Ondes électromagnétiques dans le vide (MP)

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1 Ondes éleomagnéiques dans le vide MP

2 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Chapie Ondes éleomagnéiques dans le vide I Les équaions de popagaions du hamp M dans le vide : Soi une disibuion D de hages loalisées auou d un poin O don les densiés son fonion du emps eemple : une anenne méallique. Selon les équaions de Mawell-Gauss e de Mawell-Ampèe ee disibuion D es la soue de hamps e vaiables dans le emps qui von s éabli dans ou le voisinage de O.

3 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Un poin M de e voisinage bien que siué en dehos de D es lui-même soue de hamps en aison des emes en / e / «povenan de O» qui jouen un ôle de soues dans les équaions de Mawell-Faada e de Mawell-Ampèe. Les poins P du voisinage de M son à leu ou dans leu pope voisinage des soues de hamps vaiables dans le emps On onçoi ainsi que le hamp M se popage en faisan pense à des ides se ansmean de pohe en pohe à la sufae de l eau. «Le ouplage qui es inodui dans les équaions de Mawell pa la pésene des deu déivées paielles pa appo au emps de popagaion du hamp M.» / e / es à l oigine du phénomène 3

4 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 4

5 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Obenion des équaions de popagaion du hamp M : On alule le oaionnel de l équaion de Mawell-Faada : O : Ave o o ρ div e o µ j + ε µ ε Soi finalemen : o o o gad div ρ gad ε il vien : µ j + ε µ 5

6 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie j ε µ gad ρ + µ ε De manièe sméique on élimine au pofi de en alulan le oaionnel de MA : Soi : o o gad div µ o j + ε o µ gad 6 µ o j + ε µ Finalemen : ε µ µ o j Dans une égion sans hages ni ouans ρ e j :

7 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 7 e µ ε µ ε Ces équaions son les équaions de popagaion du hamp M. Si l on noe s l une des si oodonnées des hamp M. alos : µ ε µ ε v s v s soi s s C es l équaion de d Alembe équaion lassique de popagaion des ondes enoe appelée équaion des odes vibanes éablie au XVIII ème sièle pou modélise les vibaions d une ode endue. Comme le mone le paagaphe suivan les soluions de ee équaion aduisen un phénomène de popagaion de éléié v.

8 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 8 * Soluions de l équaion de d Alembe : On va donne les fomes généales des soluions de l équaion de d Alembe unidimensionnelle : s v s On mone que es soluions son de la fome : v g v f p g q f s Inepéaion phsique : on onsidèe une fonion de la fome : v f s + On onsae que :

9 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 9 v f v f + + pou ou ouple e véifian : v. Ainsi s + epésene un signal qui se popage sans défomaion à la viesse v le long de l ae O dans le sens posiif. O Insan Insan + v f s + v

10 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie

11 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie La soluion v f s + epésene un signal qui se popage sans défomaion à la viesse v le long de l ae O dans le sens négaif. On se popose mainenan de ésoude l équaion de d Alembe idimensionnelle : s s ave s v s On véifie que des fonions de la fome : ; ; v f s v f s v f s m m m ± ± ± son soluion de l équaion idimensionnelle es soluions son appelées ondes planes de dieions de popagaions espeives u e u u dans le sens posiif ou négaif.

12 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Des ondes sphéiques son égalemen soluion de l équaion de d Alembe idimensionnelle : on hehe pa eemple des soluions à sméie sphéique s. n uilisan la fome du laplaien en oodonnées sphéiques il vien : s v s Soi enoe : s v s On onsae alos que la fonion s es soluion de l équaion unidimensionnelle de d Alembe. Pa onséquen : v g v f s + + Soi :

13 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 3 v g v f s + + Les deu emes de ee somme epésenen des ondes sphéiques espeivemen divegene e onvegene. On onsae que le signal ne se popage pas sans défomaion en aison de l affaiblissemen epimé pa le faeu /. On hoisi dans la suie : Pou une onde plane s l équaion de d Alembe devien : s s ou s s µ ε Cee fonion s peu s éie sous la fome : + + g f s

14 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 4 Complémens Ondes saionnaies : On hehe des soluions de l équaion de d Alembe de la fome méhode de sépaaion des vaiables : g f s n subsiuan dans l équaion de d Alembe : s s Il vien : " g f g f & & D où : K se g g f f " &&

