apparaitre quantitativement l unité internationale de la force le Newton. L unité SI Ampère n est donc pas indépendante des unités SI mètre, seconde et kilogramme, alors que la dimension de courant électrique est elle a priori indépendante des dimensions de masse, longueur et temps Exercices de conversions I. Les exotiques. Il peut être quelquefois nécessaire d exprimer des résultats de mesure dans un autre système d unités que le système international. Par exemple, beaucoup de pays anglo-saxons n utilisent pas le système métrique. Ils utilisent des unités (pieds, pouces, miles, yards, etc) qui ne sont pas toujours des multiples décimaux les unes des autres. On peut donner quelques exemples : Sachant que le mile (mi) américain (prononcé maïle) équivaut à 1, et que 1mi équivaut en pieds (ft) à 5280 ft, exprimer une vitesse de 100 km/h en m/s, ft/h, ft/s, mi/h et mi/s. Un gallon américain (gal US) équivaut approximativement à 3, m 3. Si 1 litre de carburant coûte 1 euro, combien coûte un gallon américain en euro? II. Les adaptées. Il ne vient à personne l idée d exprimer la consommation de carburant de son véhicule en m 3. De même, dans certaines branches de la physique, certaines unités du système international sont mal adaptées aux ordres de grandeur rencontrés. Voici quelques exemples d exercices qui mettent en évidence ce type de changement d unité. 1. La distance Terre-Soleil est de 1, Cette distance définit l unité astronomique (UA). Donner la distance Terre-Soleil en année-lumière. En déduire le temps que met la lumière du soleil pour arriver sur la Terre. 2. Le mile nautique (prononcé mile) est défini comme la longueur d un arc de méridien terrestre vu sous un angle de 1 (une minute) de degré (1 = 1 o /60) du centre de la terre. Sachant que le rayon terrestre est d approximativement 6370 km, donner la règle de conversion entre le mile nautique et le mètre. Que savez-vous sur la définition historique du mètre?

9 COURS 1. DIMENSIONS ET UNITÉS Exercices d application Dimensions et unités de constantes physiques 1. En s aidant des exercices précédents, exprimer la dimension de la constante de Mariotte (constante des gaz parfaits) R en fonction des dimensions de longueur [L], de temps [T], de masse [M], de température thermodynamique [Θ] et de quantité de matière [n]. L exprimer ensuite en fonction des dimensions d énergie et de température. En déduire son unité dans le système international. 2. En s aidant des exercices précédents, exprimer la dimension de la constante de gravitation universelle G en fonction des dimensions de longueur [L], de temps [T], de masse [M]. En déduire son unité dans le système international. 3. Exprimer la dimension de la constante de permittivité électrique du vide ε 0 en fonction des dimensions de longueur [L], de temps [T], de masse [M] et charge électrique. En déduire son unité dans le système international.

10 1.4. EXERCICES D APPLICATION 10

11 Cours 2 Introduction au calcul d incertitude. 2.1 Introduction De façon très générale, en physique comme dans toutes les sciences expérimentales, la précision avec laquelle on fait une mesure ne peut pas être arbitrairement grande. Elle est toujours limitée par l appareil de mesure, le protocole suivi, et la nature même de la quantité mesurée. L objet de ce chapitre, très important pour toute la suite, est de comprendre le rôle de la précision, de savoir l estimer et s en servir Qu est-ce que l erreur associée à un résultat? Voyons quelques exemples. Si l on mesure la distance séparant deux villes par la route, selon que l on mesure la distance séparant les panneaux de sortie et d entrée dans les villes ou deux points situés à l intérieur de ces villes, les résultats ne seront pas les mêmes. De même si l on utilise comme outil de mesure un décamètre rigide, un compteur de voiture, ou encore un mètre de couturière, les mesures risquent de varier fortement de l une à l autre. C est pourquoi, il est nécessaire de donner, outre le résultat de la mesure, le protocole suivi. D autre part, il se peut que le processus même de la mesure induise une erreur, en particulier lorsque l appareil de mesure influe sur la quantité mesurée. Par exemple lorsque l on mesure une masse par l intermédiaire d une balance, on a besoin de tarer cette dernière. On soustrait alors de la mesure la masse du récipient utilisé. On évite ainsi une erreur systématique qui serait de prendre en compte dans la masse pesée la masse du récipient. Une erreur systématique serait aussi de mesurer la température d un liquide avec un thermomètre dont la température initiale serait très différente de celle du liquide. Ce type d erreur systématique peut souvent être corrigé par une étude soignée des appareils de mesure. Enfin, un autre type d erreur se trouve dans toute mesure. Il s agit des erreurs aléatoires, mettant en jeu des phénomènes physiques de faible ampleur