15 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie On obien ainsi deu équaions difféenielles : f f " K e g&& g K Ou enoe : f " Kf e g& Kg Si K > la soluion de la deuième équaion difféenielle es de la fome : g Ae K + e K Cee soluion es à ejee : en effe elle oespond soi à une soluion divegene soi à une soluion ansioie. Dans la suie on suppose K < ; alos en posan g A os ω ϕ 5 K ω :

16 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie La èe équaion donne alos : ω ω f " + f soi f os ψ La soluion globale de l équaion de d Alembe es alos : s ω C os ψ os ω ϕ ω k On pose dans la suie alos : s k ψ os ω ϕ C os 6

17 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Ce pe de soluions appelé onde plane saionnaie es ès difféen d une onde plane pogessive : les dépendanes spaiale e empoelle ineviennen sépaémen ; la dépendane spaiale inevien dans l ampliude de l osillaion empoelle e non plus dans la phase de elle soe que ous les poins de la ode viben en phase ou en opposiion de phase. L allue de la ode à difféens insans es epésenée su la figue suivane. Ceains poins de la ode son fies e son appelés nœuds de vibaions ; d aues on une ampliude de vibaion maimale e son appelés venes de vibaions. s Les oubes en gas oesponden au insans où la vibaion es eémale ; la oube en poinillés oespond à un insan quelonque. 7

18 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Posiion des nœuds : lle s obien en éivan que : os k ψ soi π kn ψ n + Soi ave k π λ : n n + ψ λ + 4 k La disane ene deu nœuds suessifs es égale à : λ. 8

19 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Posiion des venes : lle s obien en éivan que : Soi : os k ψ ± soi kv ψ nπ v n ψ λ + k λ La disane ene deu venes suessifs es égale à :. La disane ene un nœud e un vene suessif es égale à : 4. λ 9

20 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie II Ondes planes M dans le vide : Ondes planes éleomagnéiques : Une onde plane M de dieion de popagaion u es une suue du hamp M dans laquelle les oodonnées des hamps e son des fonions de la fome : s f Toue oodonnée du hamp a à un insan donné même valeu en ou poin d un plan se. Un el plan ohogonal à la dieion de popagaion u es appelé plan d onde. Une soue pa eemple une saion adiophonique éme a pioi des ondes sphéiques ; ependan à gande disane de elle-i l onde eçue poua êe loalemen assimilée à une onde plane pogessive

21 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Caaèe ansvese d une onde plane dans le vide : èe démonsaion : On s inéesse à une onde plane de la fome : e Les équaions de Mawell donnen : quaion de Mawell Gauss : div soi quaion de Mawell flu : div soi

22 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie quaion de Mawell - Faada : soi o quaion de Mawell - Ampèe : soi o

23 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Les équaions e 8 donnen : pa onséquen : e les hamps saiques n ineviennen pas ii los du phénomène de popagaion. De même les équaions e 5 monen que : Ainsi les oodonnées du hamp M paallèles à la dieion de popagaion nulles : le hamp M es ansvesal. u son 3

24 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Relaion ene les nomes des hamps e : n noan e on onsae que : e Il en es de même pou les oodonnées selon O. Ainsi donnen 4

25 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie n inégan sans eni ompe de oodonnées d inégaion onsanes : Pa onséquen : e u ou u Finalemen les hamp M d une onde plane pogessive son ohogonau à la dieion de popagaion e ohogonau ene eu ; le iède u es die e. 5

26 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Plan d onde se u u Le hamp M es unifome dans un plan d onde. 6

27 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie La foe eeée pa l onde M su une paiule de hage q e de viesse v es : f q + q v f e + f m Pa onséquen le appo de la foe éleique su la foe magnéique vau : f f e m v v Pa onséquen pou une paiule non elaivise v << la foe magnéique es négligeable vis-à-vis de la foe éleique. 7

28 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie ème démonsaion : n noan On onsae de manièe smbolique que : e ; ; Ainsi l opéaeu gadien ou le veeu nabla peu s éie : gad Les équaions de Mawell deviennen alos ompe enu de e fomalisme : u 8

29 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 9 u u u u.. soi ave se u u u u u.. n annulan les onsanes d inégaion les deu pemièes équaions donnen :.. u e u On eouve la aaèe ansvesal du hamp M.

30 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Les deu denièes équaions donnen apès inégaion : Soi : u e u u ou On eouve les mêmes elaions que los de la èe démonsaion. Plan d onde se u u u 3

31 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie III Ondes planes pogessives monohomaiques ou hamoniques : Soluions sinusoïdales de l équaion de popagaion de d Alembe : L équaion de popagaion es linéaie ; pa onséquen l analse de Fouie peme d affime que oue soluion de ee équaion es la somme de fonions sinusoïdales du emps. On se limie ii à des soluions hamoniques de l équaion de d Alembe es-à-die des soluions de la fome : s A osω Ces soluions oesponden à des ondes planes pogessives hamoniques OPPH. Ces fonions de péiode empoelle T π ω possèden une péiode spaiale : appelée longueu d onde. λ T π ω 3

32 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie On défini le veeu d onde k el que : k k u L OPPH es alos de la fome : ave k ω π λ s A os ω k n noaion éelle le hamp éleique poua s éie : Ave : os ω os ω k k ku ω u veeu d onde 3

33 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 33 n noaion omplee on noea le hamp M sous la fome : k i e ω e k i e ω Si la dieion de l onde es quelonque dans la dieion du veeu uniaie u :. k i e ω e. k i e ω où : u k k u veeu uniaie donnan le sens de popagaion es le veeu d onde e : OM O oigine du epèe e M le poin d obsevaion.

34 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 34 L epession du Laplaien devien : k k k k Pa ailleus : ω L équaion d onde de d Alembe donne alos elaion de dispesion dans le vide : k soi k ω ω D où : k ω

35 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Suue des ondes planes pogessives monohomaiques : Compe enu du hoi de la noaion omplee les opéaeus veoiels se simplifien. n effe en emaquan que : iω ; ik n effe : Il vien : ep i ω k. u ep i ω k k k div + + ik ik ik i k. De même : 35

36 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 36 k e k i o Les quae équaions de Mawell deviennen ensuie : ; ;. ;. i k i o i k i o k i div k i div ω ω

37 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Pa onséquen on eouve le aaèe ansvese des ondes M planes : k. e k. On eouve égalemen : k ω u Remaque : Cee elaion n es véifiée évidemmen que pa des ondes planes monohomaiques hamoniques. Noammen losque l ampliude de l onde dépenda des oodonnées d espae ou la elaion ene le hamp e le hamp sea difféene. 37

38 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 3 Popagaion de l énegie : Les ésulas qui suiven son valables pou une onde plane pogessive non foémen sinusoïdale ou hamonique. La densié d énegie u em pou une onde plane pogessive vau : u em ε + µ Compe enu de il vien e ave ε µ : uem ε µ On emaque qu il a équipaiion des onibuions éleique e magnéique à ee densié d énegie. 38

39 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 39 Le veeu de Poning vau : µ Π Soi ave u :. Π u a u u µ µ Finalemen : em u u u Π ε Le veeu de Poning es bien olinéaie à la dieion de popagaion.

40 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Si l on evien à la définiion du veeu densié de ouan : j ρv oespondan à un mouvemen d ensemble de hages de densié ρ à la viesse v on onsae que la elaion Π u em u epime simplemen que l onde M plane pogessive dans le vide anspoe l énegie dans sa pope dieion de popagaion e ave une viesse égale à sa éléié vem Π / um u. Remaque : On peu eouve e ésula en onsidéan le linde de seion doie S de généaies de longueu v em d paallèles à la dieion de popagaion. L énegie qui va avese ee sufae pendan d es alos u em v em Sd. lle es pa ailleus égale au flu du veeu de Poning muliplié pa d soi : Π uem vemsd ΠSd soi vem u 4 em

41 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Veeu de Poning moen e puissane moenne eçue pa un déeeu : Les ondes M on généalemen des féquenes élevées. Les déeeus ne son souven sensibles qu au valeus moennes empoelles de la puissane qu ils eçoiven. Ainsi la puissane moenne eçue pa un déeeu don la sufae S es pependiulaie à la dieion de popagaion es : Pm Π. S u Π. S où Π désigne la valeu algébique du veeu de Poning moen égale à : Π ε Pou un hamp éleique de la fome : os ω k. ϕ 4

42 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie : Π ε Uilisaion de la noaion omplee pou la puissane : Rappel : si f e g son deu fonions sinusoïdales en noaion omplee alos la paie éelle moenne du podui fg es : fg * Re f. g où * g es le onjugué de g. 4

43 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie On peu noammen applique ee fomule pou alule la puissane moenne en éleiié : P ui Re u. i * U mi m osϕ U ei e osϕ La valeu moenne de la densié d énegie M es alos : Soi : e em * * ε Re. + Re. µ e em ε + µ ε 43

44 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie La valeu moenne du veeu de Poning se alule de la même manièe : Soi : Π * u Re Re * µ µ Re.. u * * u ε µ Π u 44