mais nombreux et impossibles à éviter. Par exemple, lors d une mesure utilisant des appareils électroniques, le rayonnement électromagnétique extérieur peut influencer la mesure. Selon l endroit où l on expérimente, on peut trouver des résultats légèrement différents même si l on utilise les mêmes réglages et les mêmes appareils. Les dérives en température, le vieillissement des matériaux sont aussi des phénomènes qui peuvent perturber le résultat de la mesure. Lorsqu on obtient un résultat en physique (comme dans toute science expérimentale), il est donc nécessaire de quantifier sa précision : on utilise pour celà la notion d incertitude, qui synthétise toutes ces possibilités de variation en une seule quantité. C est une information aussi importante que le résultat lui-même! Pourquoi est-ce important? La donnée de l incertitude est nécessaire dans tous les domaines associés aux sciences : pour la pratique courante (laboratoire), pour les applications pratiques de la physique (sciences et technologies) ainsi que pour l élaboration de la science en tant que telle (conception et test des nouvelles théories, etc.). Montrons-le sur quelques exemples. 11

12 2.1. INTRODUCTION 12 Vérification d un protocole expérimental Pour être sûr d un calcul, il est déjà arrivé à chacun de le refaire, ou de le faire refaire par quelqu un d autre. Si le résultat est le même, il y a des chances que le calcul soit juste. La même méthode peut s appliquer au résultat d une expérience. Cependant, une mesure physique ne donnera jamais deux fois le même résultat exactement. On doit donc vérifier si les deux résultats sont, non pas égaux, mais compatibles aux incertitudes près. En pratique, donner l incertitude d une mesure revient à donner un encadrement pour le résultat; si l intersection des encadrements de deux résultats est non vide, on dit que les résultats sont compatibles entre eux. Exercice : Deux mesures successives donnent les résultats suivant pour la mesure de l énergie d une particule : - mesure 1 : E = 15, 2 KeV à 0,3 KeV près; - mesure 2 : E = 15, 7 KeV à 0,3 KeV près. Placer sur un axe les deux valeurs ci-dessus, ainsi que leur encadrement. Les deux résultats sont-ils compatibles? Justifier. Application de la physique à la technologie. Exercice : Supposons qu un technicien doive acheter, pour un montage électronique, une résistance dont la valeur doit être comprise entre 140 Ω et 150 Ω. Auquel (ou auxquels) des fournisseurs ci-dessous devra-t-il s adresser? - Fournisseur 1 : résistances de 147 Ω ± 1%, - Fournisseur 2 : résistances de 145 Ω ± 5%, - Fournisseur 3 : résistances de 147 Ω ± 2%. - Fournisseur 4 : résistances de 142 Ω ± 1%. - Fournisseur 4 : résistances de 142 Ω ± 5%. Si les fournisseurs omettent de donner la précision de leurs produits, est-il possible de faire un choix correct? Etablissement de la physique. Par ailleurs, la notion d incertitude est fondamentalement nécessaire pour construire une théorie scientifique. On peut représenter une théorie physique de la façon mathématisée suivante : une théorie F est une application qui, à un ensemble de données observables, associe un ensemble de résultats. Les résultats de la théorie doivent pouvoir être vérifiés, c est à dire mesurés de façon indépendante. Cette représentation est illustrée sur le schéma 2.1. Mesures THEORIE données + incertitudes F résultat prédit par la théorie + incertitude résultat expérimental + incertitude COMPARAISON Compatibles: OK Incompatibles: verifier les mesures, revoir la théorie Fig. 2.1 Représentation schématique du processus de test d une théorie en sciences expérimentales. Soit, par exemple, la théorie de la mécanique de Newton. Cette théorie permet de prédire la position d une étoile

13 COURS 2. INTRODUCTION AU CALCUL D INCERTITUDE. 13 donnée, dans le ciel, à un instant donné. Cette position est donnée par la mesure de deux angles dans un système de coordonnées celestes donné; par exemple, l ascension droite (α) et la déclinaison (δ) (coordonnées équatoriales, voir la définition sur la figure 2.2). Supposons que, selon cette théorie, une certaine étoile de référence doive être à la position α = 20 o à un instant donné t 0. Voici les résultats donnés par deux séries d observations, lorsque l étoile de référence se situe à proximité du soleil (observations menées lors d une éclipse totale) : - observations menées au XVIIIème siècle : α = 19 o ± 2 ; - observations menées en 1919 : α = 20 o ± 0, 5. Rappeler la définition des degrés, minutes et secondes, ainsi que la valeur en radian de chacune de ces unités. Les deux séries d observations sont-elles compatibles entre elles? Les observations du XVIIIème siècle sont-elles compatibles avec la prédiction de la théorie de Newton? Même question pour les observations de La théorie de la relativité générale d Einstein donne une nouvelle prédiction pour la position apparente de l étoile : α = 20 o 00 01, 75. Les deux séries d observations sont-elles compatibles avec cette nouvelle théorie? Conclure. L incertitude donnée sur les résultats d une observation ou d une expérience permet, seule, de valider ou d invalider la théorie sous-jacente. Fig. 2.2 Définition des coordonnées équatoriales 2.2 Définitions et conventions Incertitude absolue et incertitude relative L incertitude sur un résultat peut être écrite sous forme d incertitude absolue ou relative. Considérons la grandeur physique G, dont on veut donner une mesure avec son incertitude. Incertitude absolue : On écrit : G = G 0 ± δg, où G 0 est le résultat numérique, et δg est l incertitude absolue. L incertitude absolue a donc toujours la même dimension que la grandeur auquelle elle est attachée. En général, on l exprime dans la même unité que G; dans certains (rares) cas, elle peut cependant être exprimée

14 2.2. DÉFINITIONS ET CONVENTIONS 14 dans un multiple de l unité de G. Par convention, l incertitude est un réel positif (on ne notera jamais d incertitude négative). Exemple : Le résultat de la mesure de la longueur l d une table peut s écrire : l = (1, 2 ± 0, 1) m; l = (1, 2 ± 10 1 ) m; l = 1, 2 m ± 0, 1 m; l = 1, 2 m ± 10 cm; C est la première de ces notations qui est la plus fréquemment utilisée, la deuxième est celle qui est recommandée par le système internationnal. Incertitude relative : On peut aussi présenter l incertitude de la façon suivante : G = G 0 (1 ± δg G 0 ) δg/g 0 est alors l incertitude relative. C est un nombre positif, sans dimension, donc sans unité, en général plus petit que 1, que l on peut exprimer en pourcentage. Exemple : Le résultat de la mesure de la longueur l vu ci-dessus peut aussi s écrire : l = 1, 2 m à 8% près Nombre de chiffres significatifs : Rappel : le nombre de chiffres significatifs d un résultat numérique est le nombre de chiffres effectivement écrits lorsqu on choisit l écriture scientifique. L écriture scientifique consiste à écrire un nombre ayant un seul chiffre avant la virgule, associé à la puissance de dix nécessaire. exercice : 1) Quels sont, parmi les nombres ci-dessous, ceux qui sont écrits en notation scientifique? Ecrire les autres dans cette notation. 128; 12,356; 1; 1, ; 10; 0, ; 0,3; 2,990; ; ) Donner le nombre de chiffres significatifs de chacun des nombres ci-dessus. Le nombre de chiffres significatifs d un résultat est directement lié à son incertitude, à travers les deux règles conventionnelles suivantes : - l incertitude ne doit pas comporter plus de deux chiffres significatifs (en général, mieux vaut n en mettre qu un seul). En effet, l incertitude est toujours estimée : sa valeur n est pas connue précisément (par définition...) donc il est inutile de vouloir écrire un nombre exact. Si on connaissait exactement l erreur, cela voudrait dire qu on peut la corriger, et elle n aurait plus de sens! - le résultat ne doit pas être plus précis que l incertitude! Il faut donc que le dernier chiffre du résultat corresponde à l ordre de grandeur de l incertitude. L écriture l = (10, 122 ± 1) m n a pas de sens : si l incertitude est de 1 m, les prétendus 2 mm du résultat n ont aucune valeur. Corollaire : Par défaut, on considère que l incertitude d une donnée porte toujours sur son dernier chiffre significatif. Par exemple, lorsqu on donne la longueur d onde d un laser λ = 632, 8 nm, cette écriture sous entend une incertitude de 0,1 nm. La méthode à appliquer pour donner un résultat cohérent et lisible, accompagné de son incertitude, est donc celle-ci : supposons que les calculs donnent les résultats suivants : G 0 = 10, USI et δg = 1, USI. 1 o > arrondir par valeur supérieure l incertitude pour qu il n y ait plus qu un seul chiffre significatif δg = 2 USI. 2 o > supprimer sur le résultat numérique tous les chiffres inférieurs à δg G 0 = 10 USI. 3 o > écrire le résultat final, clair et en évidence : G = (10 ± 2) USI Rappel : Un résultat numérique doit toujours être donné avec : - une unité

15 COURS 2. INTRODUCTION AU CALCUL D INCERTITUDE une incertitude Exercice : Le résultat brut de la mesure du déphasage entre deux signaux donne φ 0 = 1, rad. L incertitude due aux conditions de mesure est évaluée à 2%. Ecrire le résultat de façon correcte, avec son incertitude absolue. 