45 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Odes de gandeu : Ampliudes des hamps M d un faiseau lase : Un lase hélium-néon éme un faiseau lindique de seion doie mm e de puissane mw. Il podui une onde polaisée eilignemen. Déemine l ampliude des hamps M. L onde es quasi-plane sinusoïdale a la lageu du faiseau es bien supéieue à la longueu d onde. Les hamps M valen : µ P 87. V. m ; 9. S 6 T 45

46 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie mission d une saion adio : Une soue d onde M monohomaique siuée dans une plaine éme un aonnemen isoope polaisé eilignemen de puissane MW. Calule l ampliude du hamp éleique à la disane puis à km. On ouve : µ P 4. V. m. V. m à km π 46

47 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie IV Polaisaion des ondes M : Repésenaion veoielle éelle d une onde plane pogessive monohomaique : On onsidèe une onde M plane pogessive monohomaique de pulsaion ω se popagean dans le vide. On hoisi l ae O omme l ae de popagaion soi ω k u. n noaion omplee le hamp éleique de l onde es : i ωk e On noe : iϕ e u + e iϕ u 47

48 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie où e son moennan un bon hoi des phases posiives. ϕ e ϕ des onsanes De plus pa un hoi judiieu de l oigine des emps on hoisia ϕ e on noea ϕ ϕ le déphasage de pa appo à. Alos en noaion éelle : os ω os ω Le hamp magnéique s en dédui à pai de k u k ϕ : os ω k os ω k ϕ 48

49 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Polaisaion d une onde plane pogessive monohomaique Pou défini la polaisaion d une onde plane M pogessive hamonique on se plae oujous dans un plan de oe donnée que l on penda nulle pa eemple. Pa onséquen les oodonnées du hamp éleique deviennen : os ω os ω ϕ 49

50 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Polaisaion eiligne : La polaisaion eiligne oespond au as où le hamp éleique gade une dieion onsane au ous du emps que l on peu hoisi paallèle à l ae O : osω u Pou un obsevaeu plaé dans le plan de oe fiée le hamp osille en fonion du emps le long de l ae O. 5

51 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Polaisaion iulaie : π π Si ϕ ou ϕ + les oodonnées e du hamp éleique son en quadaue : les aes de l ellipse oïniden ave les aes O e O. 5

52 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie π Si ϕ + : os ω e sin ω D où : + C es bien l équaion d une ellipse d aes O e O de longueus e. Si de plus les ampliudes e son ideniques égales à l ellipse oespond à un ele : + La polaisaion de l onde M es die iulaie. 5

53 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie π π Si ϕ + l onde es iulaie gauhe e si ϕ l onde es iulaie doie. 53

54 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Appliaion : déomposiion d une onde à polaisaion eiligne omme la supeposiion de deu ondes iulaies : 54

55 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Polaisaion ellipique : On appelle que : os ω La oodonnée selon O peu enoe s éie : os ω ϕ osω osϕ sin ω sinϕ + Afin d élimine le emps on éi que : os ω sin ω osϕ sin ϕ 55

56 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 56 Pa onséquen en uilisan sin os + ω ω : os os sin + + ϕ ϕ ϕ Soi : ϕ ϕ sin os + Le sens de paous de l ellipse peu êe déeminé en éivan qu à au poin A voi figue losque es maimal on a : ω sin ϕ d d

57 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie 57

58 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie ϕ Le sens de oaion es don donné pa le signe de sin : si sin ϕ > le paous se fai dans le sens igonoméique si sin ϕ < il se fai dans le sens des aiguilles d une mone. Animaion abi géomèe Y.Coial 58

59 Ondes M dans le vide anspaens de ous MP Lée Monesquieu Le Mans Olivie Ganie Cas de la lumièe nauelle : Pou la plupa des soues lumineuses lassiques la lumièe émise oespond à une supeposiion d OPPM de duées ès oues de l ode de s mais n oublions pas que la péiode des es ondes es de l ode de 5 s e de polaisaion bien fiée pou haque onde mais hangean de façon aléaoie ene deu ondes planes pogessives monohomaiques. Les déeeus opiques son sensibles à la valeu moenne dans le emps du aé du hamp éleique es l inensié lumineuse su des duées de l ode de s œil à 6 s bonne ellule phooéleique. Ils ne peuven don pas suive la polaisaion d une des OPPM don la suession fome la lumièe visible : on di que la lumièe nauelle n es pas polaisée. 59