2.3 Comment évaluer l incertitude Sur une mesure directe L expérimentateur doit fournir une estimation de la précision de son relevé : il lui faut donc estimer l erreur commise. Estimation théorique On peut avant tout essayer de trouver les sources d erreurs, pour : - les corriger, naturellement, chaque fois que c est possible (exemple : instrument de mesure biaisé ou faux, comme une montre retardée par exemple); - les quantifier lorsqu il n est pas possible de les éliminer. Il est toujours possible de donner un ordre de grandeur de l erreur : le calcul d incertitude est imprécis par nature, mais il est sûr. Il dépend de l expérimentateur, qui doit soigneusement évaluer les conditions de l expérience. Exemple : la mesure de longueur d un stylo faite avec un double décimètre ne peut pas être plus précise que le dixième de millimètre; ni moins précise que le cm. Ces deux bornes sont sûres. En pratique, selon les conditions de mesure, on pourra affiner ces bornes et considérer par exemple que l incertitude est de 2 mm à 0,5 mm. Par ailleurs, sur de nombreux appareils de mesure (voltmètres, thermomètres, manomètres... ), l incertitude est donnée par le constructeur (en général sous la forme d un pourcentage - incertitude relative). Estimation empirique On peut essayer d évaluer l erreur sur une mesure en la répétant plusieurs fois, par exemple pour vérifier si l estimation théorique est raisonable. Supposons que l on ait relevé n valeurs d une grandeur g : on a donc un ensemble de n nombres, que l on peut noter {g i } i [1:n]. On obtient la moyenne (notée ḡ) des n mesures par : ḡ = 1 n n 1 g i et l écart-type est donné par σ 2 (g) = 1 n n (g i ḡ) 2. On prend alors comme valeur finale de la grandeur sa valeur moyenne, et l écart type donnera une estimation de l incertitude associée à la mesure. On peut donc écrire le résultat sous la forme : 1 g = ḡ ± σ(g) Attention! Cette méthode comporte de nombreux risques : en effets, elle ne permet pas de voir les erreurs systématiques, et peut conduire à sous-estimer grandement l erreur. Exercice : les erreurs d arrondi. On prend une mesure avec une règle graduée avec un pas de 1 mm. Lorsqu on lit la valeur mesurée, on arrondit naturellement à la graduation la plus proche. Par conséquent, toutes les situations visibles sur la figure 2.3 correspondent à un relevé de l = 9 mm. L estimation empirique de l erreur pourrait donc conduire à une incertitude de 0, ce qui est faux, naturellement. Quelle est l incertitude ici?

16 2.3. COMMENT ÉVALUER L INCERTITUDE 16 a) b) 1 1 0,5 1,5 0,5 1,5 c) 1 0,5 1,5 0,5 d) 1 1,5 Fig. 2.3 Mesure de la longueur d une barette : illustration des erreurs d arrondi Réduction de l incertitude pour un phénomène répétitif Si on cherche la valeur moyenne d une grandeur se répétant à l identique dans le temps ou dans l espace, on peut diminuer fortement l incertitude sur le résultat final en mesurant n grandeurs successives. Exercice : On mesure 10 périodes d un signal électrique grâce à un oscilloscope, qui affiche une incertitude absolue de 0,01 s. On trouve un résultat de 10T = (0, 19 ± 0, 01)s. Donner la valeur de la période du signal, avec son incertitude relative. Quelle aurait été l incertitude relative pour la mesure directe d une période? Exercice : Donner quelques exemples de phénomènes physiques périodiques dans le temps, puis dans l espace Sur le résultat d une théorie Après avoir estimé les erreurs sur les données, il s agit de trouver les erreurs sur la prédiction d une théorie. Il est évident qu une théorie utilisant des données très peu précises ne permettra pas de faire une prédiction très précise. On voit donc que les incertitudes sur les résultats d une théorie dépendront fortement de l incertitude sur les données. Comment les calculer? Le problème peut s écrire de la façon formelle suivante : soit l ensemble de données d i, assorties de leurs erreurs δd i. La théorie f permet de calculer un résultat r = f(d 1, d 2,...d n ) à partir de ces données. Quel sera l incertitude sur le résultat r, en fonction des incertitudes sur les données? En somme, il s agit de savoir comment se transmettent les erreurs. Pourquoi le calcul naïf ne marche pas La vision simpliste, qui consiste à appliquer la fonction f aux incertitudes des données pour obtenir l incertitude sur le résultat, est grossièrement fausse. Nous allons l illustrer dans un exemple. Exercice. Calcul de la fréquence d un signal. On considère le signal électrique dont la période a été mesurée en On a donc T = (0, 019 ± 0, 001) s. 1) Quelle est la relation théorique liant la fréquence ν d un signal à sa période T? 2) Quelle est la fréquence brute mesurée ν 0? 3) Calculer l inverse de δt. Cette valeur paraît-elle plausible pour une incertitude sur la fréquence? 4) On suppose qu un instrument de mesure plus performant a permis d affiner la mesure de T, on a désormais : T = (0, 0196 ± 0, 0005) s. Calculer l inverse de la nouvelle incertitude. Ce résultat est-il inférieur ou supérieur à celui trouvé en 3)? Conclusion? Il est donc tout à fait exclus d adopter cette méthode, qui est fausse. L exemple de l exercice ci-dessus met en évidence une loi qui devra être respectée pour trouver comment sont transmises les erreurs : une plus grande incertitude sur les mesures doit toujours entraîner une plus grande incertitude sur le résultat. Pour chercher l outil adéquat, nous allons d abord considérer le cas simple d un résultat ne dépendant que d une seule donnée (cas à une dimension).

17 COURS 2. INTRODUCTION AU CALCUL D INCERTITUDE. 17 Cas à une dimension Exercice (suite). La figure 2.4 représente la fonction inverse, qui permet de passer de la période T à la fréquence ν d un signal. On considère que l incertitude δt sur la période est constante, et ne dépend pas de T. Deux valeurs particulières de la période, T 01 et T 02, sont notées sur le graphe. On a représenté les incertitudes sur T. 1) Donner une méthode graphique, faisant intervenir des encadrements, pour évaluer l erreur sur ν à partir de l erreur sur T. 2) Evaluer graphiquement l incertitude sur ν 01 et ν 02. 3) L erreur sur la fréquence est-elle la même pour les deux valeurs? ν ν 01 j ν 02 O i Τ 01 Τ 02 T Fig. 2.4 Evaluation de l erreur sur la fréquence en fonction de l erreur sur la période. La méthode utilisée ici consiste à chercher l image de l intervalle d erreur par la fonction. Cette méthode est en général valable, cependant, elle nécessite de connaître le sens de variation de la fonction f, elle demande beaucoup de calculs, et elle devient très difficile à exploiter dans le cas de plusieurs variables (cas où le résultat dépend de plusieurs données). Cherchons donc un outil, simple d utilisation, qui donne un résultat comparable. 4) On suppose que l erreur δt sur la période peut être considérée comme petite. Donner la définition du taux d accroissement de la fonction f : T ν = f(t). Quelle est sa limite lorsque l accroissement tend vers 0? En déduire δν en fonction de δt. Conclusion : l outil le plus efficace pour calculer l incertitude sur le résultat d une fonction en fonction de l incertitude sur la donnée est la dérivée. Cette approche suppose que les erreurs peuvent être considérées comme relativement faibles : c est une approximation au premier ordre. On obtient ainsi, plus qu une valeur exacte de l encadrement du résultat, une estimation de son incertitude, ce qui est tout-à-fait cohérent avec la notion d incertitude. Cet outil est facile à manier, rapide, efficace, et il peut être généralisé simplement au cas à plusieurs

18 2.3. COMMENT ÉVALUER L INCERTITUDE 18 dimensions. Récapitulatif : On considère x ±δx, une mesure assortie de son incertitude, et la théorie f qui, à partir de la donnée de x, permet de prévoir le résultat y. On a donc y = f(x). L incertitude δy sur le résultat est donné par la formule suivante : δy = f (x 0 ) δx = dy dx δx Exercice 1 : Reprendre les valeurs de l exemple du 2.3.2, et calculer les incertitudes sur la fréquence dans les deux cas évoqués. Commenter le résultat obtenu. Les valeurs sont-elles cohérentes? Exercice 2 : On considère le protocole expérimental suivant. On cherche à vérifier la loi donnant le volume d un récipient cubique en fonction de la longueur de son côté. On donne la mesure suivante : longueur mesurée : l = (1 ± 0, 02) m; volume mesuré : V = (1 ± 0, 1) m 3. a) Identifier, dans ce problème, la donnée (qu on notera x), la théorie testée (fonction f), le résultat prédit (y) et le résultat expérimental (r). b) Calculer y, le résultat prédit par la théorie, ainsi que son incertitude absolue δy. c) La théorie est-elle validée? Exercice 3 : Quelques exemples classiques. Calculer l erreur absolue δy sur le résultat prédit en fonction de l erreur δx sur la donnée dans les cas suivants. On donnera également l erreur relative sur le résultat en fonction de l erreur relative sur la donnée dans chaque cas. Commenter. - y = ax (a constante); - y = a/x (a constante); - y = x a (a constante sans dimension). Généralisation : fonction à plusieurs variables En pratique, les cas où le résultat ne dépend que d une mesure sont très rares. On a, beaucoup plus souvent, plusieurs paramètres à mesurer, des constantes connues à une certaine incertitude près, etc. Il s agit donc de savoir comment traiter le cas où la théorie f dépend de plusieurs grandeurs. La formalisation du problème fait appel à l étude des fonctions à plusieurs variables, mais, dans l utilisation que nous en faisons, seules quelques aspects de cette étude seront nécessaires. Prenons un cas simple comme exemple. On veut calculer l énergie cinétique d une masse ponctuelle. La théorie nous donne l énergie en fonction de deux grandeurs mesurables, la vitesse et la masse : E = f(m, v) = 1 2 mv2. On a fait les mesures suivantes : m50 ± 2 g et v = 10 ± 0, 4 m/s. On calcule facilement le résultat brut, E = 2, 5000 J. Nous cherchons à savoir comment connaître l incertitude sur le résultat, δe. La méthode est très simple et intuitive : on considère séparemment les deux dépendances, et on somme leurs contributions. Supposons donc d abord que l énergie ne dépende que de la masse m de la particule, v étant considérée comme une constante. Pour bien faire la différence avec la fonction f, qui est une fonction à deux variables, on notera dans ce cas E 1 = f 1 (m) = 1 2 v2 m. f 1 est une fonction classique, à une variable, dont on sait calculer la dérivée. L erreur induite sur l énergie est alors : δe 1 = f 1 (m) δm = 1 2 v2 δm = 0, 1 J On répète cette opération en considérant la vitesse comme une constante. On note E 2 = f 2 (v) = 1 2 m v2. L erreur induite sur l énergie est alors δe 2 = f 2(v) δv = 1 m 2v δv = 0, 2 J 2 Comme l énergie dépend en fait des deux mesures, on somme les deux erreurs trouvées, et on obtient : δe = δe 1 + δe 2 = 0, 3 J et E = 2, 5 ± 0, 3 J

19 COURS 2. INTRODUCTION AU CALCUL D INCERTITUDE. 19 Remarque importante. En mathématique, le fait de dériver successivement une fonction par rapport à chacune de ses variables a un nom : on parle de dérivées partielles. Soit une fonction de deux variable f(x, y). La dérivée partielle de f par rapport à x se calcule en considérant y comme une constante, se note f x et se lit d rond f sur d rond x. De même, en sommant les dérivées partielles multipliées par les accroissements (ce que l on vient de faire), on obtient un objet mathématique très important appelé la différentielle d une fonction à plusieurs variables. Par définition, la différentielle de la fonction f(x, y) vaut donc : df = f f dx + x y dy C est un outil qui servira souvent en physique comme en mathématique, c est pourquoi nous l avons mentionné. Mais, pour un calcul d incertitude, c est la règle ci-dessous qui servira : Soit une théorie f(x 1, x 2,.., x n ) permettant de prédire un résultat grâce à la donnée de n mesures, assorties de leurs incertitudes : x 1 ± δx 1, x 2 ± δx 2,.., x n ± δx n. On calcule l incertitude sur le résultat grâce à la formule ci-dessous : δf = f x 1 δx 1 + f x 2 δx f x 3 δx 3 (2.1) Remarque : attention, on emploie constante et variable au moment de calculer les dérivées, mais sera considérée comme constant tout ce qui n a pas d incertitude (ex : coefficient numérique), et comme variable tout ce qui a une incertitude (tout le reste!). Exercice 1 : On cherche à déterminer la hauteur h d une falaise. Pour cela on fait tomber un petit caillou de cette hauteur, et on mesure la durée de sa chute. Le principe fondamental de la dynamique permet de relier la hauteur h au temps de chute t c et à la constante de gravitation terrestre g. a) Retrouver la relation entre ces trois paramètres. On mesure un temps de chute de t c = 3, 3 s. L incertitude sur le temps est t 0, 3 s. La constante de gravitation terrestre g est donnée : g = 9, 815 m/s 2. b) Donner l incertitude relative sur h. Faire l application numérique. Donner h numériquement avec sa marge d incertitude. Conclure quant aux chiffres significatifs utilisés. 2.4 Pour faire plus vite, une fois qu on a bien compris... La formule 2.1 est la formule fondamentale qu il faut connaître pour pouvoir évaluer l incertitude d un résultat. Elle est efficace dés que l erreur n est pas trop importante, quel que soit le nombre de paramètres qui interviennent, et elle ne présente aucune difficulté particulière, puisque le calcul des dérivées est faisable dans tous les cas. Lorsqu on a bien assimilé le cas très général qu elle représente, on peut néanmoins se permettre d utiliser des formules plus rapides d utilisation, mais qui ne marchent que pour certains cas. Ces astuces doivent être utilisées avec modération, à condition d être sûr de se placer dans le bon cadre. En cas de doute, il faut toujours revenir au cas général! Somme ou différence de variables Lorsque la théorie f fait intervenir une simple somme (ou différence) de variables, l incertitude absolue du résultat est simplement la somme des incertitudes absolues des données. f(x 1, x 2,.., x n, y 1, y 2,.., y m ) = x 1 +x x n y 1 y 2.. y m δf = δx 1 +δx δx n +δy 1 +δy δy m Exercice : Démontrer ce théorème dans le cas d une fonction du type f(x, y, z) = 2x + y z. Attention : C est le seul type de fonction (fonction linéaire) pour lequel ce résultat est vrai

20 2.5. PROBLÈMES D APPLICATION Produits et divisions de variables Lorsque la théorie f fait intervenir une combinaison de multiplications et de divisions de variables, l incertitude relative du résultat est la somme des incertitudes relatives des données. (Attention à ne pas confondre cette règle avec la précédente! Il faut toujours vérifier l homogénéité des formules utilisées.) f(x 1, x 2,.., x n, y 1, y 2,..y m ) = x 1 x 2.. x n y 1 y 2.. y m δf f = δx 1 x 1 + δx 2 x δx n x n + δy 1 y 1 + δy 2 y δy m y m Exercice : Démontrer ce théorème dans le cas d une fonction du type f(x, y, z) = xy z Puissances Lorsque la théorie f fait intervenir une combinaison de multiplications de variables élevées à des puissances données (positives ou négatives), l incertitude relative du résultat est la somme des incertitudes relatives des données, affectées d un coefficient multiplicatif égal à la valeur absolue de leur puissance dans f. f(x 1, x 2,.., x n ) = x a1 1 xa2 2.. xan n δf f = a δx 1 δx 2 δx n 1 + a a n x 1 x 2 x n Exercice : Démontrer ce théorème dans le cas d une fonction du type f(x, y) = x 2 y 3. Remarque : une astuce de calcul permet de simplifier les expressions dans le cas d une combinaison de puissances : il s agit de l utilisation des logarithmes. En effet, les logarithmes sont des fonctions permettant de transformer des produits en sommes, or il est bien plus facile de dériver une somme qu un produit! On pourra voir le détail de ces méthodes en annexe Problèmes d application Réduction de l incertitude relative ; incertitude de modèle. On souhaite déterminer la masse volumique d une petite bille d acier. Dans un premier temps, on cherche à déterminer la masse de la bille. Pour cela, on utilise une balance électronique qui permet de mesurer au milligramme près. L incertitude de mesure de la balance est fixe et vaut b = g. 1. La pesée indique m = g. Calculer l incertitude relative sur cette mesure. On effectue maintenant la pesée avec N = 1000 billes. La pesée indique 7, 512 g. 2. Sachant que l on a une incertitude N = 3 billes sur le nombre de billes, calculer la masse d une bille et son incertitude relative et absolue. Conclure. Dans un deuxième temps, on cherche à déterminer le volume v b de la bille. 1. Première approche : On considère que la bille est une sphère parfaite. Rappeler l expression du volume de la sphère en fonction du rayon. On mesure à l aide d un pied à coulisse le diamètre d de la sphère. On trouve d = 1, 08 ± 0, 01 cm. Donner le volume vb 1 de la bille et son incertitude relative. En déduire la masse volumique de l acier constituant la bille avec son incertitude relative et absolue. 2. Seconde approche : On mesure directement le volume de N = 3000 billes. Pour cela, on les plonge dans une éprouvette graduée contenant un volume V 0 = 4000 ±50 mm 3 d eau. On mesure le volume V 1 qu occupent les billes et l eau. On trouve V 1 = 5980 ± 50 mm 3. Quel est le volume vb 2 d une bille, sachant que l on a une incertitude N sur le nombre de billes de N = 9? Quelle mesure (vb 1 ou v2 b ) du volume est la plus fiable? Donner la masse volumique de l acier qui vous semble la plus fiable avec sa marge d incertitude. Commenter les différentes hypothèses faites pour les deux méthodes.

21 Travaux Pratiques 1 Mesures et incertitudes 1.1 Introduction Ce TP a pour objet d appréhender le sens physique d une mesure. Pour cela, il y est proposé des manipulations simples sur des billes. Il y est vu comment l on peut estimer une incertitude expérimentale et comment le processus de mesure peut influencer qualitativement et quantitativement la mesure effectuée. On se propose d évaluer la masse volumique d un matériau constituant une bille, et ceci de diverses façons. On prendra bien soin de détailler les mesures intermédiaires dans le compte rendu (par exemple, lorsque l on demande de mesurer le rayon d une sphère, la mesure directe donne le diamètre). Il faut impérativement noter le résultat des mesures directes. 1.2 Manipulation sur une bille - Résultat pour le modèle sphérique On souhaite déterminer la masse volumique d une petite bille. Dans un premier temps, on cherche à déterminer la masse de la bille. Dans un deuxième temps, on va chercher à évaluer le volume de la bille Evaluation de la masse de la bille On utilise une balance électronique qui va donner directement une mesure de la masse de la bille. 1. Utiliser la balance pour touver une estimation de la masse de la bille. 2. Estimer l incertitude absolue m b sur la mesure de la masse. Donner le résultat de la pesée sous la forme : m b = - + m b 3. Donner l incertitude relative m b /m b exprimée en pourcentage. Est-ce beaucoup par rapport à ce que l on peut attendre d une mesure avec une telle balance? 4. Donner un procédé de mesure permettant à votre avis de diminuer l incertitude de mesure sur la masse de la bille en indiquant clairement quelles sont alors les hypothèses concernant les billes Evaluation du volume de la bille - Modèle sphérique On suppose que les billes sont sphériques. Le volume v b d une bille de rayon r b est donc : v b = 4π 3 r3 b 1. A l aide d un pied à coulisse, estimer le rayon r b d une bille. 2. Estimer l incertitude absolue r b faite sur la mesure. 3. Donner l incertitude relative r b /r b exprimée en pourcentage. 21

22 1.3. APPROCHE STATISTIQUE Evaluer littéralement l incertitude relative v b /v b en fonction de r b et r b. Evaluer numériquement cette quantité selon la mesure précédente. 5. Si les billes ne sont pas parfaitement sphériques, cette incertitude reste-t-elle correcte? Comment peut-on espérer améliorer la précision d une telle mesure? Estimation de la masse volumique La masse volumique ρ d un objet est définie comme le rapport de sa masse à son volume. On a donc pour le matériau constituant la bille : ρ = m b v b 1. Donner l expression littérale de l incertitude relative de la masse volumique en fonction des incertitudes relatives sur la masse et le volume de la bille. Donner le résultat numérique issu des mesures, en pourcentage. 2. Calculer numériquement la masse volumique de la bille. Donner le résultat encadré par sa barre d incertitude. 3. Conclure quant au résultat annoncé. 1.3 Approche statistique Dans le processus de mesure précédent, il y a deux points importants. Le premier est que l on estime la masse volumique d une bille particulière. Si les billes sont légèrement différentes les unes des autres (en masse, en volume ou en masse volumique), alors c est un fait qui n est pas pris en compte dans notre évaluation. On peut donc dire que l on évalue, à l incertitude donnée près, la masse volumique de la bille prise pour échantillon. Le deuxième point important tient au fait que l on a supposé que la bille était sphérique. L incertitude de mesure sur le volume est liée uniquement au fait que l on a une incertitude de mesure sur le rayon. A aucun moment, on a envisagé la possibilité que les billes pouvaientt être légèrement déformées. Pour cette raison, il peut être plus intéressant de mesurer directement le volume. Mesure du volume Afin de mesurer directement le volume, on utilise une éprouvette graduée contenant de l eau. En plongeant la bille dans l eau, on observe une modification du niveau du liquide. Par différence, on peut donc mesurer le volume de la bille. 1. Par cette méthode évaluer le volume d une bille. 2. Quelle est l incertitude absolue? Quelle est l incertitude relative (on peut l estimer par la donnée du constructeur de l éprouvette mais aussi tenir compte de l erreur de lecture)? 3. Comment diminuer l incertitude relative? 4. Refaire la mesure avec un nombre N b de billes identiques. Calculer le volume moyen d une bille ainsi que son incertitude relative et absolue. Conclure Mesure de la masse Afin de diminuer l incertitude sur la mesure de la masse, on peut faire le même raisonnement. 1. Mesurer la masse de N b billes identiques. En déduire la masse moyenne d une bille. Calculer l incertitude relative et absolue sur la masse d une bille. 2. Conclure quant à l efficacité de cette méthode. On s appliquera en particulier à bien distinguer ce que l on mesure dans le cas d une expérience avec plusieurs billes et dans le cas d une expérience avec une seule. Calcul de la masse volumique 1. Avec les nouvelles mesures, estimer la masse volumique d une bille ainsi que sa plage d incertitude. 2. Donner l incertitude relative.